湖北省重点高中智学联盟2023-2024学年高一上学期12月联考数学试题（含答案）
文档属性
| 名称 | 湖北省重点高中智学联盟2023-2024学年高一上学期12月联考数学试题（含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 298.2KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-12-27 11:12:23 | ||
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文档简介
湖北省重点高中智学联盟2023年秋季高一年级12月联考
数学试题
本试卷共4页，22小题，满分150分，考试时间120分钟。
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应位置上.
1．一次函数与的图象交点组成的集合是（ ）
A． B． C． D．
2．函数的定义域为（ ）
A. B.
C. D.
3．集合，则集合的真子集的个数为（ ）
A．5 B．15 C．31 D．32
4. 若a >0，b >0，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
5．已知函数，，的零点分别为则（ ）
A． B． C． D．
6．已知，且，若恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．若定义在上的函数同时满足：①为奇函数；②；③对任意的，且，都有.则称函数具有性质P．已知函数具有性质P，则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
8．已知实数，且满足，则的最小值为（ ）
A． B． C．5 D．3
二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分．每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9．下列命题中为真命题的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
10．已知函数是定义在R上的奇函数，且，则（ ）
A． B．的图象关于直线对称
C． D．
11．已知，则（ ）
A． B． C． D．
12．在数学中，布劳威尔不动点定理是拓朴学里一个非常重要的不动点定理，它可应用到有限维空间并构成了一般不动点定理的基石，简单来讲就是对于满足一定条件的连续函数，存在一个点，使，那么我们称该函数为“不动点”函数。下列给出的函数中是“不动点”函数的有（ ）
A. B.
C.（） D.
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分.
13.“”是“函数为幂函数”的_________（填“充分不必要条件”，“必要不充分条件”，“充要条件”，“既不充分又不必要条件” ）
14.若一个扇形的面积为，则当半径为________时扇形的周长最小.
15.已知函数的最大值为M，最小值为m，则的值为________.
16．已知，若，使得，则实数m的取值范围是_________.
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（10分）
计算下列各式：
（1）； （2）；
18．（12分）
已知命题p：方程有两个不等的负实根，命题q：方程无实根．若命题p，q一个为真命题，一个为假命题时，求实数m的取值范围．
19．（12分）
已知函数．
(1)解不等式；
(2)记函数的最小值为，求的最小值．
20．（12分）
杭州，作为2023年亚洲运动会的举办城市，以其先进的科技和创新能力再次吸引了全球的目光.其中首次采用“机器狗”在田径赛场上运送铁饼等，迅速成为了全场的焦点.已知购买台“机器狗”的总成本为
(1)若使每台“机器狗”的平均成本最低，问应买多少台
(2)现安排标明“汪1”、“汪2”、“汪3”的3台“机器狗”在同一场次运送铁饼，且运送的距离都是120米. 3台“机器狗”所用时间（单位:秒）分别为，，. “汪1”有一半的时间以速度（单位:米/秒） 奔跑，另一半的时间以速度奔跑；“汪2”全程以速度奔跑；“汪3”有一半的路程以速度奔跑，另一半的路程以速度奔跑，其中，，且 则哪台机器狗用的时间最少 请说明理由.
21．（12分）
设是R上的奇函数，且当时，，.
（1）若，求的解析式；
（2）若，不等式恒成立，求实数的取值范围.
22．（12分）
已知函数是奇函数，且过点．
(1)求实数m和a的值；
(2)设，是否存在正实数t，使关于x的不等式对恒成立，若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
联考答案
1 2 3 4 5 6 7 8
C A C B B D C C
9 10 11 12
BCD ACD ABD ABC
13.充分不必要条件 14. 2 15. 16.
17.(1) (2)2
18.命题p:得；命题q:,得
当p真q假时，得；
当p假q真时，得；综上：
19.（1）当时，，解得，故；
当时，，解得，故；
当时，，解得，无解；
综上所述：，即
（2）法1：，
当时等号成立，，故，
.
当且仅当，即，时等号成立.
所以的最小值为
法2.由图象可知的最小值为4当时等号成立，，故，
.
当且仅当，即，时等号成立.
所以的最小值为
20.（1）由题意，购买台“机器狗”的总成本为，
则每台机器狗的平均成本为，
当且仅当时，即时，等号成立，
所以，若使每台“机器狗”的平均成本最低，应买台.
（2）由题意，汪1满足，可得，
汪2满足，可得， 汪3满足
因为，，且可得，
所以，所以 “汪1”用的时间最少.
21.（1）因为，则，所以
此时当时，
所以
故
（2）若，则在R上单调递增，故等价于
，令，于是在恒成立，
即
因为，所以.
22.（1）因为是定义域为R的奇函数，∴，∴，检验符合.∴．
又因为过点，∴ ，∴
（2）由（1）得，
因为，令，∴，
记，∵函数在上恒成立，
∴（ⅰ）若时，函数在上为增函数，
所以为减函数，
则需函数，即在恒成立．
得，故符合题意
（ⅱ）若时， 则需，即且在恒成立，
得，故舍去
综上所述：故存在正数，使函数在上恒成立
数学试题
本试卷共4页，22小题，满分150分，考试时间120分钟。
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应位置上.
1．一次函数与的图象交点组成的集合是（ ）
A． B． C． D．
2．函数的定义域为（ ）
A. B.
C. D.
3．集合，则集合的真子集的个数为（ ）
A．5 B．15 C．31 D．32
4. 若a >0，b >0，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
5．已知函数，，的零点分别为则（ ）
A． B． C． D．
6．已知，且，若恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．若定义在上的函数同时满足：①为奇函数；②；③对任意的，且，都有.则称函数具有性质P．已知函数具有性质P，则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
8．已知实数，且满足，则的最小值为（ ）
A． B． C．5 D．3
二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分．每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9．下列命题中为真命题的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
10．已知函数是定义在R上的奇函数，且，则（ ）
A． B．的图象关于直线对称
C． D．
11．已知，则（ ）
A． B． C． D．
12．在数学中，布劳威尔不动点定理是拓朴学里一个非常重要的不动点定理，它可应用到有限维空间并构成了一般不动点定理的基石，简单来讲就是对于满足一定条件的连续函数，存在一个点，使，那么我们称该函数为“不动点”函数。下列给出的函数中是“不动点”函数的有（ ）
A. B.
C.（） D.
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分.
13.“”是“函数为幂函数”的_________（填“充分不必要条件”，“必要不充分条件”，“充要条件”，“既不充分又不必要条件” ）
14.若一个扇形的面积为，则当半径为________时扇形的周长最小.
15.已知函数的最大值为M，最小值为m，则的值为________.
16．已知，若，使得，则实数m的取值范围是_________.
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（10分）
计算下列各式：
（1）； （2）；
18．（12分）
已知命题p：方程有两个不等的负实根，命题q：方程无实根．若命题p，q一个为真命题，一个为假命题时，求实数m的取值范围．
19．（12分）
已知函数．
(1)解不等式；
(2)记函数的最小值为，求的最小值．
20．（12分）
杭州，作为2023年亚洲运动会的举办城市，以其先进的科技和创新能力再次吸引了全球的目光.其中首次采用“机器狗”在田径赛场上运送铁饼等，迅速成为了全场的焦点.已知购买台“机器狗”的总成本为
(1)若使每台“机器狗”的平均成本最低，问应买多少台
(2)现安排标明“汪1”、“汪2”、“汪3”的3台“机器狗”在同一场次运送铁饼，且运送的距离都是120米. 3台“机器狗”所用时间（单位:秒）分别为，，. “汪1”有一半的时间以速度（单位:米/秒） 奔跑，另一半的时间以速度奔跑；“汪2”全程以速度奔跑；“汪3”有一半的路程以速度奔跑，另一半的路程以速度奔跑，其中，，且 则哪台机器狗用的时间最少 请说明理由.
21．（12分）
设是R上的奇函数，且当时，，.
（1）若，求的解析式；
（2）若，不等式恒成立，求实数的取值范围.
22．（12分）
已知函数是奇函数，且过点．
(1)求实数m和a的值；
(2)设，是否存在正实数t，使关于x的不等式对恒成立，若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
联考答案
1 2 3 4 5 6 7 8
C A C B B D C C
9 10 11 12
BCD ACD ABD ABC
13.充分不必要条件 14. 2 15. 16.
17.(1) (2)2
18.命题p:得；命题q:,得
当p真q假时，得；
当p假q真时，得；综上：
19.（1）当时，，解得，故；
当时，，解得，故；
当时，，解得，无解；
综上所述：，即
（2）法1：，
当时等号成立，，故，
.
当且仅当，即，时等号成立.
所以的最小值为
法2.由图象可知的最小值为4当时等号成立，，故，
.
当且仅当，即，时等号成立.
所以的最小值为
20.（1）由题意，购买台“机器狗”的总成本为，
则每台机器狗的平均成本为，
当且仅当时，即时，等号成立，
所以，若使每台“机器狗”的平均成本最低，应买台.
（2）由题意，汪1满足，可得，
汪2满足，可得， 汪3满足
因为，，且可得，
所以，所以 “汪1”用的时间最少.
21.（1）因为，则，所以
此时当时，
所以
故
（2）若，则在R上单调递增，故等价于
，令，于是在恒成立，
即
因为，所以.
22.（1）因为是定义域为R的奇函数，∴，∴，检验符合.∴．
又因为过点，∴ ，∴
（2）由（1）得，
因为，令，∴，
记，∵函数在上恒成立，
∴（ⅰ）若时，函数在上为增函数，
所以为减函数，
则需函数，即在恒成立．
得，故符合题意
（ⅱ）若时， 则需，即且在恒成立，
得，故舍去
综上所述：故存在正数，使函数在上恒成立
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