天津市重点中学2023-2024学年高一上学期12月过程性诊断数学试卷(2)（含答案）

天津市第一百中学2023—2024学年第一学期过程性诊断(2)
高一数学
本试卷满分150分，考试用时120分钟。
一、单选题（每小题5分，共45分）
1．向量，，，则（ ）
A．9 B．3 C．1 D．
2．已知直线与圆交于，两点，则线段的长度为（ ）
A． B．2 C． D．
3．已知抛物线上一点的纵坐标为2，则点到抛物线焦点的距离为
A．2 B．3 C．4 D．5
4．已知直线：与：平行，则的值是（ ）
A．5 B．0或5 C．0 D．0或1
5．已知等比数列中，，且，那么=（ ）
A．31 B．32 C．63 D．64
6．在四面体中，，Q是的中点，且M为PQ的中点，若，，，则（ ）．
A． B．
C． D．
7．已知等差数列的前项和为，若，，则（ ）
A．40 B．70 C．90 D．100
8．在数列中，，（，），则（ ）
A．1 B． C． D．2
9．设双曲线的左、右焦点分别为、，离心率为e，过的直线与双曲线的右支交于A、B两点，若是以A为直角顶点的等腰直角三角形，则（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（每小5分，共30分）
10．已知，若直线：与直线：相互垂直，则 .
11．已知圆与相交于A，B两点，则直线的方程是 ．
12．已知等差数列的前n项和为，且，，则取最大值时， ．
13．抛物线的焦点为，点为该抛物线上的动点，又已知定点，则的最小值是 .
14．已知直线与椭圆相交于两点，且线段的中点在直线上，则此椭圆的离心率为 ．
15．若直线与曲线有公共点，则的取值范围是 ．
三、解答题
16．（本题13分）
已知圆经过和两点，且圆心在直线上．
(1)求圆的方程；
(2)从点向圆C作切线，求切线方程．
17．（本题15分）
在各项均为正数的等比数列中，，且成等差数列.
(1)求等比数列的通项公式和前n项和；
(2)若数列满足，求数列的前项和的最大值.
(3)求数列的前项和
18．(本题15分）
如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面，，，点在线段上，且.
(1)求证：平面；
(2)求直线与平面所成角的正弦值；
(3)求平面与平面的夹角的余弦值.
19（本题16分）
已知正项数列的前项和为，且.
求数列的通项公式；
求数列前n项和
（3）若，数列的前项和为，求的取值范围；
20．（本题16分）
已知椭圆的离心率为，右焦点为．
(1)求椭圆方程；
(2)过点的直线与椭圆交于，两点，线段的垂直平分线与直线交于点，为等边三角形，求直线的方程
答案
一 、A C B C A D D B B
二 、10. ； 11．；12．15；13．；14．；15．。
三、
16..由题可知,所以线段的中垂线的斜率等于1，
又因为的中点为，
所以线段的中垂线的直线方程为，
即，
联立 解得 ，所以圆心
又因为半径等于,所以圆的方程为.....（ 8分）
（2）设圆的半径为，则，
若直线的斜率不存在，因为直线过点，
所以直线方程为，.............................................................. （9分）
此时圆心到直线的距离，满足题意;
若直线的斜率存在，设斜率为，
则切线方程为，即，
因为直线与圆相切，所以圆心到直线的距离，（12分）
解得，...........................................................................（13分）
所以切线方程为，即.
所以切线方程为或................................（14分）
17.（1）设数列的公比为，
因为成等差数列，
所以......................................................1分
即，
所以，
解得或（舍去），................................4分
又，所以数列的通项公式．.............5分
..................................................6分
（2）由题意得，，........................7分
则，且，
故数列是首项为9，公差为的等差数列，
所以，............9分
所以当时，的最大值为25.......................................10分
当时，，...............11分
当时，......13分
..................................................................15分
18.（1）证明：平面，平面，，，．
，，，，所以，又，
所以，，
，，，平面，平面...........5分
（2）平面，平面，平面，
，，为矩形，，
，，两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系，.............6分
则，，，，，，
，，，.........................................7分
设平面的法向量为，则，令，则，9分
设直线与平面所成角为，则，11分
所以直线与平面所成角的正弦值为.12分
（3）平面的一个法向量为，
设平面与平面的夹角为，
则，..........................14分
所以平面与平面的夹角的余弦值为.........................15分
19.（1）当时，由，得，得，...............2分
由，得，两式相减，得
，即，即
因为数列各项均为正数，所以，所以...............................5分
所以数列是以为首项，为公差的等差数列.
因此，，即数列的通项公式为............................7分
.....................................8分
两式相减得
...............................................................................................9分
..........................................................................................10分
（2）由（1）知，所以..........................11分
所以............12分
所以
..........................................................................................14分
令，则
所以是单调递增数列，数列递增，...............................................15分
所以，又，所以的取值范围为................................16分
20（1）由题意可得，，解得，.....................1分
由，∴..........................................................................2分
则椭圆的方程为...............................................................3分
（2）当直线为轴时，易得线段的垂直平分线与直线没有交点，故不满足题意；.....4分
当所在直线的斜率存在且不为轴时，设该直线方程为，，，
，解为，，..............................................................5分
所以，..........................................................7分
，................................8分
设的中点为，则，...............................................9分
设，
由为等边三角形，，，
，............................................11
..............13
所以，解得，所以，.................................14
当所在直线的斜率不存在时，将代入可得，
所以，，不满足题意，....................................................................15
综上所述，直线的方程为或...........................................................16
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