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第二十七章 相 似
(时间:120分钟 满分:100分)
一、选择题(每小题3分,共36分)
1.如图所示,点P在△ABC的边AC上,要判断△ABP∽△ACB,添加一个条件,不正确的是(D)
A.∠ABP=∠C B.∠APB=∠ABC
C. = D. =
第1题图
已知2x=3y(y≠0),则下面结论成立的是(A)
A. B. C. D.
3.如图所示,小正方形边长均为1,则下列图中的三角形(阴影部分)与△ABC相似的是(C)
4.如图所示,在平行四边形ABCD中,点E在边DC上,DE∶EC=3∶1,连接AE交BD于点F,则△DEF的面积与△BAF的面积之比为(B)
第4题图
A.3∶4 B.9∶16 C.9∶1 D.3∶1
5.如图所示,已知直线l1∥l2∥l3,直线m,n与直线l1,l2,l3分别交于点A,B,C,D,E,F,若DE=3,DF=8,则的值为(B)
A. B. C. D.
第5题图
6.如图所示,在△ABC中,BD⊥AC于点D,AE⊥BC于点E,交BD于点F.下列三角形中不一定与△BCD相似的是(D)
第6题图
A.△BFE B.△AFD C.△ACE D.△BAE
7.制作一块3 m×2 m长方形广告牌的成本是120元,在每平方米制作成本相同的情况下,若将此广告牌的四边都扩大为原来的3倍,那么扩大后长方形广告牌的成本是(C)
A.360元 B.720元
C.1 080元 D.2 160元
8.如图所示,点G,F分别是△BCD的边BC,CD上的点,BD的延长线与GF的延长线相交于点A,DE∥BC交GA于点E,则下列结论错误的是(C)
A. = B. =
C. = D. =
第8题图
9.图(1)是装了液体的高脚杯示意图(数据如图所示),用去一部分液体后如图(2)所示,此时液面AB等于(C)
第9题图
A.1 cm B.2 cm C.3 cm D.4 cm
10.生活中到处可见黄金分割的美.在设计人体雕像时,使雕像的腰部以下a与全身b的高度比值接近0.618,可以增加视觉美感.若b为2 m,则a约为(A)
A.1.24 m B.1.38 m
C.1.42 m D.1.62 m
11.如图所示,在△ABC中,EF∥BC,FG∥AB,EC与FG相交于点O,AB=3AE,若S四边形BEFC=16,则S△EOF的值为(C)
A.1 B. C. D.2
第11题图
12.如图所示,已知在等腰直角三角形ABC中,∠ACB=90°,AD为BC边的中线,过点C作CE⊥AD于点E,交AB于点F.若AC=2,则线段EF的长为(B)
第12题图
A. B. C. D.
二、填空题(每小题2分,共8分)
13.如果两个相似三角形对应边上的中线之比为5∶4,那么这两个三角形的周长之比为 5∶4 .
14.如图所示,在△ABC中,点D,E分别是BC,AC的中点,AD与BE相交于点F.若BF=6,则BE的长是 9 .
第14题图
15.如图所示的是用杠杆撬石头的示意图,C是支点,当用力压杠杆的A端时,杠杆绕C点转动,另一端B向上翘起,石头就被撬动.现有一块石头,要使其滚动,杠杆的B端至少向上翘起10 cm,已知AC与BC之比为5∶1,要使这块石头滚动,至少要将杠杆的A端向下压 50 cm.
第15题图
16.如图所示,在边长为1的小正方形组成的网格中,建立平面直角坐标系,△ABC的三个顶点均在格点(网格线的交点)上.以原点O为位似中心,画△A1B1C1,使它与△ABC的相似比为2,则点B的对应点B1的坐标是 (4,2)或(-4,-2) .
三、解答题(共56分)
17.(6分)如图所示,E是矩形ABCD的边CB上的一点,AF⊥DE于点F,
AB=3,AD=2,CE=1.求DF的长度.
解:∵四边形ABCD是矩形,
∴DC=AB=3,∠ADC=∠C=90°.
∵CE=1,
∴DE==.
∵AF⊥DE,
∴∠AFD=90°=∠C,∠ADF+∠DAF=90°.
又∵∠ADF+∠EDC=90°,
∴∠EDC=∠DAF.
∴△EDC∽△DAF.
∴ = ,即=,
解得FD=.
∴DF的长度为.
18.(6分)如图所示,在由边长为1个单位长度的小正方形组成的10×
10网格中,已知点O,A,B均为网格线的交点.
(1)在给定的网格中,以点O为位似中心,将线段AB放大为原来的2倍,得到线段A1B1(点A,B的对应点分别为A1,B1),画出线段A1B1;
(2)将线段A1B1绕点B1逆时针旋转90°得到线段A2B1,画出线段A2B1;
(3)以A,A1,B1,A2为顶点的四边形AA1B1A2的面积是 个平方单位.
解:(1)如图所示,线段A1B1即为所求.
(2)如图所示,线段A2B1即为所求.
(3)20
19.(7分)如图所示,在△ABC中,D,E是AB上的两点,△CDE是等边三角形,∠ACB=120°.求证:
(1)△ABC∽△ACD;
(2)DE2=AD·BE.
证明:(1)∵△CDE是等边三角形,
∴∠CDE=∠CED=60°,CD=CE=DE.
∴∠ACB=∠ADC=∠CEB=120°.
∵∠CAD=∠CAB,
∴△ABC∽△ACD.
(2)∵△ABC∽△ACD,
∴∠ACD=∠B.
∵∠ACB=∠ADC=∠CEB=120°,
∴△CBE∽△ACD.
∴ = .
∵CD=CE=DE,∴ = .
∴DE2=AD·BE.
20.(7分)小明站在地面上给站在城楼上的小亮照相时发现:他的眼睛、凉亭顶端、小亮头顶三点恰好在一条直线上(如图所示).已知小明的眼睛离地面1.6 m,凉亭顶端离地面2 m,小明到凉亭的距离为2 m,凉亭离城楼底部的距离为40 m,小亮身高1.7 m.请根据以上数据求出城楼的高度.
解:如图所示,过点A作AM⊥EF于点M,交CD于点N,
由题意,可得AN=BD=2 m,CN=2-1.6=0.4(m),
MN=DF=40 m,AM=AN+MN=42 m.
∵CN∥EM,∴△ACN∽△AEM.
∴ = .即 = ,解得EM=8.4.
∵MF=AB=1.6 m,
故城楼的高度为8.4+1.6-1.7=8.3(m).
21.(7分)如图所示,在△ABC中,AB=AC,AD为BC边上的中线,DE⊥AB于点E.
(1)求证:△BDE∽△CAD;
(2)若AB=13,BC=10,求线段DE的长.
(1)证明:∵AB=AC,AD为BC边上的中线,∴AD⊥BC,∠B=∠C.
∵DE⊥AB,∴∠DEB=∠ADC.
∴△BDE∽△CAD.
(2)解:∵AB=AC,AD为BC边上的中线,
∴AD⊥BC,BD=CD=BC=×10=5.
在Rt△ADB中,
AD===12,
∵AD·BD=AB·DE,
∴×12×5=×13·DE,解得DE=.
∴线段DE的长为.
22.(7分)如图所示,在平面直角坐标系xOy中,直线y=-x+3与x轴交于点C,与直线AD交于点A(,),点D的坐标为(0,1).
(1)求直线AD的解析式;
(2)直线AD与x轴交于点B,若点E是直线AD上一动点(不与点B重合),当△BOD与△BCE相似时,求点E的坐标.
解:(1)设直线AD的解析式为y=kx+b(k≠0),
将A(,),D(0,1)分别代入,得
解得
∴直线AD的解析式为y=x+1.
(2)∵易得直线AD与x轴的交点为(-2,0),
∴OB=2.
∵点D的坐标为(0,1),
∴OD=1.
∵y=-x+3与x轴交于点C(3,0),
∴OC=3.
∴BC=5.
如图所示,过点E作EF垂直于BC于点F,
当∠BEC=90°时,
△BOD∽△BEC,
∴ = = .
∴ = = .
∴BE=2,CE=.
∵BC·EF=BE·CE,
∴EF=2,CF==1.
∴点E的坐标为(2,2).
当∠BCE=90°时,△BOD∽△BCE.
∴ = ,
∴ =.∴CE=.
∴点E的坐标为(3,).
综上,点E的坐标为(2,2)或(3,).
23.(8分)如图所示,花丛中有一路灯杆AB,在灯光下,大华在D点处的影长DE=3 m,沿BD方向行走到达G点,DG=5 m,这时大华的影长GH=5 m.如果大华的身高为1.8 m,求路灯杆AB的高度.
解:∵CD∥AB,
∴△EAB∽△ECD.
∴ = ,
即 = .①
∵FG∥AB,
∴△HFG∽△HAB.
∴ = ,
即 = .②
由①②得 = ,
解得BD=7.5 m.
∴ = ,
解得AB=6.3 m.
∴路灯杆AB的高度为6.3 m.
24.(8分)如下表:
倍长中线的意思是:延长边上(不一定是底边)的中线,使所延长部分与中线相等,
然后往往需要连接相应的顶点,则对应角对应边都对应相等,此法常用于构造全等三角形,
利用中线的性质、辅助线、对顶角一般用“SAS”证明对应边之间的关系.
请用倍长中线法解答下面问题:在△ABC中,∠ACB=90°,BD是AC边上的中线,点E为射线BC上一动点.
(1)问题发现
如图(1)所示,点E在BC上,BE∶CE=1∶2,BD与AE相交于点P,延长BD至点F,使得BD=DF,连接AF,求的值.
(2)类比探究
如图(2)所示,点E在BC的延长线上,AE与BD的延长线交于点P,CE∶BC=1∶3,求的值.
(3)拓展延伸
在(2)的探究结论下,若BC=4,AC=6,求BP的长.
解:(1)∵BE∶CE=1∶2,
设BE=k,则CE=2k,
∵BD是AC边上的中线,∴AD=CD.
∵在△BCD和△FAD中,
∴△BCD≌△FAD(SAS).∴∠F=∠CBD.
∴BC∥FA.∴FA=BC=3k.
又∵BC∥FA,
∴△BPE∽△FPA.∴ = = =3.
(2)如图所示,BD是AC边上的中线,延长BP至点M,使得DM=DB,连接AM,
由(1)可知△BCD≌△MAD(SAS),AM=BC,AM∥BC,
∴△BPE∽△MPA,∴ = .
∵CE∶BC=1∶3,设CE=a,则BC=3a,
∴AM=BC=3a,BE=BC+CE=3a+a=4a.
∴ = = =.
(3)由(2)可知AM=BC=4,AC=6,则AD=CD=AC=×6=3,
在Rt△BCD中,
BD===5,且BD=MD=5.
∵CE∶BC=1∶3,
∴CE=,则BE=4+=.
设MP=x,则BP=10-x,
由△BPE∽△MPA,得 = ,
即 = ,解得x=,
∴BP=10-=.
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第二十七章 相 似
(时间:120分钟 满分:100分)
一、选择题(每小题3分,共36分)
1.如图所示,点P在△ABC的边AC上,要判断△ABP∽△ACB,添加一个条件,不正确的是( )
A.∠ABP=∠C B.∠APB=∠ABC
C. = D. =
第1题图
2.已知2x=3y(y≠0),则下面结论成立的是( )
A. B. C. D.
3.如图所示,小正方形边长均为1,则下列图中的三角形(阴影部分)与△ABC相似的是( )
4.如图所示,在平行四边形ABCD中,点E在边DC上,DE∶EC=3∶1,连接AE交BD于点F,则△DEF的面积与△BAF的面积之比为( )
第4题图
A.3∶4 B.9∶16 C.9∶1 D.3∶1
5.如图所示,已知直线l1∥l2∥l3,直线m,n与直线l1,l2,l3分别交于点A,B,C,D,E,F,若DE=3,DF=8,则的值为( )
A. B. C. D.
第5题图
6.如图所示,在△ABC中,BD⊥AC于点D,AE⊥BC于点E,交BD于点F.下列三角形中不一定与△BCD相似的是( )
第6题图
A.△BFE B.△AFD C.△ACE D.△BAE
7.制作一块3 m×2 m长方形广告牌的成本是120元,在每平方米制作成本相同的情况下,若将此广告牌的四边都扩大为原来的3倍,那么扩大后长方形广告牌的成本是( )
A.360元 B.720元
C.1080元 D.2160元
8.如图所示,点G,F分别是△BCD的边BC,CD上的点,BD的延长线与GF的延长线相交于点A,DE∥BC交GA于点E,则下列结论错误的是( )
A. = B. =
C. = D. =
第8题图
9.图(1)是装了液体的高脚杯示意图(数据如图所示),用去一部分液体后如图(2)所示,此时液面AB等于( )
第9题图
A.1 cm B.2 cm C.3 cm D.4 cm
10.生活中到处可见黄金分割的美.在设计人体雕像时,使雕像的腰部以下a与全身b的高度比值接近0.618,可以增加视觉美感.若b为2 m,则a约为( )
A.1.24 m B.1.38 m
C.1.42 m D.1.62 m
11.如图所示,在△ABC中,EF∥BC,FG∥AB,EC与FG相交于点O,AB=3AE,若S四边形BEFC=16,则S△EOF的值为( )
A.1 B. C. D.2
第11题图
12.如图所示,已知在等腰直角三角形ABC中,∠ACB=90°,AD为BC边的中线,过点C作CE⊥AD于点E,交AB于点F.若AC=2,则线段EF的长为( )
第12题图
A. B. C. D.
二、填空题(每小题2分,共8分)
13.如果两个相似三角形对应边上的中线之比为5∶4,那么这两个三角形的周长之比为 .
14.如图所示,在△ABC中,点D,E分别是BC,AC的中点,AD与BE相交于点F.若BF=6,则BE的长是 .
第14题图
15.如图所示的是用杠杆撬石头的示意图,C是支点,当用力压杠杆的A端时,杠杆绕C点转动,另一端B向上翘起,石头就被撬动.现有一块石头,要使其滚动,杠杆的B端至少向上翘起10 cm,已知AC与BC之比为5∶1,要使这块石头滚动,至少要将杠杆的A端向下压 cm.
第15题图
16.如图所示,在边长为1的小正方形组成的网格中,建立平面直角坐标系,△ABC的三个顶点均在格点(网格线的交点)上.以原点O为位似中心,画△A1B1C1,使它与△ABC的相似比为2,则点B的对应点B1的坐标是 .
三、解答题(共56分)
17.(6分)如图所示,E是矩形ABCD的边CB上的一点,AF⊥DE于点F,
AB=3,AD=2,CE=1.求DF的长度.
18.(6分)如图所示,在由边长为1个单位长度的小正方形组成的10×
10网格中,已知点O,A,B均为网格线的交点.
(1)在给定的网格中,以点O为位似中心,将线段AB放大为原来的2倍,得到线段A1B1(点A,B的对应点分别为A1,B1),画出线段A1B1;
(2)将线段A1B1绕点B1逆时针旋转90°得到线段A2B1,画出线段A2B1;
(3)以A,A1,B1,A2为顶点的四边形AA1B1A2的面积是 个平方单位.
19.(7分)如图所示,在△ABC中,D,E是AB上的两点,△CDE是等边三角形,∠ACB=120°.求证:
(1)△ABC∽△ACD;
(2)DE2=AD·BE.
20.(7分)小明站在地面上给站在城楼上的小亮照相时发现:他的眼睛、凉亭顶端、小亮头顶三点恰好在一条直线上(如图所示).已知小明的眼睛离地面1.6 m,凉亭顶端离地面2 m,小明到凉亭的距离为2 m,凉亭离城楼底部的距离为40 m,小亮身高1.7 m.请根据以上数据求出城楼的高度.
21.(7分)如图所示,在△ABC中,AB=AC,AD为BC边上的中线,DE⊥AB于点E.
(1)求证:△BDE∽△CAD;
(2)若AB=13,BC=10,求线段DE的长.
22.(7分)如图所示,在平面直角坐标系xOy中,直线y=-x+3与x轴交于点C,与直线AD交于点A(,),点D的坐标为(0,1).
(1)求直线AD的解析式;
(2)直线AD与x轴交于点B,若点E是直线AD上一动点(不与点B重合),当△BOD与△BCE相似时,求点E的坐标.
23.(8分)如图所示,花丛中有一路灯杆AB,在灯光下,大华在D点处的影长DE=3 m,沿BD方向行走到达G点,DG=5 m,这时大华的影长GH=5 m.如果大华的身高为1.8 m,求路灯杆AB的高度.
24.(8分)如下表:
倍长中线的意思是:延长边上(不一定是底边)的中线,使所延长部分与中线相等,
然后往往需要连接相应的顶点,则对应角对应边都对应相等,此法常用于构造全等三角形,
利用中线的性质、辅助线、对顶角一般用“SAS”证明对应边之间的关系.
请用倍长中线法解答下面问题:在△ABC中,∠ACB=90°,BD是AC边上的中线,点E为射线BC上一动点.
(1)问题发现
如图(1)所示,点E在BC上,BE∶CE=1∶2,BD与AE相交于点P,延长BD至点F,使得BD=DF,连接AF,求的值.
(2)类比探究
如图(2)所示,点E在BC的延长线上,AE与BD的延长线交于点P,CE∶BC=1∶3,求的值.
(3)拓展延伸
在(2)的探究结论下,若BC=4,AC=6,求BP的长.
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