2023年 12月
东竞高中高 2023级十二月月考数学试卷 家普森又提出了亮度的概念，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述 .两颗星的星等与亮度满足
m1 m
5
2 lg
E2 ，其中星等为mk 的星的亮度为 Ek (k 1,2) .已知“心宿二”的星等是 1，“天津四”的星等是 1.25，
注意事项 2 E1
1.答题前，先将自己的姓名、班级、座号、准考证号填写在试卷和答题卡上。
2.选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试卷、草稿纸和答 则“心宿二”的亮度大约是“天津四”的（ ）倍.
题卡的非答题区域均无效。 1
A. 1 B. 100.1 C. D. 10 -0.1
3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接写在答题卡上的对应答题区域内。写在试卷、草稿 10
纸和答题卡的非答题区域均无效。 1
8. 已知 a lnπ，b log5 2, c e 2 ，则 a，b，c的大小关系为（ ）第 I卷 选择题（60分）
一、选择题：本题共 8小题，每小题 5 40 b a c分，共 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 A. c a b B. C. c b a D. b c a
合题目要求的． 二、选择题：本题共 4小题，每小题 5分，共 20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要
1. 已知集合 A 0,1,2,3 ,B 1,0,1,2 ，则 A B （ ） 求．全部选对的得 5分，部分选对的得 2分，有选错的得 0分．
9．已知下列各角：① 120 ；②180 ；③ 240 ；④ 495 ，其中是第二象限角的是（ ）
A. 1,0,1,2,3 B. 1,2 C. 0,1,2 D. 1,3
A．① B．② C．③ D．④
2. “ x 1 ”是“ x2 1”的（ ） 10．下列四个式子中：① lg10 1；②若 2x N，则 x log2 N ；③ lg ln e 1；④ lg ln1 0 .其中正确的有（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
A．① B．② C．③ D．④
C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件
11．若 f x 是定义域为R 的偶函数，且 f x 在 0, 上为减函数，则下列选项正确的是（ ）
ex 2, x 3
3．设函数 f x ，则 f 0 （ ）
x, x 3 A． f x 的图象关于 y轴对称 B． f x 在 ,0 上为减函数
A．2 B．3 C．e3﹣1D．e2﹣1 C．当 x 0时， f x 取得最大值 D． f π f 3 f 2
4．已知扇形的圆心角为 30°，弧长为 ，则扇形的半径为（ ）
12. f x 1
x
已知函数 ， g x log3x， h x 2 x．则下列说法正确的是（ ）A． B．3 C． D．6 3
5. 已知角 的终边经过点 P 1, 3 ，则 cos 的值为（ ） A. 函数 y f x 与函数 y g x 互为反函数
A. 3 B. - 3 C. 1 D. 1 B. 函数 y f x g x 在区间 0,1 内没有零点
2 2
6．函数 f（x）＝lnx+2x﹣9的零点所在区间是（ ） C. 若 a，b，c均为正实数，且满足 f a g b h c ，则 b 1 c a
A．（1，2） B．（2，3） C．（3，4） D．（4，5）
D. 若函数 h x 的图象与函数 f x 的图象和函数 g x 的图象在第一象限内交点的横坐标分别为 x1, x2 ，则
7. 为了衡量星星的明暗程度，古希腊天文学家喜帕恰斯在公元前二世纪首先提出了星等这个概念.星等的数值越
小，星星就越亮；星等的数值越大它的光就越暗.到了 1850年，由于光度计在天体光度测量的应用，英国天文学 x1 log3x2 0
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第Ⅱ卷（非选择题 共 90分）
三、填空题：本题共 4小题，每小题 5分，共 20分．请将答案填写在答题卡相应位置上． 21．秋冬季是流感的高发季节，为了预防流感，东竞高中决定对教室采用药熏消毒法进行消毒，药熏开始前要求
13. 若 a log 3，则 4a _______ 学生全部离开教室.已知在药熏过程中，教室内每立方米空气中的药物含量
y（毫克）与药熏时间 t（小时）成正
2
比：当药熏过程结束，药物即释放完毕，教室内每立方米空气中的药物含量 y（毫克）达到最大值.此后，教室内
2
14. cos10 + 1 cos 10 化简： =___________
1+2sin10 cos10 t a 每立方米空气中的药物含量 y（毫克）与时间 t（小时）的函数关系式为 y 1 （ a 为常数， t
1
）.已知从
16 2
15.已知函数 f x x2 2x, x -1,2 ，则 f x 的值域为______．
药熏开始，教室内每立方米空气中的药物含量 y（毫克）关于时间 t（小时）的变化曲线如图所示.
x2 2x 3, x 0
16．函数 f x ，方程 f x k（ k 0）有 3个实数解，则 k的取值范围为 ．
2 ln x, x 0
四、解答题：本题共 6小题，共 70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 计算：
2
（1） 27 3 2lg5+ lg 4； (1)从药熏开始，求每立方米空气中的药物含量 y（毫克）与时间 t（小时）之间的函数关系式；
（2） sin 7 cos 23 tan
15 13 1
sin cos (2)据测定，当空气中每立方米的药物含量不高于 毫克时，学生方可进入教室，那么从药薰开始，至少需要经过
3 6 4 6 3 4
多少小时后，学生才能回到教室.
18. 设集合 A x R x x 2 0 ， B x R 1 x m ．
22. 已知函数 f x log3 1 ax ， g x log3 2a 1 x
2 3a 2 x ， a R .
（1）若m 3，求 A B；
（2）若 B A，求实数m的取值范围． (1)若a 2，求不等式 f 2x 1 f x 的解集；
(2)已知函数 h x f x g x ，且方程 h x 0有唯一实数解，求实数 a的取值范围.
4sin cos
19.（1）已知 tan 3，求 的值.
3sin 5cos
1
（2）已知 sin cos （0 π），求 sin cos 和sin cos 的值．
2
20.已知指数函数 f x =a x 的图象经过点 P 2,4 .
(1)求函数 f x 的解析式并判断 f x 的单调性；
（2）函数g x f x 2 2af x ，求函数g x 在区间 0,1 上的最小值。
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{#{QQABaYaAggAAAgAAARhCQQW6CECQkAAAACoGABAAIAABQAFABAA=}#}东竞高中高2023级十二月月考数学试卷参考答案
1. 【答案】A2.【答案】A 3．B 4．D 5.D 6．C 7. B 8. D
9．CD 10．AB 11．ACD 12. AD
13. _9__ 14.__1___ 15. 16．
17. 【答案】（1）12 （2）2
18. 略
19.【详解】（1）∵，∴.
原式的分子、分母同除以，得原式 .故答案为:
【答案】，.
【分析】根据给定条件，利用同角公式，结合三角函数的符号法则求解即得.
【详解】由，得，即，
解得，而，则，
因此，
所以，.
20.略
21． 【详解】（1）依题意，当时，
可设，且，解得，
又由，解得，所以；
（2）令，
即，解得，
即至少需要经过后，学生才能回到教室.
22. 【分析】（1）分析函数的定义域与单调性，由可得出关于的不等式组，即可得解；
（2）分析可知方程在时由唯一解，分、两种情况讨论，在第一种情况下，直接验证即可；在第二种情况下，由已知条件可得出关于实数的不等式组，综合可得出实数的取值范围.
【详解】（1）解：若，，由可得，
故函数的定义域为，
因为内层函数为上的增函数，外层函数为增函数，
故函数在上为增函数，
由可得，解得
不等式的解集为.
（2）解：因为方程有唯一实数解，则方程有唯一实数解，
即时，方程有唯一实数解.
即时，方程有唯一实数解，
即方程有唯一实数解.
①若，即时，解得，此时，合乎题意；
②若，即时，解得，，
当时，解得，此时，合乎题意；
当时，由，方程有唯一解，
则或，解得或.
因此，实数的取值范围为.
