慈利一中2023年下学期高一年级第三次月考
数 学 试 卷
时量：120分钟 满分：150分
单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分）
1. （ ）
A. B. C. D.
【详解】. 故选：C.
2. 已知，则是的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件
【详解】当时，，但，则命题p推不出命题q；
当时，，则命题q推出命题p，
所以命题p是命题q的必要不充分条件. 故选：B.
3. 下列函数中，既是偶函数又在上单调递减的是（ ）
A． B． C． D．
【详解】，定义域为，
因为，所以是奇函数，A错误；
在上单调递增，故B错误；
定义域为R，且，故为偶函数，
又开口向下，在上单调递减，符合要求，C正确；
在上单调递增，故D错误. 故选：C
4. 设，，，则的大小关系为（ ）
A. B.
C. D.
【详解】，即，
，且，即，
由正切函数性质可知，即，故， 故选：D.
5. 奇函数满足，当时，，则=（ ）
A. B. C. D.
【详解】解：已知奇函数满足，
是以4为周期奇函数，
又当时，，
， 故选：A.
6. 函数在的图象大致为（ ）
A. B.
C. D.
【详解】解：根据题意，函数，，
，
则在区间上为偶函数，所以排除BC，
又由，所以排除D， 故选：A．
7. 已知函数（），若在上有两个零点，则取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【详解】，，则，
故，解得：. 故选：A
8. 已知函数，正实数a，b满足，则的最大值为（ ）
A. B. C. D.
【详解】，函数定义域为R，关于原点对称，
，
所以为奇函数，有，由解析式可以看出单调递增，
由，得，即，
为正实数，则有，当且仅当即时等号成立，
则有，所以，
得，当且仅当时等号成立，则的最小值为4. 故选：B.
多选题（每小题5分，共20分，全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分）
9. 下列说法正确的是（ ）
A. 命题的否定为：.
B. 与为同一函数
C. 若幂函数的图象过点，则
D. 函数与互为反函数，则
【详解】对于A，命题的否定为：，故A正确；
对于B，与的定义域不同，所以不为同一函数，故B不正确；
对于C，设，则，所以，所以，故C不正确；
对于D，，故，故D正确. 故选：AD
10. 下列说法错误是（ ）
A. 若终边上一点的坐标为，则
B. 若角为锐角，则为钝角
C. 若圆心角为的扇形的弧长为，则该扇形的面积为
D. 若，且，则
【详解】对于A，，故不正确；
对于B，显然不正确
对于C，设扇形的半径为，则，解得：，扇形面积，正确；
对于D，因为，所以，
所以，解得或.
因为，，且，所以，
所以，故D正确. 故选：AB.
11. 对于函数，下列说法正确的是（ ）
A. 最小正周期为 B. 其图象关于点对称
C. 对称轴方程为 D. 单调增区间
【详解】对于A选项，函数的最小正周期为，A对；
对于B选项，，B错；
对于C选项，由，可得，
即函数的对称轴方程为，C对；
对于D选项，由，解得，
所以，函数的单调增区间，D错. 故选：AC.
12. 已知函数，若方程有四个不等的实根，且，则下列结论正确的是（ ）
A. B.
C. D. 取值范围为
【详解】对于A，当时，，则，易得在上单调递减，且，
当时，，则，易得在上单调递增，且，即，
当时，，则由正弦函数的性质可得在上单调递减，在上单调递增，从而利用对数函数与正弦函数的性质，画出的图象，如图所示，
因为方程有四个不等的实根，所以与的图像有四个交点，
所以，故A正确；
对于B，结合选项A中分析可得，所以，则，故B正确；
对于C，由正弦函数的性质结合图像可知与关于对称，所以，故C正确；
对于D，当时，，令，得，所以，
又由图像可知同增同减，所以，故D错误. 故选：．
填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13. 函数的定义域为__________．
【详解】根据题意可得，，解得
即函数的定义域为. 故答案为:
14.已知函数的相邻两个零点之间的距离是，则 ．
【详解】函数的相邻两个零点之间的距离是，则有的周期，解得，
于是得，所以.
15.已知，是上的减函数， 则实数的取值范围为 ．
【详解】依题意，在上递减，所以，解得
16. 函数为定义在上的奇函数，且，对于任意，都有成立，则的解集为__________.
【详解】设函数，因为为奇函数，所以为偶函数；
因为，所以，即在为增函数；
因为，为偶函数，所以，且在为减函数；
当时，等价于，所以；
当时，等价于，所以；即的解集为.
故答案为：.
解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17. （1）求值：；
（2）已知，求的值.
【详解】（1）
【详解】（2）原式
18. 已知函数
(1)求函数的单调递减区间；
(2)求函数在区间的最大值和最小值；
(3)若函数的零点为，求
【详解】（1）由，
得的单调递减区间是.
（2）时，，
所以，当，即时，；
当，即时，.
所以函数在区间的最大值为2，最小值为.
（3）因为函数的零点为，
所以，即.
因为，
所以.
19. 设函数，．
（1）解关于x的不等式，；
（2）当时，不等式恒成立，求a的取值范围．
【小问1详解】
当时，不等式的解集为，
当时，不等式的解集为，
当时，不等式的解集为．
【小问2详解】
因为，由可得：，即，
因为，当且仅当，即时等号成立，
所以．
20. 已知定义域为的函数是奇函数．
（1）求实数a值．
（2）试判断的单调性，并用定义证明．
（3）解关于x的不等式．
【小问1详解】
由题意，故，
则，即为奇函数，满足，
所以.
【小问2详解】
在R上单调递减，证明如下：
令，则，
而，，，故，
所以在R上单调递减.
【小问3详解】
由奇函数知：，
由（2）知：，
所以，可得，不等式解集为.
21. 疫情后全国各地纷纷布局“夜经济”，以满足不同层次的多元消费，并拉动就业、带动创业，进而提升区域经济发展活力．某夜市的一位工艺品售卖者，通过对每天销售情况的调查发现：该工艺品在过去的一个月内（以30天计），每件的销售价格（单位：元）与时间（单位：天）的函数关系近似满足（为常数，且），日销售量（单位：件）与时间（单位：天）的部分数据的图表如下：
（天） 1 14 18 22 26 30
122 135 139 143 139 135
（1）给出以下三个函数模型：
①；②；③．
请你根据上面的数据图表，从中选择最合适的一种函数模型来描述日销售量与时间的变化关系，并求出该函数的解析式；
（2）已知第1天的日销售收入为244元．设该工艺品的日销售收入为（单位：元），求的最小值．
【小问1详解】
由表格中的数据知，当时间变长时，先增后减，
①③函数模型都描述的是单调函数，不符合该数据模型，
所以选择模型②：，
由函数图象对称性可知，又由表格可知，，
代入，得，解得，，
日销售量与时间的变化的关系式为；
【小问2详解】
第1天的日销售收入为244元，则，解得，则，
，
则，
当，时，，
当且仅当时，即时等号成立，
当，时，为减函数，
所以函数的最小值为，
综上所述：当时，函数取得最小值139.5元．
22．设函数（且）.
(1)判断函数的奇偶性；
(2)若，试判断函数的单调性（不需要证明）.并求使不等式对一切恒成立的t的取值范围；
(3)若，令，对都有，求实数的取值范围.
【详解】（1）因为的定义域为，关于原点对称，且，
所以为奇函数.
（2）（且），
因为，所以，
又且，所以
故函数在上单调递减，
由（1）知函数为奇函数，
所以不等式可化为，
又函数在上单调递减，所以，即恒成立，
所以，解得：.
（3）因为，所以，即，
解得或（舍去），
所以，
故，
令，由（1）可知函数为增函数，
因为，所以，
令，
∵的对称轴为，
∴，
即，
又∵对都有恒成立，
∴，即，
解得，又∵，
∴的取值范围是.慈利一中2023年下学期高一年级第三次月考
数 学 试 卷
时量：120分钟 满分：150分
一 单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分）
1. （ ）
A. B. C. D.
2. 已知，则是的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件
3. 下列函数中，既是偶函数又在上单调递减的是（ ）
A. B. C. D.
4. 设，，，则的大小关系为（ ）
A. B.
C. D.
5. 奇函数满足，当时，，则=（ ）
A. B. C. D.
6. 函数在的图象大致为（ ）
A. B.
C. D.
7.函数（），若在上有两个零点，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
8. 已知函数，正实数a，b满足，则的最大值为（ ）
A. B. C. D.
二 多选题（每小题5分，共20分，全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分）
9. 下列说法正确的是（ ）
A. 命题的否定为：.
B. 与为同一函数
C. 若幂函数的图象过点，则
D. 函数与互为反函数，则
10. 下列说法错误的是（ ）
A. 若终边上一点的坐标为，则
B. 若角为锐角，则为钝角
C. 若圆心角为的扇形的弧长为，则该扇形的面积为
D. 若，且，则
11. 对于函数，下列说法正确的是（ ）
A. 最小正周期为 B. 其图象关于点对称
C. 对称轴方程为 D. 单调增区间
12. 已知函数，若方程有四个不等的实根， 且，则下列结论正确的是（ ）
A. B.
C. D. 取值范围为
三 填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13. 函数的定义域为 ．
14.已知函数的相邻两个零点之间的距离是，则 ．
15.已知，是上的减函数， 则实数的取值范围为 ．
16. 函数为定义在上的奇函数，且，对于任意，都有成立，则的解集为 ．
四 解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17. （1）求值：；
（2）已知，求的值.
18. 已知函数
(1)求函数的单调递减区间；
(2)求函数在区间的最大值和最小值；
(3)若函数的零点为，求
19. 设函数，．
（1）解关于x的不等式，；
（2）当时，不等式恒成立，求a的取值范围．
20. 已知定义域为的函数是奇函数．
（1）求实数a值．
（2）试判断的单调性，并用定义证明．
（3）解关于的不等式．
21. 疫情后全国各地纷纷布局“夜经济”，以满足不同层次的多元消费，并拉动就业、带动创业，进而提升区域经济发展活力．某夜市的一位工艺品售卖者，通过对每天销售情况的调查发现：该工艺品在过去的一个月内（以30天计），每件的销售价格（单位：元）与时间（单位：天）的函数关系近似满足（为常数，且），日销售量（单位：件）与时间（单位：天）的部分数据的图表如下：
（天） 1 14 18 22 26 30
122 135 139 143 139 135
（1）给出以下三个函数模型：
①；②；③．
请你根据上面的数据图表，从中选择最合适的一种函数模型来描述日销售量与时间的变化关系，并求出该函数的解析式；
（2）若第1天的日销售收入为244元．设该工艺品的日销售收入为，求的最小值．
22．设函数（且）.
(1)判断函数的奇偶性；
(2)若，试判断函数的单调性（不需要证明）.并求使不等式 对一切恒成立的的取值范围；
(3)若，令，对都有，求实数的取值范围．
