2.1.2 椭圆的简单几何性质(四)
复习导入
3. 当m取何值直线l : y＝x＋m与椭圆9x2＋16y2＝144相切、相交、相离.
讲授新课
例1已知椭圆的两个焦点为离心率为
(1)求椭圆的方程；
(2)设直线l：y=x+m，若l与椭圆交于P、Q两点，且∣PQ∣等于椭圆的短轴长，求m的值.
EMBED Equation.3
例2 已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，直线y＝x＋1与该椭圆交于点P、Q，且
求椭圆的方程.
例3 已知椭圆的中心在坐标原点O，焦点在x轴上，椭圆的短轴端点和焦点所组成的四边形为正方形，两准线间的距离为4.
(1)求椭圆的方程；
(2)直线l过点P(0,2)且与椭圆相交于A、B两点，当△AOB面积取得最大值时，求直线l的方程.
课后作业
《学案》P38面双基训练.2.1.1椭圆及其标准方程（一）
教学目标：理解椭圆的定义及焦点、焦距的概念，掌握椭圆的标准方程及其推导方法.
重点难点分析
教学重点：椭圆的定义及椭圆的标准方程.
教学难点：椭圆标准方程的推导.
教学设计： 【动手实践】取一条一定长的细绳，把它的两端固定在画图板上的F1和F2两点，当绳长大于F1和F2的距离时，用笔尖把绳子拉紧，使笔尖在图板上慢慢
移动，看看你会得到什么图形
【讲授新课】1．椭圆的定义：把平面内与两个定点的距离之和等于常数（大于）的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做焦距.
2．椭圆标准方程的推导：
如图，建立直角坐标系，使轴经过点，并且点O与线段的中点重合.
设点 是椭圆上任一点，椭圆的焦距为（＞0）.焦点的坐标分别是，又设M与的距离的和等于常数.
椭圆的标准方程：（＞＞0）
它所表示的椭圆的焦点在轴上，焦点是、，且.
如果使点在轴上，点的坐标是，
则椭圆方程为（＞＞0）
练习： 1. 判断下列椭圆的焦点位置，指出焦点的坐标：
； ；
2. 设、，且，则点的轨迹是___________________.
例1．方程表示焦点在轴上的椭圆，求实数的取值范围.
解：由题意得 即
故所求实数的取值范围是
例2．已知椭圆的一个焦点为（0，2），求的值.
解：方程变形为 ∵焦点在轴上， ∴，
又且， ∴， ∴
例3．求适合下列条件的椭圆的标准方程：
（1） 两个焦点坐标分别是、（4，0），椭圆上一点P到两焦点的距离的和等于10；
（2） 两个焦点的坐标分别是、（0，2），并且椭圆经过点.
解：（1）因为椭圆的焦点在轴上，所以设它的标准方程为（＞＞0）
∵，∴，又，∴
所求椭圆的标准方程为
（2）因为椭圆的焦点在轴上，所以设它的标准方程为（＞＞0）
由椭圆的定义知
∴ 又 ∴
所以所求圆的方程为
【课堂小结】椭圆的定义；椭圆的标准方程：
（1）若焦点在轴上，则标准方程为（＞＞0）
（2）若焦点在轴上，则标准方程为（＞＞0）
【课后作业】
1. 阅读教科书； 2. 《习案九》第1、2题.2.1椭圆及其标准方程(四)
复习引入
1. 椭圆的定义
2. 椭圆的标准方程
或(a＞b＞0)
3. 椭圆中a，b，c的关系？
练习 求经过点A(0, 2)和B的椭圆的标准方程.
例1 一动圆与圆x2＋y2＋6x＋5＝0外切，同时与圆x2＋y2－6x－91＝0内切，求动圆圆心的轨迹方程.
解： 设动圆圆心为P (x, y)，半径为R，两已知圆圆心分别为O1，O2.
由 x2+y2+6x+5=0 得： (x+3)2+y2=4；由 x2+y26x91=0 得： (x3)2+y2=100
故O1(3,0), O2(3,0), 且圆O1在圆O2内部.
圆P与圆O1外切知：|O1P|=R+2,由圆P与圆O2内切知：|O2P|=10R.
所以|O1P|+|O2P|=12，而|O1O2|=6，可知P点轨迹为椭圆，且2a=12, a=6;
2c=6, c=3; 所以b2=a2c2=369=27
例2
解：
练习
1. 椭圆的中心在原点，对称轴为坐标轴，椭圆短轴的一个顶点B与两个焦点F1、F2组成的三角形的周长是
2.如图所示，已知定点A(2,0)及圆B:(x＋2)2＋y2＝25，圆心为B，点P在圆上运动，若线段AP的垂直平分线交BP于Q，求Q点轨迹方程.
课外作业
1. 阅读教科书；
2. 《学案》第十课时.2.1.2椭圆的简单几何性质（一）
教学目标： 椭圆的范围、对称性、对称中心、离心率及顶点（截距）.
重点难点分析
教学重点：椭圆的简单几何性质.
教学难点：椭圆的简单几何性质.
教学设计：
【复习引入】
1. 椭圆的定义是什么？
2. 椭圆的标准方程是什么？
【讲授新课】
利用椭圆的标准方程研究椭圆的几何性质．以焦点在x轴上椭圆为例
(a＞b＞0)．
1．范围
椭圆上点的坐标(x, y)都适合不等式即x2≤a2，y2≤b2，∴|x|≤a，|y|≤b．
椭圆位于直线x＝±a和y＝±b围成的矩形里．
2．对称性
在椭圆的标准方程里，把x换成－x，或
把y换成－y，或把x、y同时换成－x、－y时，
方程有变化吗？这说明什么？
椭圆关于y轴、x轴、原点都是对称的．
坐标轴是椭圆的对称轴．
原点是椭圆的对称中心．
椭圆的对称中心叫做椭圆的中心．
3．顶点
只须令x＝0，得y＝±b，点B1(0,－b)、B2(0, b)是椭圆和y轴的两个交点；令y＝0，
得x＝±a，点A1(－a,0)、A2(a,0)是椭圆和x轴的两个交点．椭圆有四个顶点：A1(－a, 0)、
A2(a, 0)、B1(0, －b)、B2(0, b)．椭圆和它的对称轴的四个交点叫椭圆的顶点．
线段A1A2、B1B2分别叫做椭圆的长轴和短轴.
长轴的长等于2a. 短轴的长等于2b.a叫做椭圆的
长半轴长．b叫做椭圆的短半轴长．
|B1F1|＝|B1F2|＝|B2F1|＝|B2F2|＝a．
在Rt△OB2F2中，|OF2|2＝|B2F2|2－|OB2|2，
即c2＝a2－b2．
小 结 ：
由椭圆的范围、对称性和顶点，再进行描点画图，只须描出较少的点，就可以得到较
正确的图形.
4．离心率
椭圆的焦距与长轴长的比，叫做椭圆的离心率．∵a＞c＞0，∴0＜e＜1．
EMBED Equation.3
练习 教科书P.41练习第5题．
例1 求椭圆16x2＋25y2＝400的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标，并用
描点法画出它的图形．
解：把已知方程化成标准方程这里a＝5，b＝4，所以
椭圆的长轴和短轴的长分别是2a＝10和2b＝8，.
焦点为F1(－3, 0)、F2(3, 0)，顶点是A1( 5,0)、A2(5,0)，B1(0, 4)、B2(0,4)．
把已知方程化成标准方程
x 0 1 2 3 4 5
y 4 3.9 3.7 3.2 2.4 0
先描点画出椭圆的一部分，再利用椭圆的对称性质画出整个椭圆．
椭圆的简单作法:
(1) 以椭圆的长轴、短轴为邻边画矩形；
(2) 由矩形四边的中点确定椭圆的四个顶点；
(3) 用曲线将四个顶点连成一个椭圆.
例2 求适合下列条件的椭圆的标准方程：
(1) 经过点P(－3, 0)、Q(0,－ 2);
解：(1)由椭圆的几何性质可知，以坐标轴为对称轴的椭圆与坐标轴的交点就是椭圆的顶点.
即P、Q分别是椭圆长轴和短轴的一个端点. 于是得a＝3，b＝2.
又因为长轴在x轴上，所以椭圆的标准方程是
(2) 由已知，2a＝20 ，∴a＝10 ，c＝6. ∴b2＝102－62＝64.
∵椭圆的焦点可能在x轴上，也可能在y轴上,
∴所求椭圆的标准方程为
练习 求经过点P (4, 1)，且长轴长是短轴长的2倍的椭圆的标准方程.
解：
依题意有 得
故椭圆方程为
【课后作业】
1. 阅读教科书P.40-P.41；
2. 《习案》、《学案》112.1.1椭圆及其标准方程（二）
教学目标：理解椭圆的定义及焦点、焦距的概念，掌握椭圆的标准方程及其推导方法.
重点难点分析
教学重点：椭圆的定义及椭圆的标准方程.
教学难点：椭圆标准方程的推导.
教学设计：
【讲授新课】
【复习引入】
1．椭圆的定义：把平面内与两个定点的距离之和等于常数（大于）的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做焦距(设为2c) .
2.椭圆的标准方程：
EMBED Equation.3 （＞＞0）
焦点F1( c, 0)、F2(c, 0) 在x轴上,
且c2＝a2－b2.
EMBED Equation.3 （＞＞0）
焦点F1(0, c)、F2(0,c)在y轴上
且c2＝a2－b2.
【讲授新课】
练习.下列哪些是椭圆方程 如果是,请指出其焦点所在的坐标轴．
对椭圆及其标准方程的理解：
⑴ 椭圆标准方程中，哪个分母大，焦点就在相应的哪条坐标轴上；
⑵ a、b、c始终满足c2＝a2－b2，焦点在 x轴上为(－c, 0) 、 (c, 0) ，在 y 轴上为(0, －c)、(0, c)；
⑶ 形如 Ax2＋By2＝C 的方程中，只要A、B、C同号(A≠B)，就表示椭圆．
例1 已知B、C是两个定点, |BC| ＝6, 且△ ABC的周长等于16, 求顶点A的轨迹方程.
解: 如右图建立坐标系, 使x轴经过点B、C，原点O与BC的中点重合. ∵|AB|＋|AC|＋|BC|＝16, |BC|＝6，∴|AB|＋|AC|＝10， 则点A的轨迹是椭圆,且2c＝6，2a＝10，
∴ c＝3，a＝5，b2＝52－32＝16.
但当点A在直线BC上，A、B、C三点不能构成三角形，
所以点A的轨迹方程是(y≠0).
例2.求适合下列条件的椭圆的标准方程：
(1)两个焦点的坐标分别为(－4,0)和(4,0)，且椭圆经过点(5,0)；
(2)焦点在y轴上，且经过两个点(0,2)和(1,0)；
(3)中心在原点，且经过点P(3,0)，a＝3b；
(4)求经过点A(3, )、B(2,3)的椭圆的标准方程.
练习
1. 如果椭圆F1的距离等于6，那么点P到另一个焦点F2的距离是____14____.
2. 已知椭圆mx2＋3y2－6m＝0的一个焦点为(0, 2)，求m的值.
3. 求适合下列条件的椭圆的标准方程：
(1) a＋c＝10， a－c＝4；
(2)求经过两点的椭圆的标准方程.
4. 椭圆的左、右焦点为F1、F2 ，一直线过F1交椭圆于A、B，则△ABF2的周长为( )
A. 32 B. 16 C. 8 D. 4
【课后作业】
1. 阅读教科书； 2. 《学案》第九课时.2.1.1椭圆及其标准方程（三）
教学目标：理解椭圆的定义及焦点、焦距的概念，掌握椭圆的标准方程及其推导方法.
重点难点分析
教学重点：椭圆的定义及椭圆的标准方程.
教学难点：椭圆标准方程的推导.
教学设计：
【讲授新课】
【复习引入】
1．椭圆的定义：把平面内与两个定点的距离之和等于常数（大于）的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做焦距(设为2c) .
2.椭圆的标准方程：
（＞＞0） （＞＞0）
【讲授新课】
EMBED Equation.3 解: (相关点法)设点M(x, y), 点P(x0, y0),
则x＝x0, y＝ 得x0＝x， y0＝2y.
∵x02＋y02＝4, 得 x2＋(2y)2＝4,
即所以点M的轨迹是一个椭圆.
解法二:设线段PQ中点为M(x, y)．∵圆的参数方程：
∴点M轨迹的参数方程：M点的轨迹方程：
EMBED Equation.3 解: 设顶点C的坐标为(x, y). 由题意得
∴顶点C的轨迹方程为(x≠0). (y≠±6)
EMBED Equation.3
(x≠±6) (y≠0)
课堂练习
1. 如图，线段AB的两个端点A、B分别在x轴、y轴上滑动，|AB|＝5，点M是AB上一点.且|AM|＝2，点M随线段AB的运动而变化，求点M的轨迹方程.
【课堂小结】
1.两种椭圆的标准方程：
当焦点在轴上，则标准方程为（＞＞0）
当焦点在轴上，则标准方程为（＞＞0）
2.求轨迹方程的方法: 定义法、待定系数法、相关点法、直接法
【课后作业】
1. 阅读教科书； 2. 《习案》作业十.2.1.2 椭圆的简单几何性质(三)
一、焦半径
二、离心率
三、综合练习
3. F1、F2 为椭圆的两个焦点，过F2的直线交椭圆于P、Q两点，PF1⊥PQ，且|PF1|＝|PQ|，求椭圆的离心率.
4. 如图所示，“嫦娥一号”探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点P变轨进入以月球球心F为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在P点第二次变轨进入仍以F为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行，最终卫星在P点第三次变轨进入以F为圆心的轨道Ⅲ绕月飞行，若用2c1和2c2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用2a1和2a2分别表示
椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴的长，给出下列式子：
1 a1+c1=a2+c2；②a1－c1=a2－c2；③c1a2＞a1c2；④ ．
其中正确式子的序号是（ B ）
A.①③ B.②③ C. ①④ D.②④2.1.2椭圆的简单几何性质（二）
教学目标： 椭圆的范围、对称性、对称中心、离心率及顶点（截距）.
重点难点分析
教学重点：椭圆的简单几何性质.
教学难点：椭圆的简单几何性质.
教学设计：
【复习引入】
1．椭圆的长轴长为 18 ，短轴长为 6 ，半焦距为 ，离心率为 ，焦点坐标为 ，顶点坐标为，.
【讲授新课】
例1 如图，设M(x，y)与定点F(4，0)的距离和它到直线l：的距离的比是常数 ，
求点M的轨迹方程．
练习1
1.求下列椭圆焦点坐标和准线方程：
2. 椭圆上的点M到左准线的距离是5，求M到右焦点的距离.
例2. 求|PF1|的最小值和最大值.
练习2
1.点P与定点F（2，0）的距离与它到定直线x=8的距离之比为1：2，求点P的轨迹方程.
2.点P与定点F（2，0）的距离与它到定直线x=2的距离之比为1：2，求点P的轨迹方程.
例3 如图，一种电影放映灯的反射镜面是旋转椭圆面的一部分．过对称的截口BAC是椭圆的一部分，灯丝位于椭圆的一个焦点F1上，片门位于另一个焦点F2上，由椭圆一个焦点F1发出的光线，经过旋转椭圆面反射后集中到另一个焦点F2．已知
．建立适当的坐标系，求截口BAC所在椭圆的方程．
例4如图所示，我国发射的第一颗人造地球卫星运行轨道是以地心(地球的中心)F2为一个焦点的椭圆，已知它的近地点A(离地面最近的点)距地面439km，远地点B(离地面最远的点)距地面2384km，并且F2、A、B在同一直线上，地球半径约为6371km，求卫星运行的轨道方程(精确到1km)．
例5 求适合下列条件的椭圆的离心率.
(1) 从短轴端点看两个焦点，所成视角为直角；
(2) 两个焦点间的距离等于长轴的端点与短轴的端点间的距离.
练习3
1. 已知椭圆mx2＋5y2＝5m的离心率
思考 F1、F2 为椭圆的两个焦点，过F2的直线交椭圆于P、Q两点，PF1⊥PQ，且|PF1|＝|PQ|，求椭圆的离心率.
【课后作业】
《习案》学案十一，习案十二1、2.
备讲题
例6 已知点M为椭圆的上任意一点，F1、F2分别为左右焦点； A点坐标为(1，2) ，求的最小值.
变式1：求的最小值；
变式2：求的最小值；
