5.6.3函数y＝Asinωx＋φ的图象及三角函数模型的简单应用（含解析）

函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及三角函数模型的简单应用
1．给定性质：a：最小正周期为π；b：图象关于直线x＝对称．则下列四个函数中，同时具有性质ab的是________．
①y＝sin；②y＝sin；
③y＝sin|x|；④y＝sin.
2．若函数f(x)＝2sinωx(ω>0)在上单调递增，则ω的最大值为________．
3．有一种波，其波形为函数y＝sinx的图象，若在区间[0，t]上至少有2个波峰(图象的最高点)，则正整数t的最小值是________．
4．已知函数f(x)＝asin2x＋cos2x(a∈R)图象的一条对称轴方程为x＝，则a的值为________．
5．已知函数f(x)＝sin(ω＞0)，将函数y＝f(x)的图象向右平移π个单位长度后，所得图象与原函数图象重合，则ω的最小值等于(　　)
A. B．3
C．6 D．9
6．函数y＝sin3x的图象可以由函数y＝cos3x的图象(　　)
A．向左平移个单位得到
B．向右平移个单位得到
C．向左平移个单位得到
D．向右平移个单位得到
7. 如果函数y＝cos(2x＋φ)的图象关于点中心对称，那么|φ|的最小值为(　　)
A. B.
C. D.
8．已知ω>0，函数f(x)＝sin在单调递减，则ω的取值范围是(　　)
A.
B.
C.
D．(0，2]
9．函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的部分图象如图K20－1所示，为了得到g(x)＝sin2x的图象，则只要将f(x)的图象(　　)
图K20－1
A．向右平移个单位长度
B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度
D．向左平移个单位长度
10．已知函数y＝sin(ωx＋φ)(ω>0，－π≤φ<π)的图象如图K20－2所示，则φ＝________.
图K20－2
11．当函数y＝sinx－cosx(0≤x<2π)取得最大值时，x＝________．
12．若将函数y＝sin(ω>0)的图象向右平移个单位长度后，与函数y＝sin的图象重合，则ω的最小值为________．
13．若14．(10分)如图K20－3是某简谐运动的一段图象，它的函数模型是f(x)＝Asin(ωx＋φ)(x≥0)，其中A>0，ω>0，－<φ<.
(1)根据图象求函数y＝f(x)的解析式；
(2)将函数y＝f(x)图象上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到函数y＝g(x)的图象，求函数y＝g(x)在上的最大值和最小值．
图K20－3
15．(13分)设函数f(x)＝a·b，其中向量a＝(2cosx，1)，b＝(cosx，sin2x＋m)．
(1)求函数f(x)的最小正周期和在[0，π]上的单调递增区间；
(2)当x∈时，f(x)的最大值为4，求m的值．
16．(12分)如图K20－4是某简谐运动的一段图象，其函数模型是f(x)＝Asin(ωx＋φ)(x≥0)，其中A>0，ω>0，－<φ<.
(1)根据图象求函数y＝f(x)的解析式；
(2)若函数g(x)＝f，实数α满足0<α<π，且g(x)dx＝3，求α的值．
图K20－4
1．④　[解析] ④中，∵T＝＝π，又2×－＝，所以x＝为其对称轴．
2.　[解析] 由题意，得π≤，即π≤，∴0<ω≤，则ω的最大值为.
3．5　[解析] 函数y＝sinx的周期T＝4，若在区间[0，t]上至少出现两个波峰，则t≥T＝5.
4.　[解析] ∵x＝是对称轴，∴f(0)＝f，即cos0＝asin＋cos，∴a＝.
【能力提升】
5．B　[解析] f(x)＝sin(ω＞0)向右平移π个单位长度得f(x)＝sin，所以－＝2kπ，ωmin＝3.选B.
6．A　[解析] 本题主要考查三角函数图象的变换．属于基础知识、基本运算的考查．
y＝sin3x＝cos＝cos，故函数y＝cos3x的图象向左平移个单位得到y＝sin3x.
7．A　[解析] 由对称中心可知×2＋φ＝＋kπ，
即φ＝＋kπ－＝(k－2)π－，显然当k＝2时，|φ|min＝，选A.
8．A　[解析] 因为当ω＝1时，函数y＝sin＝sin在上是单调递减的，故排除B，C项；当ω＝2时，函数y＝sin＝sin在上不是单调递减的，故排除D项．故选A.
9．A　[解析] 函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)＝sin，为了得到g(x)＝sin2x的图象，则只要将f(x)的图象向右平移个单位长度，故选A.
10.　[解析] 由图象知函数y＝sin(ωx＋φ)的周期为2＝，∴＝，∴ω＝.
∵当x＝π时，y有最小值－1，
因此×＋φ＝2kπ－(k∈Z)．
∵－π≤φ<π，∴φ＝.
11.　[解析] 本小题主要考查利用三角函数的两角和与差公式变形求最值，解题的突破口为化为振幅式并注意定义域．
函数可化为y＝2sin，由x∈[0，2π)得x－∈，∴x－＝时，即x＝时，函数有最大值2，故填.
12.　[解析] 依题意，将函数y＝sin(ω>0)的图象向右平移个单位长度后，所对应的函数是y＝sin(ω>0)，它的图象与函数y＝sin的图象重合，所以－ω＝＋2kπ(k∈Z)，解得ω＝－6k(k∈Z)．因为ω>0，所以ωmin＝.
13．－8　[解析] 1，令tan2x－1＝t>0，则y＝tan2xtan3x＝＝＝－2≤－8，当且仅当t＝，即t＝1，即tanx＝时取等号，故填－8.
14．解：(1)由函数图象及函数模型f(x)＝Asin(ωx＋φ)知A＝2；
由＝T＝－＝4π，得ω＝，
由最高点得，×＋φ＝2kπ＋(k∈Z)，
∴φ＝－＋2kπ(k∈Z)，又－<φ<，
∴φ＝－.
∴所求函数解析式为y＝f(x)＝2sin(x≥0)．
(2)方法一：将y＝f(x)＝2sin图象上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到y＝g(x)＝2sin的图象，
∵≤x≤π，∴≤x－≤，
当x－＝，即x＝时，g(x)有最大值2；
当x－＝，即x＝π时，g(x)有最小值1.
方法二：将y＝f(x)＝2sin图象上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到y＝g(x)＝2sin的图象，
令t＝x－，∵函数y＝2sint的单调递增区间是，k∈Z，
由－＋2kπ≤x－≤＋2kπ，得－＋2kπ≤x≤＋2kπ，k∈Z，
设A＝，B＝，
则A∩B＝，
∴函数y＝g(x)在区间上单调递增，
同理可得，函数y＝g(x)在区间上单调递减．
又∵g＝，g＝2，g(π)＝1，
∴函数y＝g(x)在上的最大值为2，最小值为1.
15．解：(1)∵f(x)＝a·b＝2cos2x＋sin2x＋m
＝2sin＋m＋1，
∴函数f(x)的最小正周期T＝＝π.
令－＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ，k∈Z，得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，故f(x)的单调增区间为，k∈Z.因此f(x)在[0，π]上的单调递增区间为，.
(2)当x∈时，∵f(x)单调递增，∴当x＝时，f(x)取得最大值为m＋3，即m＋3＝4，解之得m＝1，∴m的值为1.
【难点突破】
16．解：(1)由函数图象及函数模型f(x)＝Asin(ωx＋φ)，知A＝2；
由T＝－＝π，得T＝2π，
∴ω＝＝1，即f(x)＝2sin(x＋φ)，
把(0，－1)代入上式，得sinφ＝－，
∵－<φ<，∴φ＝－，
∴所求函数的解析式为y＝f(x)＝2sin.
(2)由(1)知g(x)＝f＝2sinx，
∵g(x)dx＝3，∴2sinxdx＝－2cosx)α＝－2cosπ－(－2cosα)＝3，解得cosα＝，
又实数α满足0<α<π，则所求α的值为.
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