3.1 函数的概念及其表示 同步练习（含解析）

函数的概念及其表示
(时间：35分钟　分值：80分)
1．下列集合A到集合B的对应f是函数的是(　　)
A．A＝{－1，0，1}，B＝{－1，0，1}，f：A中的数平方
B．A＝{0，1}，B＝{－1，0，1}，f：A中的数开方
C．A＝Z，B＝Q，f：A中的数取倒数
D．A＝R，B＝{正实数}，f：A中的数取绝对值
2．设f(x)＝则f(5)的值为(　　)
A．10 B．11 C．12 D．13
3．如图K4－1，直角梯形OABC中，AB∥OC，AB＝1，OC＝BC＝2，直线l：x＝t截该梯形所得位于l左边图形面积为S，则函数S＝f(t)的图象大致为(　　)
图K4－1
　图K4－2
4．某学校要召开学生代表大会，规定各班每10人推选一名代表，当各班人数除以10的余数大于6时再增选一名代表，那么，各班可推选代表人数y与该班人数x之间的函数关系用取整函数y＝[x]([x]表示不大于x的最大整数)可以表示为(　　)
A．y＝ B．y＝
C．y＝ D．y＝
5．函数y＝的定义域为(　　)
A．(0，8] B．(－2，8]
C．(2，8] D．[8，＋∞)
6．下列函数中与函数y＝x相同的是(　　)
A．y＝|x| B．y＝
C．y＝ D．y＝
7．函数的图象与方程的曲线有着密切的联系，如把抛物线y2＝x的图象绕原点沿逆时针方向旋转90°就得到函数y＝x2的图象．若把双曲线－y2＝1绕原点按逆时针方向旋转一定角度θ后，能得到某一个函数的图象，则旋转角θ可以是(　　)
A．30° B．45° C．60° D．90°
8．若f(x)＝，则f(x)的定义域为(　　)
A．(－1，0) B．(－1，＋∞)
C．(－1，0)∪(0，＋∞) D．(－∞，－1)
9．函数y＝(x∈R)的值域是________．
10．已知函数f(x)＝，那么f(1)＋f(2)＋f＋f(3)＋f＋f(4)＋f＝________．
11．若已知函数f(x＋1)的定义域为[－2，3]，则f(2x2－2)的定义域是__________________．
12．(13分)设计一个水渠，其横截面为等腰梯形(如图K4－3)，要求满足条件AB＋BC＋CD＝a(常数)，∠ABC＝120°，写出横截面的面积y与腰长x的关系式，并求它的定义域和值域．
图K4－3
13．(12分)已知函数f(x)，g(x)同时满足：g(x－y)＝g(x)·g(y)＋f(x)f(y)，且f(－1)＝－1，f(0)＝0，f(1)＝1，求g(0)，g(1)，g(2)的值．
函数的概念及其表示
(时间：35分钟　分值：80分)　　　　　　　　　　　　　　　　
1．若f(x)＝，则方程f(4x)＝x的根是(　　)
A．－2 B．2 C．－ D.
2．设集合A和B都是自然数集合N*，映射f：A→B把集合A中的元素n映射到集合B中的元素2n＋n，则在映射f下，集合B的元素20在集合A中对应的元素是(　　)
A．2 B．3
C．4 D．5
3．下列各组中的两个函数是同一函数的是(　　)
A．f(x)＝(x－1)0与g(x)＝1
B．f(x)＝x与g(x)＝
C．f(x)＝与g(x)＝
D．f(x)＝与g(t)＝
4．已知f(x)＝x2－2x，g(x)＝x－2，则f[g(2)]与g[f(2)]的大小关系是(　　)
A．f[g(2)]>g[f(2)]
B．f[g(2)]＝g[f(2)]
C．f[g(2)]D．无法确定
5．设A＝{x|0≤x≤2}，B＝{y|1≤y≤2}，在下列各图中，能表示从集合A到集合B的函数的是(　　)
图K4－4
6．设函数f(x)＝则使得f(x)≥1的自变量x的取值范围为(　　)
A．(－∞，－2]∪[0，10]
B．(－∞，－2]∪[0，1]
C．(－∞，－2]∪[1，10]
D．[－2，0]∪[1，10]
7．函数f(x)＝的最大值是(　　)
A. B. C. D.
8．设函数f(x)(x∈N)表示x除以3的余数，对x，y∈N都有(　　)
A．f(x＋3)＝f(x) B．f(x＋y)＝f(x)＋f(y)
C．3f(x)＝f(3x) D．f(x)f(y)＝f(xy)
9．[2013·中山模拟] 函数y＝＋的定义域是________．
10．设f(x)＝且f(2)＝1，则f(f())的值为________．
11．设f(x)＝lg，则f＋f的定义域是________．
12．(13分)设f(x)＝，则是否存在实数a，使得至少有一个正实数b，使函数f(x)的定义域和值域相同？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由．
13．(1)(6分)值域为{2，5，10}，对应关系为y＝x2＋1的函数的个数为(　　)
A．1 B．27
C．39 D．8
(2)(6分)已知映射f：(x，y)→(，)，在△OAB中，O(0，0)，A(1，3)，B(3，1)，则三角形OAB在映射f的作用下得到的图形所围成的面积是(　　)
A. B.
C. D．2
1．A　[解析] 选项B中集合A中的元素1对应着集合B中的元素±1，不符合函数定义中一个自变量的值对应着唯一的函数值的条件；选项C中的元素0取倒数没有意义，也不符合函数定义中集合A中任意元素都得对应着唯一函数值的要求；选项D中集合A中元素0在集合B中没有元素与其对应，也不符合函数定义．只有选项A符合函数定义．
2．B　[解析] f(5)＝f(f(11))＝f(9)＝f(f(15))＝f(13)＝11.
3．C　[解析] 函数解析式f(t)＝
4．B　[解析] 方法一：特殊取值法，若x＝56，则y＝5，排除C，D.若x＝57，y＝6，排除A.所以选B.
方法二：设x＝10m＋α(0≤α≤9)．当0≤α≤6时，＝＝m＝；
当6<α≤9时，＝＝m＋1＝＋1.所以选B.
【能力提升】
5．B　[解析] 由 －26．D　[解析] 两个函数相同，必须定义域相同，对应关系相同．y＝与y＝x相同．
7．C　[解析] 根据函数的概念，任何与x轴垂直的直线最多与函数图象有一个公共点，因此要把双曲线的渐近线y＝x逆时针旋转60°使之与y轴重合才能满足要求．
8．C　[解析] 因f(x)＝，x＋1>0，x>－1，且x＋1≠1，x≠0，所以x∈(－1，0)∪(0，＋∞)．
9．[0，1)　[解析] 注意到x2≥0，故可以先解出x2，再利用函数的有界性求出函数值域．
由y＝，得x2＝，∴≥0，解之得0≤y<1.
10.　[解析] f(x)＋f＝1，所以f(2)＋f＝f(3)＋f＝f(4)＋f＝1，且f(1)＝，故得.
11.　[解析] ∵f(x＋1)的定义域为[－2，3]，即其自变量x的取值范围是－2≤x≤3，若令t＝x＋1，则－1≤t≤4，即关于t的函数f(t)的定义域为{t|－1≤t≤4}，从而要使函数f(2x2－2)有意义，只需－1≤2x2－2≤4，解得－≤x≤－或≤x≤.∴f(2x2－2)的定义域为.
12．解：∵AB＋BC＋CD＝a，∴BC＝EF＝a－2x>0，即0∵∠ABC＝120°，∴∠A＝60°，∴AE＝DF＝，BE＝x，
y＝(BC＋AD)·BE＝
＝(2a－3x)x＝－(3x2－2ax)＝－＋a2，
故当x＝时，y有最大值a2，得它的定义域为和值域为.
13．解：令x＝y得：f2(x)＋g2(x)＝g(0)，再令x＝0，即得g(0)＝0，或1，若g(0)＝0，令x＝y＝1时，得g2(1)＋1＝0，此式不成立，
故g(0)＝1；
而g(0)＝g(1－1)＝g(1)g(1)＋f(1)f(1)，即1＝g2(1)＋1，所以g(1)＝0；
那么g(－1)＝g(0－1)＝g(0)g(1)＋f(0)f(1)＝0，
g(2)＝g[1－(－1)]＝g(1)g(－1)＋f(1)f(－1)＝－1.
1．D　[解析] f(4x)＝，依题意，有＝x，解得x＝.
2．C　[解析] 根据已知，20＝2n＋n，分别将选项代入检验，知当n＝4时成立．
3．D　[解析] A中的两个函数定义域不同，前者要求x≠1，而后者定义域为R，因而不是同一函数；B中的两个函数虽然定义域相同，但可以看出它们的值域明显不同，因此也能断定它们不是同一函数；C中的两个函数虽然定义域和值域都为实数集R，但对应关系不同，因而也不是同一函数；D中两个函数表面看来有区别，但由于它们的定义域都为正实数集，对应关系也一样，从而保证值域相同，所以这两个函数是同一函数，即正确选项为D.
4．A　[解析] g(2)＝0，∴f[g(2)]＝f(0)＝0，而f(2)＝0，
∴g[f(2)]＝g(0)＝－2，故选A.
5．D　[解析] 根据函数定义，集合A中的任何一个元素在集合B中都有唯一确定的元素与之对应．选项A中，集合A中的在内的元素在集合B没有元素与之对应；选项B中，集合A中在内的元素在集合B中没有元素与之对应；选项C中，集合A中在[0，2)内的一个元素对应集合B中的两个元素；根据定义选项D中的图符合函数的定义．
6．A　[解析] 当x<1时，由(x＋1)2≥1，解得x≤－2或x≥0，所以x∈(－∞，－2]∪[0，1)；当x≥1时，4－≥1，所以x－1≤9，解得x≤10，所以x∈[1，10]，故选A.
7．D　[解析] 1－x(1－x)＝＋≥，所以0<≤.
8．A　[解析] 由于x＋3与x被3除时有相同的余数，∴f(x＋3)＝f(x)，选A.
9．[1，2)∪(2，3)　[解析] 实数x满足解该不等式组得1≤x<2或210．8　[解析] 由f(2)＝logt(22－1)＝1得t＝3，所以f()＝log3(5－1)＝log34，∴f(f())＝f(log34)＝2·3log34＝8.
11．(－4，－1)∪(1，4)　[解析] f(x)的定义域是(－2，2)，故应有－2<<2且－2<<2，解得－412．解：要使解析式f(x)＝有意义，
则ax2＋bx＝x(ax＋b)≥0.
当a>0时，函数的定义域为∪[0，＋∞)，由于函数的值域为非负数，因此a>0不符合题意；
当a＝0时，f(x)＝，此时函数的定义域为[0，＋∞)，函数的值域也为[0，＋∞)，符合题意；
当a<0时，函数的定义域为，又f(x)＝＝，
∵0<－<－，∴当x＝－时，函数f(x)有最大值，由题意有－＝，即a2＝－4a，解得a＝－4.
综上满足条件时a的值为0或－4.
13．(1)B　(2)A　[解析] (1)分别由x2＋1＝2，x2＋1＝5，x2＋1＝10解得x＝±1，x＝±2，x＝±3，
由函数的定义，定义域中元素的选取分四种情况：
①取三个元素：有C·C·C＝8种；
②取四个元素：先从±1，±2，±3三组中选取一组C，再从剩下的两组中选两个元素C·C，故共有C·C·C＝12种；
③取五个元素：C＝6种；
④取六个元素：1种．
由分类计数原理，共有8＋12＋6＋1＝27种．
(2)线段OA满足y＝3x(0≤x≤1)，线段OA上的点(x，y)在映射f的作用下为(，)，设为(x′，y′)，则x′＝，y′＝，故y′＝x′(0≤x′≤1)，仍为线段；线段OB满足y＝x(0≤x≤3)，线段OB上的点(x，y)在映射f的作用下为，，仍为线段且满足y′＝x′(0≤x′≤)；线段AB满足y＝4－x(1≤x≤3)，线段AB上的点(x，y)在映射f的作用下为(，)，满足x′2＋y′2＝4(1≤x′≤，1≤y′≤)，是一段圆弧，故所围成的图形是半径为2，圆心角为的扇形，面积为，故选A.
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