4.2.2等差数列的前n项和公式（第三课时） 课件（共20张PPT）

(共21张PPT)
4.2.2 等差数列的前n项和公式
(第三课时)
思考：我们发现，等差数列{an}的前n项和公式 可化简为 ， 这个函数式与函数 有什么关系？
当d=0 时，Sn的图象是一条直线上的均匀分布的点.
当d≠0 时， 是二次函数
当x = n时的函数值.
几何意义：前n项和公式Sn的图象是一条过坐标原点的抛物线上
孤立的点.
常数列
探究新知
等差数列的前n项和Sn与函数的关系
(3)求Sn的最值：
(1)一般形式：
(2)图象：
结合二次函数的开口/对称轴分析
1.当a1<0，d>0 时，Sn的图象是一条开口向上
的过坐标原点的抛物线上孤立的点.
Sn
n
O
1
探究新知
方法2: 当a1<0，d>0时，数列前面有若干项为负, 此时所有负项的和为Sn的最小值.
方法1: 由 利用二次函数的对称轴，求得最值及取得最值时的n的值.
此时由an≤0 且an+1 ≥ 0求n的值
2.当a1>0，d<0 时，Sn的图象是一条开口向下的过坐标原点的抛物线上孤立的点.
Sn
n
O
1
探究新知
方法2: 当a1>0，d<0时，数列前面有若干项为正, 此时所有正项的和为Sn的最大值.
此时由an≥0且an+1≤0求n的值
方法1: 由 利用二次函数的对称轴，求得最值及取得最值时的n的值.
等差数列的前n项和Sn与函数的关系
例9 已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝10，公差d＝－2，Sn是否存在最大值？若存在，求Sn的最大值及取得最大值时n的值；若不存在，请说明理由.
通项公式an的单调性求最值
解法1：
注意：当数列的项中有数值为0时，n应有两解.
前n项和公式法求最值
解法2：
例9 已 知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝10，公差d＝－2，则Sn是否存在最大值 若存在，求Sn的最大值及取得最大值时n的值；若不存在，请说明理由.
(法1)
(法2)
利用二次函数的性质求Sn的最值
利用邻项异号求Sn的最值
(法3)
数形结合利用Sn的对称轴求Sn的最值
(法4)
利用等差数列的单调性求Sn的最值
1.已知等差数列{an}中, a1=13且S3=S11, 求n取何值时, Sn取最大值.
解法1:
由S3=S11, 得
∴ d=－2
故当n=7时, Sn取最大值49.
巩固练习
解法2:
由S3=S11, 得d=－2<0
则Sn的图象如下图所示
∴图象的对称轴为
故当n=7时, Sn取最大值49.
7
n
11
3
Sn
解法3:
∴an=13+(n-1) ×(-2)=－2n+15
由 ,
得
故当n=7时, Sn取最大值49.
由S3=S11, 得d=－2<0
∴a7+a8=0
a4+a5+a6+……+a11=0
而 a4+a11=a5+a10=a6+a9=a7+a8
又d=－2<0, a1=13>0
∴a7>0,a8<0
解法4:
由S3=S11, 得
故当n=7时, Sn取最大值49.
1.已知等差数列{an}中, a1=13且S3=S11, 求n取何值时, Sn取最大值.
巩固练习
练习2：在等差数列{an}中，若a1＞0，S11＝S18，则数列{an}的前_______项的和最大．
练习2：在等差数列{an}中，若a1＞0，S11＝S18，则数列{an}的前_______项的和最大．
求数列{|an|}的前n项和
方法小结：求数列{|an|}的前n项和
求数列{|an|}的前n项和，关键在于分清哪些项为正的，哪些项是负的，通过去绝对值，转化为数列{an}的前n项和问题.
3. 已知等差数列－4.2，－3.7，－3.2， 的前n项和为Sn，Sn是否存在最大(小)值 如果存在，求出取得最值时n的值.
课本P24
课本P24
(1)当a1>0，d<0时，数列前面有若干项为正, 此时所有正项的和为Sn的最大值. 此时由an≥0且an+1≤0求n的值；
(2)当a1<0，d>0时，数列前面有若干项为负, 此时所有负项的和为Sn的最小值. 此时由an≤0 且an+1 ≥ 0求n的值；
注意：当数列的项中有数值为0时，n应有两解.
求等差数列{an}的前n项和Sn的最值的方法
1.前n项和公式法
2.通项公式法
利用Sn=An2+Bn进行配方，求二次函数的最值，
此时n应取最接近 的正整数值；
利用等差数列的增减性及an的符号变化
课堂小结
求等差数列前n项和Sn的最大(小)值的常用方法
(1) 通项法
利用等差数列的单调性，求出an正负转折项，或者利用性质求其正负转折项．
等差数列前n项和的应用：
大
小