函数的综合运用课件(共54张PPT)2024年中考数学二轮复习专题

(共54张PPT)
函数的综合运用
考点1.函数与面积问题
【例1】如图，直线l：y＝－3x＋3与x轴、y轴分别交于点A，B，抛物线y＝ax2－2ax＋a＋4(a＜0)经过点B.
(1)求该抛物线的函数表达式.
(2)已知M是抛物线上的一个动点，并且点M在第一
象限内，连接AM，BM，设点M的横坐标为m，△ABM
的面积为S，求S关于m的函数表达式，并求出S的最大值.
考点突破
分析与解答　(1)令y＝－3x＋3中y，x分别为0，可得
A(1，0)，B(0，3).将B(0，3)代入y＝ax2－2ax＋a＋4，可
得a＝－1，即y＝－x2＋2x＋3.(2)如图，过点M作MN∥x
轴，交AB于点N，则M(m，－m2＋2m＋3)，N.
∴S＝S△BMN＋S△AMN＝MN·MN·yM＝MN·yB＝
－(0＜m＜3).∴当m＝时，S有最大值，最大值为 .
规律方法　(1)将图象上点的坐标代入表达式求待定系数的值，是求函数表达式的常用方法.(2)当图形面积不易求时，常过动点作x轴或y轴的垂线，分别以垂线的一部分为底或高求得面积，必要时通过割补法将图形进行转化.
1. 如图，一次函数y＝ax＋b(a≠0)的图象分别交x轴、
y轴于点P，Q，且与反比例函数y＝(m≠0，x＜0)的图
象相交于点A(－3，n)和点B(－1，－3)，过点A作AC⊥
OP于点C.
(1)求反比例函数和一次函数的解析式.
将B(－1，－3)代入y＝中，得＝－3，解得m＝3，∴反比例函数的解析式为y＝(x＜0).当x＝－3时，n＝＝－1，∴点A(－3，－1).将A(－3，－1)，B(－1，－3)分别代入y＝ax＋b，得解得∴一次函数的解析式为y＝－x－4.
变式练习
(2)求四边形ABOC的面积.
过点B作BD⊥x轴于点D.由(1)得AC＝1，BD＝3，CD＝2，OD＝1，∴S四边形ABOC＝S梯形ABDC＋S△BOD＝(AC＋BD)·CD＋BD·OD＝.
(3)直接写出当x＜0时，关于x的不等式ax＋b≤ 的解集.
－3≤x≤－1
考点2.函数与特殊三角形
【例2】如图，已知抛物线y＝ax2＋bx＋3(a≠0)的对称轴为直线x＝－1，且抛物线与x轴交于点A(1，0)，B，与y轴交于点C.
(1)求抛物线的解析式.
(2)设点P为直线x＝－1上的一个动点，求使△BPC为直角三角形的点P的坐标.
分析与解答　(1)由抛物线的对称轴为x＝－＝－1，及A(1，0)可求得抛物线的解析式为y＝－x2－2x＋3.(2)由A(1，0)及抛物线的对称轴为直线x＝－1，得B(－3，0).设点P(－1，m)，则BP2＝m2＋4，CP2＝m2－6m＋10，BC2＝18.当∠CBP＝90°时，BP2＋BC2＝CP2，即m2＋4＋18＝m2－6m＋10，得m＝－2；同理，当∠BCP＝90°时，m＝4；当∠BPC＝90°时，m1＝，m2＝.综上所述，点P的坐标为.
规律方法　正确表示各边的长，合理运用直角三角形、等腰三角形、全等三角形的性质，结合方程思想与分类讨论思想求解即可.
2. 已知抛物线y＝ax2＋bx－3a经过点A(－1，0)，C(0，3)，与x轴交于另一点B，抛物线的顶点为D.连接BC，BD，CD.
(1)求此抛物线的解析式.
将A(－1，0)，C(0，3)分别代入y＝ax2＋bx－3a，得解得
∴此抛物线的解析式为y＝－x2＋2x＋3.
变式练习
(2)求证：△BCD是直角三角形.
由y＝－x2＋2x＋3＝0，得x1＝－1，x2＝3，
∴点B(3，0).
∵y＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4，∴点D(1，4).
∴BC2＝18，CD2＝2，BD2＝20.∴BC2＋CD2＝BD2.
∴△BCD是直角三角形.
(3)在对称轴右侧的抛物线上是否存在点P，使得△PDC为等腰三角形？若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由.
在对称轴右侧的抛物线上存在点P，使得△PDC为等腰三角形.设点P(m，n).①当CD＝DP时，由抛物线的对称性及顶点D，可得点P(2，3).②当CP＝DP时，m2＋(n－3)2＝(m－1)2＋(n－4)2，即m＋n－4＝0.又n＝－m2＋2m＋3，∴m2－3m＋1＝0，解得m1＝＜1(舍去)，m2＝.∴n＝，点P.综上所述，点P的坐标为(2，3)或.
考点3.函数与相似、全等
【例3】如图，顶点为M的抛物线y＝ax2＋bx(a＞0)经过点A和x轴正半轴上的点B，AO＝OB＝2，∠AOB＝120°.连接OM，AM.
(1)求抛物线的解析式.
(2)求∠AOM的大小.
(3)已知点C在x轴上，且△ABC与△AOM相似，
求点C的坐标.
分析与解答　(1)如图，过点A作AD⊥x轴于点D，由AD＝AO·sin 60°＝，OD＝AO·cos 60°＝1，得点A(－1，)，将A(－1，)，B(2，0)分别代入y＝ax2＋bx，可得y＝x2－x.(2)过点M作ME⊥x轴于点E.先求得顶点M，由tan∠EOM＝，得∠EOM＝30°，∴∠AOM＝150°.(3)连接AB，由∠ABO＝30°，∠AOM＝150°，可知∠ABO＝∠OMA＋∠OAM，∴要使△ABC与△AOM相似，点C应在点B的右边，即∠ABC＝150°＝∠AOM.当△ABC∽△AOM时，，可得BC＝2，即点C；当△ABC∽△MOA时，，可得BC＝6，即点C.综上所述，点C的坐标为.
规律方法　该类问题通常先找到一组等角，然后根据对应边成比例列方程求解；或在找到一组等角后再找另一组等角，常转化为角的存在性问题.
3. 如图，已知抛物线y＝－x2＋2x＋3与x轴交于A，D两点，与y轴交于点B，顶点为C.连接AB，AC，BC，BD.
(1)直接写出点A，B，C，D的坐标.
点A(3，0)，B(0，3)，C(1，4)，D(－1，0).
(2)求tan∠BAC的值.
由各点坐标，得AB＝3，BC＝，AC＝2.∵AB2＋BC2＝AC2，∴△ABC是直角三角形，∠ABC＝90°.∴tan∠BAC＝.
变式练习
(3)在y轴上是否存在一点P，使得以P，B，D为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.
存在.∵，∴tan∠OBD＝tan∠BAC，即存在∠PBD＝∠BAC.①当∠BPD＝90°时，△BPD∽△ABC，此时点P在原点O处，即点P(0，0).②当∠PDB＝90°时，△BDP∽△ABC，此时点P在x轴下方.∵∠ODP＝90°－∠BDO＝∠OBD，∴tan∠ODP＝，∴OP＝，点P.综上所述，点P的坐标为(0，0)或.
考点4.函数与平行四边形
【例4】如图，抛物线y＝－x2－4x＋c与x轴交于A，B(1，0)两点，与y轴交于点C.已知点M，N分别在抛物线及其对称轴上，是否存在点M使得以A，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由.
分析与解答　由点B(1，0)及y＝－x2－4x＋c，先求得y＝－x2－4x＋5，再求得点A(－5，0)，C(0，5)，抛物线的对称轴为直线x＝－2，∴点N的横坐标为－2.设点M，分以下三种情况：当AC为对角线时，－5＋0＝－2＋m，解得m＝－3，则M(－3，8)；当AM为对角线时，－5＋m＝－2＋0，解得m＝3，则M(3，－16)；当AN为对角线时，－5－2＝0＋m，解得m＝－7，则M(－7，－16).综上所述，点M的坐标为(－3，8)或(3，－16)或(－7，－16).
规律方法　“两定两动”类型题目，常把抛物线上的动点作为唯一动点.以其中两个顶点作为对角线(一般分三种情况讨论)，根据平行四边形的性质以及中点坐标公式转化为方程(组)求解即可，需注意四点不在同一直线上.
4. 如图，在平面直角坐标系中，直线l ∶y＝kx＋2与x轴、y轴分别相交于点A，B，与反比例函数y＝(x＞0)的图象相交于点C，已知OA＝1，点C的横坐标为2.
(1)求k，m的值.
由OA＝1，得点A(－1，0)，代入y＝kx＋2，
得－k＋2＝0，解得k＝2.∴直线l的解析式为y＝2x＋2.
当x＝2时，y＝6，∴点C(2，6).将C(2，6)代入y＝，
得 ＝6，∴m＝12.
变式练习
(2)平行于y轴的动直线与l和反比例函数的图象分别交于点D，E.若以B，D，E，O为顶点的四边形是平行四边形，求点D的坐标.
由(1)得反比例函数的解析式为y＝.令y＝2x＋2中x＝0，得y＝2，∴点B(0，2).设点D(a，2a＋2)，则点E.∵以B，D，E，O为顶点的四边形是平行四边形，∴DE＝OB＝2.∴＝2.①当2a＋2－＝2时，得2a2＋2a－12＝2a，解得a1＝，a2＝－(舍去).∴点D(，2＋2).②当2a＋2－＝－2时，得2a2＋2a－12＝－2a，解得a1＝－1，a2＝－－1(舍去).∴点D(－1，2).综上所述，点D的坐标为(，2＋2)或(－1，2).
考点5.函数与角度问题
【例5】如图，抛物线y＝x2－5x＋4与x轴交于点A(点A在对称轴的右边)，点N的坐标为(0，2)，点M在抛物线上，且∠NAM＝45°，求点M的坐标.
分析与解答　令x2－5x＋4＝0，解得x1＝1，x2＝4，故点A(4，0).当点M在AN的下方时，如图，将NA绕点N顺时针旋转90°到NB，连接AB与抛物线的交点即为点M.过点N作直线CD∥x轴，分别过点A，B作直线CD的垂线，垂足分别为C，D.由△ACN≌△NDB(AAS)，可得点B(－2，－2)，求得直线AB的解析式为y＝x－，联立可得交点M.当点M在AN的上方时，同理，可得M.综上所述，点M的坐标为.
规律方法　遇角度问题时，可考虑作平行线、等腰三角形或构造含特殊角的直角三角形等.构造“一线三垂”模型，根据全等或相似的性质是求点坐标的常用方法.
5. 如图，抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴交于A(－1，0)，B两点，与y轴交于点C.O为坐标原点，连接AC，BC，tan∠ACO＝.
(1)求抛物线的表达式.
∵OA＝1，tan∠ACO＝，∴OC＝5，点C(0，5).将点A(－1，0)，C(0，5)代入y＝－x2＋bx＋c，得解得∴抛物线的表达式为y＝－x2＋4x＋5.
变式练习
连接PB，过点C作CD⊥BC，交BP于点D，过点D作DE⊥y轴于点E.令－x2＋4x＋5＝0，解得x1＝－1，x2＝5.∴点B(5，0)，OC＝OB＝5.∴∠OCB＝45°，BC＝5.又∠BCD＝90°，∴在Rt△CDE中，∠DCE＝45°.∴△CDE是等腰直角三角形.∵∠ACO＝∠PBC，∴tan∠ACO＝tan∠PBC，即，解得CD＝.∴CE＝DE＝1.∴点D(1，6).由B(5，0)，D(1，6)可求得直线BD的表达式为y＝－x＋.联立解得(舍去)，∴点P.
(2)P是抛物线上的一点，且在第一象限内，若∠ACO＝∠PBC，求P点的坐标.
一、选择题.
1. 在平面直角坐标系中，将正比例函数y＝－2x的图象向右平移3个单位长度得到一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象，则该一次函数的解析式为(　　).
A.y＝－2x＋3 B.y＝－2x＋6
C.y＝－2x－3 D.y＝－2x－6
B
课堂练习
2. 如图，在平面直角坐标系中，点A，B在函数y＝(k＞0，x＞0)的图象上，分别以A，B为圆心，1为半径作圆，当☉A与x轴相切、☉B与y轴相切时，连接AB.若AB＝3，则k的值为(　　).
A.3　　 B.6　　
C.4 D.3
第2题图
C
3. 如图，在矩形ABCD中，AB＝4 cm，BC＝8 cm，点P，Q同时从点B出发，终点都是点D，速度都是1 cm/s，点P的运动路径是BA→AD，点Q的运动路径是BC→CD.设线段PQ与PQ左侧矩形的边围成的阴影部分面积为S，则面积S与运动时间t之间的函数图象为(　　).
第3题图
A B
C D
A
二、填空题.
4. 如图，已知一次函数y＝x＋1的图象与反比例函数y＝ 的图象在第一象限相交于点A，与x轴相交于点C，AB⊥x轴于点B.若△AOB的面积为1，则AC的长为________.(结果保留根号)
第4题图
2
5. 如图，一块矩形土地ABCD由篱笆围着，并且由一条与CD边平行的篱笆EF分开.已知篱笆的总长为900 m(篱笆的厚度忽略不计)，当矩形土地ABCD的面积取得最大值时，AB＝________m.
第5题图
150
6. 如图，点A，B在反比例函数y＝的图象上，AC⊥y轴，垂足为D，BC⊥AC.若四边形AOBC的面积为6，，则k的值为______.
第6题图
3
7. 如图，在平面直角坐标系中，点B的坐标为(－8，6)，过点B分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为C，A，直线y＝－2x－6与AB交于点D，与y轴交于点E.动点M在线段BC上，动点N在直线y＝－2x－6上.若△AMN是以点N为直角顶点的等腰直角三角形，则点M的坐标为_____________________________.
(－8，6)或
第7题图
三、解答题.
8. 如图，B是反比例函数y＝(x＞0)图象上一点，过点B分别向两坐标轴作垂线，垂足分别为A，C.反比例函数y＝(x＞0)的图象经过OB的中点M，与AB，BC分别相交于点D，E.连接DE并延长交x轴于点F，点G与点O关于点C对称，连接BF，BG.
(1)填空：k＝______.
2
(2)求△BDF的面积.
连接OD.∵BA⊥y轴，∴S△BDF＝S△BDO＝S△BAO－
S△ADO＝×8－×2＝3.
第8题图
(3)求证：四边形BDFG为平行四边形.
设点D，则点B，C(4m，0)，E.∵点G与点O关于点C对称，
∴点G(8m，0).∴BD＝3m，CE＝，BE＝.
∵BD∥FG，∴△BDE∽△CFE.∴，即 .∴CF＝m，点F(5m，0).∴FG＝8m－5m＝3m.∴BD＝FG.又BD∥FG，∴四边形BDFG为平行四边形.
9. 如图，抛物线y＝ax2＋bx经过△OAB的三个顶点，
其中O为坐标原点，点A，点B在第一象限内，抛
物线的对称轴是直线x＝，且△OAB的面积为18.
第9题图
(1)求该抛物线的函数表达式.
抛物线的对称轴为直线x＝－，∴b＝－a.将点A(3，－3)代入y＝ax2＋bx，得9a＋3b＝－3，联立方程组解得a＝，b＝－3.∴该抛物线的函数表达式为y＝x2－3x.
(2)求点B的坐标.
过点A作AD⊥y轴于点D，过点B作BE⊥AD，交DA延长线于点E.设点B，则S△OAB＝S四边形ODEB－S△OAD－S△ABE＝(OD＋BE)·DE－OD·AD－AE·BE＝OD·AE＋AD·BE＝×3(m－3)＋×3＝m2－3m＝18，解得m1＝6，m2＝－3(舍去).∴点B(6，6).
(3)设C为线段AB的中点，P为直线OB上的一个动点，连接AP，CP，将△ACP沿CP翻折，点A的对应点为A1.是否存在点P，使得以A1，P，C，B为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由.
存在.由点A(3，－3)，B(6，6)，得中点C，直线OB的解析式为y＝x.∵点A，B在直线CP的两侧，点A，A1关于CP对称，∴A1P＝AP，A1C＝AC＝BC，且点A1，B应在直线CP的同一侧，即以A1，P，C，B为顶点的四边形中，A1B不为对角线.设点P(t，t).①当BP为该平行四边形的对角线时，A1P＝BC，∴AP＝AC.∴AP2＝AC2，即(t－3)2＋(t＋3)2＝，解得t1＝，t2＝－.∴点P.
②当BC为该平行四边形的对角线时，A1C＝BP，∴BP＝AC.
∴BP2＝AC2，即(t－6)2＋(t－6)2＝，解得t1＝，t2＝.∴点P.
∴点P.
10. 如图，抛物线y＝ax2－2ax＋3与x轴交于点A和点B，与y轴交于点C，连接AC，过B，C两点作直线.
(1)求a的值.
第10题图
将A(－1，0)代入y＝ax2－2ax＋3，得a＋2a＋3＝0，
解得a＝－1.
(2)将直线BC向下平移m(m＞0)个单位长度，交抛物线于B'，C'两点.在直线B'C'上方的抛物线上是否存在定点D，无论m取何值时，都是点D到直线B'C'的距离最大？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由.
存在.设B'C'与y轴交于点G，由(1)可得抛物线的解析式为y＝－x2＋2x＋3，当y＝－x2＋2x＋3＝0时，解得x1＝－1，x2＝3；当x＝0时，y＝3.∴点A(－1，0)，B(3，0)，C(0，3).∴OB＝OC.又∠BOC＝90°.∴△BOC是等腰直角三角形，∠BCO＝45°.∵B'C'∥BC，∴∠B'GO＝∠BCO＝45°.
设点D(t，－t2＋2t＋3)，过点D作DE∥y轴，交B'C'于点E，作DF⊥B'C'于点F.∴∠DEF＝∠B'GO＝45°，△DEF是等腰直角三角形.由B(3，0)，C(0，3)，可得直线BC的解析式为 y＝－x＋3.将直线BC向下平移m(m＞0)个单位长度，得直线B'C'的解析式为y＝－x＋3－m，∴点E(t，－t＋3－m)，DE＝－t2＋2t＋3－(－t＋3－m)＝－＋m.当t＝时，DE有最大值＋m，此时DF＝DE也有最大值，
∴点D.
(3)抛物线上是否存在点P，使∠PBC＋∠ACO＝45°？若存在，请求出直线BP的解析式；若不存在，请说明理由.
存在.①当点P在直线BC下方时，在y轴上取点H(0，1)，作直线BH交抛物线于点P(异于点B).由(2)知∠OBC＝45°.∵tan∠ACO＝，tan∠HBO＝，∴∠ACO＝∠HBO.∴∠PBC＋∠ACO＝∠PBC＋∠HBO＝45°.由B(3，0)，H(0，1)，可得直线BP的解析式为y＝－x＋1.
②当点P在直线BC上方时，在x轴上取点I(1，0)，连接CI，过点B作直线BP∥CI交抛物线于点P(异于点B).∴∠PBC＝∠BCI.∵tan∠ICO＝＝tan∠ACO，∴∠ACO＝∠ICO.∴∠PBC＋∠ACO＝∠BCI＋∠ICO＝∠BCO＝45°.由I(1，0)，C(0，3)，可得直线CI的解析式为y＝－3x＋3.由BP∥CI可设直线BP的解析式为y＝－3x＋k，将点B(3，0)代入，得y＝－3x＋9.综上所述，直线BP的解析式为y＝－x＋1或y＝－3x＋9.
11. 如图，抛物线y＝ax2＋bx＋2与x轴交于点A和点B，与y轴交于点C，连接BC，点P(m＞0)为抛物线上一动点，过点P作PN⊥x轴交直线BC于点M，交x轴于点N.
(1)直接写出抛物线和直线BC的解析式.
第11题图
抛物线的解析式为y＝－x2＋x＋2，直线BC的解析式为
y＝－x＋2.
(2)连接OM，当△OCM为等腰三角形时，求m的值.
由题意得点C(0，2)，M(m，－m＋2)，m＞0.∴OC2＝4，CM2＝2m2，OM2＝2m2－4m＋4.当△OCM为等腰三角形时，分以下三种情况讨论.①当CM＝OM时，CM2＝OM2，即2m2＝2m2－4m＋4，解得m＝1.②当CM＝OC时，CM2＝OC2，即2m2＝4，解得m1＝，m2＝－(舍去).③当OM＝OC时，OM2＝OC2，即2m2－4m＋4＝4，解得m1＝2，m2＝0(舍去).综上所述，m＝1或 或2.
(3)当点P在运动过程中，在y轴上是否存在点Q，使得以O，P，Q为顶点的三角形与以B，C，N为顶点的三角形相似(其中点P与点C相对应)？若存在，直接写出点P和点Q的坐标；若不存在，请说明理由.
P()，Q(0，－1)；或P，Q；或P(1＋，－1－)，Q(0，1)；或P(1＋，－3－)，Q(0，－2).提示：△POQ∽△CBN或△POQ∽△CNB，可按点P在点B左侧或右侧进行分类讨论.
1. (2022·广东)如图，抛物线y＝x2＋bx＋c的顶点为C，与x轴交于A(1，0)，B两点，AB＝4，P是线段AB上的动点，过点P作PQ∥BC，交AC于点Q.
(1)求该抛物线的解析式.
第1题图
由题意知点B(－3，0)，∴解得
∴该抛物线的解析式为y＝x2＋2x－3.
强化练习
(2)求△CPQ面积的最大值，并求此时点P坐标.
过点Q作QE⊥x轴于点E，过点C作CF⊥x轴于点F.设点P(m，0)，则PA＝1－m.∵y＝x2＋2x－3＝(x＋1)2－4，∴点C(－1，－4).∴CF＝4.
∵PQ∥BC，∴△PQA∽△BCA.∴，即 .
∴QE＝1－m.∴S△CPQ＝S△PCA－S△PQA＝PA·CF－PA·QE＝－(m＋1)2＋2.∵－3≤m≤1，∴当m＝－1时，S△CPQ有最大值2.∴△CPQ面积的最大值为2，此时点P的坐标为(－1，0).
　2. (2023·眉山)如图，在平面直角坐标系中，直线y＝kx＋b与x轴交于点A(4，0)，与y轴交于点B(0，2)，与反比例函数y＝ 在第四象限内的图象交于点C(6，a).
(1)求反比例函数的表达式.
第2题图
将点A(4，0)，B(0，2)代入y＝kx＋b，得
解得∴一次函数的表达式为y＝－x＋2.
当x＝6时，y＝－1，∴点C(6，－1).将点C(6，－1)代入y＝，得m＝－6，∴反比例函数的表达式为y＝－.
(2)当kx＋b＞ 时，直接写出x的取值范围.
x＜－2或0＜x＜6.
(3)在双曲线y＝上是否存在点P，使△ABP是以A为直角顶点的直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.
存在.过点A作AE⊥BC，交y轴于点E.∵∠BAO＋∠EAO＝90°，∠AEO＋∠EAO＝90°，∴∠BAO＝∠AEO.又∠AOB＝∠EOA＝90°，∴△AOB∽△EOA.
∴，即.∴EO＝8，点E(0，－8).由A(4，0)，E(0，－8)可得直线AE的表达式为y＝2x－8.联立解得∴点P的坐标为(1，－6)或(3，－2)
3. (2023·自贡)如图，抛物线y＝－x2＋bx＋4与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C.
(1)求抛物线的解析式及B，C两点的坐标.
第3题图
将点A(－3，0)代入y＝－x2＋bx＋4，得－×9－3b＋4
＝0，解得b＝－.∴抛物线的解析式为y＝－x2－x＋4.
当y＝0时，－x2－x＋4＝0，解得x1＝1，x2＝－3；当x＝0时，y＝4.
∴点B(1，0)，C(0，4).
(2)若以A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形，求点D的坐标.
设点D(m，n)，分以下三种情况.
①当AB为对角线时，－3＋1＝0＋m，0＋0＝4＋n，解得m＝－2，n＝－4，则点D(－2，－4).
②当AC为对角线时，－3＋0＝1＋m，0＋4＝0＋n，解得m＝－4，n＝4，则点D(－4，4).
③当AD为对角线时，－3＋m＝0＋1，0＋n＝0＋4，解得m＝4，n＝4，则点D(4，4).综上所述，点D的坐标为(－2，－4)或(－4，4)或(4，4).
(3)该抛物线的对称轴上是否存在点E，使得∠ACE＝45°？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由.
存在.易知点E在直线AC上方.过点A作AF⊥CE，交CE的延长线于点F，过点F作FM⊥x轴于点M，FN⊥y轴于点N，则四边形OMFN是矩形，∠MFN＝∠AMF＝∠CNF＝90°，OM＝FN，ON＝FM.∵∠ACF＝45°，∠AFC＝90°，∴△ACF是等腰直角三角形，AF＝CF.∴∠MFA＝90°－∠AFN＝∠NFC.∴△AFM≌△CFN.∴FM＝FN，AM＝CN.∴OM＝ON.∴OA＋AM＝OC－CN，即3＋AM＝4－AM.∴AM＝CN＝，点 F.由C(0，4)，F可求得直线CF的解析式为y＝x＋4.当x＝－1时，y＝x＋4＝，∴点E.
4. (2023·朝阳)如图，抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴分别交于点A(－2，0)，B(4，0)，与y轴交于点C，连接BC.
(1)求抛物线的解析式.
第4题图
将A(－2，0)，B(4，0)代入y＝－x2＋bx＋c，
得解得
∴抛物线的解析式为y＝－x2＋x＋4.
(2)P是第一象限内抛物线上的一个动点，过点P作直线l⊥x轴于点M(m，0)，交BC于点N，连接CM，PB，PC.△PCB的面积记为S1，△BCM的面积记为S2，当S1＝S2时，求m的值.
令x＝0，则y＝－x2＋x＋4＝4.∴点C(0，4).由B(4，0)，C(0，4)可求得直线BC的解析式为y＝－x＋4.由M(m，0)，得P，N(m，－m＋4).∴PN＝－m2＋2m，S1＝PN·OB＝－m2＋4m，S2＝BM·OC＝8－2m.由S1＝S2，得 －m2＋4m＝8－2m，解得m1＝2，m2＝4(舍去).∴当S1＝S2时，m＝2.
(3)在(2)的条件下，点Q在抛物线上，直线MQ与直线BC交于点H，当△HMN与△BCM相似时，请直接写出点Q的坐标.
Q或(－2＋2，－12＋6)或(－2－2，－12－6).提示：由B(4，0)，C(0，4)，可知△BOC是等腰直角三角形，∠CBO＝45°，∴△BMN是等腰直角三角形，∠BNM＝∠MBN＝45°.∵△HMN与△BCM相似，且∠MNH＝∠CBM＝45°，∴点H在MN的右侧，且 或 .设点H(t，－t＋4).由(2)知点M(2，0)，N(2，2)，B(4，0)，C(0，4)，∴BC＝4，MB＝2，MN＝2，NH＝(t－2).
当 时，，解得t＝6.∴点H(6，－2)，可求得直线MH的解析式为y＝－x＋1.联立解得∴点Q或.当 时，同理，得点 H，求得点Q(－2＋2，－12＋6)或(－2－2，－12－6).