数学人教A版（2019）必修第一册5.1.1任意角 课件（共50张ppt）

(共50张PPT)
5.1.1　任意角
学习目标
1.了解任意角的概念，区分正角、负角与零角.
2.了解象限角的概念，理解并掌握终边相同的角的概念，能写出终边相同的角所组成的集合.
3.利用象限角和终边相同的角的概念解决简单的问题.
同学们，钟表是帮助我们掌握时间的好帮手，生活中我们经常听到时钟慢了5分钟，或时钟快了30分钟，应该如何校准？再比如在体操、花样游泳、跳水等项目中，我们也常常听到“前空翻转体540度”“后空翻转体720度”等这样的解说，这些问题中的角不仅有超出0°～360°范围的角，而且旋转的方向也不相同.为了准确地描述这些问题，我们需要扩大角的范围.
导语
内容索引
一、任意角的概念
二、象限角
课时对点练
三、终边相同的角
随堂演练
四、区域角以及终边在已知直线上的角的表示
01
任意角的概念
问题1　在初中是如何定义角的？角的范围是多少？
提示　角可以看成一条射线绕着它的端点旋转所成的图形，角的范围是0°～360°.
问题2　请问钟表从12点到12.20，分钟走过的角度是多少？到12.50呢
问题3　请问钟表从12点到14.30呢？
问题4　在体操比赛中，我们常常会听到“前空翻540度”、“后空翻720度”等动作名称，这里的角度不仅超过360，其旋转方向还不同，那么我们该形容他们？
1.角的概念及其表示
角可以看成一条 绕着它的端点 所成的 .如图，
(1)始边：射线的 位置OA；
终边：射线的 位置OB；
顶点：射线的端点O.
(2)记法：图中的角α可记为“角α”或“∠α”或“∠AOB”.
射线
旋转
图形
起始
终止
问题5　在体操比赛中，我们常常会听到“前空翻540度”、“后空翻720度”等动作名称，我们该如何区别其旋转方向的不同？
名称 定义 图示
正角 一条射线绕其端点按 方向旋转形成的角
负角 一条射线绕其端点按 方向旋转形成的角
零角 一条射线 做任何旋转形成的角
2.任意角：我们把角的概念推广到了任意角，包括正角、负角和零角.
逆时针
顺时针
没有
练习　请指出下列各色线表达的角的度数
60°
30°
α=-660°
β=210°
γ=-150°
问题6　请问将一个钟表从12点，调快到12.30，分钟旋转了多少度？
那么，从12.15调快到12.45呢？这两个角有什么关系？
3.角的相等
如果角α和角β的旋转方向相同且旋转量相等，那么就称 .
α＝β
问题7　请问将一个钟表从12点，调慢到12.30，再调慢10分钟，请问分钟最终与初始位置的角度是多少？怎么计算的？
追问　如果调快呢？
4.角的加法
设α，β是任意两个角，我们规定，把角α的终边旋转角β，这时终边所对应的角是 .
α＋β
问题8　请问将一个钟表从12：30，调慢到12：15时与起始位置的角记作∠1；若把它调快到12.45时与起始位置的角记作∠2，请问两个有什么关系？
5.相反角：把射线OA绕端点O按不同方向旋转相同的量所成的两个角叫做互为 ，角α的相反角记为 ，α－β＝α＋ .
相反角
－α
(－β)
3.角的相等
如果角α和角β的旋转方向相同且旋转量相等，那么就称 .
4.角的加法
设α，β是任意两个角，我们规定，把角α的终边旋转角β，这时终边所对应的角是 .
5.相反角：把射线OA绕端点O按不同方向旋转相同的量所成的两个角叫做互为 ，角α的相反角记为 ，α－β＝α＋ .
α＝β
α＋β
相反角
－α
(－β)
例1.1　若手表时针走过4小时，则时针转过的角度为
A.120° B.－120° C.－60° D.60°
由于时针是顺时针旋转，故时针转过的角度为负数，
√
例1.2 如图(1)(2)从OA旋转到OB，OB1，OB2时所成的角度分别是________、________、________．
　
分析：角的概念推广后确定角的关键是抓住角的旋转方向和旋转量．
390°　
－150°
　60°
例1.3下列所示图形中，γ＝α＋β的是________；γ＝α－β的是________．
①④　
②③
解析：在①中，α与γ的始边相同，α的终边为β的始边，β与γ的终边相同，所以γ＝α＋β；
在②中，α与γ的始边相同，α的终边为－β的始边，－β与γ的终边相同，所以γ＝α＋(－β)＝α－β.
同理可知，③中γ＝α－β.④中γ＝α＋β.
例1.4　如图(1)，∠AOC＝________；如图(2)，∠AOC＝________.
110°
－70°
02
象限角
问题9　请同学们在纸上画出90°和-120°的角，和同桌对比，你们的角度一致吗？
追问1　 这会出现出现什么问题？结合已知的工具，你能思考如何解决这一问题嘛？
象限角
在直角坐标系中，若角的顶点与 重合，角的始边与 轴的非负半轴重合，
那么，角的 在第几象限，就说这个角是第几象限角．
如果 ，那么就认为这个角不属于任何一个象限．
坐标原点
x
终边
角的终边落在坐标轴上
注意点：
(1)锐角是第一象限角，钝角是第二象限角，直角的终边在坐标轴上，它 不属于任何一个象限.
(2)每一个象限都有 和 .
(3)无法比较两个象限角的大小.
正角
负角
判断：第一象限角一定大于第二象限角
思考：锐角和钝角的范围是什么？他们分别是第几象限角？直角呢？
例2.1给出下列角：－300°，－240°，－90°，－45°，124°，210°，305°，请在坐标系中标出上述角度，并判断：
则第一象限角有__________________，
第二象限角有__________________，
第三象限角有__________________，
第四象限角有________________，
不属于任何一个象限的角有__________________．
－300°　
－240°，124°
　210°
　－45°，305°　
－90°
例2.3　(多选)下列叙述不正确的是
A.三角形的内角是第一象限角或第二象限角
B.钝角是第二象限角
C.第二象限角比第一象限角大
D.小于180°的角是钝角、直角或锐角
直角不属于任何一个象限，故A不正确；
钝角是大于90°小于180°的角，是第二象限角，故B正确；
120°是第二象限角，390°是第一象限角，120°<390°，故C不正确；
零角和负角也小于180°，故D不正确.
√
√
√
三
终边相同的角
问题10　给定90°和450°的角，试判断它们的终边是否唯一？
提示　给定一个角，它的终边唯一；两个角终边相同，这两个角不一定相等，比如30°角的终边和390°角的终边相同，它们正好相差了360°.
追问　问题两个角的终边相同，那么这两个角相等吗？
问题10　给定90°和450°的角，试判断它们的终边是否唯一？
提示　给定一个角，它的终边唯一；两个角终边相同，这两个角不一定相等，比如30°角的终边和390°角的终边相同，它们正好相差了360°.
追问　问题10两个角的终边相同，那么这两个角相等吗？
问题11　你能尝试写出与90°终边相同的所有角的集合吗？
S＝{β|β＝90°＋k·360°，k∈Z}
追问 框框中的条件“k∈Z”能否省略不写，为什么？
练习　你能尝试写出下列与角终边相同的所有角的集合吗？
　终边相同的角
一般地，我们有：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合 ，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成 ．
S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}
角α与整数个周角的和
例3.1　已知角α＝2 020°.
(1)把α改写成β＋k·360°(k∈Z，0°≤β<360°)的形式，并指出它是第几象限角；
(2)求θ，使θ与α终边相同，且－360°≤θ<720°.
分析：先求出β，判断角α所在的象限；用终边相同的角表示θ满足的不等关系，求出k和θ.
例3.2　(1)已知α＝－1 845°，在与角α终边相同的角中，求满足下列条件的角.
①最小的正角；
②最大的负角；
③－360°～720°之间的角.
完成下表.
终边落在x轴非负半轴上 ______________________
终边落在x轴非正半轴上 ____________________________
终边落在y轴非负半轴上 __________________________
终边落在y轴非正半轴上 ___________________________
终边落在x轴上 _____________________
终边落在y轴上 ___________________________
终边落在坐标轴上 ____________________
{α|α＝k·360°，k∈Z}
{α|α＝180°＋k·360°，k∈Z}
{α|α＝90°＋k·360°，k∈Z}
{α|α＝270°＋k·360°，k∈Z}
{α|α＝k·180°，k∈Z}
{α|α＝90°＋k·180°，k∈Z}
{α|α＝k·90°，k∈Z}
四
区域角以及终边在已知直线上的角的表示
6.写出如图所示阴影部分(包括边界)的角α的范围．
1.知识清单：
(1)正角、负角、零角的概念.
(2)终边相同的角的表示.
(3)象限角、区域角的表示.
2.方法归纳：数形结合、分类讨论.
3.常见误区：锐角与小于90°角的区别，终边相同的角的表示中漏掉k∈Z.