福建省南安市柳城中学2023-2024学年高一上学期12月月考数学试题（PDF版含解析）

柳城中学高一数学试题 20231222
班级 姓名 座号
一 选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项
是符合题目要求的.
B y∣y x2 11. 已知集合 A {x∣y 2 x}， ，则 A B （ ）
A. B. 1,2 C. 1,2 D. 1,2
2. 2已知集合 A x∣x 2x 3 0 ,B x 1∣2x ，则 A RB （ ）
2
A. ,1 B. ,3 C. 3,1 D. , 1 1,
x3
3.函数 f x 的图象大致为（ ）
2 x 4
A. B. C. D.
4.用二分法求方程的近似解,求得 f(x)＝x3＋2x-9的部分函数值数据如表所示:
x 1 2 1.5 1.625 1.75 1.875 1.812 5
f(x) -6 3 -2.625 -1.459 -0.14 1.341 8 0.579 3
3
则当精确度0.1时,方程 x 2x 9 0的近似解可取为( )
A.1.6 B.1.7 C.1.8 D.1 9
.
5. a lg 6,b e
0.2,c log 5
已知 3 ，则（ ）
A. a b c B. b a c C. c b a D. b c a
6. 函数 f x x2 x a ，若 f 2 f 3 0，则 f 1 , f 2 , f 3 的大小关系是（ ）
A. f 2 f 3 f 1 B. f 2 f 1 f 3
C. f 1 f 2 f 3 D. f 3 f 2 f 1
1
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I
7.声强级 Li（单位：dB）与声强 I （单位：W/m2）之间的关系是： Li 10lg II ， 0指的是人能听到的0
最低声强，对应的声强级称为闻阈.人能承受的最大声强为1W / m2，对应的声强级为120dB，称为痛阈.某歌
唱家唱歌时，声强级范围为 70,80 （单位：dB），则此歌唱家唱歌时的声强范围（单位：W/m2）为（ ）
A. 6 4 5 4 5 3 10 ,10 B. 10 ,10 C. 10 ,10 D. 10
4 ,105
ln( x) , x 0
8. 已知 f (x) 2 ，若 f x a有四个不同的根 x , x , x , x ，则 x x x x 的取值范围为（ ）
x x, x 0
1 2 3 4 1 2 3 4
1
A. 0, B. 0,
1
C. 0,
1 1
2 4 8
D. 0,
16
二 多选题：本题共 4小题，每小题 5分，共 20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要
求.全部选对的得 5分，部分选对的得 2分，有选错的得 0分.
9.已知关于 x的不等式 ax2 bx c 0的解集为 x∣ 3 x 4 ，则下列说法正确的是（ ）
1 1a A. 0 B.不等式 cx2 bx a 0的解集为 x∣ x 4 3
2 c
C. a b c 0 D. 的最小值为-4
3b 4 2
10.下列说法正确的是（ ）
A. 若函数 f x 2x x 4的零点所在区间为 k ,k 1 k Z ，则 k 1
B. 函数 y a2x 2 2的图象恒过一定点，这个定点是 1,1
C. “ x y ”是“ x y ”的必要条件
D. “m 0 ”是“关于 x的方程 x2 2x m 0有一正根和一负根”的充要条件
f x f x
11. 已知函数 f x ax2 3x 4 1 2 ，若任意 x1, x2 1, 且 x1 x2 都有 1，x1 x2
则实数 a的值可以是（ ）
1
A. 1 B. C. 0 D. 1
2 2
12.已知函数 f x log 2a x ax 1 (a 0且 a 1)，则下列命题为真命题的是（ ）
A. a 2时， f x 的增区间为 1, B. a 2是 f x 值域为R的充要条件
C.存在 a，使得 f x 为奇函数或偶函数 D.当 a 2时， f x 的定义域不可能为R
2
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三 填空题：共 4小题，每小题 5分，共 20分.
13. 函数 f x ln x 3 1 的定义域为__________.
2 x
14. x 1已知函数 f x 3 b的图象不过第二象限，则实数b的取值范围是_______.
15. 已知函数 f x 是定义在R 上的奇函数，当 x 0时， f x log2x，则 f x 2的解集是__________.
16. 2已知函数 f x ln x 1 x x，若正实数b,c满足 f b f c 1 0，
3b2 1
则 的最小值为__________.
bc
四 解答题：共 6小题，共 70分.解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤.
2
17.（10分）（1）化简求值： 27 3 3 2 log3 36 2log ；3 2
2
（2）已知 a，b为正实数，函数 f x x a 2b x 2ab ，若 f 1 1，求 2a b的最小值.
18.（12分）已知命题“ x R, x2 2x m 6 0 ”是真命题.
（1）求实数m的取值集合 A；
x 2a 1 0
（2）关于 x的不等式组 解集为 B，若“ x B ”是“ x A”的充分不必要条件，求 a的取值范围.
x 3a 1 0
19. 12 f x m2 2m 7 xm 2（ 分）已知 是幂函数，且在 0, 上单调递增．
（1）求m的值；
（2）求函数 g x f x 2a 1 x 1在区间 2,4 上的最小值 h a ．
3
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20.（12分）生物爱好者甲对某一水域的某种生物在自然生长环境下的总量w进行监测.第一次监测时的总量
为w0（单位：吨），此时开始计时，时间用 t（单位：月）表示.甲经过一段时间的监测得到一组如下表的数
据：
t /月 0 2 8 16
w /吨 2.0 4.0 6.0 7.0
为了研究该生物总量w与时间 t的关系，甲通过研究发现可以用以下的两种函数模型来表达w与 t的变化关系：
①w c t dw0；②w bloga t 1 w0 (a 0且 a 1) .
（1）请根据表中提供的前 2列数据确定两个函数模型的解析式；
（2）根据第 3，4列数据，选出其中一个与监测数据差距较小的函数模型；甲发现总量w由w0翻一番时经过
了 2个月，根据你选择的函数模型，若总量w再翻一番时还需要经过多少个月？（参考数据：
lg3 0.48, lg17 1.23）
x
21．（12分）函数 f (x) 2 m x 定义在R上的奇函数．2 1
（1）求 m的值；
（2）判断 f (x)的单调性，并用定义证明；
（3）解关于 x的不等式 f x2 x f (a ax) 0．
22．（12分）已知函数 f (x) loga a x 1 (a 0且a 1)．
（1）若函数 h(x) f (x) x a有零点，求 a的取值范围；
（2）设函数 g(x) a x(a 0且a 1)，在（1）的条件下，若 x1 [0, ), x2 R，使得
g 2x1 mg x1 f 2x2 x2 0，求实数 m的取值范围．
4
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柳城中学高一数学试题 20231222
1.B 2.A【详解】集合 A x∣x2 2x 3 0 {x | (x 3)(x 1) 0} {x | 3 x 1} ，
集合 B {x | x 1∣2x } {x∣2x 2 1}={x | x 1}，
2
则 RB {x | x 1}，由并集的运算可知： A RB ,1 ，故选：A
3 3 3
3.A 函数 f x x ，定义域为x , 2 2,2 2, , f x
( x) x
f x ，
2 4 2 x

4 2 x 4
所以函数为奇函数，排除CD；当 x 2时， f x 0，排除B .故选A
4.C 由表格可得,函数 f(x)＝x3＋2x-9 的零点在区间(1.75,1.812 5)内.结合选项可知,方程 x3＋
2x-9＝0的近似解可取为 1.8.故选 C.
5. D【详解】 a lg 6 0，b e0.2 1， c log3 5 log3 3 1，
又因为 a lg 61 1 1
3 3 ，所以0 a ， c 1．所以b c a，选：D2 2 2 2
6. C【详解】令 f (x) x2 (x a) 0，解得 x 0或 x a，即函数的零点为 0和 a，又 f (2) f (3) 0，由零
点 的 存 在 性 定 理 ， 得 2 a 3 ， f ( 1) 1 a, f (2) 8 4a, f (3) 27 9a ， 所 以 f (3) 0 ，
f ( 1) 0, f (2) 0，又 f ( 1) f (2) 1 a (8 4a) 3a 10 0 ，得 f ( 1) f (2)，
所以 f ( 1) f (2) f (3) .故选：C.
1
7.B 由题意，10lg 120 12，则 I0 10 W / m
2
，所以 Li 10lg 1012 I 120 10lgII ，当 Li 70dB时，0
即10lgI 50，则 I 10 5W /m2 ，当 Li 80dB时，即10lgI 40，则 I 10 4W /m2，故歌唱家唱歌
5
时的声强范围为 10 ,10
4 （单位：W/m
2），故 B正确.故选 B.
ln( x) , x 0
8.【答案】B【详解】函数 f (x) 2 ，当 x 1时， f (x) ln( x)单调递增， f (x) 0，
x x, x 0
当 1 x 0时， f (x) ln( x)单调递减， f (x) 0，当 x 0时，
1 1 1
f (x) x2 x在[0, ]上递减，在[ , )上递增， f (x) ，
2 2 4
作出函数 y f (x)的部分图象，如图，
5
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方程 f x a有四个不同的根 x1, x2 , x3 , x4，不妨令 x x x y a1 2 3 x4 ，即直线 与函数 y f (x)的图象
1 1
有 4个公共点，观察图象知， a 0， x1 1 x2 0 x3 x4 1，4 2
显然有 | ln( x1) | | ln( x2 ) |，且 x3 x4 1，由 | ln( x1) | | ln( x2 ) |得 ln( x1) ln( x2 ) 0，
即 ln(x1x2 ) 0，则有 x1x2 1，因此 x1x2x3x4 x3 (1
1 1 1
x3 ) (x3 )
2 (0, ) ，
2 4 4
1
所以 x1x2x3x4 的取值范围为 (0, ) .故选：B4
9.AB 关于 x的不等式 ax2 bx c 0的解集为 x∣ 3 x 4 ，所以二次函数 y ax2 bx c的开口方向向
b
3 4 a b a
下，即 a 0，故A正确；且方程 ax2 bx c 0的两根为 3 4，由韦达定理得 ，解得 .
c

3 4 c 12a
a
b a
对于B，因为 ，所以c 12a cx
2 bx a 0，即 12ax2 ax a 0，所以12x2 x 1 0，解得

1 1 1 1
x ，所以不等式cx2

bx a 0的解集为 x∣ x ，故 B正确；对于 C，
4 3 4 3
a b c a a 12a 12a 0，故 C错误；对于D，因为 a 0,b a,c 12a，所以
3a 4 4, 2 c 2 2 6a 2 3a 4 8 2 2 2 3a 4 8 4 ，当且
3b 4 2 3a 4 3a 4 3a 4
2
仅当 2 3a 4 2 c ，即 a 1时，等号成立，与 a 0矛盾，所以， 取不到最小值.故选 AB.
3a 4 3b 4 2
10【. 答案】ABD【详解】对于 A：函数 f (x)是单调函数，故函数最多存在一个零点，且 f (1) 21 1 4 1 0，
f (2) 22 1 4 1 0，由函数零点存在定理可得，函数的零点在区间 (1,2)内，故 k 1 .所以 A正确；
对于 B：函数 y a2x 2 2，令 2x 2 0，得 x 1，此时 y a0 2 1
∴函数 y a2x 2 2的图象过定点 ( 1, 1)，所以 B正确；对于 C：“ x y ”推不出“ | x | | y | ”，C错误；
Δ 0
对于 D：方程 x2 2x m 0有一正一负根（设为 x1， x2）等价于 ，即m 0，
x1x2 m 0
则“m 0 ”是“关于 x的方程 x2 2x m 0有一正一负根”的充要条件，所以 D正确.故选：ABD.
6
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f x f x
11.【答案】ABC 1 2【详解】不妨令 x1 x2 ，因为 1，所以 f x1 f x2 x2 x1，即x1 x2
f x1 x1 f x2 x2，令 g x f x x ax2 2x 4，则 g x1 g x2 ，因为 x1 x2 ，所以 g x
a 0
在 1, 上单调递减，当 a 0时，符合题意；当 a 0时，则 1 ，解得： 1 a 0，
1 a
1
综上所述：实数a的取值范围是 1,0 ，显然 1, ,0 1,0 . 故选：ABC.
2
12.ABD 当 a 2时，f x log2 (x 1)2在 1, 上单调递增，故 A正确；当 x2 ax 1可以取遍 0,
之间的一切实数值，从而 f x log 2a x ax 1 可以取遍 , 的一切值，即值域为R，此时
Δ a2 4 0 a 2（ a 2舍去）， a 2是 f x 值域为R的充要条件，故 B正确；
f x log x2a ax 1 的定义域是不等式 x2 ax 1 0的解集，不论实数 a取何值，定义域都是无限集.
要使 f x log 2a x ax 1 为偶函数，则 f x f x 2，于是 x ax 1 x2 a x 1，即 2ax 0
2
对定义域内的实数 x恒成立， a 0，但此时对数的底数为零，无意义；要使 f x loga x ax 1 为奇
函数，则 f x f x ，即 f x f x 0 2，于是 x ax 1 x2 a x 1 1，即
x2 x2 2 a2 0，该式不能恒成立.综上，C错误； x2 ax 1 0的解集为R，等价于a2 4 0，即
2 a 2，所以当 a 2时， f x 的定义域不可能为R，故 D正确.故选 ABD.
x 1 0
13.【答案】 1,2 【详解】由题意， ，解得1 x 2，故函数的定义域为 1,2 .故答案为： 1,2 .
2 x 0
1
14. x 1【答案】 , 【详解】由已知可知： f x 3 b在 R 上单调递增， 3
0 1 1
故若要符合题意需： f 0 3 b 1 0 b .故答案为： ,

3 3
1
15.【答案】 4,0 ,

【详解】当 x 0时， x 0，所以 f ( x) log x ，
4 2
因为函数 f (x)是定义在 R上的奇函数，所以 f (x) f ( x) log 2 x ，
7
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log2 x , x 0
所以当 x 0时， f (x) log2 x ，所以 f (x)

0, x 0 ，

log2 x, x 0
x 0 x 0 x 0
要解不等式 f (x) 2，只需 或 或 ，
log2 x 2 log2 x 2 0 2
x 1
1
解得 或 4 x 0或 x 0，综上，不等式的解集为 4,0 , .故答案为： 4,0
1 ,
4 4 4
.

16.6 易知 f x 在 0, 上单调递增，因为
f x f x ln x 2 1 x x 2 ln x 1 x x 0 ，所以 f x 是R上的奇函数，且 f x 在
R上单调递增，又已知 f b f c 1 0，所以b c 1 0，即b c 1，所以
3b2 1 3b2 (b c)2 4b c 4b c 2
2 2 2 6，当且仅当 c 2b 时取等号.
bc bc c b c b 3
3 2
17. 36解：（1）【小问 1详解】原式 3 3 3 log 323 3 2 8．4
1 2
【小问 2详解】因为 f 1 1 a 2b 2ab 1，所以 2，
b a
由于 a，b R+，所以 2a
1
b 2a b 1 2 1 2a 2b 9 4 1


3
，当且仅当 a b 取“＝”．
2 b a 2 b a 2 2
18.解：（1）因为命题“ x R, x2 2x m 6 0 ”是真命题，所以方程 x2 2x m 6 0有实根，
2
则有Δ 2 4 m 6 0，解得m 5，所以实数m的取值集合 A m∣m 5 .
（2）若“ x B ”是“ x A”的充分不必要条件，则B是 A的真子集，
x 2a 1 0当 2a 1 3a 1即 a 0时，不等式组 无解，所以 B ，满足题意；
x 3a 1 0
x 2a 1 0
当 2a 1 3a 1即 a 0时，不等式组 的解集为B {x∣2a 1 x 3a 1}，
x 3a 1 0
由题意B {x∣2a 1 x 3a 1}是 A m∣m 5 的真子集，所以 2a 1 5，所以 a 3 .
综上，满足题意的 a的取值范围是 a 0或 a 3 .
8
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19.【详解】（1） f x m2 2m 7 xm 2是幂函数，∴m2 2m 7 1，解得m 4或m 2；又 f x 在
0, 上单调递增，∴m 2 0，∴m的值为 4；（2）函数 g x f x 2a 1 x 1 x2 2a 1 x 1，
a 5当 时， g x 在区间 2,4 上单调递增，最小值为 h a g 2 7 4a；
2
5 a 9
2
当 时， g x 2a 1 2a 1 在区间 2,4 上先减后增，最小值为
2 2 h a g 1， 2 4
a 9当 时， g x 在区间 2,4 上单调递减，最小值为 h a g 4 21 8a．
2
2 dw0
20.解：（1）由已知将前 2列数据代入解析式①得： .
4 c 2 dw0
dw0 2 2 w
解之得： , ①w 2t
0
2；将前 2列数据代入解析式②得： ，
c 2 4 bloga3 w0
w0 2
解之得： ，②w 2log3aloga t 1 2 2log3 t 1 2 .
b 2log3a
（2）当 t 8时，模型①w 4 2 6，模型②w 2log39 2 6；
2lg17
当 t 16时，模型①w 4 2 2 7.66，模型②w 2log317 2 2 7.13 ；lg3
选模型②；当总量w再翻一番时有：8 2log3 t 1 2，解之得 t 26，
即再经过 26-2=24个月时，总量w能再翻一番.
2x m
21．【解】（1）解法 1：因为 f (x) x 为定义在R上的奇函数，2 1
x x x
所以 f ( x) f (x) 2 m 1 m2 2 m，所以 f ( x)
2 x
，
1 1 2x 2x 1
得1 m 2x 2x m，即 (m 1) 2x 1 0．因为 2x 1 0，所以m 1 0，即m 1．
x 0
解法 2：因为 f (x) 2 m 2 m x 为定义在R上的奇函数，所以 f (0) 0,m 1．2 1 20 1
2 x 1 1 2x 2x 1
当m 1时， f ( x)
2 x
x x f (x) ，所以m 1． 1 1 2 2 1
2
（2） f (x)在R上单调递增．由（1）得 f (x) 1 x ．任取2 1
9
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2 2 2x1 x2x1 x2 , f x
2 x x
1 f x2 x x 2 ，由于 2 1 2 2 ，所以2 2 1 2 1 1 2x1 1 2x2 1
f x1 f x2 0, f x1 f x2 ，所以 f (x)在R上单调递增．
（3）由（2）得函数 f (x)在R上单调递增，且为奇函数，所以不等式 f x2 x f (a ax) 0等价于
f x2 x f (a ax)等价于 f x2 x f (ax a) 2，等价于 x x ax a，
2
等价于 x (a 1)x a 0, (x 1)(x a) 0 所以，当 a 1时，原不等式的解集为 (1,a)；
当a 1时，原不等式的解集为 (a,1)；当 a 1时，原不等式的解集为空集．
1
22 ．【解】：（1）若函数 h(x) f (x) x a有零点，即 log xa a 1 x a，即方程 loga 1
a x
a有

p(x) log 1 1解．令 a x ，则函数 y p(x)的图象与直线 y a有交点． a
1 1 1
当0 a 1时，1
a x
1, p(x) loga 1 x 0，故方程 loga 1 x a无解． a a
a 1 1 1 1 1, p(x) log 1 当 时， x a x 0，由方程 log
1 1
a a a
a有解可知 a 0，所以 a 1．
a x
综上，a的取值范围是 (1, )．（2）当 x2 R时，
2x2
f 2x x log a2x a 1 122 2 a 1 x log x 2 a x loga a 2 ，
a 2

a
x2
1 a 1,a x 1 2 x2 0由（ ）知 2 x ，当且仅当 x2 0时取等号，所以 f 2x2 x2 的最小值是 loga 2．a 2
由题意， x1 [0, ), x2 R，使得 g 2x1 mg x1 f 2x2 x2 0成立，
x [0, ),a2x log 2即 11 ma
x1 loga 2成立，所以m ax a
x1 对 x1 [0, )恒成立，a 1
n a x m log 2设 1 则 a n对 n 1恒成立，
n
log 2
设函数 p(n) a n(n 1) y loga 2 ，易知函数 和函数 y n在[1, )上都是减函数，
n n
p(n) log 2则 a n loga 2 1，所以m loga 2 1．即 m的取值范围是 loga 2 1, ．n
10
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