四川省成都市棕北中学2015中考数学复习教案：反比例函数及其图象

反比例函数及其图象
教学目标：加深理解反比例函数的定义、图象 ( http: / / www.21cnjy.com )及其性质，能根据所给信息确定反比例函数的表达式，画出反比例函数的图象，并利用它们解决简单的实际问题。
教学重点：能根据所给信息确定反比例函数的表达式，画出反比例函数的图象，并利用它们解决简单的实际问题。
教学难点：经历探索的过程，培养学生学习数学的主动性和解决问题的能力。
教学过程：
（一）知识要点梳理：
1．概念：函数__y＝(k≠0)__叫做反比例函数．
2．图象：反比例函数的图象是双曲线，不与两坐标轴相交的两条双曲线．
3．性质：
(1)当k＞0时，其图象位于__第一、三象限__，在每个象限内，y随x的增大而__减小__；
(2)当k＜0时，其图象位于__第二、四象限__，在每个象限内，y随x的增大而__增大__；
(3)其图象是关于原点对称的中心对称图形，又是轴对称图形．
4．应用：如图，点A和点C是反比例函数y＝ ( http: / / www.21cnjy.com )(k≠0)的图象上任意两点，画AB⊥x轴于点B，CD⊥y轴于点D，则有S△AOB＝S△COD＝；注意根据图象所在象限来确定k的符号．
（二）考点分类解析：
考点1：反比例函数图象的确定
【例1】　已知图中的曲线是反比例函数y＝(m为常数)图象的一支．
(1)这个反比例函数图象的另一支在第几象限？常数m的取值范围是什么？
(2)若该函数的图象与正比例函数y＝2x的 ( http: / / www.21cnjy.com )图象在第一象限内的交点为A，过A点作x轴的垂线，垂足为点B，当△OAB的面积为4时，求点A的坐标及反比例函数的解析式．
解：(1)这个反比例函数图 ( http: / / www.21cnjy.com )象的另一支在第三象限，∵m－5＞0，∴m＞5　(2)∵点A在直线y＝2x上，∴设点A的坐标为(x0，2x0)(x0＞0)，则点B的坐标为(x0，0)．∵S△OAB＝4，∴·x0·2x0＝4，x0＝±2(舍去负值)，∴点A的坐标为(2，4)，又∵点A在双曲线y＝上，∴4＝，m－5＝8.∴反比例函数的解析式为y＝
【点评】　一次函数与反比例函数的图象的性质取决于系数的值，反过来由图象的性质，也可以确定系数的符号．要熟记函数的性质并灵活应用这些性质．
对应训练
1．(2014·芜湖模拟)若反比例函数y＝的图象过点(－2，1)，则一次函数y＝kx－k的图象过( A )
A．第一、二、四象限　　　　　B．第一、三、四象限
C．第二、三、四象限 D．第一、二、三象限
2.(2014·池州模拟)一次函数y＝ ( http: / / www.21cnjy.com )kx＋b(k≠0)与反比例函数y＝(k≠0)的图象在同一直角坐标系下的大致图象如图所示，则k，b的取值范围是( C )
A．k＞0，b＞0 B．k＜0，b＞0
C．k＜0，b＜0 D．k＞0，b＜0
考点2：待定系数法确定反比例函数解析式
:【例2】　(2014·广安)如图，反比例函数y＝(k为常数，且k≠0)经过点A(1，3)．
(1)求反比例函数的解析式；
(2)在x轴正半轴上有一点B，若△AOB的面积为6，求直线AB的解析式．
解：(1)∵反比例函数y＝(k为常数，且k≠0)经过点A(1，3)，∴3＝，解得k＝3，∴反比例函数的解析式为y＝
(2)设B(a，0)，则BO＝a， ( http: / / www.21cnjy.com )∵△AOB的面积为6，∴·a·3＝6，解得a＝4，∴B(4，0)，设直线AB的解析式为y＝kx＋b，∵经过A(1，3)B(4，0)，∴解得∴直线AB的解析式为y＝－x＋4
【点评】　反比例函数解析式中只有一 ( http: / / www.21cnjy.com )个待定系数，由一对已知对应值即可确定函数解析式，而一次函数中有两个待定系数，要求出其系数，需要已知两对对应值．
对应训练
1．(2014·襄阳)如图，一次函数y1＝－ ( http: / / www.21cnjy.com )x＋2的图象与反比例函数y2＝的图象相交于A，B两点，与x轴相交于点C.已知tan∠BOC＝，点B的坐标为(m，n)．
(1)求反比例函数的解析式；
(2)请直接写出当x＜m时，y2的取值范围．
解：(1)作BD⊥x轴于点D，如图，在Rt△OBD中，tan∠BOC＝＝，∴＝，即m＝－2n，
把点B(m，n)代入y1＝ ( http: / / www.21cnjy.com )－x＋2得n＝－m＋2，∴n＝2n＋2，解得n＝－2，∴m＝4，∴B点坐标为(4，－2)，把B(4，－2)代入y2＝得k＝4×(－2)＝－8，∴反比例函数解析式为y2＝－　(2)当x＜4，y2的取值范围为y2＞0或y2＜－2
考点3：　实际背景下的反比例函数的图象
【例3】　(2014·蚌 ( http: / / www.21cnjy.com )埠模拟)我市某蔬菜生产基地在气温较低时，用装有恒温系统的大棚栽培一种在自然光照且温度为18 ℃的条件下生长最快的新品种．如图是某天恒温系统从开启到关闭及关闭后，大棚内温度y(℃)随时间x(小时)变化的函数图象，其中BC段是双曲线y＝的一部分．请根据图中信息解答下列问题：
(1)恒温系统在这天保持大棚内温度18 ℃的时间有多少小时？
(2)求k的值；
(3)当x＝16时，大棚内的温度约为多少度？
解：(1)恒温系统在这天保持大棚温度1 ( http: / / www.21cnjy.com )8 ℃的时间为10小时　(2)∵点B(12，18)在双曲线y＝上，∴18＝，∴解得k＝216　(3)当x＝16时，y＝＝13.5，所以当x＝16时，大棚内的温度约为13.5 ℃
【点评】　现实生活中存在大量成反比例函 ( http: / / www.21cnjy.com )数的两个变量，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用待定系数法求出它们的关系式．若问题中两个变量不是单一的一次函数或反比例函数关系，而是二者的复合，则应分段讨论，并注意在实际问题中提炼出函数模型，往往要加自变量的取值范围．
对应训练
1．(2014·宣城模拟)工匠制作 ( http: / / www.21cnjy.com )某种金属工具要进行材料煅烧和锻造两个工序，即需要将材料烧到800 ℃，然后停止煅烧进行锻造操作，在8 min时，材料温度降为600 ℃.煅烧时温度y(℃)与时间x(min)成一次函数关系；锻造时，温度y(℃)与时间x(min)成反比例函数关系(如图)．已知该材料初始温度是32 ℃.
(1)分别求出材料煅烧和锻造时y与x的函数解析式，并且写出自变量x的取值范围；
(2)根据工艺要求，当材料温度低于480 ℃时，须停止操作，那么锻造的操作时间有多长？
解：(1)停止加热时，设y＝(k≠0)，由题意得600＝，解得k＝4800，当y＝800时，＝800，解得x＝6，∴点B的坐标为(6，800)，材料加热时，设y＝ax＋32(a≠0)，由题意得800＝6a＋32，解得a＝128，∴材料加热时，y与x的函数关系式为y＝128x＋32(0≤x≤6)．∴停止加热进行操作时y与x的函数关系式为y＝(x＞6)　(2)把y＝480代入y＝，得x＝10，10－6＝4(分)，故锻造的操作时间有4分钟
考点4：反比例函数与几何图形的结合
【例4】　(2014·德州)如图，双曲线y＝(x＞0)经过△OAB的顶点A和OB的中点C，AB∥x轴，点A的坐标为(2，3)．
(1)确定k的值；
(2)若点D(3，m)在双曲线上，求直线AD的解析式；
(3)计算△OAB的面积．
解：(1)将点A(2，3)代入解析式 ( http: / / www.21cnjy.com )y＝，得k＝6　(2)将D(3，m)代入反比例解析式y＝，得m＝＝2，∴点D坐标为(3，2)，设直线AD解析式为y＝kx＋b，
将A(2，3)与D(3，2)代入得解得k＝－1，b＝5，则直线AD解析式为y＝－x＋5
(3)过点C作CN⊥y轴，垂足为点N， ( http: / / www.21cnjy.com )延长BA，交y轴于点M，∵AB∥x轴，∴BM⊥y轴，∴MB∥CN，∴△OCN∽△OBM，∵C为OB的中点，即＝，∴＝()2，∵A，C都在双曲线y＝上，∴S△OCN＝S△AOM＝3，由＝，得到S△AOB＝9，则△AOB面积为9
【点评】　本题主要考查反比例函 ( http: / / www.21cnjy.com )数知识的综合运用，关键是利用待定系数法，数形结合的思想来解决此类题目，当然要熟练掌握反比例函数的性质及图象特征．
对应训练：
1.(2014·深圳)如图，双曲线y＝经过Rt△BOC斜边上的点A，且满足＝，与BC交于点D，S△BOD＝21，求k＝__8__．
2.(2014·玉林)如图，OABC是 ( http: / / www.21cnjy.com )平行四边形，对角线OB在y轴正半轴上，位于第一象限的点A和第二象限的点C分别在双曲线y＝和y＝的一支上，分别过点A，
C作x轴的垂线，垂足分别为点M和N，则有以下的结论：
①＝；
②阴影部分面积是(k1＋k2)；
③当∠AOC＝90°时，|k1|＝|k2|；
④若四边形OABC是菱形，则两双曲线既关于x轴对称，也关于y轴对称．
其中正确的是__①④__．(把所有正确的结论的序号都填上)
基础过关：
1．(2014·株洲)已知反比例函数y＝的图象经过点(2，3)，那么下列四个点中，也在这个函数图象上的是( B )
A．(－6，1)　　　　B．(1，6) C．(2，－3) D．(3，－2)
2．(2014·宁夏)已知两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)在函数y＝的图象上，当x1＞x2＞0时，下列结论正确的是( B )
A．0＜y1＜y2 B．0＜y2＜y1 C．y1＜y2＜0 D．y2＜y1＜0
3．(2014·随州)关于反比例函数y＝的图象，下列说法正确的是( D )
A．图象经过点(1，1) B．两个分支分布在第二、四象限
C．两个分支关于x轴成轴对称 D．当x＜0时，y随x的增大而减小
4．(2014·安徽)如图，矩形ABCD中 ( http: / / www.21cnjy.com )，AB＝3，BC＝4，动点P从A点出发，按A→B→C的方向在AB和BC上移动，记PA＝x，点D到直线PA的距离为y，则y关于x的函数图象大致是( B )
5．(2014·聊城)如图， ( http: / / www.21cnjy.com )一次函数y1＝k1x＋b的图象和反比例函数y2＝的图象交于A(1，2)，B(－2，－1)两点，若y1＜y2，则x的取值范围是( D )
A．x＜1 B．x＜－2
C．－2＜x＜0或x＞1 D．x＜－2或0＜x＜1
6. 如图，已知函数y＝（x>0）的图象经过点A，B，点A的坐标为 (1，2)．过点A作AC∥y轴，AC＝1（点C位于点A的下方），过点C作CD∥x轴，与函数的图象交于点D，过点B作BE⊥CD，垂足E在线段CD上，连接OC，OD．
(1)求△OCD的面积；
(2)当BE＝AC时，求CE的长．
.解：（1）反比例函数y=（x＞0）的图象经过点A（1，2），∴ k=2．
∵ AC∥y轴，AC=1，∴ 点C的坐标为（1，1）．
∵ CD∥x轴，点D在函数图象上，∴ 点D的坐标为（2，1）．
∴ CD的长为1.∴
（2）∵ BE=，AC=1，∴ ．∵ BE⊥CD，∴ 点B的纵坐标是．
设，把点代入y=得
即点B的横坐标是，∴ 点E的横坐标是，
CE的长等于点E的横坐标减去点C的横坐标.∴ CE=．
7.（2014·成都中考）如图，一次函数（为常数，且）的图象与反比例函数的图象交于，两点.
（1）求一次函数的表达式；
（2）若将直线向下平移个单位长度后与反比例函数的图象有且只有一个公共点，求的值.
解：（1）根据题意，把点A(-2,b)的坐标分别代入一次函数和反比例函数表达式中，得解得所以一次函数的表达式为y＝x＋5.
（2）向下平移m个单位长度后，直线AB的表达式为，根据题意，得
消去y，可化为，
Δ＝（5－m）2－4×，解得m＝1或9.
能力拓展
1. (2014·重庆中考) 如图，反比例函数在第二象限的图象上有两点A、B，它们的横坐标分别为－1、－3，直线AB与x轴交于点C，则△AOC的面积为（ C ）
A.8 B.10 C.12 D.24
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第1题图 第2题图
2. 如图所示，过点C(1,2)分别作x轴、y轴的平行线，交直线y=-x+6于A、B两点，若反比例函数y=(x＞0)的图象与△ABC有公共点，则k的取值范围是（ A ）
A.2≤k≤9 B.2≤k≤8 C.2≤k≤5 D.5≤k≤8
3. 如图所示，点A、B在反比例函数（k＞0，x＞0）的图象 上，过点A、B作x轴的垂线，垂足分别为M、N，延长线段AB交x轴于点C，若OM＝MN＝NC，△AOC的面积为6，则k的值为 4 .
4..（2014·陕西中考）已知，是同一个反比例函数图象上的两点.若，且，则这个反比例函数的表达式为 .
5. (2014·武汉中考) 如图，若双曲线与边长为5的等边△AOB的边OA，AB分别相交于C，D两点，且OC＝3BD，则实数k的值为______.
6. 如图，一次函数的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点．线段AB的中点P在反比例函数的图象上．
（1）求k的值．
（2）若一次函数的图象与的图象有且只有一个第三象限的公共点Q，且与x轴、y轴分别交于C、D两点，试判断AD，BC的位置关系．
（3）求四边形ABCD面积的最小面积．
解：（1）由已知易得A(4,0)，B(0,6)．
所以点P的坐标为(2,3)．
代入反比例函数的表达式得，
，解得k=6． 5分
（2）由已知得只有一组解．
消元并整理得，故． 10分
又易求得A(4，0)，B(0，6)，C(，0)，D(0，n)，
所以，即，
因此AD//BC． 15分
（3）S四边形ABCD
20分
．
所以，四边形ABCD的最小面积是48． 25分
第3题图
第5题图