福清西山学校高中部2023-2024学年第一学期12月份月考
高二数学试卷
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
单项选择题（本大题共8题，每小题5分，共计40分。每小题列出的四个选项中只有一项是最符合题目要求的）
1．直线的倾斜角为（ ）
A． B． C． D．
2．若双曲线C以两条坐标轴为对称轴，是其一条渐近线，则双曲线C的离心率为（ ）
A． B． C．或 D．或
3．若双曲线=1的离心率为，则该双曲线的渐近线方程为（ ）
A． B． C． D．
4．如图，空间四边形中，，点为中点，
点在侧棱上，且，则（ ）
B．
C． D．
5．已知是平面的一个法向量，是平面的一个法向量，且平面平面，则向量在上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
6．国家体育场（又名鸟巢）将再次承办奥运会开幕式．在手工课上，张老师带领同学们一起制作了一个近似鸟巢的金属模型，其俯视图可近似看成是两个大小不同，扁平程度相同的椭圆，已知大椭圆的长轴长为40cm，短轴长为20cm，小椭圆的短轴长为12cm，则小椭圆的长轴长为（ ）cm
A．12 B．24 C．10 D．
7．已知圆C：，直线l：，若圆C上有四个不同的点到直线l的距离为，则c的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．设是椭圆与双曲线的公共焦点，曲线在第一象限内交于点，若椭圆的离心率，则双曲线的离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
多项选择题（本大题共4题，每小题5分，共计20分。每小题列出的四个选项中有多项是符合题目要求的，漏选得2分，多选或错选不得分）
9．关于直线：，下列说法正确的有（ ）
A．直线的斜率为 B．经过点
C．在轴上的截距为 D．直线经过第二 三 四象限
10．已知方程表示的曲线为，则下列四个结论中正确的是（ ）
A．当且时，曲线是椭圆； B．当或时，曲线是双曲线；
C．若曲线是焦点在轴上的椭圆，则； D．若曲线是焦点在轴上的双曲线，则.
11．古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名.他发现：“平面内到两个定点的距离之比为定值的点的轨迹是圆”. 后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.在平面直角坐标系中，，点P满足.设点P的轨迹为C，下列结论正确的是（ ）
A．C的方程为
B．在x轴上存在异于的两定点，使得
C．当三点不共线时，射线是的平分线
D．在C上存在点M，使得
12．如图，棱长为1的正方体中，E为线段的中点，F为线段的中点，P为线段内的动点（含端点），则（ ）
A．平面 B．存在点P，使得
C．平面与底面ABCD所成角的余弦值是 D．三棱锥的体积是
三、填空题（每小题5分，共计20分）
13．已知，若，则 ．
14.已知直线，直线，若，则= .
15．过点作斜率为的直线与椭圆相交于两点，若是线段的中点，则椭圆的离心率为______________________．
16．已知圆与圆得公共弦所在直线恒过定点，而且点在直线上，则的最小值是 .
四、解答题（解答题需写出必要的解题过程或文字说明，17题10分，其余各题每题各12分）
17．已知两圆和，求：
（1）当取何值时两圆外切？
（2）当时，求两圆的公共弦所在直线的方程和公共弦的长.
18．倾斜角为的直线过抛物线的焦点，且与交于A，两点
（1）求抛物线的准线方程；
（2）求的面积（为坐标原点）.
如图，在四棱锥中，平面底面，，点为棱的中点.
(1)证明：；
(2)求直线与平面所成角的大小.
20．已知双曲线：的一个焦点与抛物线：的焦点重合.
(1)求抛物线的方程；
(2)若直线：交抛物线于A、B两点，O为原点，求证：以为直径的圆经过原点O.
21．如图，四棱锥中，四边形为梯形，其中，．
(1)证明：平面平面；
(2)若，点满足，且三棱锥的体积为，求平面与平面的夹角的余弦值．
22.已知椭圆的离心率为，且过点.
(1)求椭圆C的方程；
(2)若椭圆C的上顶点为P，过P的两条直线，分别与C交于异于点P的A，B两点，若直线，的斜率之和为，试判断直线是否过定点？若是，求出该定点；若不是，请说明理由.福清西山学校高中部2023-2024学年第一学期12月份月考
高二数学试卷参考答案
1．C 2．D 3．A 4．C 5．B 6．B
7．D 8．B 9．ABD 10．AB 11．BC 12．ACD
13．2 14．2 15． 16．2
17．【解析】（1）由已知化简两圆的方程为标准方程分别为：
，（2分）
所以，
因为两圆外切，所以，（4分）
即，所以；（5分）
（2）当时，，
两圆相减得：，（6分）
所以两圆的公共弦所在直线的方程为，（7分）
圆心到直线的距离为，（8分）
所以公共弦长为.（10分）
18．【解析】（1）由已知可得，，焦点在轴上，
所以，抛物线的准线方程为.（3分）
（2）∵抛物线的方程为，∴抛物线的焦点F坐标为.（4分）
又∵倾斜角为的直线，所以斜率为，（5分）
∴直线AB的方程为：.（6分）
代入抛物线方程消去y并化简得.（7分）
解法一：解得，
所以． （9分）
又点到直线的距离为，（10分）
所以.（12分）
解法二：，设，则，
过分别作准线的垂线，设垂足分别为如图所示．
． （9分）
点到直线的距离为，（10分）
所以.（12分）
19．【详解】（1）取中点O，连接，，
又平面平面，平面平面，平面，
平面，（2分）
在平面内，过点作，则平面，
以A为原点，为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，
则，
，，
即，；（5分）
（2）因为，所以，
平面平面，平面平面，，平面，
平面，
所以平面的一个法向量为，（8分）
令直线与平面所成角为，
则，（11分）
又因为，所以.（12分）
20．【详解】（1）由双曲线方程知其焦点在x轴上且焦点坐标为，，所以为抛物线：的焦点，得，
所以抛物线的方程为.（4分）
（2）设，
联立，
由韦达定理得，（8分）
所以
所以，
所以以为直径的圆经过原点O.得证（12分）
21．【详解】（1）为等边三角形，
，
又四边形为梯形，，则，（2分）
根据余弦定理可知，在中，
根据勾股定理可知，，即，（3分）
平面，
平面，
又平面平面平面；（5分）
（2）为中点，，
由（1）可知，平面平面，
又平面平面平面，
平面，
连接，则，且平面，
故，
所以PO，BD，OC两两垂直．
以O为原点，以为x轴正方向，以为y轴正方向，以为z轴正方向建立空间直角坐标系，
则，
设且，则，（8分）
由三棱锥的体积为得：，
所以，
，
设平面的一个法向量为，
则，令，则，故，
设平面的一个法向量为，
则，令，则，
故．
所以平面与平面的夹角余弦值为：
.（12分）
22．【解析】（1）由题意知解得，，，（3分）
所以椭圆C的方程为；（4分）
（2）显然，直线的斜率存在，
设直线的方程为，，，,
由得，（6分）
所以，（7分）
，（9分）
所以，（10分）
所以直线的方程为，
所以直线恒过定点（12分）
