(共26张PPT)
7.1.1 数系的扩充和复数的概念
课程标准 1.了解数系的扩充与引进复数的必要性.
2.通过方程的解认识复数,并理解复数的有关概念.
3.掌握复数相等的充要条件及其应用.
1
基础落实·必备知识全过关
2
重难探究·能力素养全提升
01
基础落实·必备知识全过关
知识点1 复数的概念及其表示
1.复数的定义
我们把形如 的数叫做______,其中 叫做__________.全体复数所构成的
集合 , 叫做________.规定 ___.
复数
虚数单位
复数集
-1
2.复数的表示
复数通常用字母 表示,即 , ___ .以后不作特殊说明时,复数
都有 , ,其中的 与 分别叫做复数 的____________.
实部与虚部
名师点睛
的虚部是 ,而不是 .
过关自诊
1.判断正误.（正确的画 ,错误的画 ）
（1）复数 的实部是0. ( )
√
（2）复数 的实部和虚部相等. ( )
√
2.方程 在复数范围内有解吗
提示 有解,因为 ,所以 就是方程 的一个解.
知识点2 复数相等
在复数集 , }中任取两个数 , ,我们规定:
与 相等当且仅当_ ______且______.
名师点睛
1.根据两个复数相等的定义知,在 且 两式中,如果有一个不成立,那么
.
2.如果两个复数都是实数,则可以比较大小;否则不能比较大小.
3.复数相等的充要条件是把复数问题转化为实数问题的重要依据,是复数问题实数
化这种数学思想方法的体现.
过关自诊
1.判断正误.（正确的画 ,错误的画 ）
（1）两个复数实部的差和虚部的差都等于零,那么这两个复数相等. ( )
√
（2）若复数 ,复数 ,则 . ( )
×
2.已知 , ,若 ,则 ___.
5
[解析] 因为 , , ,
所以 所以 所以 .
知识点3 复数的分类
1.复数 可以分类如下:
实数________,
______ (当 时为纯虚数)
虚数
2.复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系:
复数
过关自诊
1.判断正误.（正确的画 ,错误的画 ）
（1）复数 ,当 时是虚数. ( )
√
（2）复数 一定是纯虚数. ( )
×
（3）实数集 是复数集C的真子集. ( )
√
2.在复数 , ,0, , 中,不是虚数的为_ __________.
,0
[解析] 在所给复数中, ,0是实数,不是虚数.
3.若复数 是纯虚数,则实数 ___.
2
[解析] 由已知得 解得 .
02
重难探究·能力素养全提升
探究点一 对复数相关概念的理解
【例1】 （多选题）下列说法错误的是( )
ABD
A.复数由实数、虚数、纯虚数构成
B.若复数 ,则其实部与虚部分别为 ,
C.在复数 中,若 ,则复数 一定不是纯虚数
D.若 , ,则 是纯虚数
[解析] A错误,复数由实数与虚数构成,在虚数中又分为纯虚数和非纯虚数.B错误,只有当 , 时,才能说复数 的实部与虚部分别为 , .
C正确,复数 为纯虚数的条件是 且 ,只要 ,则复数 一定不是纯虚数.
D错误,只有当 ,且 时, 才是纯虚数.
规律方法 判断复数概念方面的命题真假的注意点
（1）正确理解复数、虚数、纯虚数、实部、虚部、复数相等的概念,注意它们之
间的区别与联系;
（2）注意复数集与实数集中有关概念与性质的不同;
（3）注意通过列举反例来说明一些命题是假命题.
变式训练1 下列说法正确的是( )
A
A. 是一个复数 B.形如 的数一定是虚数
C.两个复数一定不能比较大小 D.若 ,则
[解析] 由复数的定义知A正确;当 , 时 表示实数,故B项错误;如果两个复数同时是实数时,可以比较大小,故C项错误; 与 不能比较大小,故D项错误.
探究点二 复数的分类及其应用
【例2】 已知复数 ,其中 .当 为何值时,
（1） 是实数；
解 当 是实数时,应有 ,
即 解得 或 .
（2） 是虚数；
解 当 是虚数时,应满足 ,
即 因此 ,且 ,且 .
（3） 是纯虚数.
解 当 是纯虚数时,应满足
解得 .
规律方法 利用复数的分类求参数的方法及注意事项
（1）利用复数的分类求参数时,首先应将复数化为 的形式,若
不是这种形式,应先化为这种形式,得到实部与虚部,再求解;
（2）要注意确定使实部、虚部的式子有意义的条件,再结合实部与虚部的取值求解;
（3）要特别注意复数 为纯虚数的充要条件是 且 .
变式训练2 已知 ,复数 ,当 满足何条件时,
（1） 为实数；
解 当 为实数时, 需满足 解得 .
（2） 为虚数；
解 当 为虚数时, 需满足
解得 ,且 .
（3） 为纯虚数.
解 当 为纯虚数时, 需满足 无解,即不存在 使 为纯虚数.
探究点三 复数相等的充要条件
【例3】 已知集合 , , ,1, }.若 ,
求实数 的值.
解 ,
或 .
若 ,
则 解得 .
若 ,
则 解得 .
综上可知,实数 的值为1或2.
规律方法 复数相等问题的解题技巧
（1）复数必须是 的形式才可以根据实部与实部相等,虚部与
虚部相等列方程组求解.
（2）根据复数相等的条件,将复数问题转化为实数问题,为应用方程思想提供了条
件,同时这也是复数问题实数化思想的体现.
变式训练3（1） 若 ,则 _ ____, ___.
5
[解析] 由复数相等的条件知 , .
（2）已知 ,求实数 , 的值.
解 由复数相等的条件得方程组
由②得 ,代入①得 .
解得 , .
所以 , .
即 或
本节要点归纳(共29张PPT)
7.1 复数的概念
7.1.2 复数的几何意义
课程标准 1.了解复平面的概念.
2.理解复数、复平面内的点、复平面内的向量之间的对应关系.
3.掌握复数模和共轭复数的概念,会求复数的模和共轭复数.
1
基础落实·必备知识全过关
2
重难探究·能力素养全提升
01
基础落实·必备知识全过关
知识点1 复数的几何意义
1.复平面
（1）复平面:建立了直角坐标系来表示______的平面叫做复平面;
（2）实轴:坐标系中的 轴叫做______,实轴上的点都表示______;
（3）虚轴:坐标系中的 轴叫做______,除了原点外,虚轴上的点都表示________.
复数
实轴
实数
虚轴
纯虚数
2.复数的几何意义
（1）复数集C中的数与复平面内的点一一对应:
复数 复平面内的点 ;
（2）复数集C中的数与复平面内以原点为起点的向量一一对应:
复数 平面向量 .
名师点睛
复数与平面向量建立一一对应关系的前提是向量的起点为原点,否则,不能建立一一
对应关系.
过关自诊
1.判断正误.（正确的画 ,错误的画 ）
（1）在复平面上,直角坐标系的实轴和虚轴的交点是原点. ( )
√
（2）复数 对应的点是 . ( )
√
（3）复数与复平面内以原点为起点的向量一一对应. ( )
√
2.虚轴上的点对应的复数都是纯虚数吗
提示 不都是,虚轴上的点除了原点外都表示纯虚数,原点表示实数0.
知识点2 复数的模
1.定义:向量 的____叫做复数 的模或绝对值,记作 或 .
模
2.求法: ,其中 , .
过关自诊
1.判断正误.（正确的画 ,错误的画 ）
（1）复数的模一定是正实数. ( )
×
（2）两个复数相等,它们的模一定相等,反之也成立. ( )
×
2.复数的模的几何意义是什么
提示 复数的模就是该复数在复平面内对应的点到原点的距离.
知识点3 共轭复数
一般地,当两个复数的实部______,虚部____________时,这两个复数叫做互为共轭复数.
虚部不等于0的两个共轭复数也叫做__________.复数 的共轭复数用___表示,即如果
,那么 .
相等
互为相反数
共轭虚数
名师点睛
（1）设 ,对应的点为 , ,对应的点为 ,点
与 关于实轴对称.
（2）若复数 ,则 .
过关自诊
1.判断正误.（正确的画 ,错误的画 ）
（1）复数 的共轭复数为 . ( )
√
（2）两个复数互为共轭复数,它们的模相等. ( )
√
2.复数 在复平面内对应的点在第二象限,它的共轭复数对应的点在第几象限
提示 第三象限,因为复数和其共轭复数在复平面内对应的点关于实轴对称.
02
重难探究·能力素养全提升
探究点一 复数与复平面内点的对应
【例1】 在复平面内,若复数 对应的点:
解 复数 的实部为 ,虚部为
.
（1）在虚轴上;
解 由题意得 ，解得 或 .
（2）在第二象限;
解 由题意得,
,即 的取值范围为 .
（3）在第二象限或第四象限;
解 由题意得, ,
或 ,
即 的取值范围为 .
（4）在直线 上,分别求实数 的取值范围.
解 由已知得 ,解得 .
规律方法 利用复数与复平面内点的对应的解题步骤
（1）首先确定复数的实部与虚部,从而确定复数对应点的坐标.
（2）根据已知条件,确定实部与虚部满足的关系.
变式训练1 当实数 取什么值时,复数 ,
（1）对应的点在 轴上方;
解 由 ,得 或 ,所以当 或 时,复数 对应
的点在 轴上方.
（2）对应的点在直线 上
解 由 ,得 或 ,所以当 或
时,复数 对应的点在直线 上.
探究点二 复数与复平面内向量的对应
【例2】 在复平面上,点 , 对应的复数分别为 , , 为复平面的坐标原点.求
平行四边形 的顶点 对应的复数.
解 由于 , 分别对应复数 , ,则 对应的复数为 ,即点 所对应的复数.
规律方法 1.复数与复平面内向量的对应和转化
（1）对应:复数 与向量 是一一对应关系.
（2）转化:复数的有关问题可转化为向量问题求解.
2.解决复数问题的主要思想方法
（1）转化思想:复数问题实数化;
（2）数形结合思想:利用复数的几何意义数形结合解决;
（3）整体化思想:利用复数的特征整体处理.
变式训练2（1） 已知复数 , 对应的复平面内的点分别
为 和 , 为原点,且 ,求实数 的值.
解 依题意可知 , .因为 ,所以 ,
即 ,解得 .
（2）在复平面内,若点 是复数 的对应点,
请根据下列点 的位置分别求复数
①在虚轴上;
解 若复数 的对应点 在虚轴上,
则 ,所以 或 .
此时, 或 .
②在实轴负半轴上.
解 若复数 的对应点 在实轴负半轴上,
则 解得 ,所以 .
探究点三 复数的模及其应用
【例3】 若复数 的模等于 ,求实数 的值.
解 由已知得 ,即 ,解得 或 ,故实数 的值等于 或 .
规律方法 1.计算复数的模时,应先确定其实部与虚部,再套用公式计算.
2.两个复数相等,其模必相等,反之,两个复数的模相等,这两个复数不一定相等.
3.两个复数不一定能够比较大小,但两个复数的模一定可以比较大小.
变式训练3 若复数 对应的点在直线 上,且 ,则复数 ________________.
或
[解析] 依题意可设复数 ,由 得 ,
解得 ,故 或 .
探究点四 共轭复数及其应用
【例4】 设 ,则在复平面内 对应的点位于( )
C
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
[解析] 由 ,得 ,则在复平面内 对应的点 位于第三象限,故选C.
规律方法 共轭复数的关注点
本节内容对共轭复数的要求有两点:一是会利用定义写出已知复数的共轭复数;二是
明确互为共轭的两个复数表示的点的对称关系.
变式训练4 已知 是虚数单位,复数 ,则 的实部与虚部之差为( )
D
A.1 B.0 C. D.2
[解析] ,实部为1,虚部为 ,
所以实部与虚部之差为 .
本节要点归纳
1.知识清单：
（1）复数与复平面内的点、向量之间的对应关系.
（2）复数的模及几何意义.
（3）共轭复数.
2.方法归纳:待定系数法、数形结合.
3.常见误区:虚数不能比较大小,虚数的模可以比较大小.(共24张PPT)
7.2.1 复数的加、减运算及其几何意义
课程标准 1.掌握复数的加法、减法运算法则.
2.了解复数加法、减法运算的几何意义.
3.能够利用复数的加法、减法运算法则及几何意义解决问题.
1
基础落实·必备知识全过关
2
重难探究·能力素养全提升
01
基础落实·必备知识全过关
知识点1 复数的加、减运算
1.复数加法、减法的运算法则
设 , 是任意两个复数,则有:
_________________;
_ ________________.
2.复数加法的运算律
设 , , ,则有:
交换律: ________;
结合律: _ ____________.
过关自诊
1.判断正误.（正确的画 ,错误的画×）
（1）两个复数进行加法或减法运算后结果可能是实数. ( )
√
（2）实数加法的运算律在复数范围内仍适用. ( )
√
（3）复数 . ( )
×
2.（1）若 , ,则 _ ______.
[解析] .
（2） _ ______.
[解析] .
知识点2 复数加法、减法的几何意义
1.设 , 分别与复数 , 对应,则 ,
.由平面向量的坐标运算法则,得 .
这说明两个向量 与 的和就是与复数 对应的向量.因此,
复数的加法可以按照向量的加法来进行,这就是复数加法的几何意义.
2.设 , 分别与复数 , 对应,则 ,
.由平面向量的坐标运算法则,得 .
这说明两个向量 与 的差就是与复数 对应的向量.因此,
复数的减法可以按照向量的减法来进行,这就是复数减法的几何意义.
过关自诊
1.判断正误.（正确的画√,错误的画×）
（1）两个复数的和对应的向量即为这两个复数对应向量的和. ( )
√
（2）两个复数的差对应的向量即为这两个复数对应向量的差. ( )
√
2.两个复数的差的模的几何意义是什么
提示 根据复数减法的几何意义易知两个复数的差的模即为这两个复数在复平面内所对应的两点间的距离.
02
重难探究·能力素养全提升
探究点一 复数的加、减运算
【例1】（1） 计算 ______.
[解析]
.
（2）已知复数 满足 ,求 .
解 （方法一）设 ,
因为 ,
所以 ,
即 且 ,解得 , ,所以 .
（方法二）因为 ,
所以 .
规律方法 复数加、减运算的方法技巧
（1）可把复数运算类比实数运算,若有括号,先计算括号里面的;若没有括号,可以从
左到右依次进行.
（2）当利用交换律、结合律抵消掉某些项的实部或虚部时,可以利用运算律简化
运算,注意正负号法则与实数相同,不能弄错.
变式训练1（1） 计算 _ _______.
[解析] .
（2）若 ,则复数 _ ______.
[解析] 由已知得 .
探究点二 复数加、减运算的几何意义
【例2】 已知平行四边形 中, 与 对应的复数分别是 与 ,两对角
线 与 相交于点 .求:
（1） 对应的复数;
解 因为四边形 是平行四边形,
所以 ,于是 ,
而 ,即 对应的复数是 .
（2） 对应的复数;
解 因为 ,而 ,
即 对应的复数是5.
（3） 的面积.
解 因为 , ,即 ,
,
于是 ,而 , ,
所以 ,
因此 ,故 ,
故 ,即 的面积为 .
规律方法 用复数加、减运算的几何意义解题的策略
向量加法、减法运算的平行四边形法则和三角形法则是复数加法、减法几何意义
的依据.利用向量加法“首尾相接”和向量减法“指向被减向量”的特点,在三角形内可求得
第三个向量及其对应的复数.注意向量 对应的复数是 （终点对应的复数减去
起点对应的复数）.
变式训练2 如图所示,平行四边形 的顶点 , , 分别对应复数0, , .求:
（1）向量 对应的复数;
解 因为 ,所以向量 对应的复数为 .
（2）向量 对应的复数;
解 因为 ,所以向量 对应的复数为 .
（3）向量 对应的复数.
解 因为 ,所以向量 对应的复数为 .
探究点三 复数模的最值问题
【例3】（1） 设 ,且 ,则 的最小值为( )
C
A.0 B.1 C. D.
[解析] 如图所示,由 ,得 .
复数 对应的点在以 , 为端点的线段的垂直平
分线 上,直线 过原点 ,则 .
表示复数 对应的点 到点 的距离.
过点 作 垂直于直线 ,点 为垂足,此时 取到最小值
.
又 ,所以 的最小值为 .
（2）若复数 满足 ,求 的最大值和最小值.
解 复数 在复平面内对应的点 的轨迹是以 为圆心,1
为半径的圆面（包括边界）,如图所示,
.
所以 , .
规律方法 复数模的问题的求解策略
表示复平面内 , 对应的两点间的距离.利用此性质,可把复数模的问题转化
为复平面内两点间的距离问题,从而进行数形结合,把复数问题转化为几何图形问题求解.
变式探究（1） 若本例（2）条件改为“设复数 满足 ”,求 的最大值.
解 因为 ,所以复数 在复平面内所对应的点在以 为圆心,半径为1
的圆上,由几何性质得 的最大值是 .
（2）若本例（2）条件改为已知 且 ,求 （ 为虚数单位）的最小值.
解 因为 且 ,作图如图,所以 的几何意义为以
为圆心的单位圆上的点 到复平面上的点 的距离,所以
的最小值为
本节要点归纳
1.知识清单：
（1）复数代数形式的加、减运算法则.
（2）复数加、减法的几何意义.
（3）复平面上两点间的距离公式.
2.方法归纳:类比、数形结合.
3.常见误区:忽略模的几何意义.(共30张PPT)
7.2.2 复数的乘、除运算
课程 标准
1
基础落实·必备知识全过关
2
重难探究·能力素养全提升
01
基础落实·必备知识全过关
知识点1 复数的乘法及其运算律
1.复数乘法的运算法则
设 , 是任意两个复数,那么它们的积
_ ____________________.
2.复数乘法的运算律
对于任意 , , ,有
交换律
结合律
乘法对加法的分配律
名师点睛
（1）复数的乘法与多项式的乘法类似,注意有一点不同,即必须在所得结果中把
换成 ,再把实部、虚部分别合并.
（2）两个复数的积仍为复数,可推广,任意多个复数的积仍然是一个复数.
（3）重要性质： .
过关自诊
1.判断正误.（正确的画 ,错误的画×）
（1）复数的乘法满足交换律、结合律和乘法对加法的分配律. ( )
√
（2）若复数 的共轭复数为 ,则 . ( )
√
（3）两个虚数相乘的结果可能为实数. ( )
√
2. 有什么规律？
提示 , , , ,即 是
以4为周期的.
知识点2 复数的除法
在进行复数除法运算时,通常先把 写成 的形式,再把分子与
分母都乘分母的共轭复数_______,化简可得 _ _____ _______ ,
, , ,且 .
过关自诊
1.判断正误.（正确的画√,错误的画×）
（1）复数的加、减、乘、除混合运算法则是先算乘、除,后算加、减. ( )
√
（2）在进行两个复数除法运算时通常先要写成分式形式. ( )
√
（3）复数 . ( )
×
2.两个复数在进行除法运算时需要注意哪些方面
提示 （1）两个复数进行除法运算时通常先要写成分式形式；（2）最终结果要化成 的形式.
知识点3 复数范围内一元二次方程的解法
1.在复数范围内,任何实系数一元二次方程都是有根的,当实系数一元二次方程
的根的判别式 时,其求根公式为_ _________________.
2.若复系数方程有实数根,通常将这个根设出,代入方程,利用复数的运算以及复数相等的
充要条件进行求解.
过关自诊
1.判断正误.（正确的画√,错误的画×）
（1）方程 的解是 . ( )
×
（2）在复数范围内解实系数一元二次方程可以类比实数范围内解一元二次方程,利用
求根公式求解. ( )
×
2.已知关于 的一元二次方程 , , ,且 ,如何求它的实根？
提示 ①求出判别式 的值,判断根的情况,若 ,方程有两个不相等的实根;
若 ,方程有两个相等的实根;若 ,方程无实根.
②当 时,方程的两根为 .
02
重难探究·能力素养全提升
探究点一 复数的乘法与除法运算
角度1.复数的乘法运算
【例1】 计算下列各题:
（1） ;
解 .
（2） ;
解 .
（3） ;
解 .
（4） .
解 .
规律方法 复数乘法运算的步骤
变式训练1（1） 计算: ( )
D
A. B. C. D.
[解析] 原式 .故选D.
（2）若复数 在复平面内对应的点在第二象限,则实数 的取值范围是
( )
B
A. B. C. D.
[解析] ,
由题意知 解得 .故选B.
角度2.复数的除法运算
【例2】（1） 若复数 满足 （ 为虚数单位）,则 为( )
A
A. B. C. D.
[解析] .
（2）计算: _______.
[解析] 原式 .
规律方法 复数除法运算的技巧
（1）根据复数的除法法则,通过分子、分母都乘分母的共轭复数,使“分母实数化”,
这个过程与“分母有理化”类似.
（2）复数除法运算的结果要进行化简,通常要写成复数的代数形式,即实部与虚部
要完全分开的形式.
变式训练2 设复数 满足 ,则 ( )
A
A.1 B. C. D.2
[解析] ,
,
.
探究点二 i幂值的周期性及其应用
【例3】 计算下列各式的值:
（1） ;
解
（2） ;
解
.
（3） .
解 .
规律方法 利用 幂值的周期性解题的技巧
（1）熟记 的幂值的4个结果,当幂指数除以4所得的余数是0,1,2,3时,相应的幂值分
别为1, , , .
（2）对于 ,有 .
变式训练3 若 , ,则集合 的子集的个数为( )
B
A.3 B.4 C.8 D.16
[解析] 当 时, ;当 时, ;当 时, ;当 时, ,因此 ,故 有4个子集.
探究点三 与复数有关的方程问题
【例4】 在复数范围内解关于 的方程 .
解 （方法一）因为 ,所以
,
又因为 ,所以 ,所以 ,即 .
（方法二）因为 ,
所以方程的根为 .
规律方法 与复数有关的方程问题,一般是利用复数相等的充要条件,把复数问题实数化
进行求解,一元二次方程一类问题中,根与系数的关系仍适用.
变式训练4 已知关于 的方程 有实数根 ,求实数 ,
的值.
解 是方程 的实根,
,故 解得 .
本节要点归纳(共31张PPT)
7.3.1 复数的三角表示式
7.3.2 复数乘、除运算的三角表示及其几何意义
课程标准 1.通过复数的几何意义,了解复数的三角表示.
2.了解复数的代数形式与三角形式之间的关系.
3.了解复数乘、除运算的三角表示及其几何意义.
1
基础落实·必备知识全过关
2
重难探究·能力素养全提升
01
基础落实·必备知识全过关
知识点1 复数的三角表示式
1.一般地,任何一个复数 都可以表示成 的形式.其中, 是
____________; 是以 轴的非负半轴为始边,_ ________________（射线____）为终边
的角,叫做复数 的______. 叫做复数 的三角表示式,
简称三角形式.为了与三角形式区分开来,_ ______叫做复数的代数表示式,简称代数形式.
复数 的模
向量 所在射线
辐角
2.任何一个不为零的复数的辐角有无限个值,且这些值相差_____________.我们规定在
___________范围内的辐角 的值为辐角的主值.通常记作______,即 .
例如, ___, __, _ __, ___.
的整数倍
0
3.两个非零复数相等当且仅当它们的____与____________分别相等.
模
辐角的主值
过关自诊
1.判断正误.（正确的画 ,错误的画 ）
（1）复数0的辐角一定是0. ( )
×
（2）一个给定的复数,其辐角也是唯一确定的. ( )
×
（3）复数 的辐角可以为 . ( )
√
2.将下列复数表示为三角形式:
（1） ;
解 .
（2） ;
解 .
（3） .
解 .
知识点2 复数三角形式乘法法则与几何意义
1.已知 , ,则 _________________
__________________.
这就是说,两个复数相乘,积的模等于各复数的________,积的辐角等于各复数的_______
___.
模的积
辐角的和
2.复数乘法的几何意义
两个复数 , 相乘时,先分别画出与 , 对应的向量 , ,然后把向量_____绕
点 按____时针方向旋转角___（如果 ,就要把_ ____绕点 按____时针方向旋转
角_____）,再把它的模变为原来的___倍,得到向量 , 表示的复数就是积 .
逆
顺
过关自诊
1.判断正误.（正确的画 ,错误的画 ）
（1）用复数的三角形式进行复数的乘法运算时,两个相乘的复数的辐角必须是辐角的
主值. ( )
×
（2）通过复数三角形式乘法法则可知, . ( )
√
2.计算: 表示成代数形式为_________.
[解析] 原式
.
知识点3 复数三角形式除法法则与几何意义
1.设 , ,且 ,则
___________________________.
这就是说,两个复数相除,商的模等于被除数的模除以除数的模所得的商,商的辐角等于
______________减去____________所得的差.
被除数的辐角
除数的辐角
2.复数除法的几何意义
两个复数 , 相除时,先分别画出与 , 对应的向量 , ,然后把向量
绕点 按顺时针方向旋转角 （如果 ,就要把 绕点 按逆时针方向旋转角
）,再把它的模变为原来的 倍,得到向量 , 表示的复数就是商 .
过关自诊
1.判断正误.（正确的画 ,错误的画 ）
（1）通过复数三角形式除法法则可知 ,其中 . ( )
√
（2） , 是复数,且 ,则 . ( )
×
2.计算： .
解 原式 .
02
重难探究·能力素养全提升
探究点一 复数的三角形式
【例1】 将下列复数表示成三角形式.
（1） ;
解 模长 ,辐角主值 .所以 .
（2）8;
解 模长 ,辐角主值 ,所以 .
（3） ;
解 模长 ,设辐角为 , 且 在第三象限,所以
, .
（4） .
解 模长 ,设辐角为 , 且 在第二象限,所以
,则 .
规律方法
复数的代数形式 化为复数三角形式的一般步骤是:
（1）求复数的模: ;
（2）由 及点 所在象限求出复数的一个辐角（一般情况下,只需求
出复数的辐角主值即可）;
（3）写出复数的三角形式.
变式训练1 将下列复数中代数形式的表示成三角形式,三角形式的表示成代数形式.
（1） ;
解 模长 ,辐角主值 ,
.
（2） ;
解 模长 ,设辐角为 , 且 在第四象限,则辐角主值为
.
.
（3） ;
解 模长 ,设辐角为 , ,且 在第一象限, 辐角主值为 ,
.
（4） ;
解 原式 .
（5） .
解 原式 .
探究点二 复数三角形式的乘法运算
【例2】 计算下列各式:
（1） ;
解 原式
.
（2） ;
解 原式 .
（3） ;
解 原式 .
（4） .
解 原式 .
规律方法 两个复数三角形式乘法的法则可简记为:模数相乘,辐角相加,并且可以作以
下推广:
（1）有限个复数相乘,结论亦成立.
即
］.
（2）当 时,即 , ,
有 ,这就是复数三角形式的乘方法则,
即:模数乘方,辐角 倍.
变式训练2 计算 .
解 原式 .
探究点三 复数三角形式的除法运算
【例3】 计算下列各式:
（1） ;
解 原式 .
（2） .
解 原式 .
规律方法 进行两个复数的三角形式除法运算时,将模对应相除当模,用被除数辐角减去
除数的辐角当作商的辐角,即可得两个复数的除法结果.
变式训练3 计算下列各式:
（1） ;
解 原式 .
（2） .
解 原式 .
探究点四 复数三角形式的乘法、除法的几何意义
【例4】 设 对应的向量为 ,将 绕原点 按逆时针方向和顺时针方向分
别旋转 和 ,求所得向量对应的复数（用代数形式表示）.
解 将 绕原点 按逆时针方向旋转 所得向量对应的复数为
.
将 绕原点 按顺时针方向旋转 所得向量对应的复数为
.
规律方法 两个复数 , 相乘时,先分别画出与 , 对应的向量 , ,然后把向
量 绕点 按逆时针方向旋转角 （如果 ,就要把 绕点 按顺时针方向
旋转角 ）,再把它的模变为原来的 倍,得到向量 , 表示的复数就是积 .这
是复数乘法的几何意义.
变式训练4 如图,若 与 分别表示复数 , ,求
的大小,并判断 的形状.
解 ,,且
,
设 , ,由余弦定理,得
,
,又 ,
为有一锐角为 的直角三角形.
本节要点归纳
1.知识清单：
（1）复数的三角形式.
（2）复数三角形式的乘法运算.
（3）复数三角形式的除法运算.
（4）复数三角形式的乘法、除法运算的几何意义.
2.方法归纳:数形结合、三角恒等变换.
3.常见误区:复数的辐角与辐角的主值易混淆.(共20张PPT)
本章总结提升
1
知识网络·整合构建
2
专题突破·素养提升
01
知识网络·整合构建
02
专题突破·素养提升
专题一 复数的概念
1.复数的概念是掌握复数的基础,如虚数、纯虚数、复数相等、复数的模等.有关复
数的题目不同于实数,应注意根据复数的相关概念解答.
2.掌握复数的相关概念,培养数学抽象素养.
【例1】 已知复数 .
（1）若复数 是实数,求实数 的值；
解 若复数 是实数,则 ,解得 或 .
（2）若复数 是虚数,求实数 的取值范围；
解 若复数 是虚数,则 ,解得 且 .
故实数 的取值范围为 且 .
（3）若复数 是纯虚数,求实数 的值.
解 若 是纯虚数,则 解得 .
规律方法 处理复数概念问题的两个注意点
（1）当复数不是 的形式时,要通过变形化为 的形
式,以便确定其实部和虚部.
（2）求解时,要注意实部和虚部本身对变量的要求,否则容易产生增根.
变式训练1（1） 若复数 （ 为虚数单位）, 是 的共轭复数,则 的虚
部为( )
A
A.0 B. C.1 D.
[解析] 因为 ,所以 ,所以 .故选A.
（2）设 是虚数单位,若复数 是纯虚数,则 的值为( )
D
A. B. C.1 D.3
[解析] 因为 ,由纯虚数的定义,知
,所以 .
专题二 复数的几何意义
1.复数运算与复数几何意义的综合是高考常见的考查题型,解答此类问题的关键是
利用复数运算将复数化为代数形式,再利用复数的几何意义解题.
2.通过复数几何意义的学习,培养直观想象素养.
【例2】（1） 在复平面内,复数 （ 是虚数单位）所对应的点位于( )
B
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
[解析] ,
故复数 所对应的点位于第二象限.
（2）已知复数 , , ,它们在复平面上所对应
的点分别为 , , .若 ,则 ____, _____.
[解析] , .
即
规律方法 利用复数与点的对应的解题步骤
（1）首先确定复数的实部与虚部,从而确定复数对应点的坐标.
（2）根据已知条件,确定实部与虚部满足的关系.
变式训练2 若 为虚数单位,图中复平面内点 表示复数 ,则表
示复数 的点是( )
D
A. B. C. D.
[解析] 点 对应的复数为 ,
, .
该复数对应的点的坐标是 ,即点 .
专题三 复数的四则运算
1.复数运算是本章的重要内容,是高考考查的重点和热点,每年高考都有考查,一般以
复数的乘法和除法运算为主.
2.借助复数运算的学习,提升数学运算素养.
【例3】（1） 已知 是 的共轭复数,若 ,则 ( )
A
A. B. C. D.
[解析] 设 （ , ）,则 ,代入 中得, ,
,
由复数相等的条件得,
,故选A.
（2）已知复数 , ,则 ( )
D
A. B. C. D.
[解析]
.
规律方法
（1）复数的乘法运算与多项式的乘法运算类似.
（2）复数的除法运算,将分子分母同时乘分母的共轭复数,最后整理成
的结构形式.
（3）利用复数相等,可实现复数问题的实数化.
变式探究 本例（1）中已知条件不变,则 __.
[解析] 由解析知 ,所以 .
.
