(共36张PPT)
10.1.1 有限样本空间与随机事件 10.1.2 事件的关系和运算
课程 标准
1
基础落实·必备知识全过关
2
重难探究·能力素养全提升
01
基础落实·必备知识全过关
知识点1 有限样本空间的相关概念
1.随机试验:我们把对随机现象的______和对它的______称为随机试验,简称试验,常用字
母___表示.
说明:本节中我们研究的是具有以下特点的随机试验.
（1）试验可以在相同条件下重复进行;
（2）试验的所有可能结果是明确可知的,并且不止一个;
（3）每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个,但事先不能确定出现哪一个结果.
实现
观察
2.样本点:我们把随机试验 的____________________称为样本点,一般用 表示样本点.
3.样本空间:全体样本点的______称为试验 的样本空间,一般用 表示样本空间.
每个可能的基本结果
集合
4.有限样本空间:
如果一个随机试验有 个可能结果 , , , ,则称样本空间 ______________
____为有限样本空间,也就是说 为有限集的情况即为有限样本空间.
, , ,
名师点睛
样本点与样本空间的关系可联想元素与集合的关系来理解记忆.注意:试验不同,对
应的样本空间也不同;同一试验,若试验的目的不同,则对应的样本空间也不同.
过关自诊
1.判断正误.（正确的画 ,错误的画 ）
（1）随机试验的样本点一定是有限个. ( )
×
（2）随机试验的所有可能结果是明确可知的,并且不止一个. ( )
√
2.你能举出生活中的随机试验吗
提示 生活中的随机试验很多,例如抛硬币试验,掷骰子试验,过红绿灯路口等都是随机试验.
知识点2 事件的概念及分类
1.随机事件:样本空间 的______称为随机事件,简称事件.
2.基本事件:只包含____________的事件称为基本事件.
3.事件 发生:在每次试验中,当且仅当_____________________,称为事件 发生.
4.必然事件: 作为自身的子集,包含了所有的样本点,在每次试验中总有一个样本点发
生,所以 总会发生,我们称_ __为必然事件.
5.不可能事件:空集 不包含任何样本点,在每次试验中都不会发生,我们称_ __为不可能事件.
子集
一个样本点
A中某个样本点出现时
名师点睛
应该注意事件发生的结果是相对应于“一定条件”而言的.故要弄清某一随机事件,必
须明确何为事件发生的条件.随机事件发生有可能性大小之分.
过关自诊
判断正误.（正确的画 ,错误的画 ）
（1）某人过红绿灯路口时遇到红灯是随机事件. ( )
√
（2）我们把必然事件和不可能事件看作随机事件的极端情况,每个事件都看作样本空
间 的子集. ( )
√
（3）只有当事件 中的样本点都发生了,事件 才发生. ( )
×
知识点3 利用集合的知识研究随机事件
符号 读法 含义
______________________________ ______
_____________ ____________
若事件 发生,则事件 一定
发生
且
符号 读法 含义
_________________ _________________ ________
_____________ __________
事件 与事件 的并事件（或和
事件）
（或 ）
续表
符号 读法 含义
_ __________
续表
过关自诊
1.判断正误.（正确的画 ,错误的画 ）
（1）事件 发生,事件 与事件 不发生,则可表示为 ( )
√
（2）事件 , , 均不发生可表示为 . ( )
√
（3）事件 , , 至少有两个发生可表示为 . ( )
×
（4）若事件 与事件 互为对立事件,则事件 与事件 一定为互斥事件. ( )
√
2.如果事件 是必然事件,那么事件 和事件 是对立事件吗
提示 不一定.事件 和事件 是对立事件满足两个条件: ； .
02
重难探究·能力素养全提升
探究点一 试验的样本空间
【例1】 某人做试验,从一个装有标号为1,2,3,4的小球的盒子中,无放回地取两个小球,每
次取一个,先取的小球的标号为 ,后取的小球的标号为 ,这样构成有序实数对 .
（1）写出这个试验的样本空间;
解 当 时, ,3,4;
当 时, ,3,4;
当 时, ,2,4;
当 时, ,2,3.因此,这个试验的样本空间是 , , , ,
, , , , , , , .
（2）写出“第一次取出的小球上的标号为2”这一事件.
解 记“第一次取出的小球上的标号为2”为事件 ,则 , , .
规律方法
随机事件的结果是相对于条件而言的,要弄清某一随机事件的结果,首先必须明确事
件发生的条件.在写试验结果时,要按照一定的顺序采用列举法写出,注意不能重复也不
能遗漏.
变式探究 若将本例中的条件改为有放回地取两个小球呢？每次取一个,先取的小球的
标号为 ,看清编号后放回盒子摇匀,再取一个小球的标号为 ,这样构成有序实数对
.试写出这个试验的样本空间.
解 当 时, 可取1,2,3,4.
同理, ,3,4时,对应的不同的试验结果也有4个.
所以这个试验的样本空间为 , , , , , , , ,
, , , , , , , .
探究点二 随机事件
角度1.随机事件的概念及分类
【例2】（1） 一个不透明的袋子中装有8个红球,2个白球,除颜色外,球的大小、质地完
全相同,采用不放回的方式从中摸出3个球.下列事件为不可能事件的是( )
A
A.3个都是白球 B.3个都是红球 C.至少1个红球 D.至多2个白球
[解析] 由于袋子中白球的个数为2个,摸出的3个球都是白球是不可能事件,故A选项符合题意;摸出的3个球都是红球是随机事件,故B选项不符合题意;摸出的球至少一个红球是必然事件,故C选项不符合题意;摸出的球至多2个白球是必然事件,故D选项不符合题意.
（2）下列事件中,是必然事件的是( )
D
A.任意买一张电影票,座位号是2的倍数 B.12个人中有两个人的生肖相同
C.买了一注彩票中一等奖 D.实数
[解析] 选项A,B,C中的事件都不确定发生,因此都不是必然事件,只有选项D总会发生,因此是必然事件.
变式训练1 有下列事件：
其中必然事件是( )
A
①在标准大气压下,水加热到 时会沸腾；
②实数的绝对值不小于零；
③某彩票中奖的概率为 ,则买100 000张这种彩票一定能中奖.
A.② B.③ C.①②③ D.②③
[解析] ①在标准大气压下,水加热到 时会沸腾,是不可能事件;②实数的绝对值不
小于零,是必然事件;③某彩票中奖的概率为 ,则买100 000张这种彩票不一定能
中奖,因此是随机事件,所以其中是必然事件的为②.
角度2.用集合表示随机事件
【例3】 做抛掷红、蓝两枚骰子的试验,用 表示结果,其中 表示红色骰子出现的
点数, 表示蓝色骰子出现的点数.
（1）写出这个试验的样本空间;
解 这个试验的样本空间 为 , , , , , , , , ,
, , , , , , , , , , , , ,
, , , , , , , , , , , , , .
（2）求出试验的样本点的个数;
解 这个试验的样本点个数为36.
（3）指出事件 , , , , , 的含义.
解 事件 的含义为“抛掷红、蓝两枚骰子,掷出的点数之和为7”.
变式训练2 连续掷3枚硬币,观察落地后这3枚硬币出现正面还是反面.
（1）写出对应的样本空间;
解 样本空间 （正,正,正）,（正,正,反）,（正,反,正）,（正,反,反）,（反,正,正）,
（反,正,反）,（反,反,正）,（反,反,反） .
（2）求这个试验的样本空间中样本点的个数;
解 这个试验的样本点个数是8.
（3）写出“恰有两枚正面向上”这一事件的集合表示.
解 “恰有两枚正面向上”这一事件的集合表示为{（正,正,反）,（正,反,正）,（反,正,正）}.
探究点三 互斥事件、对立事件的判断
【例4】 将《红楼梦》《水浒传》《西游记》《三国演义》四本书随机地分发给甲、
乙、丙三人,每人至少分得一本,则下列两个事件为互斥事件的是( )
C
A.事件“甲分得一本”与事件“丙分得两本”
B.事件“甲分得《红楼梦》”与事件“乙分得《西游记》”
C.事件“甲分得两本”与事件“乙分得两本”
D.事件“乙分得《三国演义》”与事件“丙分得《水浒传》”
[解析] 将《红楼梦》《水浒传》《西游记》《三国演义》四本书随机地分发给甲、乙、丙三人,每人至少分得一本,对于A,事件“甲分得一本”与事件“丙分得两本”能同时发生,不为互斥事件,故A错误;
对于B,事件“甲分得《红楼梦》”与事件“乙分得《西游记》”能同时发生,不为互斥事件,故B错误;
对于C,事件“甲分得两本”与事件“乙分得两本”不能同时发生,是互斥事件,故C正确;
对于D,事件“乙分得《三国演义》”与事件“丙分得《水浒传》”能同时发生,不为互斥事件,故D错误.
规律方法 1.一般判断互斥事件或对立事件时常从集合的角度来认识,若 ,
,则称事件 与事件 互为对立;若 ,则称事件 与事件 互斥
（或互不相容）.对于本例中的问题, 要把样本空间明确,再进行分析.
2.判断互斥事件的步骤
（1）确定每个事件包含的结果;
（2）确定是否至少有一个结果发生会意味着两个事件都发生,若是,则两事件不互
斥,否则就是互斥的.
3.判断对立事件的步骤
（1）判断是互斥事件;
（2）确定两个事件必然有一个发生,否则只互斥,但不对立.
变式训练3 从装有3个红球和2个白球的口袋中随机取出3个球,则事件“取出1个红球和2
个白球”的对立事件是( )
D
A.取出2个红球和1个白球 B.取出的3个球全是红球
C.取出的3个球中既有红球也有白球 D.取出的3个球中不止一个红球
[解析] 从装有3个红球和2个白球的口袋中随机取出3个球,则事件“取出1个红球和2个白球”的对立事件是取出的3个球中至少有两个红球.
故选D.
探究点四 用简单事件的和或积表示复杂事件
【例5】 已知电路图 ,其中记 “开关 合上”, “开关 合上”.
则 表示的含义是_ ___________________.
开关 , 同时合上
【例6】 盒子里有6个红球,4个白球,现从中任取3个球,设事件 “3个球中有1个红球,2
个白球”,事件 “3个球中有2个红球,1个白球”,事件 “3个球中至少有1个红球”,事
件 “3个球中既有红球又有白球”.问:
（1）事件 与 , 是什么样的运算关系？
解 对于事件 ,可能的结果为1个红球2个白球或2个红球1个白球,
故 .
（2）事件 与 的交事件是什么事件？
解 对于事件 ,可能的结果为1个红球2个白球,2个红球1个白球,3个均为红球,
故 .
规律方法 进行事件运算时应注意的问题
（1）进行事件的运算时,一是要紧扣运算的定义,二是要全面考查同一条件下的试
验可能出现的全部结果,必要时可利用 图或列出全部的试验结果进行分析.
（2）在一些比较简单的题目中,需要判断事件之间的关系时,可以根据常识来判断.
但如果遇到比较复杂的题目,就得严格按照事件之间关系的定义来推理.
变式训练4 从一批100件的产品中每次取出一个（取后不放回）,假设100件产品中有5
件是次品,用事件 表示第 次取到次品 ,试用 , , 表示下列事件.
（1）三次全取到次品;
（2）只有第一次取到次品;
解
（3）三次中至少有一次取到次品;
解
（4）三次中恰有两次取到次品;
解
（5）三次中至多有一次取到次品.
解 或
本节要点归纳(共35张PPT)
10.1.3 古典概型
课程标准 1.了解随机事件概率的含义及表示.
2.理解古典概型的特点和概率公式.
3.了解古典概型的一般求解思路和策略.
1
基础落实·必备知识全过关
2
重难探究·能力素养全提升
01
基础落实·必备知识全过关
知识点1 随机事件的概率
对随机事件________________的度量（数值）称为事件的概率,事件 的概率用_ _____表示.
发生可能性大小
过关自诊
判断正误.（正确的画 ,错误的画 ）
（1）概率就是用一个数值来衡量随机事件发生可能性的大小. ( )
√
（2）抛掷一枚硬币,正面向上的概率为0.5. ( )
×
知识点2 古典概型
1.有限性:样本空间的样本点只有有限个;
2.等可能性:每个样本点发生的可能性相等.
我们将具有以上两个特征的试验称为古典概型试验,其数学模型称为古典概率模型,
简称古典概型.
名师点睛
1.由古典概型的定义可得古典概型满足基本事件的有限性和等可能性这两个重要
特征,所以求事件的概率就可以不用通过大量的重复试验,而只要对一次试验中可能出现
的结果进行分析和计算即可.
2.在古典概型中,每个基本事件发生的可能性都相等,称这些基本事件为等可能基本事件.
过关自诊
1.判断正误.（正确的画 ,错误的画 ）
（1）古典概型中每一个样本点出现的可能性相等. ( )
√
（2）古典概型中样本点只有有限个. ( )
√
（3）古典概型中的任何两个样本点都是互斥的. ( )
√
2.若一次试验的结果所包含的样本点的个数是有限个,则该试验是古典概型吗？
提示 不一定是,还要看每个样本点发生的可能性是否相等,若相等才是,否则不是.
知识点3 古典概型的概率公式
一般地,设试验 是古典概型,样本空间 包含 个样本点,事件 包含其中的 个
样本点,则定义事件 的概率 _____.
其中, 和 分别表示事件 和样本空间 包含的样本点个数.
名师点睛
求解古典概型问题的一般思路
（1）明确试验的条件及要观察的结果,用适当的符号（字母、数字、数组等）表
示试验的可能结果（借助图表可以帮助我们不重不漏地列出所有的可能结果）;
（2）根据实际问题情境判断样本点的等可能性;
（3）计算样本点总个数及事件 包含的样本点个数,求出事件 的概率.
过关自诊
1.在长分别为 、 、 、 的四条线段中,任取三条,这三条线段能构成
三角形的概率为( )
C
A. B. C. D.0
[解析] 从四条线段中任意取三条,共有： , ,
, ,四种情况,其中三条线段能构成三角形只有
一种情况,
故能构成三角形的概率为 .
2.某汽车站每天均有3辆开往省城的分上、中、下等级的客车.某天王先生准备在该汽车站乘车去省城办事,但他不知道客车的车况,也不知道发车顺序.为了尽可能乘上上等车,他采取如下策略:先不上第一辆,如果第二辆比第一辆好则上第二辆,否则上第三辆,那么你能得出王先生能乘上上等车的概率吗？
提示 共有6种发车顺序：①上、中、下;②上、下、中;③中、上、下;④中、下、上;
⑤下、中、上;⑥下、上、中（其中画线的表示王先生所乘的车）,所以他乘上上等车的
概率为 .
02
重难探究·能力素养全提升
探究点一 古典概型的判断
【例1】 袋中有大小相同的5个白球,3个黑球和3个红球,每球有一个区别于其他球的编号,从中摸出一个球.
（1）有多少种不同的摸法？如果把每个球的编号看作是一个样本点，以这些样本点建立概率模型,该模型是不是古典概型？
解 由于共有11个球,且每个球有不同的编号,因此共有11种不同的摸法,又因为所有球大小相同,所以每个球被摸中的可能性相等,故以球的编号为样本点的概率模型为古典概型.
（2）若按球的颜色为样本点,有多少个样本点？以这些样本点建立概率模型,该模型是不是古典概型？
解 由于11个球共有3种颜色,因此共有3个样本点,分别记为 “摸到白球”, “摸到黑
球”, “摸到红球”.
因为所有球大小相同,所以一次摸球每个球被摸中的可能性均为 .
因为白球有5个,所以一次摸球摸中白球的可能性为 .
同理可知,摸中黑球、红球的可能性均为 .
显然这三个样本点出现的可能性不相等,
所以以颜色为样本点的概率模型不是古典概型.
规律方法 1.一个试验是否为古典概型,在于是否具有两个特征：有限性和等可能性.
2.并不是所有的试验都是古典概型,下列三类试验都不是古典概型：（1）样本点个
数有限,但非等可能.（2）样本点个数无限,但等可能.（3）样本点个数无限,也不等可能.
变式训练1 下列问题中是古典概型的是( )
D
A.种下一粒杨树种子,求其能长成大树的概率
B.掷一颗质地不均匀的骰子,求出现1点的概率
C.在区间 上任取一数,求这个数大于1.5的概率
D.同时掷两颗骰子,求向上的点数之和是5的概率
[解析] A,B两项中的样本点的发生不是等可能的;C项中样本点的个数是无数个;D项中样本点的发生是等可能的,且是有限个.
探究点二 古典概型的概率计算
角度1.简单的古典概型问题
【例2】 从1,2,3,4,5这5个数字中任取三个不同的数字,求下列事件的概率：
解 这个试验样本空间 , , , , , , ,
, , ,所以样本点总数 .
（1）事件 三个数字中不含1和 ；
解 因为事件 ,
所以事件 包含的样本点数 .
所以 .
（2）事件 三个数字中含1或 .
解 因为事件 , , , , , , , , ,
所以事件 包含的样本点数 .
所以 .
规律方法
1.求解古典概型“四步法”
2.列举出样本点的各种情况是核心,常用方法除列表法、树形图外还可以借用坐标
系来表示二维或三维问题.
变式训练2 某班级从5名同学中挑出2名同学进行大扫除,若小王和小张在这5名同学之
中,则小王和小张都没有被挑出的概率为( )
B
A. B. C. D.
[解析] 记另3名同学分别为 , , ,
所以所有的情况有： , , ,小王 , ,小张 , , ,小王 , ,小张 , ,
小王 , ,小张 , 小王,小张 10种情况.
小王和小张都没有被挑出包括的样本点为 , , ,共3种,
综上,小王和小张都没有被挑出的概率为 .
故选B.
角度2.古典概型中的“放回”与“不放回”问题
【例3】 从含有两件正品 , 和一件次品 的3件产品中每次任取一件,每次取出后不放回,连续取两次.
（1）求取出的两件产品中恰有一件次品的概率；
解 每次取一件,取后不放回地连续取两次,其一切可能的结果组成的样本空间
, , , , , ,其中小括号内左边的字母表
示第1次取出的产品,右边的字母表示第2次取出的产品. 由6个样本点组成,这些样本
点的出现是等可能的.用 表示“取出的两件中,恰好有一件次品”这一事件,则
, , , .
事件 由4个样本点组成,
所以 .
（2）如果将“每次取出后不放回”这一条件换成“每次取出后放回”,则取出的两件产品中恰有一件次品的概率是多少？
解 有放回地连续取出两件,其一切可能的结果组成的样本空间 , ,
, , , , , , ,共9个样本点.
用 表示“恰有一件次品”这一事件,则 , , , .
事件 由4个样本点组成,
所以 .
规律方法 关于有放回抽样,应注意在连续取出两次的过程中,因为先后顺序不同,所以
, 不是同一个样本点,解题的关键是要清楚无论是“不放回抽取”还是“有放
回抽取”,每一件产品被取出的机会都是均等的.
变式训练3 从分别写有1,2,3,4,5的5张卡片中随机抽取1张,放回后再随机抽取1张,则抽得
的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为( )
D
A. B. C. D.
[解析] 根据题意,不妨用 表示两次抽取得到的样本点,
其中 代表第一次抽取的数字, 代表第二次抽取的数字.
故所有抽取的可能有如下25种:
, , , , , , , , , ， , ,
, , , , , , , ， , , , ,
.
满足抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的有如下10种:
, , , , , , , , , ,
根据古典概型的概率计算公式可得，该事件的概率 .
故选D.
探究点三 古典概型与统计相结合
【例4】 某甜品公司开发了一款甜品,现邀请甲、乙两地部分顾客进行试吃,并收集顾客对该产品的意见以及评分,所得数据统计如图所示.
（1）试通过计算比较甲、乙两地顾客评分平均数的大小（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；
解 甲地顾客评分的平均数为 ;
乙地顾客评分的平均数为 .
故甲地顾客评分的平均数大于乙地.
（2）若按照分层随机抽样的方法从甲地分数在 的顾客中抽取7人,再从这7人中
随机抽取2人,求恰有1人的分数在 的概率.
解 依题意,分数在 的抽取3人,记为 , , ,分数在 的抽取4人,记为 , , ,
.
则任取2人,所有的情况为 , , , , , , , ,
, , , , , , , , , , , ,
,共21种.
其中满足条件的为 , , , , , , , , ,
, , ,共12种.
故所求概率 .
规律方法 概率问题常常与统计问题综合考查,在此类问题中,概率与频率的区别并不是
十分明显,通常直接用题目中的频率代替概率进行计算.
变式训练4 从某校高二年级800名男生中随机抽取50名
测量其身高（单位: ,被测学生的身高全部在
到 之间）,将测量结果按如下方式分成8组:第一
组 ,第二组 , ,第八组 ,
绘制成的频率分布直方图如图所示,若从身高位于第六
组和第八组的男生中随机抽取2名,记他们的身高分别为
, ,则 的概率为( )
A
A. B. C. D.
[解析] 由频率分布直方图,可知身高在 的人数为 ,分别
记为 , , , ;身高在 的人数为 ,分别记为 , ,设第
一次抽取的人记为 ,第二次抽取的人记为 ,则可用数组 表示样本点,
“从身高位于第六组和第八组的男生中随机抽取2名”,若 , ,则
, , , , , ,共6种情况;若 , ,则
,共1种情况;若 , 或 ,
,则 , , , , , , , ,共8
种情况.所以样本点的总数为 ,而事件“ ”所包含的样本点数
为 ,故 .
本节要点归纳
1.知识清单：
（1）古典概型.
（2）古典概型的概率公式.
（3）古典概型与统计相结合.
2.方法归纳:列举法、树状图法.
3.常见误区:列举样本点时,要按照一定的顺序,力求不重不漏.(共31张PPT)
10.1.4 概率的基本性质
课程标准 1.理解两个事件互斥、互为对立的含义.
2.理解概率的6条基本性质,重点掌握性质3、性质4、性质6及其公式的应用条件.
3.能灵活运用这几条重要性质解决相关的实际问题,培养数学建模和数学化归能力.
1
基础落实·必备知识全过关
2
重难探究·能力素养全提升
01
基础落实·必备知识全过关
知识点 概率的基本性质
性质1
性质2
性质3
性质4
性质5
性质6
1
0
1
0
名师点睛
1.对于 应用的前提是 , 互斥,并且该公式可以推广到多
个事件的情况.如果事件 , , , 两两互斥,那么事件 发生的概
率等于这 个事件分别发生的概率之和,即
.
该公式我们常称为互斥事件的概率加法公式.
2.若 与 互为对立,则有 ;若 ,并不能得出 与
互为对立.
3.对于概率加法的一般公式 ,当 时,
就是性质3.
过关自诊
1.判断正误.（正确的画 ,错误的画 ）
（1）必然事件的概率一定为1. ( )
√
（2）若事件 与事件 互斥,则 . ( )
×
（3）对于随机试验中的两个事件 和 ,则 . ( )
×
2.（1）（多选题）抛掷一枚骰子1次,记“向上的点数大于3”为事件 ,“向上的点数小于3”
为事件 ,“向上的点数小于4”为事件 ,“向上的点数小于5”为事件 ,则下列说法正确的
有( )
ABD
A. 与 是互斥事件但不是对立事件 B. 与 是互斥事件也是对立事件
C. 与 是互斥事件 D. 与 不是对立事件也不是互斥事件
[解析] 在A中, 与 不能同时发生,但能同时不发生,是互斥事件但不是对立事件,故A
正确;在B中, 与 是互斥事件也是对立事件,故B正确;在C中, 与 能同时发生,不是
互斥事件,故C错误;在D中, 与 能同时发生,不是对立事件也不是互斥事件,故D正确.
（2）事件 与 是对立事件,且 ,则 ____.
0.8
[解析] 因为 与 是对立事件,所以 ,即 .
（3）掷一枚均匀的正六面体骰子,设 “出现3点”, “出现偶数点”,则 _ _.
[解析] .
（4）甲、乙两人各射击一次,命中率分别为0.8和 ,两人同时命中的概率为 ,则甲、
乙两人至少有一人命中的概率为____.
0.9
[解析] 设事件 “甲命中”,事件 “乙命中”,则“甲、乙两人至少有一人命中”为事件 ,
02
重难探究·能力素养全提升
探究点一 互斥、互为对立事件的判断
【例1】 判断下列各事件是不是互斥事件,如果是互斥事件,那么是不是对立事件,并说明理由.
某小组有3名男生和2名女生,从中任选2名同学去参加演讲比赛,其中:
（1）恰有1名男生和恰有2名男生;
解 是互斥事件.理由是在所选的2名同学中,“恰有1名男生”实质是选出“1名男生和1名女生”,它与“恰有2名男生”不可能同时发生,所以是互斥事件.不是对立事件.理由是当选出的2名同学都是女生时,这两个事件都没有发生,所以不是对立事件.
（2）至少有1名男生和至少有1名女生;
解 不是互斥事件.理由是“至少有1名男生”包括“1名男生、1名女生”和“2名都是男生”这两种结果,“至少有1名女生”包括“1名女生、1名男生”和“2名都是女生”这两种结果,当选出的是1名男生、1名女生时,它们同时发生.
（3）至少有1名男生和全是女生.
解 是互斥事件.理由是“至少有1名男生”包括“1名男生、1名女生”和“2名都是男生”这两种结果,它与“全是女生”不可能同时发生.是对立事件.这两个事件不能同时发生,且必有一个发生,所以是对立事件.
规律方法
1.判断互斥事件和对立事件时,主要用定义来判断.当两个事件不能同时发生时,这两
个事件是互斥事件;当两个事件不能同时发生且必有一个发生时,这两个事件是对立事件.
2.当事件的构成比较复杂时,可借助于集合的思想方法进行互斥事件、对立事件的判定.
变式探究 在本例中,若从中任选3名同学呢？试分析问题（1）,（2）的两个事件之间的关系.
解 （1）是互斥事件.理由是在所选的3名同学中“恰有1名男生”实质是选出“1名男生和2名女生”;“恰有2名男生”实质是选出“2名男生和1名女生”,显然两个事件不能同时发生,是互斥事件;
两个事件不是对立事件,因为当选出“3名男生”时,两个事件可以同时不发生.
综上,两个事件是互斥事件,但不是对立事件.
（2）不是互斥事件.理由是“至少有1名男生”包含“有1名男生2名女生”“有2名男生1名女生”“有3名男生”三种结果;“至少有1名女生”则包含“1名女生2名男生”“2名女生1名男生”,显然两个事件可以同时发生,所以不是互斥事件,更不是对立事件.
探究点二 互斥事件的概率加法公式的应用
【例2】 已知事件 , 互斥, , ,则 _ ____.
[解析] , 互斥, , ,
.
【例3】 玻璃盒子装有各种颜色的球共12个,其中5个红球、4个黑球、2个白球、1个绿
球,从中任取1个球.设事件 “取出1个红球”,事件 “取出1个黑球”,事件 “取出1
个白球”,事件 “取出1个绿球”,且 , , , .求:
解 由题意知 , , , ,且事件 , , , 彼此为互斥事件,所以
（1）“取出1球为红球或黑球”的概率;
解 “取出1球为红球或黑球”的概率为 .
（2）“取出1球为红球或黑球或白球”的概率.
解 （方法一）“取出1球为红球或黑球或白球”的概率为
.
（方法二）“取出1球为红球或黑球或白球”的对立事件为“取出1球为绿球”,即
的对立事件为 ,所以“取出1球为红球或黑球或白球”的概率为
..
规律方法 1.将所求事件转化为彼此互斥的若干个事件的和,利用概率的加法公式求解.
互斥事件的概率加法公式可以推广为
,其使用的前提条件仍然是 , ,
, 彼此互斥.在将事件拆分成若干个互斥事件时,注意不能重复和遗漏.
2.当所要拆分的事件非常烦琐,而其对立事件较为简单时,可先求其对立事件的概率,
再运用公式求解.但是一定要找准其对立事件,避免错误.
变式训练1 抛掷一个质地均匀的骰子的试验,事件 表示“小于5的偶数点出现”,事件
表示“不小于5的点数出现”,则一次试验中,事件 或事件 至少有一个发生的概率为
( )
A
A. B. C. D.
[解析] 事件 表示“小于5的偶数点出现”,事件 表示“不小于5的点数出现”,
所以 ,
,
又小于5的偶数点有2和4,不小于5的点数有5和6,
所以事件 和事件 为互斥事件,
则一次试验中,事件 或事件 至少有一个发生的概率为
,故选A
探究点三 概率性质的综合应用
【例4】 袋中有12个小球,分别为红球、黑球、黄球、绿球.从中任取一球,取到红球的概率是 ,取到黑球或黄球的概率是 ,取到黄球或绿球的概率是 .试求取到黑球、黄球、绿球的概率各是多少？
解 从袋中任取1球,记事件 “取到红球”,事件 “取到黑球”,事件 “取到黄球”,
事件 “取到绿球”,
则有
解得 , , ,
所以取到黑球的概率为 ,取到黄球的概率为 ,取到绿球的概率为 .
规律方法 求某些较复杂事件的概率,通常有两种方法：一是将所求事件的概率转化成
一些彼此互斥的事件的概率的和；二是先求此事件的对立事件的概率,再用公式求此事
件的概率.这两种方法可使复杂事件概率的计算得到简化.
变式训练2 （多选题）甲、乙两人下棋,和棋的概率为 ,乙获胜的概率为 ,则下列说法
错误的是( )
BCD
A.甲获胜的概率是 B.甲不输的概率是
C.乙输的概率是 D.乙不输的概率是
[解析] “甲获胜”是“和棋或乙获胜”的对立事件,所以“甲获胜”的概率是 ,
故A正确;设“甲不输”为事件 ,则事件 是“甲获胜”和“和棋”这两个互斥事件的并事件,
所以 ,故B错误;“乙输”的概率即“甲获胜”的概率,为 ,故C错误;设“乙
不输”为事件 ,则事件 是“乙获胜”和“和棋”这两个互斥事件的并事件,所以
,故D错误.
故选 .
探究点四 概率一般加法公式的应用
【例5】 甲、乙、丙、丁四人参加 米接力赛,他们跑每一棒的概率均为 .求甲跑第一棒或乙跑第四棒的概率.
解 设事件 “甲跑第一棒”,事件 “乙跑第四棒”,则 , .
记甲跑第 棒,乙跑第 棒为 ,
则共有可能结果12种,样本空间 , , , , , , , ,
, , , .
甲跑第一棒,乙跑第四棒只有一种结果,即 ,
故 .
所以,甲跑第一棒或乙跑第四棒的概率
.
规律方法1.对于互斥事件可直接结合 , , , 的含义进行求解.
2.若该事件不是互斥事件,则需要套用公式 ,特
别要注意 的数值.
变式训练3 在所有的两位数 中,任取一个数恰好能被2或3整除的概率是
( )
C
A. B. C. D.
[解析] 在所有的两位数中,能被2整除的共计45个,被3整除的共计30个,能被6整除的共计15个.因此所求概率为 .
本节要点归纳
1.知识清单：
（1）概率的基本性质.
（2）互斥事件、对立事件概率公式的应用.
（3）概率性质的综合应用.
（4）概率一般加法公式的应用.
2.方法归纳:正难则反.
3.常见误区:复杂事件用若干个简单的互斥事件表示时易出现重复和遗漏.(共30张PPT)
10.2 事件的相互独立性
课程 标准 1.理解相互独立事件的意义,弄清事件“互斥”与“相互独立”是两个不同的概念.
2.掌握两个相互独立事件同时发生的概率乘法公式.
3.能够综合运用相互独立事件的概率乘法公式解决一些较简单的相关概率计算问题.
4.培养学生分析问题、解决问题的能力,提高学生数学转化与化归的能力.
1
基础落实·必备知识全过关
2
重难探究·能力素养全提升
01
基础落实·必备知识全过关
知识点1 两个事件相互独立
对任意两个事件 与 ,如果__________________成立,则称事件 与事件 相互独立,
简称为______.
独立
名师点睛
1.如果 与 相互独立,那么 与 , 与 , 与 也都相互独立.
2.必然事件 、不可能事件 都与任意事件相互独立.因为必然事件 总会发生,
不会受任何事件是否发生的影响,不可能事件 总不会发生,也不受任何事件是否发生
的影响.当然,它们也不影响其他事件是否发生.
3.对于 个事件 , , , ,如果其中任意一个事件发生的概率不受其他事件
是否发生的影响,则称 个事件 , , , 相互独立.
过关自诊
1.判断正误.（正确的画 ,错误的画 ）
（1）若两个事件互斥,则这两个事件相互独立. ( )
×
（2）若事件 与事件 相互独立,则事件 与事件 也相互独立. ( )
√
2.射击运动员甲和乙进行射击比赛,“甲中靶”和“乙中靶”是否相互独立
提示 相互独立.理论上讲,两名运动员彼此之间互不影响,故我们认为这两个事件相互独立.
知识点2 两个相互独立事件同时发生的概率乘法公式
若 , 是两个相互独立事件,则有 成立.
名师点睛
1.三个事件 , , 两两互斥,则 成立.但三个
事件 , , 两两独立时,等式 一般不成立.
2. , , 相互独立的充要条件是: , ,
, ,4个条件每个都必不可少.
过关自诊
1.判断正误.（正确的画 ,错误的画 ）
（1）三个事件 , , 相互独立,则 . ( )
√
（2）三个事件 , , 两两独立,则 一定成立. ( )
×
2.已知甲、乙两球落入盒子的概率分别为 和 .假定两球是否落入盒子互不影响,则甲、
乙两球至少有一球落入盒子的概率为_ __.
[解析] 甲、乙两球落入盒子的概率分别为 和 ,
甲、乙两球至少有一球落入盒子的概率为 .
3.如果连续2次掷一枚骰子,结果都是1点的概率为_ __.
02
重难探究·能力素养全提升
探究点一 相互独立事件的判断
【例1】 抛掷一枚均匀的骰子一次,记事件 “出现偶数点”, “出现3点或6点”,则事
件 与 的关系是( )
B
A.互斥 B.相互独立
C.既互斥又相互独立 D.既不互斥又不相互独立
[解析] 因为 , , ,
所以 , , ,
所以 与 相互独立.
规律方法
变式训练1 袋内有3个白球和2个黑球,从中不放回地摸球,记 “第一次摸的白球”,
“第二次摸的白球”,则 与 ( )
D
A.互斥 B.相互独立 C.对立 D.不相互独立
探究点二 相互独立事件同时发生的概率
【例2】 本着健康、低碳的生活,租共享电动自行车出行的人越来越多,某共享电动自行车租车点的收费标准是起步价2元（20分钟及以内）,超过20分钟每10分钟收费1元（不足10分钟的部分按10分钟计算）.现有甲、乙、丙三人来该租车点租车，已知三人租车是相互独立的（各租一车一次）,设甲、乙、丙不超过20分钟还车的概率分别为 , , ,20分钟以上且不超过30分钟还车的概率分别为 , , ,三人租车时间都不会超过40分钟.
（1）求甲、乙、丙三人的租车费用不完全相同的概率；
解 由题意可得,甲、乙、丙30分钟以上且不超过40分钟还车的概率分别为 , , ,
甲、乙、丙三人的租车费用完全相同的概率为 ,
所以甲、乙、丙三人的租车费用不完全相同的概率为 .
（2）求甲、乙、丙三人的租车费用和为10元的概率.
解 由题意可得,甲、乙、丙三人的租车费用和为10元,
①当三人的租车费用组合为2,4,4时, ,
②当三人的租车费用组合为3,3,4时, ,
即甲、乙、丙三人的租车费用和为10元的概率为 .
规律方法 解决此类问题要明确互斥事件和相互独立事件的意义,若 , 相互独立,则
与 , 与 , 与 也是相互独立的,代入相互独立事件的概率公式求解.
变式训练2（1） 在举重比赛中,甲、乙两名运动员试举某个重量成功的概率分别为 , ,
且每次试举成功与否互不影响.
①求甲试举两次,两次均失败的概率;
解 设“甲第一次试举成功”为 ,“甲第二次试举成功”为 ,
“甲试举两次,两次均失败”为 ,
则 ,
，
.
②求甲、乙各试举一次,至多有一人试举成功的概率.
解 设“甲、乙各试举一次,至多有一人试举成功”为 ,
则 表示“甲、乙各试举一次都成功”,
.
（2）设事件 与事件 相互独立,两个事件中只有 发生的概率与只有 发生的概率
都是 ,求 ， .
解 只有 发生,即 发生;
只有 发生,即 发生.
因为 , 相互独立,
所以 与 , 与 也相互独立.
所以 ,
,
即
解得
, .
探究点三 相互独立事件概率的综合应用
【例3】 小王某天乘火车从重庆到上海去办事,若当天从重庆到上海的三列火车正点到
达的概率分别为 , , ,假设这三列火车之间是否正点到达互不影响.求：
解 用 , , 分别表示这三列火车正点到达的事件,则 , , ,
所以 , , .
（1）这三列火车恰好有两列正点到达的概率；
解 由题意得 , , 之间相互独立,所以恰好有两列正点到达的概率为
.
（2）这三列火车至少有一列正点到达的概率.
解 三列火车至少有一列正点到达的概率为
.
规律方法 明确事件中的“至少有一个发生”“至多有一个发生”“恰好有一个发生”“都发生”
“都不发生”“不都发生”等词语的意义.一般地,已知两个事件 , ,它们的概率分别为
, ,那么：
（1） , 中至少有一个发生为事件 .
（2） , 都发生为事件 .
（3） , 都不发生为事件 .
（4） , 恰有一个发生为事件 .
（5） , 中至多有一个发生为事件 .
变式探究 在例3中条件不变,试求恰有一列火车正点到达的概率.
解 恰有一列火车正点到达的概率为
.
变式训练3 某机械厂制造一种汽车零件,已知甲机床的正品率是 ,乙机床的次品率
是 ,现从它们制造的产品中各任意抽取一件,试求：
解 用 表示“从甲机床生产的产品中抽得正品”,用 表示“从乙机床生产的产品中抽得
正品”,用 表示“抽得的两件产品中恰有一件是正品”,用 表示“抽得的两件产品中至少
有一件正品”,则 , .
（1）两件产品都是正品的概率；
解 由题意知, 与 是相互独立事件, , ,
所以两件都是正品的概率为 .
（2）恰有一件是正品的概率；
解 因为事件 与 互斥,所以恰有一件是正品的概率为
.
（3）至少有一件是正品的概率.
解 因为事件 与 互斥,所以 .
本节要点归纳
1.知识清单：
（1）相互独立事件的判断.
（2）相互独立事件概率的计算.
2.方法归纳:定义判断、分类讨论.
3.常见误区:对复杂事件不能做到正确拆分.(共29张PPT)
10.3.1 频率的稳定性 10.3.2 随机模拟
课程标准
1
基础落实·必备知识全过关
2
重难探究·能力素养全提升
01
基础落实·必备知识全过关
知识点1 随机事件的频率与概率的关系
大量试验表明,在任何确定次数的随机试验中,一个随机事件 发生的频率具有________.
一般地,随着试验次数 的增大,频率偏离概率的幅度会______,即事件 发生的频率
会逐渐稳定于事件 发生的概率 .我们称频率的这个性质为频率的________.
因此可以用频率 估计概率 .
随机性
缩小
稳定性
名师点睛
对于频率与概率的区别和联系的剖析
（1）频率本身是随机的,是一个变量,在试验前不能确定,做同样次数的重复试验得
到的事件发生的频率会不同.比如,全班每个人都做了10次掷硬币的试验,但得到正面朝
上的频率可以是不同的.
（2）概率是一个确定的数,是客观存在的,与每次的试验无关.比如,若一个硬币是质
地均匀的,则掷硬币出现正面朝上的概率是 ,与做多少次试验无关.
（3）频率是概率的近似值,随着试验次数的增加,频率会越来越接近于概率.在实际
问题中,通常事件发生的概率未知,常用频率作为它的估计值.
过关自诊
1.判断正误.（正确的画 ,错误的画 ）
（1）频率是客观存在的,与试验次数无关. ( )
×
（2）概率是随机的,在试验前不能确定. ( )
×
（3）随着试验次数的增加,频率一般会越来越接近概率. ( )
√
2.随机事件在一次试验中是否发生与概率的大小有什么关系？
提示 随机事件的概率表明了随机事件发生的可能性的大小,但并不表示概率大的事件一定发生,概率小的事件一定不发生.
知识点2 随机模拟
1.随机数与伪随机数
（1）例如我们要产生 之间的随机整数,像彩票摇奖那样,把10个质地和大小
相同的号码球放入摇奖器中,充分搅拌后摇出一个球,这个球上的号码就称为随机数.
（2）计算器或计算机产生的随机数是按照确定的算法产生的数,具有周期性（周
期很长）,它们具有类似随机数的性质.因此,计算器或计算机产生的随机数不是真正的
随机数,我们称它们为伪随机数.
2.蒙特卡洛方法
利用计算器或计算机软件可以产生随机数,我们可以根据不同的随机试验构建相应的随
机数模拟试验,这种利用__________解决问题的方法为蒙特卡洛方法.
随机模拟
过关自诊
用频率估计概率,需要做大量的重复试验,有没有其他方法可以替代试验呢？
提示 因为利用计算器或计算机软件可以产生随机数,所以我们也可以根据不同的随机试验构建相应的随机数模拟试验,这样就可以快速地进行大量重复试验了.
02
重难探究·能力素养全提升
探究点一 对概率的正确理解
【例1】 下列说法正确的是( )
D
A.由生物学知道生男、生女的概率均约为 ,一对夫妇先后生两个小孩,则一定为一男一女
B.一次摸奖活动中,中奖概率为 ,则摸5张票,一定有一张中奖
C.10张票中有1张奖票,10人去摸,谁先摸则谁摸到奖票的可能性大
D.10张票中有1张奖票,10人去摸,无论谁先摸,摸到奖票的概率都是0.1
[解析] 一对夫妇生两个小孩可能是（男,男）,（男,女）,（女,男）,（女,女）,所以A不正确;
中奖概率为0.2是说中奖的可能性为 ,当摸5张票时,可能都中奖,也可能中一张、两张、三张、四张,或者都不中奖,所以B不正确;
10张票中有1张奖票,10人去摸,每人摸到的可能性是相同的,即无论谁先摸,摸到奖票的概率都是 ,所以C不正确,D正确.
规律方法 概率意义上的“可能性”是大量随机事件现象的客观规律,与我们日常所说的
“可能”“估计”是不同的.也就是说,单独一次试验结果的不确定性与大量重复试验积累结
果的有规律性,才是概率意义上的“可能性”.事件 的概率是事件 的本质属性.
变式训练1 试解释下面情况中概率的意义：
（1）某商场为促进销售,举办有奖销售活动,凡购买其商品的顾客中奖的概率为0.20；
解 指购买其商品的顾客中奖的可能性是 ;
（2）一生产厂家称,我们厂生产的产品合格的概率是0.98.
解 是说该厂生产的产品合格的可能性是 .
探究点二 随机事件的频率与概率
【例2】 近年来,某市为了促进生活垃圾的分类处理,将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物和其他垃圾三类,并分别设置了相应的垃圾箱.为调查居民生活垃圾分类投放情况,现随机抽取了该市三类垃圾箱中总计 1 000 吨生活垃圾,数据统计如下（单位:吨）:
类别 “厨余垃圾”箱 “可回收物”箱 “其他垃圾”箱
厨余垃圾 400 100 100
可回收物 30 240 30
其他垃圾 20 20 60
（1）试估计厨余垃圾投放正确的概率;
解 厨余垃圾投放正确的概率为
.
（2）试估计生活垃圾投放错误的概率.
解 设生活垃圾投放错误为事件 ,则 的概率为“厨余垃圾”箱里可回收物量和其他垃圾量、
“可回收物”箱里厨余垃圾量和其他垃圾量、“其他垃圾”箱里厨余垃圾量和可回收物量
的总和除以生活垃圾总量,
即 .
规律方法 1.由统计定义求概率的一般步骤:
（1）确定随机事件 的频数 （ 为试验的总次数）;
（2）由 计算频率 ;
（3）由频率 估计概率 .
2.概率可看成频率在理论上的稳定值,从数量上反映了随机事件发生的可能性的大
小.概率是频率的科学抽象,当试验次数越来越多时频率向概率靠近,只要次数足够多,所
得频率就近似地当作随机事件的概率.
变式训练2 某质检员从一大批种子中抽取若干批,在同一条件下进行发芽试验,有关数据如下:
种子粒数 100 200 500 1 000 3 000 5 000
发芽种子粒数 79 156 405 790 2 400 4 100
发芽频率
（1）计算各批种子的发芽频率,填入上表;
解 发芽频率从左到右依次为: , , , , , .
（2）根据频率的稳定性估计种子发芽的概率.
解 由（1）知,发芽频率逐渐稳定在 ,因此可以估计种子发芽的概率为0.80.
探究点三 游戏公平性的判断
【例3】 某校高二年级（1）（2）班准备联合举行晚会,组
织者欲使晚会气氛热烈、有趣,策划整场晚会以转盘游戏的
方式进行,每个节目开始时,两班各派一人先进行转盘游戏,胜
者获得一件奖品,负责表演一个节目.（1）班的文娱委员利用分别标有数字1,2,3,4,5,6,7
的两个转盘（如图所示）,设计了一种游戏方案:两人同时各转动一个转盘一次,将转到
的数字相加,和为偶数时（1）班代表获胜,否则（2）班代表获胜.该方案对双方是否公
平 为什么
解 该方案是公平的,理由如下:
各种情况如下表所示:
和 4 5 6 7
1 5 6 7 8
2 6 7 8 9
3 7 8 9 10
由上表可知该游戏可能出现的情况共有12种,其中两数字之和为偶数的有6种,为奇数的
也有6种.
所以（1）班代表获胜的概率为 ,
（2）班代表获胜的概率为 ,机会是均等的,所以该方案对双方是公平的.
规律方法
变式训练3 有一个转盘游戏,转盘被平均分成10等份（如图所示）,转动转盘,当转盘停止后,指针指向的数字即为转出的数字.游戏规则如下:两个人参加,先确定猜数方案,甲转动转盘,乙猜,若猜出的结果与转盘转出的数字所表示的特征相符,则乙获胜,否则甲获胜,猜数方案从以下两种方案中选一种:
A.猜“是奇数”或“是偶数”;
B.猜“是4的整数倍数”或“不是4的整数倍数”.
请回答下列问题:
（1）如果你是乙,为了尽可能获胜,你将选择哪种猜数方案,并且怎样猜 为什么
解 A方案中,“是奇数”和“是偶数”的概率都为0.5;B方案中,“是4的整数倍数”的概率为 ,
“不是4的整数倍数”的概率为 ,为了尽可能获胜,应选择B方案,猜“不是4的整数倍数”
获胜的概率最大.
（2）为了保证游戏的公平性,你认为应选哪种猜数方案 为什么
解 为了保证游戏的公平性,应当选择方案A.
因为方案A猜“是奇数”或“是偶数”的概率均为 ,从而保证了该游戏是公平的.
探究点四 利用随机数求事件的概率
【例4】 一个盒子中有除颜色外其他均相同的5个白球和2个黑球,用随机模拟法求下列事件的概率:
解 用1,2,3,4,5表示白球,6,7表示黑球.
（1）任取一球,得到白球;
解 步骤:
①利用计算器或计算机产生1到7之间的整数随机数,每一个数一组,统计组数为 ;
②统计这 组数中小于6的组数 ;
③则任取一球,得到白球的概率近似为 .
（2）任取三球,都是白球.
解 步骤:
①利用计算器或计算机产生1到7之间的整数随机数,每三个数一组（每组中数不重复）,统计组数为 ;
②统计这 组数中,每组三个数字均小于6的组数 ;
③则任取三球,都是白球的概率近似为 .
规律方法 用整数随机模拟试验估计古典概型的概率时,首先要确定整数随机数的范围
和用哪些数代表不同的试验结果.可以从以下几个方面考虑:
（1）试验的样本点的发生是等可能的,样本点总数就是产生随机数的范围,每组随
机数字代表一个样本点;
（2）按比例确定表示各个结果的数字个数及总个数;
（3）产生的整数随机数的组数 越大,估计的概率准确性越高;
（4）这种用模拟试验来求概率的方法所得结果是不精确的,且每次模拟试验最终
得到的概率值不一定是相同的.
变式训练4 袋子中有四张卡片,分别写有“学、习、强、国”四个字,有放回地从中任取一张
卡片,将三次抽取后“学”“习”两个字都取到记为事件 ,用随机模拟的方法估计事件 发生
的概率,利用电脑随机产生整数0,1,2,3四个随机数,分别代表“学、习、强、国”这四个字,以
每三个随机数为一组,表示取卡片三次的结果,经随机模拟产生了以下18组随机数:
232 321 210 023 123 021 132 220 001
231 130 133 231 031 320 122 103 233
由此可以估计事件 发生的概率为( )
C
A. B. C. D.
[解析] 18组随机数中,利用列举法求出事件 发生的随机数有210,021,001,130,031,103,
共6个,估计事件 发生的概率为 .
故选C.
本节要点归纳
1.知识清单：
（1）概率与频率的关系.
（2）用频率估计概率.
（3）用随机模拟估计概率.
2.常见误区:频率与概率的关系易混淆.(共31张PPT)
本章总结提升
1
知识网络·整合构建
2
专题突破·素养提升
01
知识网络·整合构建
02
专题突破·素养提升
专题一 求古典概型的概率
1.古典概型是一种最基本的概率模型,是学习其他概率模型的基础,解题时要抓住两
个基本特征:有限性和等可能性.
2.掌握古典概型的概率公式及其应用,提升数学抽象、数据分析的数学素养.
【例1】 为了促进电影市场快速回暖,各地纷纷出台各种优惠措施.某影院为回馈顾客,拟通过抽球兑奖的方式对观影卡充值满200元的顾客进行减免,规定每人在装有4个白球、2个红球的抽奖箱中一次抽取两个球.已知抽出1个白球减20元,抽出1个红球减40元.
（1）求某顾客所获得的减免金额为40元的概率;
解 设4个白球为 , , , ,2个红球为 , ,则一次抽取两个球,共 , , , , , ,
, , , , , , , , 种情况,设事件 为顾客所获得的减免金额为40元,
则 共有 , , , , , 种情况,所以顾客所获得的减免金额为40元的概率为
.
（2）若某顾客去影院充值并参与抽奖,求其减免金额低于80元的概率.
解 设事件 为顾客所获得的减免金额为80元,则事件 只包含 种情况,所以顾客所获得的减免金额为80元的概率为 ,
故减免金额低于80元的概率 .
规律方法 古典概型的解题方法主要有以下两种:
（1）采取适当的方法,按照一定的顺序,把试验的所有结果一一列举出来,正确理解
样本点与事件 的关系.应用公式 计算概率.
（2）若所求概率的事件比较复杂,可把它分解成若干个互斥的事件,利用概率的加
法公式求解;或求其对立事件,利用对立事件的概率求解.
变式训练1 生物实验室有5只兔子,其中只有3只测量过某项指标.若从这5只兔子中随机
取出3只,则恰有2只测量过该指标的概率为( )
B
A. B. C. D.
[解析] 设测量过该指标的3只兔子为 , , ,剩余2只为 , , , , 分别表示取出
的3只兔子,则数组 表示样本点,则该试验的样本空间 ,
, , , , , , , , ,
设 “恰有2只测量过该指标”,则 , , , ,
, ,所以恰有2只测量过该指标的概率为 ,故选B.
专题二 互斥事件、对立事件的判断及概率公式的应用
1.互斥事件是在一次试验中不能同时发生的事件,对立事件除要求这两个事件不同
时发生外,还要求二者必有一个发生.对于一个复杂的事件,一般先要将它表示为若干个
互斥事件的和.
2.掌握互斥事件和对立事件的概率公式,提升逻辑推理和数学运算的数学素养.
【例2】 某县城有甲、乙两种报纸供居民订阅,记事件 “只订甲报”,事件 “至少
订一种报”,事件 “至多订一种报”,事件 “不订甲报”,事件 “一种报也不订”,判
断下列每对事件是不是互斥事件,如果是,再判断它们是不是对立事件.
（1） 与 ;
解 由于事件 “至多订一种报”中有可能只订甲报,即事件 与事件 有可能同时发生,故
与 不互斥.
（2） 与 ;
解 事件 “至少订一种报”与事件 “一种报也不订”是不可能同时发生的,故 与 是
互斥事件;由于事件 与事件 在一次试验中有且仅有一个发生,故 与 还是对立事件.
（3） 与 ;
解 事件 “至少订一种报”中有可能只订乙报,即有可能不订甲报,即事件 发生时,事件
也可能发生,故 与 不互斥.
（4） 与 ;
解 事件 “至少订一种报”中包括“只订甲报”“只订乙报”“订甲、乙两种报”,事件 “至多
订一种报”中包括“什么也不订”“只订甲报”“只订乙报”.由于这两个事件可能同时发生,故
与 不互斥.
（5） 与 .
解 由（4）的分析知,事件 “一种报也不订”只是事件 的一种可能,事件 与事件 有可
能同时发生,故 与 不互斥.
【例3】 （多选题）黄种人群中各种血型的人所占的比例见下表:
血型 A B
该血型的人所占比例 0.28 0.29 0.08 0.35
已知同种血型的人可以输血, 型血可以给任何一种血型的人输血,任何血型的人都
可以给 型血的人输血,其他不同血型的人不能互相输血,下列结论正确的是( )
AD
A.任找一个人,其血可以输给A型血的人的概率是0.63
B.任找一个人,B型血的人能为其输血的概率是0.29
C.任找一个人,其血可以输给 型血的人的概率为1
D.任找一个人,其血可以输给 型血的人的概率为1
[解析] 任找一个人,其血型为A,B, , 型血的事件分别记为 , , , ,它们两两互斥.
由已知,有 , , , .
因为A, 型血可以输血给A型血的人,
所以“任找一个人,其血可以输给A型血的人”为事件 ,根据互斥事件概率的加法
公式,得 ,故A正确;
B型血的人能为B, 型血的人输血,其概率为 ,B错误;
由 型血只能接受 型血的人输血知,C错误;
由任何血型的人都可以给 型血的人输血知,D正确.
规律方法 1.互斥事件与对立事件的联系与区别
（1）不可能同时发生的两个事件称为互斥事件.
（2）对立事件则要同时满足两个条件:一是不可能同时发生;二是必有一个发生.
（3）在一次试验中,两个互斥事件有可能都不发生,也可能只有一个发生,而两个对
立事件则必有一个发生且不可能同时发生.
（4）对立事件一定是互斥事件,而互斥事件不一定是对立事件.
2.互斥事件与对立事件的概率计算
（1）若事件 , , , 彼此互斥,则
.
（2）设事件 的对立事件是 ,则 .
3.求复杂事件的概率通常有两种方法
（1）将所求事件转化成彼此互斥的事件的和.
（2）先求其对立事件的概率,然后应用公式 求解.
变式训练2 （多选题）不透明的口袋内装有红色、绿色和蓝色卡片各2张,一次任意取
出2张卡片,则与事件“2张卡片都为红色”互斥而非对立的事件是( )
ABD
A.2张卡片都不是红色 B.2张卡片恰有一张红色
C.2张卡片至少有一张红色 D.2张卡片都为绿色
[解析] 从6张卡片中一次取出2张卡片的所有情况有“2张都为红色”“2张都为绿色”“2张都为蓝色”“1张红色1张绿色”“1张红色1张蓝色”“1张绿色1张蓝色”,在选项给出的四个事件中与“2张卡片都为红色”互斥而非对立的事件有“2张卡片都不是红色”“2张卡片恰有一张红色”“2张卡片都为绿色”,其中“2张卡片至少有一张红色”包含事件“2张卡片都为红色”,二者并非互斥事件.
专题三 独立事件及其概率求解
1.相互独立事件的概率通常和互斥事件综合在一起考查,解题时先要将复杂事件表
示为若干个简单的互斥事件的和,判断每个简单事件是否可写为相互独立事件的积,再用
互斥事件的概率加法公式求解.
2.掌握相互独立事件的概率公式,提升逻辑推理和数学抽象的数学素养.
【例4】 甲、乙两人进行羽毛球比赛,采取“三局两胜”制,即两人比赛过程中,谁先胜两局
即结束比赛,先胜两局的是胜方,另一方是败方.根据以往的数据分析,每局比赛甲获胜的
概率均为 ,甲、乙比赛没有平局,且每局比赛是相互独立的.
（1）求比赛恰进行两局就结束的概率;
解 比赛恰进行两局就结束对应的事件 有两种可能,事件 甲获胜,事件 乙获胜.
,
,
所以 .
（2）求这场比赛甲获胜的概率.
解 这场比赛甲获胜对应的事件 有两种可能,事件 比赛两局结束且甲获胜;事件 比赛三局结束且甲获胜.
, ,
.
规律方法 求相互独立事件同时发生的概率的主要方法
（1）利用相互独立事件的概率乘法公式直接求解.
（2）正面计算较繁（如求用“至少”表述的事件的概率）或难以入手时,可从其对立
事件入手计算.
变式训练3 甲、乙两队进行篮球决赛,采取七场四胜制（当一队赢得四场胜利时,该队获
胜,决赛结束）.根据前期比赛成绩,甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”.设甲队
主场取胜的概率为 ,客场取胜的概率为 ,且各场比赛结果相互独立,则甲队以
获胜的概率是_____.
0.18
[解析] 前五场中有一场客场输时,甲队以 获胜的概率是
;
前五场中有一场主场输时,甲队以 获胜的概率是
.
综上所述,甲队以 获胜的概率是 .
专题四 统计与概率的应用
1.概率和统计往往放到一块进行考查,处理时要分清各数据对应的事件,理解频率与
概率的关系,然后准确求解问题.
2.掌握概率和统计的综合应用,提升数据处理、数学抽象和数学运算的数学素养.
【例5】 中华文明,源远流长;中华汉字,寓
意深广.为了传承中华优秀传统文化,我市某
中学举行“汉字听写”比赛,赛后整理参赛学
生的成绩,将学生的成绩分为 , , , 四
个等级,并将结果绘制成如图所示的条形统
计图和扇形统计图,但均不完整.
请你根据统计图解答下列问题:
（1）参加比赛的学生共有多少名？
解 ,所以参加比赛的学生共有20名.
（2）在扇形统计图中, 的值为多少？表示 等级的扇形的圆心角为多少度
解 ,所以 . ,所以表示 等级的扇形的圆心角为 .
（3）组委会决定从本次比赛获得 等级的学生中,选出2名去参加全市中学生“汉字听
写”大赛.已知 等级学生中男生有1名,请用列表法或画树状图法求出所选2名学生恰好
是一名男生和一名女生的概率.
解 列表如下：
第1人 第2人 男
男
所有等可能的结果共有6种情况,其中恰好是一名男生和一名女生的情况有4种,所以
.
规律方法 1.概率和统计的交汇题在统计方面一般考查简单随机抽样和一些统计的图示,
在概率方面一般是归结为古典概型的知识.
2.求解古典概型的交汇问题,关键是把相关的知识转化为事件,然后利用古典概型的
有关知识解决,一般步骤为:
（1）将题目条件中的相关知识转化为事件;
（2）判断事件是否为古典概型;
（3）选用合适的方法确定样本点个数;
（4）代入古典概型的概率公式求解.
变式训练4 某大学艺术专业400名学生参加某次
测评,根据男女学生人数比例,使用分层随机抽样
的方法从中随机抽取了100名学生,记录他们的分
数,将数据分成7组: , , , ,
并整理得到如下频率分布直方图:
（1）从总体的400名学生中随机抽取一人,估计其分数小于70的概率;
解 根据频率分布直方图可知,样本中分数不小于70的频率为 ,所以样本中分数小于70的频率为 .
所以从总体的400名学生中随机抽取一人,其分数小于70的概率估计为0.4.
（2）已知样本中分数小于40的学生有5人,试估计总体中分数在区间 内的人数;
解 根据题意,样本中分数不小于50的频率为 ,分数在区间 内的人数为 .
所以总体中分数在区间 内的人数估计为 .
（3）已知样本中有一半男生的分数不小于70,且样本中分数不小于70的男女生人数相等.试估计总体中男生和女生人数的比例.
解 由题意可知,样本中分数不小于70的学生人数为 ,所以
样本中分数不小于70的男生人数为 .
所以样本中的男生人数为 ,女生人数为 ,男生和女生人数的
比例为 .
所以根据分层随机抽样原理知,总体中男生和女生人数的比例估计为 .
