(共36张PPT)
6.1 空间向量及其运算 6.1.2 空间向量的数量积
【课标要求】1.掌握空间向量的数量积的概念、性质和运算律.2.了解向量 在向量 上
的投影向量的含义,了解空间向量数量积的几何意义.3.了解向量 在平面 上的投影
向量的含义,会确定一个向量在一个平面上的投影向量.
1
要点深化·核心知识提炼
2
题型分析·能力素养提升
01
要点深化·核心知识提炼
知识点1. 空间向量的夹角
定义
范围
特殊 夹角
知识点2. 空间向量的数量积
1.定义
设 , 是空间两个非零向量,我们把数量 , 叫作向量 , 的数量积,记
作 .规定：零向量与任一向量的数量积为0.
2.数量积的运算律
交换律
分配律
结合律
3.数量积的性质
两个向量数量 积的性质
名师点睛
1.向量 , 的数量积记为 ,而不能表示为 或 .
2.两个向量的数量积为实数,而不是向量,其符号由夹角 的余弦值的符号决定.
3.数量积运算不满足消去律与结合律.
知识点3. 空间向量的投影向量
1.向量 在向量 上的投影向量
（1）定义：对于空间任意两个非零向量 , ,设向量 , （如图）,过
点 作 ,垂足为 ,上述由向量 得到向量 的变换称为向量 向向量 投
影,向量 称为向量 在向量 上的投影向量.
（2）意义： ,即向量 , 的数量积就是向量 在向量 上的投影向
量与向量 的数量积.
2.向量 在平面 上的投影向量
（1）定义：如图,设向量 ,过 , 分别作平面 的垂线,垂足分别为 ,
,得向量 .上述由向量 得到向量 的变换称为向量 向平面 投影,向量
称为向量 在平面 上的投影向量.
（2）意义：对于平面 内的任一向量 ,有 ,即空间向量 , 的
数量积就是向量 在平面 上的投影向量与向量 的数量积.
02
题型分析·能力素养提升
【题型一】空间向量数量积的运算
例1 如图，已知三棱锥 的各个侧面都是等边三角形,且边
长为2, , , 分别为 , , 的中点.试求:
（1） ;
解 ,
.
（2） ;
解 ,
.
（3） ;
解
.
（4） .
解
.
跟踪训练1 如图,已知四面体 的所有棱长都等于 , , ,
分别是棱 , , 的中点.求：
解 四面体 的所有棱长都等于 ,
任意两条棱所在直线的夹角都为 .
, , 分别是棱 , , 的中点,
, , .
（1） ；
解 ；
（2） ；
解 ；
（3） ；
解 ；
（4） ；
解 , 直线 与直线 所成角就是直线 与直线 所
成角,
又 , ；
（5） ；
解 ,则直线 与直线 所成角就是直线 与直线 所成角,
；
（6） .
解 如图,取 的中点 ,连接 , ,
则 , .
, 平面 ,
又 平面 , .
, ,
又 , ,即 ,
.
【题型二】利用数量积求夹角、距离问题
例2 如图,在正方体 中,求向量 与 的夹角的大小.
解 （方法一）因为 ,所以 即为向量 与 的夹角.
因为 为等边三角形,所以 ,即 , .所以向量 与 的夹
角为 .
（方法二）设正方体的棱长为1,
则
.
又 , ,
所以 , .
因为 , ,
所以 , ,
所以向量 与 的夹角为 .
跟踪训练2 如图,在直三棱柱 （即 平面 ）中,
, ,则异面直线 与 所成的角是
( )
C
A. B. C. D.
[解析] 平面 , , 平面 ,
, .
, , .
又 ,
为 的中点, .
, .
,
, ,
异面直线 与 所成的角是 .
例3 如图所示,在平行四边形 中,
, ,沿着它的对角线
将 折起,使 与 成 角,求此
时 , 间的距离.
解 , ,
同理可得 .
与 成 角,
, 或 , .
又 ,
, ,
当 , 时, ,此时 , 间的距离为2;
当 , 时, ,此时 , 间的距离为 .
跟踪训练3 在平行六面体 中, , , ,
, ,求 的长.
解 因为 ,
所以
.
因为 , ,
所以
.
因为 ,
所以 ,
则 ,即 .
【题型三】利用数量积证明垂直问题
例4 如图,在正方体 中, 是 的中点, 是底面 的中心.求
证: 平面 .
证明 取 , , ,设 ,
则 , ,
,
,
,
,即 .
,
,
,即 .
又 , , 平面 ,
平面 .
规律方法 利用数量积证明垂直问题的一般方法
将所证垂直问题转化为证明线线垂直,然后把直线转化为向量,并用已知向量表示未知向
量,再通过向量的线性运算以及数量积运算,证明两直线所在向量的数量积等于零,即可证明线
线垂直.
跟踪训练4 在空间四边形 中, , ,求证： .
证明 （方法一）
,所以 .
（方法二）选取一组基底,设 , , .
因为 ,所以 ,即 .
同理 .所以 ,
所以 ,所以 ,即 .
【题型四】空间向量的投影向量
例5 如图,在长方体 中,设 ,
, 是 的中点.
（1）确定向量 在平面 上的投影向量,并求 ;
解 因为 平面 , 平面 ,
所以向量 在平面 上的投影向量为 .
所以 .
（2）确定向量 在直线 上的投影向量,并求 .
解 因为 , ,
所以向量 在直线 上的投影向量为 ,
故 .
规律方法 利用空间向量的数量积的几何意义求两个向量的数量积时,准确探寻某一向量在平
面（或直线）上的投影向量是解题的关键.
跟踪训练5 如图,在直三棱柱 中, , ,
求 .
解 （方法一） 平面 , , 平面 , , ,
, .
, ,
, .
又 , 为 的中点,
.
, , , ,
.
（方法二） 平面 ,
在平面 上的投影向量为 .
又 , ,
.(共22张PPT)
6.1 空间向量及其运算 6.1.3 共面向量定理
【课标要求】1.了解向量共面的含义.2.理解共面向量定理.3.能运用共面向量定理证明
有关线面平行和点共面的简单问题.
1
要点深化·核心知识提炼
2
题型分析·能力素养提升
01
要点深化·核心知识提炼
知识点1. 共面向量
一般地,能平移到同一平面内的向量叫作共面向量.
名师点睛
（1）共面向量不仅包括在同一个平面内的向量,还包括平行于同一平面的向量.
（2）空间任意两个向量是共面的,但空间任意三个向量就不一定共面了.
知识点2. 共面向量定理
如果两个向量 , 不共线,那么向量 与向量 , 共面的充要条件是存在有序实数
组 ,使得 .
这就是说,向量 可以由两个不共线的向量 , 线性表示.
名师点睛
（1）向量 与向量 , 共面的充要条件是在 与 不共线的前提下才能成立的,
若 与 共线,则不成立.
（2）三个向量共面,又称这三个向量线性相关；若三个向量不共面,则称这三个向
量线性无关.
02
题型分析·能力素养提升
【题型一】共面向量的概念
例1 在平行六面体 中,向量 , , 是( )
C
A.有相同起点的向量 B.等长的向量
C.共面向量 D.不共面向量
[解析] 如图所示：
向量 , , 显然不是有相同起点的向量,A不正确；
由该平行六面体不是正方体可知,这三个向量不是模相等的向量,
B不正确;
又因为 ,所以 , , 共面,C正确,D不正确.
故选C.
跟踪训练1 （多选题）下列说法错误的有( )
ACD
A.空间的任意三个向量都不共面
B.空间的任意两个向量都共面
C.三个向量共面,即它们所在的直线共面
D.若 与 , 共面,则存在实数 , ,使
【题型二】共面向量定理
例2（1） 已知 , 是空间两个不共线的向量, ,那么必有( )
C
A. , 共线 B. , 共线
C. , , 共面 D. , , 不共面
[解析] 由共面向量定理知, , , 共面.
（2）如图所示,已知斜三棱柱 ,设 ,
, ,在 和 上分别取点 , ,使
, .求证: 平面
.
证明 ,
,
.
又 与 不共线,根据共面向量定理,知 , , 共面.
不在平面 内,
平面 .
跟踪训练2 已知 为矩形 所在平面外一点,且 , ,
, ,求证: 平面 .
证明 如图,
设 , , ,则 .
由题意知 ,
,
因此 .
又 与 不共线,所以 , , 共面.
又 不在平面 内,所以 平面 .
【题型三】空间四点共面的条件
例3（1） （多选题）对空间任一点 和不共线的三点 , , ,一定能得到 , , ,
四点共面的有( )
BC
A. B.
C. D.
[解析] A选项, ,当 不在平面 内时,不能转化成
的形式,故A不符合题意;
B选项, , ,
, , , ,
, , 共面,故B符合题意;
C选项,
,
,
,
, , , 四点共面,故C符合题意;
D选项, ,当 不在平面 内时,无法转化成 的形式,故D不符合题意.
（2）如图,在长方体 中, 为 的中点,点
在 上,且 ,求证: , , , 四点共面.
证明 设 , , ,则 .
为线段 的中点, .
又 ,
,
,
, , 为共面向量.
又三个向量有相同的起点 ,
, , , 四点共面.
跟踪训练3 已知 , , , 分别是空间四边形 的边 , , , 的中点,求证:
证明 如图,连接 , .
（1） , , , 四点共面;
解 因为 ,由向量
共面的充要条件知向量 , , 共面,即 , , , 四点共面.
（2） 平面 .
解 因为 ,
所以 .又 平面 , 平面 ,
所以 平面 .(共23张PPT)
6.2 空间向量的坐标表示
6.2.1 空间向量基本定理
【课标要求】1.掌握空间向量基本定理及其推论,理解空间任意一个向量可以用不共面
的三个已知向量线性表示,而且这种表示是唯一的.2.在简单问题中,会选择适当的基底来
表示任一个空间向量.
1
要点深化·核心知识提炼
2
题型分析·能力素养提升
01
要点深化·核心知识提炼
知识点. 空间向量基本定理及其推论
1.空间向量基本定理：如果三个向量 , , 不共面,那么对空间任一向量 ,存
在唯一的有序实数组 ,使 .
2.基底的有关概念
定义
正交基底 与单位正 交基底
3.空间向量基本定理的推论
设 , , , 是不共面的四点,则对空间任意一点 ,都存在唯一的有序实数组
,使得 .
名师点睛
（1）任意三个不共面向量都可构成空间的一个基底;
（2）一个基底是一个向量组,一个基向量是指基底中的某一个向量,二者是相关联
的不同概念;
（3）不同基底下,同一向量的表达式也有可能不同;
（4）任意一个空间基底都可生成空间的所有向量.
02
题型分析·能力素养提升
【题型一】基底的判断
例1 已知{ , , 是空间的一个基底,且 ,
, ,试判断 , , }能否作为空间的一个
基底.
解 假设 , , 共面,则存在实数 和 ,使得 ,则
,
即 ,
所以 此方程组无解,
所以 , , 不共面,
所以 , , }能作为空间的一个基底.
规律方法 基底的判断思路
判断一组向量能否作为空间的一个基底,实质是判断这三个向量是否共面.若不共面,就可
以作为一个基底.常用反证法来判断.
跟踪训练1 （多选题）设 , , ,且{ , , }是空间的一个基
底,则下列向量组中,可以作为空间一个基底的有( )
BCD
A.{ , , } B.{ , , }
C.{ , , } D.{ , , }
[解析] , , ,
, , 共面,故A不能作为空间一个基底.
, , 不共面可以作为一个基底,故B可作为基底.
与 和 不共面,故C可以作为空间一个基底.
假设 , , 共面,
则 ,
则 该方程组无解,
故 , , 不共面,D可以作为空间的一个基底.
【题型二】用基底表示空间向量
例2 如图,四棱锥 的底面为一矩形, 平面 ,
设 , , , , 分别是 和 的中点,试用
, , 表示 , , , .
解 如图,连接 ,
则
,
,
,
.
题后反思 用基底表示向量时的注意事项
（1）若基底确定,要充分利用向量加法、减法的三角形法则和平行四边形法则,以及数乘
向量的运算律进行；
（2）若没给定基底时,首先选择基底,选择时,要尽量使所选的基向量能方便地表示其他向
量,再就是看基向量的模及其夹角已知或易求.
跟踪训练2 在四面体 中,设 , , , , 分别是 , 的中点,
试用 , , 表示向量 .
解 如图所示,
.
【题型三】空间向量基本定理的应用
例3 如图,在平行六面体 中,以顶点 为端点的三条棱的长度都为1,且
两两夹角为 .求:
（1） 的长;
解 设 , , ,
则 , , , , ,
所以 .
,
所以 ,即 的长为 .
（2）异面直线 与 所成角的余弦值.
解 , ,
所以 , ,
,
所以 , ,
所以异面直线 与 所成角的余弦值为 .
题后反思用空间向量基本定理解决立体几何问题的步骤：首先根据已知条件,确定三个不共面
的向量构成空间的一个基底,如果存在三个两两垂直的空间向量也可以确定一个单位正交基
底.然后根据三角形法则及平行四边形法则,结合相等向量的代换、向量的运算用确定的基底
（或已知基底）表示目标向量.最后把空间向量的运算转化为基向量的运算.
跟踪训练3 如图,已知在三棱锥 中, , , , 分别为 , , , 的中点,
若 ,求证: .
证明 设 , , .
, 分别为 , 的中点,
同理,
,
,即 , ,
,即 .(共27张PPT)
第1课时 空间直角坐标系及其线性运算的坐标表示
【课标要求】1.在平面直角坐标系的基础上,了解空间直角坐标系,感受建立空间直角坐
标系的必要性.2.会用空间直角坐标刻画点的位置,能用空间直角坐标表示空间向量.3.掌
握空间向量线性运算的坐标表示.
1
要点深化·核心知识提炼
2
题型分析·能力素养提升
01
要点深化·核心知识提炼
知识点1. 空间直角坐标系及空间中点的坐标表示
1.空间直角坐标系
如图,在空间选定一点 和一个单位正交基底{ , , },以点 为原点,分别以 , ,
的方向为正方向建立三条数轴： 轴、 轴、 轴,它们都叫作坐标轴.这时我们说建立
了一个空间直角坐标系 .点 叫作坐标原点,三条坐标轴中的每两条确定一个坐
标平面,分别称为 平面、 平面和 平面.
2.空间中点的坐标的求法
如图,在空间直角坐标系 中,对于空间任意一点 ,我们称向量 为点 的
位置向量.把与向量 对应的有序实数组 叫作点 的坐标,记作 .
名师点睛
（1）基向量： ,
（2）画空间直角坐标系 时,一般使 （或 ）,
.
（3）建立的空间直角坐标系均为右手直角坐标系.
（4）坐标轴上或坐标平面上点的坐标的特点如下表所示.
坐标原点 知识点2. 空间向量的坐标表示及运算
1.空间向量的坐标表示
在空间直角坐标系 中,对于空间任意一个向量 ,根据空间向量基本定理,存
在唯一的有序实数组 ,使 .有序实数组 叫作向
量 在空间直角坐标系 中的坐标,记作 .
2.空间向量坐标运算法则
（1）设 , ,
则 ,
,
, .
空间向量平行的坐标表示为
, , .
（2）若 , ,则 .
即一个向量的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点坐标减去它的起点坐标.
名师点睛
已知 , ,若 ,则 .
02
题型分析·能力素养提升
【题型一】求空间点的坐标
例1（1） 点 关于 轴的对称点的坐标是____________,关于坐标平面 的
对称点的坐标是_ __________.
[解析] 在空间直角坐标系中,点 关于 轴的对称点的横坐标不变,纵坐标与竖坐标都变为原来的相反数,即 ；点 关于坐标平面 的对称点的横坐标、纵坐标不变,竖坐标变为原来的相反数,即 .
（2）设正四棱锥 的所有棱长均为2,建立适当的空间直角坐标系,求各个顶
点的坐标.
解 如图所示,建立空间直角坐标系,其中 为底面正方形的中心,
轴, 轴, 在 轴上.
,且 , , , 均在 平面上,
, .
在 平面内, 与 关于原点 对称, 与 关于原点 对称,
, .
又 , ,
在 中, ,
.
（答案不唯一,也可选择其他的点建系）.
跟踪训练1 如图所示,在空间直角坐标系中,四边形 是正方形,
, ,则 的中点 的坐标为_ ___________.
,0,
[解析] 由题意知
,
设点 在 轴、 轴、 轴上的射影分别为 , , ,它们在坐标轴上分别对应 ,
0, ,所以点 的坐标为 ,0, .
【题型二】求空间向量的坐标
【例2】 在直三棱柱 中, , , ,
, 为 的中点,如图所示,在空间直角坐标系中,求 ,
的坐标.
解 因为
,
所以 .
因为 ,所
以 .
规律方法 用坐标表示空间向量的步骤
___________________________________________________________
跟踪训练2 已知 垂直于正方形 所在的平面, , 分别是 ,
的中点,并且 .如图所示,在空间直角坐标系中,求向量
的坐标.
解 因为 ,
所以可设 , , .
因为
,
所以 , , .
【题型三】空间向量的坐标运算
例3 已知空间三点 , , .
（1）求 , .
解 ,
.
.
.
（2）是否存在实数 , ,使得 成立 若存在,求 , 的值；若不存在,
请说明理由.
解 假设存在 , 满足条件,
由已知可得 .
由题意得 ,
所以 ,
所以 所以
所以存在实数 , 使得结论成立.
题后反思（1）向量的坐标可由其两个端点的坐标确定,即向量的坐标等于其终点的坐标减去
起点的坐标.特别地,当向量的起点为坐标原点时,向量的坐标即是终点的坐标.
（2）进行空间向量的加、减、数乘的坐标运算的关键是运用好其运算法则.
跟踪训练3 已知 为坐标原点, , , 三点的坐标分别是 , , .求点 的坐标,使得 成立.
解 , ,
.
设点 的坐标为 ,
则 .
, , ,
解得
则点 的坐标为 , , .
【题型四】空间向量平行的坐标表示及应用
例4 如图所示,在空间直角坐标系中,正方体 的棱
长为2,求证：
证明 由题图可知 , , , .
（1） ；
解 , ,
,
又 与 无公共点,
.
（2） .
解 , ,
,
又 与 无公共点,
.
题后反思 空间向量平行的坐标表示的应用主要有:（1）证明平行问题；（2）已知平行求参
数；（3）已知平行求点的坐标.
跟踪训练4（1） 设 , ,若 ,则 ___.
6
[解析] , ,
, , .
（2）已知四边形 的顶点坐标分别为 , , ,
.求证：四边形 为梯形.
证明 ,
,
且 , 与 共线.
又 ,
,
且 , 与 不共线.
四边形 为梯形.(共28张PPT)
第2课时 空间向量数量积的坐标运算及空间两点间的距离公式
【课标要求】1.会用坐标法计算空间向量的数量积,会判断空间向量的垂直,会求空间两
向量的夹角.2.理解空间两点间距离公式的推导方法.3.掌握空间两点间的距离公式及简
单应用.
1
要点深化·核心知识提炼
2
题型分析·能力素养提升
01
要点深化·核心知识提炼
知识点1.空间向量的数量积
设空间两个非零向量为 , ,它们的夹角为 , ,则
名称 满足条件 向量表示形式 坐标表示形式
模
夹角余弦
名师点睛
（1）数量积的结果为实数.
（2）两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和.
知识点2.空间两点间的距离公式及线段的中点坐标
在空间直角坐标系中,设 , ,则
（1） .
（2）线段 的中点 的坐标为 , , .
02
题型分析·能力素养提升
【题型一】空间向量数量积的坐标运算
例1（1） 已知向量 , ,且 与 互相垂直,则 的值
是( )
D
A.1 B. C. D.
[解析] , , ,解得 .
（2）已知 , ,则 _ ___.
[解析] 易得 , ,
则 .
题后反思 关于空间向量坐标运算的两类问题
（1）直接计算问题
首先将空间向量用坐标表示出来,然后准确运用空间向量数量积坐标运算公式计算.
（2）求参数值问题
首先把向量用坐标形式表示出来,然后通过数量积运算建立方程（组）,解方程（组）求
出参数.
跟踪训练1（1） 已知空间向量 , .若 与 垂直,则 _ _.
[解析] , ,
与 垂直, ,
,解得 .
（2）如图,在棱长为1的正方体 中, , 分别为
, 的中点,点 在棱 上,且 , 为 的中点.
①求证： .
解 如图,建立空间直角坐标系 , 为坐标原点,
则有 ,0, , , , , , , , ,
, , .
证明 , , ,0, , , ,
,
,
,即 .
②求 , 的值.
解 , , , , ,
.
又 , ,
, .
③求 .
解 , , , , , , ,
.
【题型二】 空间两点间的距离公式及线段的中点坐标
例2 如图所示,在直三棱柱 中, ,
, , , 分别是棱 , , 的中点,求 , 的长度.
解 以点 为坐标原点, , , 所在直线分别为 轴、 轴、 轴,建立如图所示的
空间直角坐标系.
因为 ,
所以 , , , , .
由中点坐标公式,
可得 , , ,
所以 ,
.
规律方法 利用空间两点间的距离公式求线段长度问题的一般步骤
___________________________________________________________________________________________________
跟踪训练2 已知点 , ,求：
（1）线段 的长度；
解 根据空间两点间的距离公式得
,
所以线段 的长度为 .
（2）到 , 两点的距离相等的点 的坐标满足的条件.
解 因为点 到 , 两点的距离相等,
所以
,
化简得 ,
因此,到 , 两点的距离相等的点 的坐标满足的条件是
.
【题型三】 利用向量的坐标运算解决平行、垂直问题
例3 如图,在正方体 中, 是棱 的中点, , 分
别为线段 , 上的点,且 ,若 , ,
求 的值.
解 如图所示,以 为原点, , , 的方向分别为 轴、 轴、 轴的正方向建立
空间直角坐标系,设正方体的棱长为1,则 , ,0, , , ,
,由题意,可设点 的坐标为 .
因为 ,
所以 ,
所以 ,解得 ,
所以点 的坐标为 , , .
由题意可设点 的坐标为 ,
因为 ,所以 ,
所以 , , ,0, ,
即 ,解得 ,
所以点 的坐标为 , , .
因为 ,
所以 , , ,
所以 ,故 .
题后反思 判断两向量是否平行或垂直可直接利用向量平行或垂直的充要条件；已知两向量
平行或垂直求参数值,则利用平行、垂直的充要条件,将位置关系转化为坐标关系,列方程
（组）求解.
跟踪训练3 已知空间三点 , , ,若直线 上的一点 满足
,则点 的坐标为_ _________.
, ,
[解析] 设 ,
则 , , .
因为 ,所以 ,即 ,①
又点 在直线 上,所以 ,
即
由①②解得
所以点 的坐标为 , , .(共21张PPT)
6.3 空间向量的应用
6.3.1 直线的方向向量与平面的法向量
【课标要求】1.了解直线的方向向量与平面的法向量.2.会用待定系数法求平面的法向量.
1
要点深化·核心知识提炼
2
题型分析·能力素养提升
01
要点深化·核心知识提炼
知识点1.直线的方向向量
把直线 上的向量 以及与 共线的非零向量叫作直线 的方向向量.
名师点睛
（1） 在空间中,一个向量成为直线 的方向向量,必须具备以下两个条件：①是非
零向量；②向量所在的直线与 平行或重合.
（2）与直线 平行的任意非零向量 都是直线的方向向量,且直线 的方向向量有
无数个.
知识点2.平面的法向量
如果表示非零向量 的有向线段所在直线垂直于平面 ,那么称向量 垂直于平
面 ,记作 ,此时,我们把向量 叫作平面 的法向量.
名师点睛
（1）平面 的一个法向量垂直于平面 内的所有向量.
（2）一个平面的法向量有无数个,它们相互平行.
知识点3.平面方程的表示
1.在空间直角坐标系中,平面可以用关于 , , 的三元一次方程来表示.
2.平面 经过点 , 是平面 内任意一点,则平面 的法向量
为 的平面方程为 .
02
题型分析·能力素养提升
【题型一】直线的方向向量
例1（1） 已知直线 的一个方向向量 ,且直线 过 和
两点,则 ( )
A
A.0 B.1 C. D.3
[解析] 和 ,
.
直线 的一个方向向量为 ,
设 , ,
解得
.
（2）在如图所示的空间直角坐标系中, 为正方
体,棱长为1,则直线 的一个方向向量为_______,直线 的一
个方向向量为_ _____________________.
（答案不唯一）
[解析] 因为 , ,
故直线 的一个方向向量为 .
因为 , ,
故直线 的一个方向向量为 .
题后反思 理解直线方向向量的概念
（1）直线上任意两个不同的点都可构成直线的方向向量.
（2）直线的方向向量不唯一.
跟踪训练1 （多选题）若 , 在直线 上,则直线 的一个方向向量是
( )
AB
A. B. C. D.
[解析] 因为 , 在直线 上, ,
故向量 , 都是直线 的一个方向向量.
【题型二】平面的法向量
例2 如图,在长方体 中, , ,
, 是 的中点.以 为原点, , , 所在直线分
别为 轴、 轴、 轴,建立如图所示的空间直角坐标系.
（1）求平面 的法向量；
解 因为 轴垂直于平面 ,所以 是平面 的一个法向量.
（2）求平面 的法向量.
解 因为 , , , 是 的中点,
所以 , , 的坐标分别为 , , ,
因此 , .
设 是平面 的一个法向量,
则 , ,
所以 所以
取 ,则 , ,于是 是平面 的一个法向量.
（答案不唯一）
规律方法 求平面法向量的步骤
一
二
三
四 解方程组,取其中的一个解作为法向量（由于一个平面的法向量有无数个,因此可在方程
组的解中取一个较简单的作为平面的一个法向量）
跟踪训练2 在正方体 中, , 分别为棱 ,
的中点,在如图所示的空间直角坐标系中,求：
解 设正方体 的棱长为2,
则 , , , , .
（1）平面 的一个法向量；
解 连接 （图略）, 平面 ,
为平面 的一个法向量.
（2）平面 的一个法向量.
解 , .
设平面 的一个法向量为
令 ,得 , .
即为平面 的一个法向量.（答案不唯一）.
【题型三】平面方程的表示
例3（1） 在空间直角坐标系中,经过点 ,且法向量为 的平面的
方程为( )
A
A. B.
C. D.
[解析] 在平面上任取一点 ,
.
平面的一个法向量为 ,
,
.故选A.
（2）在空间直角坐标系中,已知点 , , ,试求出经过 , , 三点
的平面的方程.
解 设所求平面方程为 ,
将点 , , 分别代入上式,
得
,
不妨取 ,得 , , ,
经过 , , 三点的平面的方程为 .
规律方法 求平面方程的两种方法
法向量法
待定系数法
跟踪训练3 在空间直角坐标系中,设平面 经过点 ,平面 的一个法向量
为 , 是平面 内任意一点,求 , , 满足的关系式.
解 由题得 .
因为 是平面 的一个法向量,所以 ,
从而 ,
即 ,
得到 .(共29张PPT)
6.3 空间向量的应用
6.3.2 空间线面关系的判定
【课标要求】1.能用向量语言表述线线、线面、面面的平行和垂直关系.2.能用向量方
法证明空间线面位置关系的一些定理.3.能用向量方法判定空间线面的平行和垂直关系.
1
要点深化·核心知识提炼
2
题型分析·能力素养提升
01
要点深化·核心知识提炼
知识点.向量方法研究空间线面的平行和垂直关系
设空间两条直线 , 的方向向量分别为 , ,两个平面 , 的法向量分别为
, ,则有下表：
平行 垂直
名师点睛
（1）用向量方法证明线线平行时,必须说明两直线不重合；
（2）证明线面平行时,必须说明直线不在平面内.
02
题型分析·能力素养提升
【题型一】利用空间向量证明平行问题
例1 已知正方体 的棱长为2, , 分别是 , 的中点,求证:
证明 建立如图所示的空间直角坐标系 ,
则有 , , , , , ,
所以 , , , .
（1） 平面 ;
解 设 是平面 的一个法向量,
则 , ,
即
得 不妨取 ,则 ,
所以
因为 ,所以
又因为 平面 ,所以 平面 .
（2）平面 平面 .
解 设 是平面 的一个法向量.
由 , ,
得 得
不妨取 ,则 ,所以
因为 ,所以平面 平面 .
规律方法 用空间向量证明平行的方法
线线平行 证明两直线的方向向量共线,且需说明两线不重合
线面平行 ①证明直线的方向向量与平面的法向量垂直;②证明直线的方向向量与平面内某
直线的方向向量平行.在证明线面平行时,需注意说明直线不在平面内
面面平行 ①证明两平面的法向量为共线向量;②转化为线面平行、线线平行问题
证明 （方法一）以 , , }为正交基底,建立如图所示的空间直角坐标系
.
则 , , , ,
, ,
跟踪训练1 在长方体 中, , , , , , , 分别是 , , , 的中点.求证: .
, ,
又 与 无公共点, .
（方法二） ,
,
, ,
又 与 无公共点, .
【题型二】利用空间向量证明垂直问题
例2 如图所示,在正方体 中, , 分别是 , 的中点.求证:
平面 .
证明 设正方体的棱长为 ,以 为原点, , , 所在直线分别为
轴、 轴、 轴建立如图所示的空间直角坐标系 ,
则 , , , , .
, , .
, ,
, .
又 , 平面 .
规律方法 用空间向量证明垂直的方法
线线垂直 证明两直线的方向向量互相垂直,即证明它们的数量积为零
线面垂直 证明直线的方向向量与平面的法向量共线,或将线面垂直的判定定理用向量表示
面面垂直 证明两个平面的法向量垂直,或将面面垂直的判定定理用向量表示
跟踪训练2（1） 如图,在长方体 中,
, ,点 在棱 上移动.求证: .
证明 以 , , }为正交基底,建立空间直角坐标系（图略）,则 , , ,
,设 , , ,
, .
（2）在四棱锥 中,底面 是正方形, 底面 ,且 , 是
的中点.求证:平面 平面 .
解 设 ,建立如图所示的空间直角坐标系,则
, , , , , , , .
（方法一）连接 ,交 于点 ,连接 ,则点 的坐标为 , , ,
易知 , ,0, ,
.
又 与 无公共点, .
又 底面 , 平面 .
又 平面 , 平面 平面 .
（方法二）设平面 的法向量为
易知 , , , ,
, ,
不妨取 ,则 , , 平面 的一个法向量为
平面 ,
平面 的一个法向量为
, 平面 平面 .
【题型三】立体几何中的探索性问题
例3 如图,正方形 所在平面和等腰梯形 所在的平面互相
垂直,已知 , .
（1）求证: .
证明 平面 平面 ,平面 平面 , ,
平面 ,
平面 .
平面 , .
过点 作 于 （图略）,
则 , , ,
, , .
, , 平面 ,
平面 .
平面 , .
（2）在线段 上是否存在一点 ,使得平面 平面 若存在,求出 的值;
若不存在,请说明理由.
解 存在.理由:由（1）知, , , 两两垂直.
以 , , }为正交基底,建立如图所示的空间直角坐标系
,
则 , , , .
假设在线段 上存在一点 满足题意,则易知点 与点 , 不重合,设 ,则
, , , .
设平面 的一个法向量为
由 , , , ,
, ,
得 即
不妨取 ,则 ,所以 ,0, 为平面 的一个法向量.
同理,可求得 , , 为平面 的一个法向量.
当 ,即 时,平面 平面 ,故存在满足题意的点 ,此时 .
跟踪训练3 如图所示,在正方体 中, 为底面 的中心, 是
的中点,设 是 上的点.问:当点 在什么位置时,平面 平面
解 设正方体的棱长为1,
以 , , }为单位正交基底,建立如图所示的空间直角坐标系 .在 上
任取一点 ,连接 , ,
则 , , , ,0, , , , .
设 , ,
则 , , , .
, ,
又 与 无公共点, .
,0, , ,
当 时, ,
又 与 无公共点, ,
又 , , , 平面 , , 平面 ,
平面 平面 ,
当 为 的中点时,平面 平面 .(共34张PPT)
6.3 空间向量的应用 6.3.3 空间角的计算
【课标要求】1.能用向量法求解线线、线面、面面的夹角的计算问题.2.能正确区分向
量夹角与所求线线角、线面角的关系.3.能正确区分平面法向量所成的角与二面角的平
面角的关系.
1
要点深化·核心知识提炼
2
题型分析·能力素养提升
01
要点深化·核心知识提炼
知识点1.两条异面直线所成的角
（1）设两条异面直线所成的角为 ,它们的方向向量为 , ,则 ,
.
（2）两条异面直线所成角的取值范围是 .
知识点2.直线与平面所成的角
设直线 与平面 所成的角为 ,直线 的方向向量为 ,平面 的法向量为
,则 , .
名师点睛
（1）直线与平面所成的角,可以转化为直线的方向向量与平面的法向量的夹角.
（2）线面角的范围为 .
（3）直线与平面所成的角等于其方向向量与平面法向量所成锐角的余角.
知识点3.二面角
两个平面所成的二面角可以转化为这两个平面的法向量所成的角,如图,向量
, ,则二面角 的大小为 , 或 , ,若二面角
的大小为 ,则 .
（1）
（2）
名师点睛
（1）求二面角问题转化为两个平面法向量的夹角问题.
（2）二面角的范围是 .
02
题型分析·能力素养提升
【题型一】求异面直线所成的角
例1 如图,在棱长为1的正四面体（四个面都是正三角形） 中,
, 分别为 , 的中点,求直线 和 夹角的余弦值.
解 以 , , }作为基底,则
, .
设向量 与 的夹角为 ,则直线 和 夹角的余弦值等于
.
.
又 和 均为等边三角形,
所以 ,
所以 ,
所以直线 和 夹角的余弦值为 .
跟踪训练1 已知四棱锥 的底面是正方形且侧棱长与底面边长都相等, 是
的中点,则 , 所成角的余弦值为( )
C
A. B. C. D.
[解析] 连接 , 交于点 ,以 为坐标原点,分别以 ,
, 所在直线为 轴、 轴、 轴,建立空间直角坐标系如
图所示,设四棱锥 的棱长为 ,
则 , , , ,
,0, ,
,1, ,
,
,
,
故异面直线 , 所成角的余弦值为 .
【题型二】求直线和平面所成的角
例2 如图,在三棱锥 中, , , 两两垂直,
, .求直线 与平面 所成角的正弦值.
解 以 为原点, , , 为 轴、 轴、 轴的正
方向建立如图所示的空间直角坐标系,
, , ,则 ,
, .
若 是平面 的一个法向量,则
令 ,则
, ,
故直线 与平面 所成角的正弦值为 .
跟踪训练2 如图,在四棱锥 中, 底面 ,
, .点 在棱 上, ,点 在棱
上, .
（1）若 , 为 的中点,求证: , , , 四点共面.
证明 过 作 的平行线交 于 ,连接 ,
.
又 , , .
又 , ,
为 的中点,
又 为 的中点, .
又 , , , ,
,且 ,
四边形 是平行四边形,
, ,
, , , 四点共面.
（2）求直线 与平面 所成角的正弦值的最大值.
解 以 , , }为正交基底,建立如图所示的空间直角坐标系,
则 , ,0, ,
, ,
,0, , , .
设 ,
.
设平面 的一个法向量为 ,
则
令 ,则 , ,
平面 的一个法向量为 , , .
设直线 与平面 所成角为 ,
, ,
当 时, 的值最大,最大值为 .
【题型三】求二面角
例3 如图,四棱柱 的所有棱长都相等,
, ,四边形 和四边形
均为矩形.
（1）求证: 底面 .
证明 因为四边形 和四边形 均为矩形,所以
, ,
又 ,所以 , .
因为 , , 平面 ,
所以 底面 .
（2）若 ,求二面角 的余弦值.
解 因为四棱柱的所有棱长都相等,
所以四边形 为菱形,所以 ,
又 底面 ,
所以 , , 两两垂直.
如图,以 , , }为正交基底,建立空间直角坐标系.
设棱长为2,
因为 ,
所以 , ,
所以 , , ,
则 , .
设平面 的一个法向量为 ,
则由 , ,得
不妨取 ,则 , ,
所以 .
易知平面 ,即平面 的一个法向量为 ,
所以 , .
因为二面角 为锐角,
所以二面角 的余弦值为 .
题后反思 利用向量法求二面角的步骤
（1）建立空间直角坐标系.
（2）分别求出二面角的两个半平面所在平面的法向量.
（3）求两个法向量的夹角.
（4）判断所求二面角的平面角是锐角还是钝角.
（5）确定二面角的大小.
跟踪训练3 如图, 和 所在平面垂直,且
, .求：
解 设 ,作 于点 ,连接 ,以 为原点,
, , 所在直线分别为 轴、 轴、 轴建立如图所
示的空间直角坐标系,得下列坐标：
, ,0, , , , , , , ,
,0, .
（1）直线 与直线 所成角的大小；
解 ,0, , ,
所以 ,0, ,所以 与 所成角为 .
（2）直线 与平面 所成角的大小；
解 ,0, ,显然 为平面 的一个法向量,
, ,
所以直线 与平面 所成角的大小为 .
（3）平面 和平面 的夹角的余弦值.
解 设平面 的一个法向量为 ,
则 , , ,
所以 即
令 ,则 , ,
则
设平面 和平面 的夹角为 ,则 ,
因此平面 和平面 的夹角的余弦值为 .(共48张PPT)
章末总结提升
1
网络构建·知识导图
2
要点归纳·典例提升
01
网络构建·知识导图
02
要点归纳·典例提升
要点一 空间向量的线性运算与数量积
1.向量的线性运算的关键是熟练掌握向量加减运算的平行四边形法则、三角形法
则及各运算公式,理解向量运算法则、运算律及其几何意义.
2.利用空间向量的数量积可以解决有关垂直、夹角、长度问题.解决问题的两条途
径:一是根据数量积的相关定义,利用模与夹角直接计算;二是利用坐标进行相关计算.
（1） , , ;
（2） ;
（3） , .
3.空间向量的运算,应注重逻辑推理、数学运算的培养.
【典例1】 如图所示,已知空间四边形 的各边和对角线的长都等于 , , 分别
是 , 的中点.
（1）求证: , .
证明 设 , , .
由题意,知 ,
且 , , 三向量两两夹角均为 .
因为 ,
所以
,
所以 ,即 .
同理可证 .
（2）求异面直线 与 所成角的余弦值.
解 设向量 与 的夹角为 .
因为 ,
,
所以
.
又 ,
所以 ,
所以 ,所以向量 与 的夹角的余弦值为 ,
所以异面直线 与 所成角的余弦值为 .
跟踪训练1 如图, 为 的中点,以 , , }为基向量,
,则实数组 等于( )
B
A. B. C. D.
[解析] 为 的中点,
.
,
, , ,故选B.
要点二 利用空间向量证明位置关系
1.用空间向量判断（证明）空间中位置关系的类型有线线平行、线线垂直、线面
平行、线面垂直、面面平行、面面垂直;判断（证明）的基本思想是转化为线线关系或
者利用平面的法向量、利用向量的共线和垂直进行证明.
2.将立体几何中的线面关系转化为向量间的关系,可以培养学生的逻辑思维能力和
数学运算能力.
【典例2】 如图,正方形 与梯形 所在的平面互相垂直,
, , , , 为 的中点.
（1）求证: 平面 .
证明 平面 平面 ,
平面 平面 ,
, 平面 ,
平面 .
又 , , , 两两垂直.
以 , , }为正交基底,建立如图所示的空间直角
坐标系,
则 , , , , , .
为 的中点, ,
则 , , ,
,
故 , , 共面.
又 平面 , 平面 .
（2）求证: 平面 .
解 , , ,
, .
, .
又 , 平面 .
规律方法 利用空间向量证明或求解立体几何问题时,首先要转化为坐标运算,再借助于坐标
的有关性质求解（证）.
跟踪训练2 如图,在长方体 中, ,
, 是 的中点, 是 的中点.求证：平面
平面 .
证明 建立如图所示的空间直角坐标系,则 ,
, , ,2, , ,
, ,1, .设平面 的一个法
向量为 ,则 即
令 ,则 ,所以
设平面 的一个法向量为 ,则 即 令
,则 ,所以
因为 ,所以 ,
所以平面 平面 .
要点三 利用空间向量求空间角
1.空间向量与空间角的关系.
（1）设异面直线 , 的方向向量分别为 , ,则 与 的夹角 满足
, .
（2）设直线 的方向向量和平面 的法向量分别为 , ,则直线 与平面 的夹
角 满足 , .
（3）设 , 分别是两个平面 , 的法向量,则二面角的大小与这两个平面的
法向量的夹角相等或互补.
2.通过利用向量计算空间角的大小,可以提高学生的逻辑推理能力和数学运算能力.
【典例3】 如图,在三棱柱 中,
, ,线段 的中点为
,且 .
（1）求 与 所成角的余弦值；
解 如图,在线段 上取一点 ,使 ,
在三棱柱 中, ,
在 中,因为 , 是 的中点,
所以 , ,
所以 .
因为 , , , 平面 ,
所以 平面 .
在 中,由余弦定理得,
,
所以 ,所以 .
以 为原点, , , 所在直线分别为 轴、 轴、 轴
建立如图所示的空间直角坐标系 ,
则 , , , , .
设 ,
因为 ,
所以 , ,
设直线 与 所成的角为 , ,
所以 , .
（2）若线段 的中点为 ,求二面角 的余弦值.
解 因为线段 的中点为 ,
所以 ,
设平面 的一个法向量 ,
因为 , ,
所以
令 ,则 , ,
所以
由（1）知, 平面 ,又 平面 ,
所以平面 平面 ,
又平面 平面 ,
, 平面 , 平面 ,
所以 平面 ,
所以 为平面 的一个法向量.
而 在 轴上,
所以取平面 的一个法向量 ,
设二面角 的平面角为 ,
所以 , .
由图可知, 为锐角,所以 ,
所以二面角 的余弦值为 .
题后反思 （1）在建立空间直角坐标系的过程中,一定要依据题目所给几何图形的特征,建立
合理的空间直角坐标系,这样才会容易求得解题时需要的坐标.
（2）求直线和平面所成的角、二面角类问题有两种思路：转化为两条直线所成的角、利用
平面的法向量.
跟踪训练3 [2023镇江月考] 如图,在直三棱柱 中, ,
, 为棱 的中点, 是 的中点.
（1）证明： 平面 .
证明 因为 , 为棱 的中点,
所以 .
过点 作 ,如图.
因为三棱柱 为直三棱柱,
所以 平面 .
因为 , 平面 ,
所以 , ,
故以 为坐标原点, , , 所在直线分别为 轴、 轴、 轴,建
立空间直角坐标系.
因为 ,所以 ,
由勾股定理得, ,
所以 , , , , , ,1, ,
则 , , ,1, .
设平面 的一个法向量为 ,
则
解得 ,令 ,则 ,
故 ,
所以 ,1, ,
所以 , 平面 ,
故 平面 .
（2）求直线 与平面 所成角的正弦值.
解 由（1）知 ,
,
设平面 的一个法向量为 ,
则
令 ,则 , ,
故
设直线 与平面 所成的角为 ,
则 ,
,
故直线 与平面 所成角的正弦值为 .
要点四 利用空间向量计算距离
1.空间距离的计算:
（1）点到平面的距离 .
说明:点 为平面 外一点, 为平面 内一点, 为平面 的法向量.
（2）点到直线的距离:
公式①: ;
公式②: , .
说明: 为直线 外一点, 是 上任意一点,在点 和直线 所确定的平面内,取一个
与直线 垂直的向量 .
2.通过利用向量计算空间距离,可以提升学生的逻辑推理和数学运算能力.
【典例4】 如图,在梯形 中, , ,
, 平面 ,且 ,点 在
上,且 .
（1）求点 到平面 的距离；
解 由题意知 , , 两两垂直,建立空间直角坐标
系,如图，
则 , , , ,
. 设 ,
则 ,
, ,
, ,
即 .
设平面 的一个法向量为 ,
则 解得
取 ,得
设点 到平面 的距离为 ,由 ,
得
（2）求 到平面 的距离.
解 由于 , , .
设平面 的一个法向量为 ,
由 得
取 ,得
设点 到平面 的距离为 ,
, 平面 , 平面 ,
则 为 到平面 的距离,
题后反思 利用向量法求点面距,只需求出平面的一个法向量和该点与平面内任一点连线表示
的向量,代入公式求解即可.
跟踪训练4 如图,在棱长为1的正方体 中, 为线
段 的中点, 为线段 的中点.
解 以 为原点, , , 所在直线分别为
轴、 轴、 轴,建立空间直角坐标系（图略）,则 ,
, , , , ,所以
, ,
, ,
, .
（1）求点 到直线 的距离；
解 取 , ,
则 , ,
所以点 到直线 的距离为 .
（2）求直线 到平面 的距离.
解 因为 ,所以 ,所以 平面 ,所以
点 到平面 的距离,即为直线 到平面 的距离.
设平面 的一个法向量为 ,
则 所以 所以
取 ,则 , ,
所以 是平面 的一个法向量.
又因为 ,所以点 到平面 的距离为
,
即直线 到平面 的距离为 .
