(共22张PPT)
7.1 两个基本计数原理
第1课时 分类计数原理与分步计数原理
【课标要求】1.理解分类计数原理与分步计数原理.2.会用这两个基本计数原理分析和
解决一些简单的实际计数问题.
1
要点深化·核心知识提炼
2
题型分析·能力素养提升
01
要点深化·核心知识提炼
知识点1.分类计数原理
如果完成一件事,有 类方式,在第1类方式中有 种不同的方法,在第2类方式中有
种不同的方法……在第 类方式中有 种不同的方法,那么完成这件事共有
种不同的方法.
名师点睛
应用分类计数原理的注意事项:
（1）明确题目中所指的“完成一件事”是什么事,怎么才算是完成这件事.
（2）确立恰当的分类标准,不同类方案的任意两种方法不同,也就是分类必须既不
重复也不遗漏.
知识点2.分步计数原理
如果完成一件事,需要分成 个步骤,做第1步有 种不同的方法,做第2步有 种
不同的方法……做第 步有 种不同的方法,那么完成这件事共有
种不同的方法.
名师点睛
应用分步计数原理的注意事项:
（1）明确题目中所指的“完成一件事”是什么事,完成这件事必须要完成几步.
（2）根据题意正确分步,要求各步之间必须关联,只有按照这几步逐步地去做,才能
完成这件事,各步骤之间既不能重复也不能遗漏.
02
题型分析·能力素养提升
【题型一】分类计数原理
例1 某校高三共有三个班,各班人数如下表.
班级 男生人数 女生人数 总人数
高三（1）班 30 20 50
高三（2）班 30 30 60
高三（3）班 35 20 55
（1）从这三个班中选1名学生任学生会主席,有多少种不同的选法
解 从这三个班中选1名学生任学生会主席,共有3类不同的方案:
第1类,从高三（1）班中选出1名学生,有50种不同的选法;
第2类,从高三（2）班中选出1名学生,有60种不同的选法;
第3类,从高三（3）班中选出1名学生,有55种不同的选法.
根据分类计数原理,从这三个班中选1名学生任学生会主席,共有 （种）不同的选法.
（2）从高三（1）班、（2）班男生或高三（3）班女生中选1名学生任学生会生活部部长,有多少种不同的选法
解 从高三（1）班、（2）班男生或高三（3）班女生中选1名学生任学生会生活部部
长,共有3类不同的方案:
第1类,从高三（1）班男生中选出1名学生,有30种不同的选法;
第2类,从高三（2）班男生中选出1名学生,有30种不同的选法;
第3类,从高三（3）班女生中选出1名学生,有20种不同的选法.
根据分类计数原理,从高三（1）班、（2）班男生或高三（3）班女生中选1名学生任学
生会生活部部长,共有 （种）不同的选法.
规律方法 1.应用分类计数原理解题的策略
（1）标准明确:明确分类标准,依次确定完成这件事的各类方法.
（2）不重不漏:完成这件事的各类方法必须满足不能重复,又不能遗漏.
（3）方法独立:确定的每一类方法必须能独立地完成这件事.
2.利用分类计数原理解题的一般思路
_____________________________________________________________________________________________________
跟踪训练1（1） 某书架有3层,第1层有3本不同的数学书,第2层有5本不同的语文书,第3
层有8本不同的英语书,现从中任取1本书,不同的取法共有( )
B
A.120种 B.16种 C.64种 D.39种
[解析] 有3类不同的方案:第1类,从第1层任取1本书,有3种取法;第2类,从第2层任取1本书,有5种取法;从第3层任取1本书,有8种取法.故从中任取1本书,共有 （种）不同的取法.
（2）有三个袋子,分别装有不同编号的红色小球6个、白色小球5个、黄色小球4个.若从
三个袋子中任取1个小球,则有____种不同的取法.
15
[解析] 从三个袋子中任取1个小球,有3类不同的方案:
第1类,从第1个袋子中任取1个红色小球,有6种不同的取法;
第2类,从第2个袋子中任取1个白色小球,有5种不同的取法;
第3类,从第3个袋子中任取1个黄色小球,有4种不同的取法.
根据分类计数原理,不同的取法共有 （种）.
【题型二】分步计数原理
例2 某乒乓球队的10名队员中有3名主力队员,派5名参加比赛,3名主力队员要安排在第一、三、五的位置,再从其余7名队员中选2名安排在第二、四的位置,则不同的出场安排共有多少种
解 （方法一）按出场次序,第一位置队员的安排有3种方法,第二位置队员的安排有7种
方法,第三位置队员的安排有2种方法,第四位置队员的安排有6种方法,第五位置队员的
安排只有1种方法.
由分步计数原理,得不同的出场安排种数为 .
（方法二）按主力与非主力,分两步安排.
第一步,安排3名主力队员在第一、三、五的位置上,有 （种）方法;
第二步,安排7名非主力队员中的2名在第二、四的位置上,有 （种）方法.
由分步计数原理,得不同的出场安排种数为 .
规律方法 （1）应用分步计数原理的解题策略:应用分步计数原理时,完成这件事情要分几个
步骤,只有每个步骤都完成了,才算完成这件事情,每个步骤缺一不可.
（2）利用分步计数原理解题的一般思路:
______________________________________________________________________________________________________
跟踪训练2 某乒乓球队的10名队员中有4名主力队员,现在安排5名参加比赛,第一、三、五的位置只能安排主力队员,第二、四的位置安排非主力队员中的2名,则不同的安排方法有多少种
解 安排第一个位置有4种方法,第三个位置有3种方法,第五个位置有2种方法,第二个位置有6种方法,第四个位置有5种方法,则由分步计数原理知不同的安排方法有 （种）.
【题型三】两个基本计数原理的应用
例3 某外语组有9人,每人至少会英语和日语中的一门,其中7人会英语、3人会日语,从中选出会英语和日语的各一人到边远地区支教,有多少种不同的选法
解 由题意知有1人既会英语又会日语,6人只会英语,2人只会日语.
（方法一）分两类.
第一类:从只会英语的6人中选1人教英语,有6种选法,则教日语的有 （种）
选法.此时共有 （种）选法.
第二类:选既会英语又会日语的人教英语,有1种选法,则选教日语的有2种选法,此时有 （种）选法.
所以由分类计数原理知,共有 （种）选法.
（方法二）设既会英语又会日语的人为甲,则甲有入选、不入选两类情形,入选后又要分两种:（1）教英语;（2）教日语.
第一类:甲入选.
（1）甲教英语,再从只会日语的2人中选1人,由分步计数原理,有 （种）选法;
（2）甲教日语,再从只会英语的6人中选1人,由分步计数原理,有 （种）选法.
故甲入选的不同选法共有 （种）.
第二类:甲不入选.可分两步.
第一步,从只会英语的6人中选1人教英语,有6种选法;第二步,从只会日语的2人中选1人教
日语,有2种选法.由分步计数原理知,有 （种）不同的选法.
综上,共有 （种）不同的选法.
规律方法 1.使用两个基本计数原理的原则
使用两个基本计数原理解题时,一定要从“分类”“分步”的角度入手.“分类”是将较复杂应用
问题的元素分成互相排斥的几类,然后逐类解决问题;“分步”就是把问题分化为几个互相关联的
步骤,然后逐步解决问题.
2.应用两个基本计数原理计数的四个步骤
（1）明确完成的这件事是什么;
（2）思考如何完成这件事;
（3）判断它属于分类还是分步,是先分类后分步,还是先分步后分类;
（4）选择计数原理进行计算.
跟踪训练3 用从0到9十个自然数,可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为_____.
328
[解析] 若个位数字为0,没有重复数字的三位偶数的个数为 ;
若个位数字不为0,则确定个位数字有4种方法,确定百位数字有8种方法,确定十位数字有8种方法,所以没有重复数字的三位偶数的个数为 .所以可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为 .(共18张PPT)
7.2 排列 第1课时 排列、排列数公式
【课标要求】1.理解排列的概念,能正确写出一些简单问题的所有排列.2.理解排列数公
式,能利用排列数公式进行计算和证明.3.能够利用排列知识求解一些简单的实际问题.
1
要点深化·核心知识提炼
2
题型分析·能力素养提升
01
要点深化·核心知识提炼
知识点1.排列的概念
一般地,从 个不同的元素中取出 个元素,按照一定的顺序排
成一列,叫作从 个不同元素中取出 个元素的一个排列.
名师点睛
理解排列应注意的问题:
（1）排列的定义中包括两个基本内容:一是“取出元素”,二是“按一定顺序排成一列”.
（2）定义中的“一定顺序”说明了排列的本质:有序.
知识点2.排列数与排列数公式
排列数的定义及 表示
排列数公式
全排列的概念
全排列公式
阶乘的概念
排列数的阶乘式
名师点睛
排列数 的公式特征:第一个因
数是 ,后面每一个因数比它前面一个因数少1,最后一个因数是 ,共有 个因数.
02
题型分析·能力素养提升
【题型一】简单的排列问题
例1 写出下列问题的所有排列:
（1）从1,2,3,4四个数字中任取两个数字组成两位数,共有多少个不同的两位数
解 由题意作树形图,如图.
所有的两位数是12,13,14,21,23,24,31,32,34,41,42,43，共有12个不同的两位数.
（2）从 , , , , 个元素中任取3个元素进行排列.
解 由题意作树形图,如图.
故所有排列为 , , , , , , , , ,
, , , , , , , , , , ,
, , , , , , , , , , ,
, , , , , , , , , , ,
, , , , , , , , , , ,
, , , , , , .
规律方法
在排列个数不多的情况下,树形图是一种比较有效的表示方式.在操作中先将元素按一定顺序
排出,然后以先安排哪个元素为分类标准进行分类,在每一类中再按余下的元素在前面元素不
变的情况下确定第二个元素,再按此元素分类,依次进行,直到完成一个排列,这样能不重不漏,然
后按树形图写出排列.
跟踪训练1 计算北京、广州、南京、天津4个城市相互通航的飞机机票的所有种数,并列举出来.
解 北京、广州、南京、天津4个城市相互通航的飞机机票由于与顺序有关,因此是排列问题.
列出每一个起点和终点情况,如图所示.
故符合题意的机票种类有:北京 广州,北京 南京,北京 天津,广州
南京,广州 天津,广州 北京,南京 天津,南京 北京,南京 广州,
天津 北京,天津 广州,天津 南京,共12种.
【题型二】排列数公式
例2（1） 计算: .
解 .
（2）若 ,求正整数 .
解 ,
,
整理可得 ,
解得 .
跟踪训练2（1） 计算: .
解 （方法一） .
（方法二） .
（2）求证: .
证明 左式 右式,即原等式成立.
【题型三】无限制条件的简单排列问题
例3 现有6个人要排成一排照相,按下列要求各有多少种不同的排列方法.
（1）排成一排;
解 6人排成一排的所有的排列数为 （种）不同的方法.
（2）6人排成前后两排,前排2人,后排4人.
解 6人排成前后两排,可以分成两步,第一步先排前排的2人，有 种不同的方法,第
二步将剩余的4人排在后排，有 种不同的方法,由分步计数原理可知共有
（种）不同的方法.
规律方法 无限制条件排列问题的求解方法
求解无限制条件的排列问题,首先应明确是否为排列问题,二是明确完成这件事是分类还
是分步,还是既要分类又要分步.根据问题的需要直接列出排列数后求解.
跟踪训练3（1） 有4名司机、4名售票员要分配到4辆汽车上,使每辆汽车上有一名司机和一名售票员,则可能的分配方法有多少种
解 司机、售票员各有 种安排方法,由分步计数原理知共有 （种）
不同的安排方法.
（2）用1,2,3,4,5,6,7这7个数字可以组成多少个无重复数字的四位数
解 用1,2,3,4,5,6,7这7个数字组成无重复数字的四位数,就是从7个不同元素中取出4个不同元素的排列,共有 （个）.(共20张PPT)
7.2 排列 第2课时 排列的应用
【课标要求】1.进一步加深对排列概念的理解.2.掌握几种含限制条件的排列问题的解
法.3.能够应用排列与排列数公式解决简单的实际应用问题.
1
题型分析·能力素养提升
01
题型分析·能力素养提升
【题型一】特殊元素与特殊位置问题
例1 用0,1,2,3,4,5这六个数字可以组成多少个符合下列条件的无重复数字的数
（1）六位数且是奇数;
解 从特殊位置入手.
第1步，排个位,从1,3,5三个数字中选1个,有 种排法;
第2步，排十万位,有 种排法;
第3步，排其他位,有 种排法.
故可以组成的无重复数字的六位数且是奇数的数共有 （个）.
（2）个位上的数字不是5的六位数;
解 十万位上的数字的排法因个位上排0与不排0而有所不同,因而分两类.
第1类，当个位上排0时,有 种排法;
第2类，当个位上不排0时,有 种排法.
故符合题意的六位数共有 （个）.
（3）不大于4 310的四位数且是偶数.
解 当千位上排1,3时,有 种排法;
当千位上排2时,有 种排法;
当千位上排4时,形如 , 的偶数各有 个,形如 的偶数有 个,形如 的偶数只有4 310和4 302满足题意.
故不大于4 310的四位数且是偶数的数共有 （个）.
规律方法 特殊元素（位置）的优先排列问题的解法
对于特殊元素或特殊位置的排列问题,求解时应优先满足特殊元素或特殊位置,然后考虑
其他元素或其他位置.当一个位置上安排的元素影响到另一个位置上的元素个数时,应进行分
类讨论.
跟踪训练1 用0,1,2,3,4,5这六个数字可以组成多少个符合下列条件的无重复数字的数
（1）四位数;
解 千位可以从1,2,3,4,5中任选一个,有5种选法,剩余的百位、十位和个位,可以从剩余
的5个数中任意选择,所以有 种选法,所以没有重复数字的四位数共有
（个）.
（2）能被5整除的四位数;
解 没有重复数字且能被5整除的四位数,分两类情况:①个位数字为0时,有
（个）;②个位数字为5时,千位可以从1,2,3,4中任选一个,有4种选法,剩下的百位和十位
可以从剩余的四个数中选择两个进行排列,有 种选法,则有 （个）.利用
分类计数原理知,共有 （个）.
（3）比2 000大的自然数.
解 当这个自然数是四位数时,千位从2,3,4,5中选一个,有4种选法,再从剩下的元素中选3个,有 种选法,共有 种;当这个自然数是五位数时,共有 种选法;当这个自然数是六位数时,共有 种选法.故比2 000大的自然数共有 （个）.
跟踪训练2 用0,1,2,3,4,5这六个数字可以组成多少个能被3整除且无重复数字的五位数
解 能被3整除的条件是各位数字之和能被3整除,则5个数可能是1,2,3,4,5或是0,1,2,4,5两种情况,能够组成的五位数分别有 个和 个.
故能被3整除且无重复数字的五位数有 （个）.
【题型二】“邻”与“不邻”问题
例2 7人站成一排,问:
（1）甲、乙两人相邻的排法有多少种
解 （捆绑法）将甲、乙两人“捆绑”为一个元素,与其余5人全排列,共有 种排法.甲、乙两人可交换位置,有 种排法.
故共有 （种）排法.
（2）甲、乙两人不相邻的排法有多少种
解 （方法一 间接法）7人任意排列,有 种排法,甲、乙两人相邻的排法有
种.故甲、乙不相邻的排法有 （种）.
（方法二 插空法）将其余5人全排列,有 种排法,5人之间及两端共有6个位置,从中
任选2个位置排甲、乙两人,有 种排法.
故共有 （种）排法.
（3）甲、乙、丙三人必相邻的排法有多少种
解 （捆绑法）将甲、乙、丙三人捆绑在一起与其余4人全排列,有 种排法,甲、乙、
丙三人有 种排法,共有 （种）排法.
（4）甲、乙、丙三人两两不相邻的排法有多少种
解 （插空法）将其余4人排好,有 种排法.将甲、乙、丙插入5个空中,有 种排法.故共有 （种）排法.
规律方法
元素相邻与不相邻问题的求解策略
限制条件 解题策略
元素相邻 通常采用“捆绑”法,即把相邻元素看作一个整体参与其他元素的排列
元素不相邻 通常采用“插空”法,即先考虑不受限制的元素的排列,再将不相邻元素插在
前面元素排列的空中
跟踪训练3 对于本例中的7人,甲、乙两人之间只有1人的排法有多少种
解 第1步,从其余5人中选1人放于甲、乙之间,有 种排法.
第2步,将甲、乙及中间1人看作一个元素与其余4人全排,有 种排法.
第3步,中间1人固定,甲、乙两人排列,有 种排法.
根据分步计数原理得共有排法 （种）.
跟踪训练4 若本例改为“有7名学生,其中3名男生、4名女生站成一排”,则男生、女生互不相邻的排列方法有多少种？
解 先排男生有 种不同的排法,在男生排好的4个空中排入4个女生,有 种不同
的排法,由分步计数原理可得男生、女生互不相邻的排列方法有 （种）.
【题型三】定序问题的解法
例3 五个人排成一排,求满足下列条件的不同排列各有多少种.
（1） , , 三人左中右顺序不变（不一定相邻）;
解 首先五个人站成一排,共有 种排法,
其中 , , 三人的全排列有 种排法,而 , , 从左到右的顺序只是
其中一种,所以满足条件的排法共 （种）.
（2） 在 的左边且 在 的右边（可以不相邻）.
解 同（1）,不过此题中 和 , 和 被指定了顺序,则满足条件的
排法共 （种）.
跟踪训练5（1） 如图所示,元宵节灯展后,悬挂的8盏不同的花灯需要取下,每次取1盏,则
不同的取法共有( )
B
A.32种 B.70种 C.90种 D.280种
[解析] 因为取灯时每次只能取一盏,所以每串灯必须先取下面的灯,即每串灯取下的顺
序确定,取下的方法有 （种）.
（2）现有5辆汽车执行一项运输任务,要求汽车在路上行驶时甲必须在乙的前面,则有多少种不同的汽车排列方法？
解 5辆汽车不同的排列方法有 种,其中甲与乙的不同排列方法有 种,
因此甲必须在乙的前面有 （种）.(共25张PPT)
7.3 组合 第1课时 组合、组合数公式
【课标要求】1.理解组合与组合数的概念,正确认识组合与排列的区别与联系.2.会推导组
合数公式,并会应用公式进行计算.3.理解组合数的性质,并能应用性质求值、化简和证明.
1
要点深化·核心知识提炼
2
题型分析·能力素养提升
01
要点深化·核心知识提炼
知识点1.组合的概念
一般地,从 个不同元素中取出 个元素并成一组,叫作从 个不同元素中
取出 个元素的一个组合.
名师点睛
排列与组合的区别与联系:
（1）联系:两者都是从 个不同元素中取出 个元素.
（2）区别:排列与元素的顺序有关,组合与元素的顺序无关.
知识点2.组合数与组合数公式
组合数的定义及 表示 组合数 公式 乘积形式
阶乘形式
名师点睛
（1） .
（2） 常用于计算.
（3） 常用于证明.
知识点3.组合数的性质
性质1
性质2
02
题型分析·能力素养提升
【题型一】组合的概念
例1 判断下列问题是组合问题还是排列问题:
（1） , , , 四支足球队之间进行单循环比赛,共需比赛多少场
解 单循环比赛要求两支球队之间只打一场比赛,没有顺序,是组合问题.
（2） , , , 四支足球队争夺冠、亚军,有多少种不同的结果
解 冠、亚军是有顺序的,是排列问题.
（3）从全班40人中选出3人分别担任班长、副班长、团支部书记三个职务,有多少种不同的选法
解 3人分别担任三个不同职务,有顺序,是排列问题.
（4）从全班40人中选出3人参加某项活动,有多少种不同的选法
解 3人参加某项活动,没有顺序,是组合问题.
规律方法 判断一个问题是否为组合问题的流程
_____________________________________________________________
跟踪训练1 从5个不同元素 , , , , 中取出2个,共有多少种不同的组合？请写出所
有组合.
解 先将元素按照一定顺序排好,然后按顺序用图示的方法将各个组合逐个写出来,如图所示.
由此可得所有的组合: , , , , , , , , , ,共有10种.
【题型二】组合数公式
例2（1） 计算:
① ;
解 .
② .
解 .
（2）求证: .
证明 左边
右边.
跟踪训练2（1） 求式子 的值;
解 由组合数的公式的性质,
可得 解得 .
所以,原式 .
（2）已知 ,求 .
解 由 ,
得 ,
化简得 ,解得 或21.
又 ,所以 ,所以 .
【题型三】组合问题的实际应用
例3 在一次数学竞赛中,某学校有12人通过了初试,学校要从中选出5人去参加市级培训,在下列条件下,分别有多少种不同的选法
（1）任意选5人;
解 有 （种）不同的选法.
（2）甲、乙、丙三人必须参加;
解 甲、乙、丙三人必须参加,只需从另外的9人中选2人,共有 （种）不同的选法.
（3）甲、乙、丙三人都不能参加;
解 甲、乙、丙三人都不能参加,只需从另外的9人中选5人,共有 （种）不
同的选法.
（4）甲、乙、丙三人中只能有1人参加;
解 甲、乙、丙三人中只能有1人参加.分两步,先从甲、乙、丙中选1人,有 （种）选法,再从另外的9人中选4人,有 种选法,故共有 （种）不同的选法.
（5）甲、乙、丙三人中至少有1人参加;
解 （方法一 直接法）可分为三类:
第1类,甲、乙、丙中有1人参加,有 种选法;
第2类,甲、乙、丙中有2人参加,有 种选法;
第3类,甲、乙、丙3人均参加,有 种选法.
所以，共有 （种）不同的选法.
（方法二 间接法）12人中任意选5人,共有 种,甲、乙、丙三人都不参加的有
种,所以,共有 （种）不同的选法.
（6）甲、乙、丙三人中至多有2人参加.
解（方法一直接法）甲、乙、丙三人中至多有2人参加,可分为三类:
第1类,甲、乙、丙都不参加,有 种选法;
第2类,甲、乙、丙中有1人参加,有 种选法;
第3类,甲、乙、丙中有2人参加,有 种选法.
共有 （种）不同的选法.
（方法二间接法）12人中任意选5人,共有 种,甲、乙、丙三人全参加的有 种
选法,所以共有 （种）不同的选法.
规律方法 常见的含限制条件的组合问题的解法
（1）特殊元素:若要选取的元素中有特殊元素,则要以有无特殊元素、特殊元素的多少作
为分类依据.
（2）含有“至多”“至少”等限制语句,要分清限制语句中所包含的情况,可以此作为分类依
据,或采用间接法求解.
（3）分类讨论思想:解题的过程中要善于利用分类讨论思想,将复杂问题分类表达,逐类求
解.
跟踪训练3 某医院从10名医疗专家中抽调6名参加某项义诊活动,且这10名医疗专家中有4名是外科专家.问:
（1）抽调的6名专家中恰有2名是外科专家的抽调方法有多少种？
解 首先从4名外科专家中任选2名,有 种选法,再从除外科专家之外的6人中选取4人,有 种选法,所以共有 （种）抽调方法.
（2）至少有2名外科专家的抽调方法有多少种？
解 （方法一 直接法）按选取的外科专家的人数分类:
①选2名外科专家,共有 种选法;
②选3名外科专家,共有 种选法;
③选4名外科专家,共有 种选法.
根据分类计数原理知,共有 （种）抽调方法.
（方法二 间接法）不考虑是否有外科专家,共有 种选法.考虑选取1名外科专
家参加,有 种选法;没有外科专家参加,有 种选法,所以共有
（种）抽调方法.
（3）至多有2名外科专家的抽调方法有多少种？
解 “至多有2名”包括“没有”“有1名”“有2名”三种情况.
①没有外科专家参加,有 种选法;
②有1名外科专家参加,有 种选法;
③有2名外科专家参加,有 种选法.
所以共有 （种）抽调方法.(共30张PPT)
7.3 组合 第2课时 排列与组合的综合应用
【课标要求】1.能够判断所研究的问题是不是排列或组合问题.2.进一步熟练掌握排列
数、组合数公式的计算技能.3.熟练掌握用排列、组合解决常见问题的方法.
1
题型分析·能力素养提升
01
题型分析·能力素养提升
【题型一】排列问题
例1（1） 六个人从左至右排成一行,最左端只能排甲或乙,最右端不能排甲,则不同的排
法共有( )
B
A.192种 B.216种 C.240种 D.288种
[解析] 第1类,甲在最左端,有 （种）排法;
第2类,乙在最左端,有 （种）排法.
所以共有 （种）排法.
（2）把5件不同产品摆成一排,若产品 与产品 相邻,且产品 与产品 不相邻,则不
同的摆法有____种.
36
[解析] 记其余两种产品为 , ,由于 , 相邻,则视为一个元素,先与 , 排列,有 种方法.再将 插入,仅有3个空位可选,共有 （种）不同的摆法.
规律方法 求解排列问题的六种主要方法
直接法 把符合条件的排列数直接列式计算
优先法 优先安排特殊元素或特殊位置
捆绑法 把相邻元素看作一个整体与其他元素一起排列,同时注意捆绑元素的
内部排列
插空法 对不相邻问题,先考虑不受限制的元素的排列,再将不相邻的元素插在
前面元素排列的空中
定序问题 除法处理 对于定序问题,可先不考虑顺序限制,排列后,再除以定序元素的全排列
间接法 正难则反、等价转化的方法
跟踪训练1 某学校将举行某云主题演讲活动.本次演讲有6名同学和2名青年教师参加,在
演讲出场顺序中要求两位教师之间恰好间隔3名同学,则8人不同的出场顺序种数为
( )
D
A.480 B.960 C.2 880 D.5 760
[解析] 根据题意,分2步进行分析:
①在6名同学中任选3名同学,安排在2名教师中间,有 种情况；
②将这个整体与其他3人全排列,有 种排法.
共有 （种）安排方法.
【题型二】组合问题
例2（1） 某学校为了迎接市春季运动会,从5名男生和4名女生组成的田径运动队中选
出4人参加比赛,要求男、女生都有,则男生甲与女生乙中至少有1人入选的方法种数为
( )
B
A.85 B.86 C.91 D.90
[解析] （方法一 直接法）由题意,可分三类考虑:
第1类,男生甲入选,女生乙不入选的方法种数为 ;
第2类,男生甲不入选,女生乙入选的方法种数为 ;
第3类,男生甲、女生乙均入选的方法种数为 .
所以男生甲与女生乙中至少有1人入选的方法种数为 .
（方法二 间接法）从5名男生和4名女生中任意选出4人,男、女生都有的选法有
（种）;男、女生都有,且男生甲与女生乙都没有入选的方法有
（种）.所以男生甲与女生乙中至少有1人入选的方法种数为
.
（2）设集合 ,0, , ,2,3,4, ,那么集合 中满足条
件“ ”的元素个数为( )
A
A.130 B.120 C.90 D.60
[解析] 易知满足题意的 或2或3,下面分三类讨论:
第1类, ,此时,从 , , , , 中任取一个让其
等于1或 ,其余等于0,于是有 （种）情况;第2类,
,此时,从 , , , , 中任取两个让其都等于1
或都等于 或一个等于1、另一个等于 ,其余等于0,于是有
（种）情况;第3类, ,此时,从 , , , , 中任
取三个让其都等于1或都等于 或两个等于1、另一个等于 或两个等于 、另一
个等于1,其余等于0,于是有 （种）情况.所以满足条件的元素个数为
.
（3）从6男2女共8名学生中选出队长1名、副队长1名、普通队员2名组成4人服务队,要
求服务队中至少有1名女生,则共有_____种不同的选法.
660
[解析] 从8人中选出4人,且至少有1名女生的选法种数为 .
从4人中选出队长1人,副队长1人,普通队员2人的选法为 （种）.
故总共有 （种）选法.
规律方法 有限制条件的组合问题的解法
组合问题的限制条件主要体现在取出元素中“含”或“不含”某些元素,或者“至少”或“最多”
含有几个元素:
（1）“含”或“不含”某些元素的组合题型.“含”,则先将这些元素放入,再由另外元素补足;
“不含”,则先将这些元素剔除,再从剩下的元素中去选取.
（2）“至少”或“最多”含有几个元素的题型,可考虑逆向思维,用间接法处理.
跟踪训练2 现有16张不同的卡片,其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张,从中任取3张,
要求这3张卡片不能是同一种颜色,且红色卡片至多1张,则不同取法的种数为_____.
472
[解析] 第1类,含有1张红色卡片,不同的取法有 （种）；第2类,不含有红色卡片,不同的取法有 （种）.由分类计数原理知,不同的取法种数为 .
【题型三】分组与分配问题的解法
角度1 非均匀分组与非均匀分配
例3 7个人参加义务劳动,按下列方法分组,各有多少种不同的分法
（1）分成三组,分别为1人、2人、4人;
解 选出1人的方法有 种,再由剩下的6个人中选出2人的方法有 种,剩下的4人为一
组有 种,依分步计数原理知,分组的方法有 （种）.
（2）分成 , , 三组,一组1人、一组2人、一组4人;
解 结合（1）可知,分成 , , 三组,一组1人、一组2人、一组4人的分法为
（种）.
（3）选出5个人再分成两组,一组2人,另一组3人.
解（方法一）可直接从7人中选出2人的方法有 种,再由余下的5个人中选3人的方法
有 种,所以依分步计数原理知,分组的方法有 （种）.
（方法二）先选取5人,再分为两组，分组的方法有 （种）.
规律方法 非均匀分组问题的解法
所谓“非均匀分组”是指将所有元素分成元素个数彼此不相等的组,求解时,可直接根据各组
的数目,利用组合数及分步计数原理求解.另外,非均匀分配问题的解法可以类比“非均匀分组”
的方法求解.
角度2 均匀分组与均匀分配问题
例4 6个人参加义务劳动,按下列方法分组,各有多少种不同的分法
（1）分成两组,每组都是3人;
解 6个人分成两组,第1组有3人,分法有 种,则剩余的3人的分法有 种,由分步计数原理可知,共有 （种）不同的分法,假如记这6个人为 , , , , , ,写出一些组来考察.
先选3人 再选3人 分组方法种数
这两种只能 算一种分法
…… …… ……
由表可见,把 , 看作2个元素顺序不同的排列有 种,而这 只能算一
种分组方法,这样就造成了重复,因此不同的分法有 （种）.
（2）分成 , 两组,每组都是3人.
解 由于 组有3人, 组有3人,所以 组有3人的分法有 , 组有3人的分
法为 ,由分步计数原理可知,共有 （种）不同的分法.
变式探究 按下列要求分配6本不同的书,各有多少种不同的分配方式
（1）分成三份,1份4本,另外两份每份1本;
解 （方法一）先从6本书中取4本,剩余的两本分成两组属于平均分组,因此由分步计数
原理可知,共有 （种）分法.
（方法二）也可以先取1本,再取1本,则有 （种）分法.
（2）甲、乙、丙三人中,一人得4本,另外两人每人得1本.
解 在（1）的基础上再分配给3个人,共有分配方式 （种）.
角度3 “相同元素”与“不同元素”的分配问题
例5（1） 某单位安排4名员工到甲、乙、丙三个小区担任志愿者协助体温检测工作,每
个小区至少安排1名员工,每名员工都要担任志愿者,则不同的安排方法共有( )
C
A.18种 B.24种 C.36种 D.72种
[解析] 根据题意,分2步进行分析:①将4名员工分成3组,其中一组有2人,其他2组各1人,有
（种）分组方法；②将分好的三组安排到甲、乙、丙三个小区担任志愿者,有
（种）情况.由分步计数原理可知,有 （种）不同的安排方法.故选C.
（2）把9个完全相同的口罩分给6名同学,每人至少一个,不同的分法有( )
B
A.41种 B.56种 C.156种 D.252种
[解析] 问题可转化为将9个完全相同的口罩排成一列,再分成6堆,每堆至少一个,求其方法数.事实上,只需在上述9个完全相同的口罩所产生的8个“空档”中选出5个“空档”插入挡板,即产生符合要求的方法数.故有 （种），故选B.
跟踪训练3（1） 现有4份不同的礼物,若将其全部分给甲、乙两人,要求每人至少分得1
份,则不同的分法共有( )
B
A.10种 B.14种 C.20种 D.28种
[解析] 依题意,将4份不同的礼物分成 或 两组,再分配给甲、乙,故不同的分
法共有 （种）.故选B.
（2）某重点大学给了某校10个研究生推荐名额,现准备将这10个推荐名额分配给6个专
业,这6个专业中每个专业至少要有一个名额,则不同的分配方案的种数为( )
B
A.462 B.126 C.210 D.132
[解析] 将10个名额分为6份,即从9个位置中插入5个隔板,共有 （种）方案.故选B.
【题型四】排列、组合的综合应用
例6 有5名男生和3名女生,从中选出5人担任5门不同学科的课代表,求分别符合下列条件的选法数.
（1）某女生一定担任语文课代表;
解 除去该女生后,先选后排,有 （种）.
（2）某男生必须包括在内,但不担任数学课代表;
解 先选后排,但先安排该男生,有 （种）.
（3）某女生一定要担任语文课代表,某男生必须担任课代表,但不担任数学课代表.
解 先从除去该男生、该女生的6人中选3人有 种,再安排该男生有 种,其余3
人全排有 种,共有 （种）.
规律方法 解决排列、组合综合问题的方法
（1）解决排列、组合综合问题的一般思路是“先选后排”,也就是先把符合题意的元素都
选出来,再对元素或位置进行排列.
（2）解排列、组合综合问题时要注意以下几点:
①元素是否有序.
②对于有多个限制条件的复杂问题,应认真分析每个限制条件,再考虑是分类还是分步.这
是处理排列、组合综合问题的一般方法.
跟踪训练4 现有5名学生要进入某工厂的四个车间实习,每个车间至多去2人,有多少种不同的分配方法
解 本题要求5个人去四个车间,每个车间至多去2人,但是并没有强调每个车间必须去人,
所以可分为如下两类:
第一类,有一个车间去2人,其余三个车间各去1人,故先从5个人中任选2人去一个车间,
有 种选法,将此2人看作1个元素,连同其余3个人,共4个元素分别到四个车间,有
种方法,故共有 （种）方法.
第二类,有两个车间各去2个人,一个车间去1人,一个车间不去人,故先在5个人中确定1个人去一个车间,并在四个车间中选一个车间插入此人,有 种方法,再在其余4个人中选2人到一个车间,另2人则自然到了另一个车间,并在剩下的三个车间中选两个车间来安排他们,有 种方法,故共有 （种）方法.
由分类计数原理知,不同的分配方法共有 （种）.(共23张PPT)
7.4.1 二项式定理
【课标要求】1.能用计数原理证明二项式定理.2.理解二项式定理及二项展开式的特征,
能记住二项式定理和二项展开式的通项.3.正确运用二项展开式展开或化简某些二项式,
运用通项求某些特定项、二项式系数或项的系数.
1
要点深化·核心知识提炼
2
题型分析·能力素养提升
01
要点深化·核心知识提炼
知识点1.二项式定理
.
1.这个公式叫作二项式定理.
2.二项展开式:等号右边的多项式叫作 的二项展开式,二项展开式共有
项.
3.二项式系数: 叫作第 项的二项式系数.
名师点睛
理解二项式定理的注意事项:
（1）二项式系数都是组合数 ,它与二项展开式中某一项的系数
不一定相等.
（2）二项式定理中的字母 , 是不能交换的,即 与 的展开式是
有区别的,二者的展开式中的项的排列顺序是不同的,不能混淆.
（3）二项式定理中 和 中间用“ ”连接,若出现“－”,“－”归属后边的字母或数,
仍可用二项式定理展开.
知识点2.二项展开式的通项
展开式的第 项称为二项展开式的通项,记作 .
名师点睛
二项展开式的通项在形式上的特点:
（1）它表示二项展开式的第 项,该项的二项式系数是 ,而不是 或
.
（2）字母 的次数和组合数的上标相同.
（3） 与 的次数之和为 .
02
题型分析·能力素养提升
【题型一】二项式定理的正用、逆用
例1（1） 求 的展开式.
解 （方法一）
.
（方法二）
.
（2）化简:
.
解 原式
.
跟踪训练1 化简:
.
解 原式 .
【题型二】二项展开式的通项的应用
角度1 二项式系数与项的系数
例2 在二项式 的展开式中,求:
解 的展开式的通项是
（1）第4项的二项式系数;
解 该展开式中第4项 的二项式系数为 .
（2）第4项的系数.
解 该展开式中第4项的系数为
跟踪训练2 已知在 的二项展开式中,第4项的二项式系数与第3项的二项式系
数的比为 .
（1）求 的值;
解 第4项的二项式系数与第3项的二项式系数的比为 ,
, , .
（2）求展开式中 的系数及含 的项的二项式系数.
解 由（1）知, ,其通项为
.
令 ,可得 .
展开式中 的系数为 .
含 的项的二项式系数为 .
角度2 展开式中的特定项
例3 已知在 的展开式中,第6项为常数项.
解 通项为 .
（1）求 ;
解 第6项为常数项,
当 时,有 ,即 .
（2）求含 的项的系数;
解 令 ,得 ,
所求的系数为 .
（3）求展开式中所有的有理项.
解 由题意,得 令 ,
则 ,即 .
, 应为偶数.令 ,0, ,即 ,5,8,
第3项、第6项与第9项为有理项,它们分别为 , , .
跟踪训练3（1） [2023天津] 在 的展开式中， 项的系数为____.
60
[解析] 展开式的通项为 ，
令 ,解得 ，
则 项的系数为 .
故答案为60.
（2）设 的展开式中第二项和第四项的系数之比为 ,求含 的项.
解 的展开式中第二项和第四项分别为
,
.
由题意可知 ,即 ,
又 ,解得 .
设 的展开式中含 的项为第 项,
则 ,
根据题意可知 ,解得 .
所以 的展开式中含 的项为 .(共27张PPT)
7.4.2 二项式系数的性质及应用
【课标要求】1.能掌握二项式系数的性质,并能灵活运用性质解决相关问题.2.会用赋值
法求二项展开式系数的和,注意区分项的系数和二项式系数.
1
要点深化·核心知识提炼
2
题型分析·能力素养提升
01
要点深化·核心知识提炼
知识点1.二项式系数表及其数字规律
二项式系数表
此表的规律如下:
（1）每一行中的二项式系数都是“对称”的.
（2）每行两端都是1,而且除1以外的每一个数都等于它“肩上”两个数的和.
（3）每行的二项式系数从两端向中间逐渐增大.
（4）第1行为 ,第2行的两数之和为2,第3行的三数之和为 第7行的各
数之和为 .
名师点睛
二项式系数与二项展开式中某一项的系数是不同的概念,特别地,
的展开式中,各项的系数即对应的各二项式系数;
的展开式中,各项的系数的绝对值即对应的二项式系数.
知识点2.二项式系数的对称性、增减性、最值
一般地, 展开式的二项式系数 , , , 有如下性质:
（1） .
（2） .
（3）当 时, ;
当 时, .
（4） .
（5） .
（6） 的展开式为 .
02
题型分析·能力素养提升
【题型一】“杨辉三角”问题
例1 在如图所示的三角形数阵中,从第3行开始,每一行除1以
外,其他每一个数字都是其上一行的左、右两个数字之和.若
在此数阵中存在某一行,满足该行中有三个相邻的数字之比
为 ,则这一行是第____行（填行数）.
98
[解析] 在三角形数阵中,第 行的数由二项式系数 , , 组成.
如果第 行中有 , ,
那么 解得
规律方法 “杨辉三角”问题解决的一般方法
_____________________________________________________________________________
跟踪训练1 以下排列的数是二项式系数在三角形中的几何
排列,在我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》一书
里就出现了.在欧洲,这个表被称为帕斯卡三角形.试问第9行
第8个数是____.
36
[解析] 由题意,第0行的数为1,第1行的数为 , ,第2行的
数为 , , ,第3行的数为 , , , ,第4行的数为
, , , , ,因此,第 行第 个数为 ,所以第9
行第8个数是 .
【题型二】 求二项展开式中系数或二项式系数最大的项
例2 已知 的展开式中第6项与第7项的系数相等,求展开式中二项式系数最大的项和系数最大的项.
解 , ,
依题意有 ,解得 ,
在 的展开式中,二项式系数最大的项为
.
设第 项的系数最大 ,则有
解得 或 .
系数最大的项为 , .
跟踪训练2 设 .
（1）求 的值;
解 令 ,得 .
（2）该展开式中系数绝对值最大的项为第几项
解 设该展开式中系数绝对值最大的项为第 项.
因为 ,
所以
即
化简得
解得 ,
即 或1 518.
故展开式中系数绝对值最大的项为第1 518项和第1 519项.
【题型三】 二项式系数和问题
例3 已知 .求下列各式的值:
（1） ;
解 令 ,得 .
（2） ;
解 令 ,得 .
由 的通项 ,知 , , 为负值,
所以 .
（3） .
解 由 ,
,得 .
所以 .
变式探究 在本例条件下,求下列各式的值:
（1） ;
解 因为 ,
.
所以 .
（2） ;
解 因为 是 展开式中 的系数,
所以 .
又因为 ,
所以 .
（3） .
解 因为 ,
所以两边求导数得 .
令 ,得 .
跟踪训练3 在 的展开式中,求:
解 设 .
（1）二项式系数之和;
解 二项式系数之和为 .
（2）各项系数之和;
解 各项系数之和为 ,
令 , ,则 .
（3）所有奇数项系数之和.
解 令 , ,可得 ,
又 ,
将两式相加,得 ,
即所有奇数项系数之和为976 562.
【题型四】 利用二项式定理解决整除和余数问题
例4 试判断 能否被19整除.
解
.
由于76能被19整除,因此 能被19整除.
跟踪训练4 设 ,且 ,若 能被13整除,则 等于( )
B
A.0 B.1 C.11 D.12
[解析] ,
的每一项都能被13整除, 若 能被13整除,则 能被13整除.又 ,且 , 则 .(共14张PPT)
培优课2 常见的排列组合问题解题策略
1
要点深化·核心知识提炼
2
题型分析·能力素养提升
01
要点深化·核心知识提炼
排列组合问题联系实际,注重能力与应用的考查,主要涉及化归与转化的思想和分类讨
论的思想,且题型多样、思路灵活.下面通过实例介绍四种常见的排列组合问题的解题策略.
02
题型分析·能力素养提升
【题型一】相邻问题捆绑法
例1 把4名男生和4名女生排成一排,女生要排在一起,不同的排法种数为_______.
2 880
[解析] 先把4名女生捆绑在一起,看成一个整体,有 种排法,
再把这个整体与另外4名男生进行排列,有 种排法,
故不同的排法种数为 .
故答案为2 880.
题后反思 题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个组,当作一个大元素参与排列.先使用捆绑
法,然后进行排列,简单计算可得结果.
跟踪训练1 3名学生和2名老师站成一排合影,则3名学生相邻的排法共有( )
B
A.48种 B.36种 C.20种 D.24种
[解析] 3名学生相邻,故将3名学生捆绑看成一个整体再与两名老师进行全排列,则共有 （种）排法.
故选B.
【题型二】相离问题插空法
例2 电视台在电视剧开播前连续播放6个不同的广告,其中4个商业广告,2个公益广告.现
要求2个公益广告不能相邻播放,则不同的播放方式共有( )
A
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
[解析] 先排4个商业广告,有 种排法,然后利用插空法,4个商业广告隔出了5个空,
再排2个公益广告,有 种排法,所以不同的播放方式有 种.
故选A.
题后反思 元素相离（即不相邻）问题,可先把无位置要求的几个元素全排列,再把规定的相
离的几个元素插入上述几个元素隔开的空位和两端.
跟踪训练2 由1,2,3,4,5,6组成没有重复数字且1与2不相邻的六位数,可以组成_____个.
480
[解析] 因为数字1与2不相邻,所以可用插空法.先排数字3,4,5,6,有 种不同排法,每种排法留出五个空位,再将1,2插入,有 种排法,所以由分步计数原理可知共有 （种）不同排法.
【题型三】元素分析法（位置分析法）
例3 6人排成一排照相,其中甲、乙两人必须排在中间两个位置,有____种不同的排法.
48
[解析] 先将甲、乙两人排在中间的两个位置,有 （种）排法,然后剩下的4人排在剩余的4个位置,有 （种）排法,所以由分步乘法原理可知共有 （种）不同的排法.
故答案为48.
题后反思 某个或某几个元素要排在指定位置,可先排这个或这几个元素,再排其他的元素.
跟踪训练3（1） 五位同学站成一排合影,张三站在最右边,李四、王五相邻,则不同的站
法种数为____.
12
[解析] 由李四、王五相邻,将两人视为一个整体,可看作共四位同学.
又张三站在最右边,只有1种情况,
所以不同的站法种数为 .
故答案为12.
（2）成语“五音不全”中的五音指古乐的五声音阶：宫、商、角、徵、羽,是中国古乐的
基本音阶.把这五个音阶排成一列,形成一个音序.满足“徵”“羽”两音阶相邻且在“宫”音阶
之前的不同音序的种数为____.（用数字作答）
24
[解析] 把“徵”“羽”看成一个元素,在排好顺序的4个位置中选两个,按“宫”在后,“徵”“羽”
在前的顺序,有 种排法,
另两个位置排“商”“角”,有 种排法,
“徵”“羽”又可交换顺序排列,有 种排法,
故所求音序种数为 .
故答案为24.
【题型四】多排问题单排法
例4 有6个不同的元素排成前后两排,每排3个元素,那么不同的排法种数是( )
C
A.36 B.120 C.720 D.1 440
[解析] 前后两排可看成一排的两段,因此本题可看成6个不同的元素排成一排,共有 种,故选C.
题后反思 把元素排成几排的问题可先归结为一排考虑,再分段处理.
跟踪训练4 8个不同的元素排成前后两排,每排4个元素,其中某2个元素要排在前排,某1个元素排在后排,有多少种不同排法？
解 看成一排,某2个元素在前半段四个位置中选排2个,有 种排法,某1个元素排在后半段的四个位置中选排1个,有 种排法,其余5个元素任排在5个位置上,有 种排法,故共有 （种）排法.(共12张PPT)
培优课3 二项式定理破解三项式问题
1
要点深化·核心知识提炼
2
题型分析·能力素养提升
01
要点深化·核心知识提炼
对于三项式的展开问题,一般采取转化为二项式再展开的办法进行求解,但在转化为
二项式的时候,又有不同的处理策略：一是若三项式能够化为完全平方的形式,或者能够
进行因式分解,则可通过对分解出来的两个二项展开式分别进行分析,进而解决问题；二
是不能化为完全平方的形式,也不能进行因式分解时,可直接将三项式加括号变为二项式,
套用通项公式展开后,对其中的二项式再利用通项展开并进行分析求解,但要结合要求解
的问题进行合理的变形,以利于求解.
02
题型分析·能力素养提升
【例题】（1） 在 的展开式中,含 的项的系数为( )
C
A.10 B.20 C.30 D.60
[解析] （方法一）由二项展开式通项易知 ,令 ,则
,对于二项式 ,展开式的通项为
,令 ,所以 的系数为 .故选C.
（方法二）因为 ,即共有5
个括号相乘,所以展开式中要得到含 的项,只需5个括号中有2个括号里出 ,同时剩
余的3个括号中2个括号里出 ,另一个括号里出 便可,故含 项的系数为
.故 的系数为 .故选C.
（2） 的展开式中的常数项为______（用数字作答）.
[解析] （方法一）原式 .求原式
的展开式中的常数项,转化为求 的展开式中含 的项的系数,即 ,
所以所求的常数项为 .
（方法二）要得到常数项,可以对5个括号中的选取情况进行分类：
①5个括号中都选取常数项,这样得到的常数项为 ；
②5个括号中1个选 ,1个选 ,3个选 ,这样得到的常数项为 ；
③5个括号中2个选 ,2个选 ,1个选 ,这样得到的常数项为 ,
因此展开式中的常数项为 .
题后反思 二项式定理研究两项和的展开式,对于三项式问题,一般是通过合并、拆分或进行
因式分解,转化成二项式定理的形式去求解.
跟踪训练（1） 的展开式中含 项的系数为( )
A
A. B.210 C.30 D.
[解析] （方法一）
,所以展开式中 的系数为 故选A.
（方法二）因为 ,即共10个括号相乘,所以展开式中要得到 的系数,只需分两类.第1类：从10个括号里选3个括号出 ,其余7个括号出常数项1,即 .第2类：从10个括号里选1个括号出 ,从余下9个括号里选1个括号出 ,其余括号全出常数项1,即 .故展开式中 的系数是 故选A.
（2） 的展开式中含 项的系数是____（用数字作答）.
[解析] （方法一）因为 ,所以
,令 ,解得 ,所以展开式中
的系数是 .
（方法二）因为 ,所以展开
式中要得到含 的项,只需分两类.第1类：从3个括号里选1个括号出 ,其余括号都出
常数项 ,即 .第2类：从3个括号里选2个括号出 ,余下的那个括
号出 ,即 .故展开式中含 的项是 ,其
系数为15.(共31张PPT)
章末总结提升
1
网络构建·知识导图
2
要点归纳·典例提升
01
网络构建·知识导图
02
要点归纳·典例提升
要点一 两个基本计数原理的应用
1.利用分类计数原理和分步计数原理进行计数时,常因分类不明导致增（漏）解,因
此在解题过程中既要保证类与类的互斥性,又要关注总数的完备性.
2.掌握分类计数原理和分步计数原理及其区别和联系,有助于提升逻辑推理和数学
运算能力.
【典例1】（1） 从1,2,3,4,5,6这6个数字中,任取3个数字组成无重复数字的三位数.若有
1和3时,3必须排在1的前面;若只有1和 3中的一个时,它应排在其他数字的前面.这样不同
的三位数共有____个（用数字作答）.
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[解析] 1与3是特殊元素,以此为分类标准进行分类.
分三类:①没有数字1和3时,满足条件的三位数有 个;
②只有1和3中的一个时,满足条件的三位数有 个;
③同时有1和3时,把3排在1的前面,再从其余4个数字中选1个数字插入3个空中的1个即
可,满足条件的三位数有 个.所以满足条件的三位数共有
（个）.
（2）甲、乙、丙、丁4名学生参加数学、写作、英语三科竞赛,每科至少1人（且每人
仅报一科）.若学生甲、乙不能同时参加同一竞赛,则不同的参赛方案共有____种.
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[解析] 从4人中选出两个人作为一个元素有 种方案,同其他两个元素在三个位置上排列有 （种）方案,其中有不符合条件的,即学生甲、乙同时参加同一竞赛,共有 种方案,所以不同的参赛方案共有 （种）.
规律方法 应用两个基本计数原理计数的四个步骤
（1）明确完成的这件事是什么;
（2）思考如何完成这件事;
（3）判断它属于分类还是分步,是先分类后分步,还是先分步后分类;
（4）选择计数原理进行计算.
跟踪训练1 车间有11名工人,其中5名男工是钳工、4名女工是车工,另外2名老师傅既能当车工又能当钳工,现在要在这11名工人里选派4名钳工、4名车工修理一台机床,则有多少种选派方法？
解 （方法一）设 , 代表2位老师傅.
, 都不在内的选派方法有 （种）,
, 都在内且当钳工的选派方法有 （种）,
, 都在内且当车工的选派方法有 （种）,
, 都在内且一人当钳工、一人当车工的选派方法有 （种）,
, 有一人在内且当钳工的选派方法有 （种）,
, 有一人在内且当车工的选派方法有 （种）.
所以共有 （种）选派方法.
（方法二）5名男钳工有4名被选上的方法有 （种）,
5名男钳工有3名被选上的方法有 （种）,
5名男钳工有2名被选上的方法有 （种）.
所以共有 （种）选派方法.
（方法三）4名女车工都被选上的方法有 （种）,
4名女车工有3名被选上的方法有 （种）,
4名女车工有2名被选上的方法有 （种）.
所以共有 （种）选派方法.
要点二 排列、组合的应用
1.排列、组合是两类特殊的计数求解方式,在计数原理求解中起着举足轻重的作用,
解决排列与组合的综合问题要树立先选后排、特殊元素（特殊位置）优先的原则.
2.对于排列和组合的运算,有助于提升数学建模及数学运算能力.
【典例2】 在高三（1）班元旦晚会上,有6个演唱节目、4个舞蹈节目.
（1）当4个舞蹈节目要排在一起时,有多少种不同的节目安排顺序
解 第1步，将4个舞蹈节目捆绑起来,看成1个节目,与6个演唱节目一起排,有 （种）方法;第2步松绑,给4个舞蹈节目排序,有 （种）方法.
根据分步计数原理,一共有 （种）安排顺序.
（2）当要求每2个舞蹈节目之间至少安排1个演唱节目时,有多少种不同的节目安排顺序
解 第1步，将6个演唱节目排成一列（如图中的“ ”）,一共有 （种）
方法.
第2步，将4个舞蹈节目排在6个演唱节目所形成的空中,其中包含首尾两空（即图中“×”
的位置）,这样相当于7个“×”选4个来排,一共有 （种）方法.
根据分步计数原理,一共有 （种）安排顺序.
（3）若已定好节目单,后来情况有变,需加上诗朗诵和快板2个节目,但不能改变原来节目的相对顺序,有多少种不同的节目演出顺序
解 若所有节目没有顺序要求,全部排列,则有 种排法,但原来的节目已定好顺序,
所以节目演出的顺序有 （种）.
规律方法 解决排列、组合综合问题的注意事项
（1）首先要分清该问题是排列问题还是组合问题.
（2）对于含有多个限制条件的复杂问题,应认真分析每个限制条件,再考虑是分类还是分
步,分类时要不重不漏,分步时要步步相接.
（3）对于含有“至多”“至少”的问题,常采用间接法,此时要考虑全面,排除干净.
跟踪训练2 6名女生（其中有1名领唱）和2名男生分成两排表演.
（1）若每排4人,则共有多少种不同的排法？
解 要完成这件事分三步.
第1步,从8人中选4人站在前排,另4人站在后排,共有 种不同的排法;
第2步,前排4人进行全排列,有 种不同的排法;
第3步,后排4人进行全排列,有 种不同的排法.
由分步计数原理知,有 （种）不同的排法.
（2）领唱站在前排,男生站在后排,每排4人,有多少种不同的排法？
解 思路与（1）相同,有 （种）不同的排法.
要点三 二项式定理及其应用
1.二项式定理有比较广泛的应用,可用于代数式的化简、变形、证明整除、近似计
算、证明不等式等,其原理可以用于二项式相应展开式中项的系数的求解.
2.二项式定理有助于提升数学运算和数学建构能力.
角度1 二项展开式的“赋值问题”
【典例3】（1） 已知 ,若
,则自然数 ( )
B
A.6 B.5 C.4 D.3
[解析] 令 ,则 .
令 ,则 ,
所以 ,解得 .故选B.
（2）若 ,求
.
解 令 ,得 ;
令 ,得 .两
式相乘,得
.
跟踪训练3（1） 若 ,则
的值为( )
C
A. B.0 C.1 D.2
[解析] 令 ,得 ;
令 ,得 .
两式相乘,得
,
所以 .
（2）若
,则
___, ____（用数字作答）.
1
10
[解析] , 令 ,得 ,
令 ,得 ,
.
, .
角度2 二项展开式的特定项问题
【典例4】 若 ,则 ( )
C
A. B. C.112 D.448
[解析] 由已知可得 为 的系数,
又二项式 可以化为 ,
则此二项式的展开式中含 的项为 ,则
.故选C.
【典例5】 已知在 的展开式中,第5项的系数与第3项的系数之比是 .
解 由 ,
解得 （负值舍去）.
二项式 的通项为 ,
,1,2, ,10
（1）求展开式中的所有有理项;
解 当 为整数时, 可取0,6,
于是有理项为 和 .
（2）求展开式中系数的绝对值最大的项;
解 设第 项系数的绝对值最大,
则 解得 ,
又因为 ,2,3, , ,所以 .
当 时, ,
所以系数的绝对值最大的项为 .
（3）求 的值.
解 原式
.
规律方法 二项式特定项的求解策略
（1）确定二项式中的有关元素:一般是根据已知条件,列出等式,从而可解得所要求的二项
式中的有关元素.
（2）确定二项展开式中的常数项:先写出其通项,令未知数的指数为零,从而确定项数,然
后代入通项确定常数项.
（3）求二项展开式中条件项的系数:先写出其通项,再由条件确定项数,然后代入通项求出
此项的系数.
（4）确定二项展开式中的系数最大或最小项:利用二项式系数的性质.
跟踪训练4 已知 的展开式中所有项的二项式系数之和为1 024.
（1）求展开式中的所有有理项;
解 由题意得 , ,
展开式的通项为
,令
,得 ,6.
有理项为 , .
（2）求 的展开式中含 的项的系数.
解 , ,
含 的项的系数为 .
