(共17张PPT)
8.1.1 条件概率
【课标要求】1.结合古典概型,了解条件概率,能计算简单随机事件的条件概率.2.结合古
典概型,了解条件概率与独立性的关系.
1
要点深化·核心知识提炼
2
题型分析·能力素养提升
01
要点深化·核心知识提炼
知识点1.条件概率的概念
一般地，设 , 为两个事件, ,我们称 为事件 发生的条件下事件
发生的条件概率,记为 ,读作“ 发生的条件下 发生的概率”,即
.
名师点睛
（1）如果知道事件 发生会影响事件 发生的概率,那么 .
（2）已知事件 发生,在此条件下事件 发生,相当于事件 发生,要求 ,相
当于把事件 看作新的样本空间计算事件 发生的概率.
知识点2.概率的乘法公式、条件概率的性质
1.概率的乘法公式
由条件概率的公式可知 .通常将此公式称为概率的乘法公式.
2.条件概率的性质
（1） ;
（2） ;
（3）若 ,则 ；
（4）若 , 互斥,则 .
02
题型分析·能力素养提升
【题型一】条件概率的判断
例1 判断下列概率哪些是条件概率.
（1）某校高中三个年级各派一名男生和一名女生参加市里的中学生运动会,每人参加一个不同的项目,已知一名女生获得冠军,则高一的女生获得冠军的概率.
解 是
（2）掷一个骰子,求掷出的点数为3的概率.
解 不是
（3）在一副扑克的52张（去掉两张王牌后）中任取1张,已知抽到梅花的条件下,再抽到的是梅花5的概率.
解 是,.
规律方法 判断概率是不是条件概率主要看一个事件的发生是不是在另一个事件发生的条件
下进行的.
跟踪训练1 下面几种概率是条件概率的是( )
B
A.甲、乙两人投篮的命中率分别为 , ,各投篮一次都投中的概率
B.甲、乙两人投篮的命中率分别为 , ,在甲投中的条件下乙投篮一次命中的概率
C.有10件产品,其中3件次品,抽2件产品进行检验,恰好抽到一件次品的概率
D.小明上学路上要过四个路口,每个路口遇到红灯的概率都是 ,则小明在一次上学途中
遇到红灯的概率
[解析] 由条件概率的定义知选项B为条件概率.
【题型二】利用定义求条件概率
例2 现有6个节目准备参加比赛,其中4个舞蹈节目、2个语言类节目,如果不放回地依次抽取2个节目,求:
解 记“第1次抽到舞蹈节目”为事件 ,“第2次抽到舞蹈节目”为事件 ,则第1次和
第2次都抽到舞蹈节目为事件 .
（1）第1次抽到舞蹈节目的概率;
解 从6个节目中不放回地依次抽取2个,总的样本点数 .
根据分步计数原理,得 ,
所以 .
（2）第1次和第2次都抽到舞蹈节目的概率;
解 因为 ,
所以 .
（3）在第1次抽到舞蹈节目的条件下,第2次抽到舞蹈节目的概率.
解 由（1）（2）得,在第1次抽到舞蹈节目的条件下,第2次抽到舞蹈节目的概率
.
变式探究 本例条件不变,试求在第1次抽到舞蹈节目的条件下,第2次抽到语言类节目的概率.
解 设“第1次抽到舞蹈节目”为事件 ,“第2次抽到语言类节目”为事件 ,则第1次抽到舞蹈节目、第2次抽到语言类节目为事件 .
, ,
.
跟踪训练2 从混有5张假钞的20张百元钞票中任意抽取两张,将其中一张放到验钞机上检验发现是假钞,求这两张都是假钞的概率.
解 记“抽到的两张都是假钞”为事件 ,“抽到的两张中至少有一张是假钞”为事件
,
则所求概率为 .
, ,
.
【题型三】缩小样本空间求条件概率
例3 集合 ,甲、乙两人各从 中不放回地任取一个数,若甲先取,乙后取,
则在甲抽到奇数的条件下,求乙抽到的数比甲抽到的数大的概率.
解 将甲抽到数字 ,乙抽到数字 ,记作 ,则甲抽到奇数的样本点有
, , , , , , , , , ,
, , , , ,共15个.在这15个样本点中,乙抽到的数比甲抽
到的数大的样本点有 , , , , , , ,
, ,共9个,所以所求概率 .
变式探究 在本例条件下,求乙抽到偶数的概率.
解 在甲抽到奇数的样本点中,乙抽到偶数的样本点有 , , ,
, , , , , ,共9个,所以所求概率 .
跟踪训练3 若甲先取（放回）,乙后取,记“甲抽到的数大于4”为事件 ,“甲、乙抽到的两
数之和等于7”为事件 ,求 .
解 甲抽到的数大于4的样本点有 , , , , ,
, , , , , , ,共12个.甲、乙抽到的两数之
和等于7的样本点有 , ,共2个,所以 .
跟踪训练4 在一个袋子里有大小一样的5个乒乓球,其中3个新的、2个旧的,每次取一个,
不放回地取两次,则在第一次取到新球的条件下,第二次取到新球的概率为_ _.
[解析] 记“第1次取到新球”为事件 ,“第2次取到新球”为事件 ,则
.(共17张PPT)
8.1.1 条件概率
【课标要求】1.结合古典概型,了解条件概率,能计算简单随机事件的条件概率.2.结合古
典概型,了解条件概率与独立性的关系.
1
要点深化·核心知识提炼
2
题型分析·能力素养提升
01
要点深化·核心知识提炼
知识点1.条件概率的概念
一般地，设 , 为两个事件, ,我们称 为事件 发生的条件下事件
发生的条件概率,记为 ,读作“ 发生的条件下 发生的概率”,即
.
名师点睛
（1）如果知道事件 发生会影响事件 发生的概率,那么 .
（2）已知事件 发生,在此条件下事件 发生,相当于事件 发生,要求 ,相
当于把事件 看作新的样本空间计算事件 发生的概率.
知识点2.概率的乘法公式、条件概率的性质
1.概率的乘法公式
由条件概率的公式可知 .通常将此公式称为概率的乘法公式.
2.条件概率的性质
（1） ;
（2） ;
（3）若 ,则 ；
（4）若 , 互斥,则 .
02
题型分析·能力素养提升
【题型一】条件概率的判断
例1 判断下列概率哪些是条件概率.
（1）某校高中三个年级各派一名男生和一名女生参加市里的中学生运动会,每人参加一个不同的项目,已知一名女生获得冠军,则高一的女生获得冠军的概率.
解 是
（2）掷一个骰子,求掷出的点数为3的概率.
解 不是
（3）在一副扑克的52张（去掉两张王牌后）中任取1张,已知抽到梅花的条件下,再抽到的是梅花5的概率.
解 是,.
规律方法 判断概率是不是条件概率主要看一个事件的发生是不是在另一个事件发生的条件
下进行的.
跟踪训练1 下面几种概率是条件概率的是( )
B
A.甲、乙两人投篮的命中率分别为 , ,各投篮一次都投中的概率
B.甲、乙两人投篮的命中率分别为 , ,在甲投中的条件下乙投篮一次命中的概率
C.有10件产品,其中3件次品,抽2件产品进行检验,恰好抽到一件次品的概率
D.小明上学路上要过四个路口,每个路口遇到红灯的概率都是 ,则小明在一次上学途中
遇到红灯的概率
[解析] 由条件概率的定义知选项B为条件概率.
【题型二】利用定义求条件概率
例2 现有6个节目准备参加比赛,其中4个舞蹈节目、2个语言类节目,如果不放回地依次抽取2个节目,求:
解 记“第1次抽到舞蹈节目”为事件 ,“第2次抽到舞蹈节目”为事件 ,则第1次和
第2次都抽到舞蹈节目为事件 .
（1）第1次抽到舞蹈节目的概率;
解 从6个节目中不放回地依次抽取2个,总的样本点数 .
根据分步计数原理,得 ,
所以 .
（2）第1次和第2次都抽到舞蹈节目的概率;
解 因为 ,
所以 .
（3）在第1次抽到舞蹈节目的条件下,第2次抽到舞蹈节目的概率.
解 由（1）（2）得,在第1次抽到舞蹈节目的条件下,第2次抽到舞蹈节目的概率
.
变式探究 本例条件不变,试求在第1次抽到舞蹈节目的条件下,第2次抽到语言类节目的概率.
解 设“第1次抽到舞蹈节目”为事件 ,“第2次抽到语言类节目”为事件 ,则第1次抽到舞蹈节目、第2次抽到语言类节目为事件 .
, ,
.
跟踪训练2 从混有5张假钞的20张百元钞票中任意抽取两张,将其中一张放到验钞机上检验发现是假钞,求这两张都是假钞的概率.
解 记“抽到的两张都是假钞”为事件 ,“抽到的两张中至少有一张是假钞”为事件
,
则所求概率为 .
, ,
.
【题型三】缩小样本空间求条件概率
例3 集合 ,甲、乙两人各从 中不放回地任取一个数,若甲先取,乙后取,
则在甲抽到奇数的条件下,求乙抽到的数比甲抽到的数大的概率.
解 将甲抽到数字 ,乙抽到数字 ,记作 ,则甲抽到奇数的样本点有
, , , , , , , , , ,
, , , , ,共15个.在这15个样本点中,乙抽到的数比甲抽
到的数大的样本点有 , , , , , , ,
, ,共9个,所以所求概率 .
变式探究 在本例条件下,求乙抽到偶数的概率.
解 在甲抽到奇数的样本点中,乙抽到偶数的样本点有 , , ,
, , , , , ,共9个,所以所求概率 .
跟踪训练3 若甲先取（放回）,乙后取,记“甲抽到的数大于4”为事件 ,“甲、乙抽到的两
数之和等于7”为事件 ,求 .
解 甲抽到的数大于4的样本点有 , , , , ,
, , , , , , ,共12个.甲、乙抽到的两数之
和等于7的样本点有 , ,共2个,所以 .
跟踪训练4 在一个袋子里有大小一样的5个乒乓球,其中3个新的、2个旧的,每次取一个,
不放回地取两次,则在第一次取到新球的条件下,第二次取到新球的概率为_ _.
[解析] 记“第1次取到新球”为事件 ,“第2次取到新球”为事件 ,则
.(共24张PPT)
8.1.2 全概率公式
【课标要求】1.结合古典概型,会利用全概率公式计算概率.2.了解贝叶斯公式.
1
要点深化·核心知识提炼
2
题型分析·能力素养提升
01
要点深化·核心知识提炼
知识点1.全概率公式
若事件 , , , 两两互斥,且它们的和 , , ,2, , ,
则对于 中的任意事件 ,有 .
这个公式称为全概率公式.
名师点睛
把全概率公式看成是“由原因推结果”的公式,每个原因对结果的发生有一定的作用,
结果发生的可能性与各种原因的作用大小有关,全概率公式就表达了它们之间的关系.
知识点2.贝叶斯公式
若事件 , , , 两两互斥,且 , , ,2,
, ,则对于 中的任意事件 , ,有 .
因此 .
再由全概率公式得 .
这个公式称为贝叶斯公式.
02
题型分析·能力素养提升
【题型一】全概率公式的简单应用
例1 某次社会实践活动中,甲、乙两个班的同学共同在一个社区进行民意调查.参加活动的甲、乙两班的人数之比为 ,其中甲班中女生占 ,乙班中女生占 .求该社区居民遇到一位进行民意调查的同学恰好是女生的概率.
解 如果用事件 表示“居民所遇到的这位同学是甲班的”,事件 表示“居民所
遇到的这位同学是乙班的”,事件 表示“居民所遇到的这位同学是女生”,则
,且 , 互斥, ,
由题意可知, , ,
且 , .
由全概率公式可知 .
跟踪训练1 某商店收进甲厂生产的产品30箱、乙厂生产的同种产品20箱.甲厂每箱装100个,废品率为0.06;乙厂每箱装120个,废品率为0.05.求:
解 记事件 表示“取到的是甲厂的产品”,事件 表示“取到的是乙厂的产品”,事
件 表示“该产品为废品”,则 ,且 , 互斥,
（1）任取一箱,从中任取一个为废品的概率;
解 由题意,得 , ,
, ,由全概率公式得
.
（2）若将所有产品开箱混放,求任取一个为废品的概率.
解 若将所有产品开箱混放，
则 ,
,
, ,
由全概率公式,得 .
【题型二】多个事件的全概率问题
例2 某电子设备制造厂所用的元件是由三家元件制造厂提供的,根据以往的记录,有如下表所示的数据:
元件制造厂 次品率 提供元件的份额
1 0.02 0.15
2 0.01 0.80
3 0.03 0.05
设这三家元件制造厂的元件在仓库中是均匀混合的,且无区别的标志.在仓库中随机取一只元件,求它是次品的概率.
解 设事件 表示“所取到的产品是由第 家元件制造厂提供的” ,事件 表示“取到的是一件次品”.其中 , , 两两互斥,由题可得 ,且 , , 两两互斥,运用互斥事件概率的加法公式和乘法公式得
.
因此,在仓库中随机取一只元件,它是次品的概率为 .
变式探究 假设某工厂生产的甲、乙、丙三种产品的百分率和优质率的信息如下表所示:
类别 甲 乙 丙
百分率
优质率
在生产的产品中任取一件,求取到的产品是优质品的概率.
解 用事件 , , 分别表示取到的是甲、乙、丙产品,事件 表示该产品是优质品,
由已知得 , , ,
且 , , .
因此由全概率公式有 .
跟踪训练2 甲箱的产品中有5个正品和3个次品,乙箱的产品中有4个正品和3个次品.
（1）从甲箱中任取2个产品,求这2个产品都是次品的概率;
解 从甲箱中任取2个产品包含的事件数为 ,这2个产品都是次品的事件数为 ,
从甲箱中任取2个产品，这2个产品都是次品的概率为 .
（2）若从甲箱中任取2个产品放入乙箱中,然后再从乙箱中任取一个产品,求取出的这个产品是正品的概率.
解 设事件 为“从乙箱中取出的一个产品是正品”,事件 为“从甲箱中取出的2个
产品都是正品”,事件 为“从甲箱中取出1个正品、1个次品”,事件 为“从甲箱中
取出的2个产品都是次品”,则事件 、事件 、事件 彼此互斥.
, , ,
, , ,
.
【题型三】贝叶斯公式的应用
例3 小张从家到公司上班总共有三条路可以走（如图）,
但是每条路每天拥堵的可能性不太一样,由于远近不同,选
择每条路的概率分别为 , ,
,每天上述三条路不拥堵的概率分别为
, , .假设遇到拥堵会迟
到,求:
（1）小张从家到公司不迟到的概率是多少
解 由题意知,不迟到就意味着不拥堵,设事件 表示“到公司不迟到”,则
.
（2）已知小张到达公司未迟到,则他选择道路 的概率是多少
解 .
所以已知小张到达公司未迟到,选择道路 的概率为 .
规律方法 若随机试验可以看成分两个阶段进行,且第一阶段的各试验的具体结果怎样未知,那
么（1）若要求的是第二阶段某一个结果发生的概率,则用全概率公式;（2）若第二个阶段的
某一个结果是已知的,要求的是此结果为第一阶段某一个结果所引起的概率,则一般用贝叶斯
公式,类似于求条件概率.熟记这个特征,在遇到相关的题目时,可以准确地选择方法进行计算,保
证解题的正确、高效.
跟踪训练3 设某公路上经过的货车与客车的数量之比为 ,货车中途停车修理的概率
为 ,客车中途停车修理的概率为0.01.今有一辆汽车中途停车修理,求该汽车是货车
的概率.
解 设 表示事件“中途停车修理”, 表示事件“经过的是货车”, 表示事件“经
过的是客车”,
则 ,由贝叶斯公式得
.(共33张PPT)
8.2.1 随机变量及其分布列
【课标要求】1.通过实例,了解离散型随机变量的概念及其对于刻画随机现象的重要性.
2.理解离散型随机变量的分布列,掌握离散型随机变量分布列的表示方法及性质.
1
要点深化·核心知识提炼
2
题型分析·能力素养提升
01
要点深化·核心知识提炼
知识点1.随机变量
一般地，对于随机试验样本空间 中的每个样本点 ,都有唯一的实数 与
之对应，则称 为随机变量.通常用大写英文字母 , , （或小写希腊字母 , , ）
等表示随机变量,而用小写英文字母 , , （加上适当下标）等表示随机变量的取值.
1.离散型随机变量
取值为离散的数值的随机变量称为离散型随机变量.
2.连续型随机变量
取值为连续的实数区间，具有这种特点的随机变量称为连续型随机变量.
知识点2.概率分布列
1.定义
一般地,随机变量 有 个不同的取值,它们分别是 , , , ,且
, ,2, , ,①
称①为随机变量 的概率分布列,简称为 的分布列.
2.表示
分布列可以用下表来表示.
…
…
我们将上表称为随机变量 的概率分布表.它和①都叫作随机变量 的概率分布.
3.性质
（1） , ,2,3, ， ;
（2） .
随机变量的概率分布给出了随机试验所有基本事件对应的概率.
知识点3.两点分布
随机变量 只取两个可能值0和1.把这一类概率分布称为0-1分布或两点分布,并记
为 -1分布或 两点分布.此处“～”表示“服从”.
名师点睛
离散型随机变量分布列的意义和作用：
（1）离散型随机变量的分布列不仅能清楚地反映其所取的一切可能的值,而且也
能看出取每一个值的概率的大小,从而反映出随机变量在随机试验中取值的分布情况,是
进一步研究随机试验数量特征的基础.
（2）离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各值的概率之和.
02
题型分析·能力素养提升
【题型一】随机变量的概念
例1（1） （多选题）抛掷一枚均匀硬币一次,下列不能作为随机变量的是( )
ACD
A.抛掷硬币的次数 B.出现正面的次数
C.出现正面或反面的次数 D.出现正面和反面的次数之和
[解析] 抛掷一枚均匀硬币一次,可能出现的结果是正面向上或反面向上,以某一个为
标准,如正面向上的次数来描述这一随机试验,那么正面向上的次数就是随机变量
, 的取值是0,1,故B正确；而A项中抛掷次数就是1,不是随机变量;C项中,出现正
面或反面的次数为1,为必然事件,不是随机变量;D项中,出现正面和反面的次数之和为1,
为必然事件,试验前便知是必然出现的结果,也不是随机变量.
（2）（多选题）下列随机变量是离散型随机变量的是( )
AB
A.从10张已编好号码的卡片（从1号到10号）中任取一张,被取出的卡片的号数
B.一个袋中装有5个白球和5个黑球,从中任取3个,其中所含白球的个数
C.某林场树木最高达 ,则此林场中树木的高度
D.某加工厂加工的某种铜管的外径与规定的外径尺寸之差
[解析] 只要取出一张,便有一个号码,因此被取出的卡片号数可以一一列出,A符合离散型随机变量的定义.
从10个球中取3个球,所得的结果有以下几种:3个白球,2个白球和1个黑球,1个白球和2个黑球,3个黑球.所含白球的个数可以一一列出,B符合离散型随机变量的定义.
林场树木的高度是一个随机变量,它可以取 内的一切值,无法一一列举,C不是离散型随机变量.
实际测量值与规定值之间的差值无法一一列出,D不是离散型随机变量.
规律方法 “三步法”判定离散型随机变量
（1）依据具体情境分析变量是不是随机变量.
（2）由条件求解随机变量的值域.
（3）判断变量的取值是不是有限个或能否一一列举出来.若能,则是离散型随机变量;否
则,不是离散型随机变量.
跟踪训练1 指出下列哪些是随机变量,哪些不是随机变量,并说明理由.
（1）某人射击一次命中的环数;
解 某人射击一次,可能命中的所有环数是0,1, ,10,而且出现哪一个结果是随机的,
因此命中的环数是随机变量.
（2）掷一枚质地均匀的骰子一次,出现的点数.
解 掷一枚骰子一次,出现的结果是1点、2点、3点、4点、5点、6点中的一个,且出现哪一个结果是随机的,因此出现的点数是随机变量.
【题型二】用随机变量表示事件的结果
例2 写出下列随机变量可能取的值,并说明这些值所表示的随机试验的结果.
（1）袋中有大小相同的红球10个、白球5个,从袋中每次任取1个球,取后不放回,直到取出的球是白球为止,所需要的取球次数.
解 设所需的取球次数为 ,则 ,2,3,4, ,10,11, 表示前 次取到的均是红球,第 次取到白球,这里 ,2,3,4, ,11.
（2）从分别标有数字1,2,3,4,5,6的6张卡片中任取2张,所取卡片上的数字之和.
解 设所取卡片上的数字之和为 ,则 ,4,5, ,11.
表示“取出标有1,2的两张卡片”;
表示“取出标有1,3的两张卡片”;
表示“取出标有2,3或1,4的两张卡片”;
表示“取出标有2,4或1,5的两张卡片”;
表示“取出标有3,4或2,5或1,6的两张卡片”;
表示“取出标有2,6或3,5的两张卡片”;
表示“取出标有3,6或4,5的两张卡片”;
表示“取出标有4,6的两张卡片”;
表示“取出标有5,6的两张卡片”.
规律方法 解答用随机变量表示随机试验的结果问题的关键点和注意点
（1）关键点:解决此类问题的关键是明确随机变量的所有可能取值,以及取每一个值对应
的意义,即一个随机变量的取值对应一个或多个随机试验的结果.
（2）注意点:解答过程中不要漏掉某些试验结果.
变式探究 若本例（2）中条件不变,设所取卡片上的数字之差的绝对值为随机变量 ,请
问 有哪些取值？ 表示什么含义？
解 的所有可能取值有1,2,3,4,5.
表示“取出标有1,5或2,6的两张卡片”.
跟踪训练2 一个木箱中装有6个大小相同的篮球,编号分别为1,2,3,4,5,6,现随机抽取3个
篮球,以 表示取出的篮球的最大号码,则 所有可能的取值为________,其中 表示
的试验结果有___种.
,4,5,6
3
[解析] 根据题意可知 的可能取值为3,4,5,6,其中当 时,表示取得的一球编号为4,另两个球从1,2,3中选取,有 （种）.
【题型三】离散型随机变量的分布列
例3 为检测某产品的质量,现抽取5件产品,测量产品中微量元素 , 的含量（单位:毫
克）,测量数据如下:
微量元素 编号 1 2 3 4 5
169 178 166 177 180
75 80 77 70 81
当产品中的微量元素 , 满足 且 时,该产品为优等品.现从上述5件产品
中,随机抽取2件,求抽取的2件产品中优等品数 的分布列.
解 由题意知，5件抽测品中有2件优等品,则 的可能取值为0,1,2.
,
,
.
优等品数 的分布列为
0 1 2
0.3 0.6 0.1
跟踪训练3 某班有学生45人,其中 型血的有10人,A型血的有12人,B型血的有8人, 型
血的有15人,将 , , , 四种血型分别编号为1,2,3,4.现从中抽1人,定义其血型编号为
随机变量 ,求 的分布列.
解 由题意知, 的可能取值为1,2,3,4.
, ,
, .
故其分布列为
1 2 3 4
【题型四】两点分布
例4 袋中有红球10个、白球5个,从中摸出2个球,如果只关心摸出2个红球的情形,问:如何
定义随机变量 ,才能使 满足两点分布 并求随机变量 的概率分布.
解 从含有10个红球、5个白球的袋中摸出2个球,其结果是随机的,可能是一红一白、两
红、两白三种情况,为此我们定义随机变量如下:
X显然服从两点分布,且 ,
.
随机变量 的概率分布为
0 1
规律方法 两点分布中只有两个对应的结果,因此在解答此类问题时,应先分析变量是否满足
两点分布的条件,然后借助概率的知识,给予解决.
跟踪训练4 设某项试验的成功率是失败率的2倍,用随机变量 描述1次试验的成功次数,
则 等于( )
B
A.0 B. C. D.
[解析] 设失败的概率为 ,则成功的概率为 .由 ,得 . .
【题型五】分布列的性质及其应用
例5 设离散型随机变量 的分布列为
0 1 2 3 4
0.2 0.1 0.1 0.3
求:
解 由分布列的性质知 ,
.
首先列表为
0 1 2 3 4
1 3 5 7 9
1 0 1 2 3
从而由上表得两个分布列为
（1） 的分布列;
解 的分布列
1 3 5 7 9
0.2 0.1 0.1 0.3 0.3
（2） 的分布列.
解 的分布列
0 1 2 3
0.1 0.3 0.3 0.3
规律方法 离散型随机变量分布列的性质的应用
（1）通过性质建立关系,求得参数的取值或范围,进一步求出概率,得出分布列.
（2）求对立事件的概率或判断某概率是否成立.
跟踪训练5 设随机变量 的分布列如表所示,其中 , , , , 构成等差数列,则下
列关于 的说法正确的是( )
1 2 3 4 5 6
B
A.最大值为 B.最大值为 C.最小值为 D.最小值为
[解析] ,
由等差数列的性质可得 ,
,当且仅当 时,等号成立, 的最大值为 ,
无最小值.故选B.(共23张PPT)
8.2.2 离散型随机变量的数字特征
第1课时 离散型随机变量的均值
【课标要求】1.通过具体实例,理解离散型随机变量的均值.2.能计算简单离散型随机变
量的均值.
1
要点深化·核心知识提炼
2
题型分析·能力素养提升
01
要点深化·核心知识提炼
知识点 离散型随机变量的均值
随机变量 的概率分布如表所示,
…
…
其中 , ,2, , , ,将 称为
随机变量 的均值或数学期望,记为 或 .
名师点睛
对离散型随机变量的均值的几点说明：
（1）含义:均值是离散型随机变量的一个重要特征数,反映或刻画的是随机变量取
值的平均水平.
（2）来源:均值不是通过一次或多次试验就可以得到的,而是在大量的重复试验中
表现出来的相对稳定的值.
（3）单位:随机变量的均值与随机变量本身具有相同的单位.
02
题型分析·能力素养提升
【题型一】求离散型随机变量的均值
例1 甲、乙两人在罚球线投球命中的概率分别为 与 ,投中得1分,投不中得0分.已知乙
投球两次均未命中的概率为 .
（1）甲、乙两人在罚球线各投球两次,求这四次投球中至少有一次命中的概率;
解 记“这四次投球中至少有一次命中”为事件 ,
则“这四次投球均未命中”是事件 的对立事件,
则 .
（2）甲、乙两人在罚球线各投球一次,求两人得分之和的均值.
解 依题意, ,则 ,
记“甲投一次命中”为事件 ,“乙投一次命中”为事件 ,则
, , , ,
甲、乙两人得分之和 的可能取值为0,1,2,
,
,
,
两人得分之和的均值为
.
跟踪训练1 盒中装有5节同品牌的五号电池,其中混有两节废电池.现在无放回地每次取
一节电池检验,直到取到好电池为止,求抽取次数 的分布列及均值.
解 的可能取值为1,2,3,
则 , ,
.
故 的分布列为
1 2 3
.
【题型二】离散型随机变量的均值的性质
例2 已知随机变量 的分布列为
0 1 2
若 ,则 _ __.
[解析] 由分布列的性质,得 ,解得 ,
故 .
由 ,得 .
跟踪训练2 已知随机变量 和 ,其中 ,且 ,若 的分布列如下
表,则 的值为( )
1 2 3 4
A
A. B. C. D.
[解析] 因为 ,
所以 ,
即 .
所以
又由分布列的性质得 ,
所以
由①②解得 .
【题型三】均值的简单应用
例3 有9张相同的卡片,分别标有数字1,2,3,4,5,6,7,8,9,从中随机抽取3张.
（1）求抽取的3张卡片上的数字中任意2个均不在下表的同一行,且不在同一列的概率.
解 从9张卡片中抽取3张卡片共有 （种）结果,3个数字均不在同一行,也不
在同一列共有 （种）结果,
故所求概率为 .
（2）若抽取的3张卡片上的3个数字均为奇数或均为偶数记为情况①;若3个数字位于下表的同一行或同一列或同一对角线上记为情况②.同时满足①②两种情况得3分;仅满足情况①得2分;仅满足情况②得1分;其他情况得0分.求得分的分布列及均值.
解 设得分为 ,则 的所有可能取值为0,1,2,3,
3个数字均为奇数有 种结果,均为偶数有 种结果,故共有14种结果,3个数字在同一行或同一列或同一对角线上共有8种结果,
以上两种情况同时满足的,共有2种结果,
1 2 3
4 5 6
7 8 9
故 ,
,
,
,
故 的分布列为
0 1 2 3
故 .
规律方法 解答应用类问题时,首先把问题概率模型化,然后利用有关概率的知识去分析相应各
事件可能性的大小,并列出分布列,最后利用公式求出相应概率.
跟踪训练3 随机抽取某厂的某种产品200件,经质检,其中有一等品126件、二等品50件、
三等品20件、次品4件.已知生产1件一、二、三等品获得的利润分别为6万元、2万元、
1万元,而1件次品亏损2万元,设1件产品的利润（单位:万元）为 .
（1）求 的分布列.
解 的所有可能取值有6,2,1, ,
, ,
, .
故 的分布列为
6 2 1
0.63 0.25 0.1 0.02
（2）求1件产品的平均利润（即 的均值）.
解 （万元）.
（3）经技术革新后,仍有四个等级的产品,但次品率降为 ,一等品率提高为 .若此
时要求1件产品的平均利润不小于4.73万元,则三等品率最多是多少？
解 设技术革新后的三等品率为 ,则此时1件产品的平均利润为 ,依题意,知 ,即 ,解得 ,所以三等品率最多为 .(共24张PPT)
8.2.2 离散型随机变量的数字特征
第2课时 离散型随机变量的方差与标准差
【课标要求】1.通过具体实例,理解离散型随机变量的方差及标准差的概念.2.能计算简
单离散型随机变量的方差及标准差,并能解决一些实际问题.
1
要点深化·核心知识提炼
2
题型分析·能力素养提升
01
要点深化·核心知识提炼
知识点 离散型随机变量的方差与标准差
1.离散型随机变量的方差、标准差
（1）若离散型随机变量 的概率分布如表所示,
…
…
其中, , ,2, , , ,则 描述了
相对于均值 的偏离程度,故
（其中 , ,2, , ,
）刻画了随机变量 与其均值 的平均偏离程度,我们将其称为
离散型随机变量 的方差,记为 或 ，即
.
（2）方差也可用公式 计算.
（3）随机变量 的方差也称为 的概率分布的方差, 的方差 的算术平方根
称为 的标准差,即 .
名师点睛
（1）随机变量 的方差的定义与一组数据的方差的定义是相同的.
（2）随机变量 的方差和标准差都反映了随机变量 的取值的稳定性和波动、集
中与离散程度.
（3） 越小,随机变量 的取值越稳定,波动越小.
2.几个常见的结论
设 的分布列为 , ,2, , ,则
（1） .
（2） .
（3）若 服从两点分布,则 , .
02
题型分析·能力素养提升
【题型一】求离散型随机变量的方差
例1（1） 设离散型随机变量 的概率分布列为
1 2 3 4
则 等于( )
C
A. B. C. D.
[解析] 由题意知, ,故
.
（2）若某运动员投篮命中率 ,则该运动员在一次投篮中命中次数 的方差为
_____.
0.16
[解析] 依题意知， 服从两点分布,
所以 .
跟踪训练1 袋中有大小相同的四个球,编号分别为1,2,3,4,每次从袋中任取一个球,记下其编号.若所取球的编号为偶数,则把该球编号改为3后放回袋中继续取球;若所取球的编号为奇数,则停止取球.
（1）求“第二次取球后才停止取球”的概率;
解 记“第二次取球后才停止取球”为事件 .
易知第一次取到偶数球的概率为 ,
第二次取球时袋中有三个奇数,
所以第二次取到奇数球的概率为 ,
而这两次取球相互独立,所以 .
（2）若第一次取到偶数,记第二次和第一次取球的编号之和为 ,求 的分布列和方差.
若第一次取到2,则第二次取球时袋中有编号为1,3,3,4的四个球;
若第一次取到4,则第二次取球时袋中有编号为1,2,3,3的四个球.
所以 的可能取值为3,5,6,7,
所以 ,
,
,
,
所以 的分布列为
3 5 6 7
均值 ,
方差 .
【题型二】均值与方差性质的应用
例2 设随机变量 的概率分布列为
0 1
若 ,则 等于( )
D
A. B. C. D.
[解析] 由题意知, ,故
,
.
跟踪训练2 已知随机变量 的概率分布列为
0 1
若 .
解 由概率分布列的性质,得 ,解得 , ,
.
（1）求 的值;
.
（2）若 ,求 的值.
解 , ,
.
【题型三】均值与方差的综合应用
例3 有甲、乙两种建筑材料,从中各取等量样品检查它们的抗拉强度如下:
110 120 125 130 135
0.1 0.2 0.4 0.1 0.2
110 115 125 130 145
0.1 0.2 0.4 0.1 0.2
其中, , 分别表示甲、乙两种材料的抗拉强度,在使用时要求抗拉强度不低于120,试
比较甲、乙两种建筑材料的稳定程度（哪一个的稳定性较好）.
解 ,
,
,
.
由此可见 , ,
故两种材料的抗拉强度的平均值相等,但材料乙的稳定程度明显不如材料甲,即甲材料的
稳定性较好.
规律方法 （1）均值体现了随机变量取值的平均大小,在两种产品相比较时,只比较均值往往
是不恰当的,还需比较它们取值的离散程度,即通过比较方差,才能准确地得出更恰当的判断.
（2）离散型随机变量的分布列、均值、方差之间存在着紧密的联系,利用题目中所给出
的条件,合理地列出方程或方程组求解,同时也应注意合理选择公式,简化问题的解答过程.
跟踪训练3 为选拔奥运会射击选手,对甲、乙两名射手进行选拔测试.已知甲、乙两名射手在一次射击中的环数为两个相互独立的随机变量 , ,甲、乙两名射手在每次射击中击中的环数均大于6环,且甲射中10,9,8,7环的概率分别为 , , , ,乙射中10,9,8环的概率分别为 , , .
（1）求 , 的分布列.
解 依题意, ,解得 .
乙射中10,9,8环的概率分别为 , , ,
乙射中7环的概率为 ,
, 的概率分布分别为
10 9 8 7
0.5 0.3 0.1 0.1
10 9 8 7
0.3 0.3 0.2 0.2
（2）求 , 的均值与方差,以此比较甲、乙的射击技术并从中选拔一人.
解 由（1）可得
,
,
,
.
由于 ,说明甲平均射中的环数比乙高,
又因为 ,说明甲射中的环数比乙集中,比较稳定,
所以,甲比乙的技术好,故应选拔甲射手参加奥运会.(共28张PPT)
8.2 离散型随机变量及其分布列 8.2.3 二项分布
【课标要求】1.通过具体实例了解伯努利试验,掌握二项分布及其数字特征.2.能用二项
分布解决简单的实际问题.
1
要点深化·核心知识提炼
2
题型分析·能力素养提升
01
要点深化·核心知识提炼
知识点1. 重伯努利试验及求法
1.定义
我们把只包含两个可能结果的试验叫作伯努利试验.将一个伯努利试验独立地重复
进行 次所组成的随机试验称为 重伯努利试验.
2. 重伯努利试验概率的求法
在 重伯努利试验中,每次试验事件 发生的概率均为 ,即 ,
.事件 恰好发生 次的概率为 , ,
1,2, , .
知识点2.二项分布
1.定义
若随机变量 的分布列为 ,其中 , , ,
1,2, , ,则称 服从参数为 , 的二项分布,记作 .其概率分布如表所示.
0 1 2 …
…
名师点睛
二项分布的特点:
（1）对立性,即一次试验中只有两个相互对立的结果,即“成功”和“不成功”,而且有
且只有一个发生.
（2）重复性,试验在相同条件下独立重复地进行 次,且每一次试验“成功”的概率
和“不成功”的概率都保持不变.
2.二项分布的均值与方差
当 时, , , .
02
题型分析·能力素养提升
【题型一】 重伯努利试验的判断
例1 判断下列试验是不是 重伯努利试验:
（1）依次投掷四枚质地不同的硬币,3次正面向上;
解 因为试验的条件不同（质地不同）,所以不是 重伯努利试验.
（2）某人射击,击中目标的概率是稳定的,他连续射击了10次,其中6次击中;
解 某人射击且击中的概率是稳定的,因此是 重伯努利试验.
（3）口袋中装有5个白球、3个红球、2个黑球,依次从中抽取5个球,恰好抽出4个白球.
解 每次抽取的结果有三种不同的颜色,且每种颜色出现的可能性不相等,所以不是
重伯努利试验.
跟踪训练1 （多选题）下列事件不是 重伯努利试验的有( )
ABC
A.运动员甲射击一次,“射中9环”与“射中8环”
B.甲、乙两运动员各射击一次,“甲射中10环”与“乙射中9环”
C.甲、乙两运动员各射击一次,“甲、乙都射中目标”与“甲、乙都没射中目标”
D.在相同的条件下,甲射击10次,5次击中目标
[解析] A,C符合互斥事件的概念,是互斥事件;B是相互独立事件;D是 重伯努利试验.
【题型二】 重伯努利试验概率求法
例2 在学校大课间体育活动中,甲、乙两名同学进行定点投篮比赛,每局比赛甲、乙每人各投篮一次,若一方命中且另一方未命中,则命中的一方本局比赛获胜,否则为平局.已知甲、乙每次投篮命中的概率分别为 和 ,且每局比赛甲、乙命中与否互不影响,各局比赛也互不影响.求:
（1）求一局投篮比赛,甲、乙平局的概率;
解 设事件 表示“甲命中”,事件 表示“乙命中”,
则 , ,
一局投篮比赛,甲、乙平局的概率为
.
（2）求一局投篮比赛,甲获胜的概率;
解 一局投篮比赛,甲获胜的概率为
.
（3）求三局投篮比赛,甲至少获胜两局的概率.
解 三局投篮比赛,甲至少获胜两局的概率为
.
跟踪训练2 甲、乙两人各射击一次,击中目标的概率分别是 和 ,假设每次射击是否击
中目标,相互之间没有影响.（结果需用分数作答）
（1）求甲射击3次,至少有1次未击中目标的概率;
解 记“甲射击3次，至少有1次未击中目标”为事件 ,由题意,知射击3次,相当于3重
伯努利试验,故 .
（2）求两人各射击2次,甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标1次的概率.
解 记“甲射击2次,恰有2次击中目标”为事件 ,“乙射击2次,恰有1次击中目标”为事
件 ,则 , ,由于甲、乙射击
相互独立,故 .
【题型三】二项分布的性质及应用
例3 若 ， ,则当 （ ，且 ）取得最大值时,
______.
6或7
[解析] 由题意知, 服从二项分布,
所以 , ，且
, 且 .
由不等式 （ ，且 ）,
得 ,解得 ,
所以当 时, ;
当 时, .
因为当且仅当 时, ,
所以当 或 时, 取得最大值.
跟踪训练3 某一批产品的合格率为 ,那么在取出的20件产品中,最有可能有几件产
品合格？
解 设在取出的20件产品中,合格产品有 件,则 ,则恰好有 件产品合格的概率为 ，且 ,
所以
,且 .
则当 时, ;
当 时, ,
所以 .
由以上分析可知,在取出的20件产品中,合格品有19件的概率最大,即最有可能有19
件合格品.
【题型四】二项分布的均值与方差
例4 为防止风沙危害,某地决定建设防护绿化带,种植杨树、沙柳等植物.某人一次种植
了 株沙柳,各株沙柳的成活与否是相互独立的,成活率为 ,设 为成活沙柳的株数,均
值 为3,标准差 为 .
解 由题意知, , , ,1, , .
（1）求 和 的值,并写出 的分布列;
解 由 , ,
得 ,从而 , .
X的概率分布为
0 1 2 3 4 5 6
（2）若有3株或3株以上的沙柳未成活,则需要补种,求需要补种沙柳的概率.
解 记“需要补种沙柳”为事件 ,则 ,
得 ,
或 ,
所以需要补种沙柳的概率为 .
跟踪训练4 某流感防控期间,某高中学校实施线上教学,为了解线上教学的效果,随机抽取了100名学生对线上教学效果进行评分（满分100分）,记低于80的评分为“效果一般”,不低于80分为“效果较好”.
（1）根据所给数据完成下列表格:
单位：人
性别 效果 合计
效果一般 效果较好 男 25 ____ 45
女 ____ 40 ____
合计 ____ ____ _____
20
15
55
40
60
100
（2）用（1）中表格的数据估计全校线上教学的效果,用频率估计概率.从该校学生中任
意抽取3人,记所抽取的3人中认为线上教学“效果一般”的人数为 ,求 的分布列和均值
及方差.
解 由（1）表可知,线上教学“效果一般”的频率为 ，可知 服从参数为
3， 的二项分布.
X的值为0,1,2,3,
,
,
,
.
故 的概率分布为
0 1 2 3
故 , .(共23张PPT)
8.2 离散型随机变量及其分布列
8.2.4 超几何分布
【课标要求】1.通过具体实例,了解超几何分布及其均值.2.能用超几何分布解决简单的
实际问题.
1
要点深化·核心知识提炼
2
题型分析·能力素养提升
01
要点深化·核心知识提炼
知识点 超几何分布
若一个随机变量 的分布列为 ,其中 ,1,2,3, , ,
, ,则称 服从超几何分布,记为 ,并将 记
为 ; , , .
当 时, ,其中 .
名师点睛
超几何分布和二项分布都可以描述随机抽取的 件产品中次品数的分布规律,并且
二者的均值相同.对于不放回抽样,当 远远小于 时,每抽取一次后,对 的影响很小,此
时,超几何分布可以近似看成二项分布.
02
题型分析·能力素养提升
【题型一】超几何分布的简单应用
例1 从放有10个红球与15个白球的暗箱中随机摸出5个球,规定取到一个白球得1分、一个红球得2分,求某人摸出5个球,恰好得7分的概率.
解 设摸出的红球个数为 ,则 服从超几何分布,其中 , ,
,由于摸出5个球,得7分,仅有恰好摸出两个红球、三个白球一种可能情况,那么恰
好得7分的概率为 .
跟踪训练1 在30瓶饮料中,有3瓶已过了保质期.从这30瓶饮料中任取2瓶,则至少取到1瓶
已过保质期饮料的概率为_ ___.（结果用最简分数表示）
[解析] 从这30瓶饮料中任取2瓶,设至少取到1瓶已过保质期的饮料为事件 ,则
.
【题型二】超几何分布的综合应用
例2 一个袋中装有6个形状、大小完全相同的小球,其中红球有3个,编号为1,2,3;黑球有2个,编号为1,2;白球有1个,编号为1.现从袋中一次随机抽取3个球.
（1）求取出的3个球的颜色都不相同的概率;
解 从袋中一次随机抽取3个球,所有取法的总数 ,取出的3个球的颜色都
不相同包含的样本点的个数为 ,所以取出的3个球的颜色都不相同的概率
为 .
（2）记取得1号球的个数为随机变量 ,求随机变量 的分布列.
解 由题意知 ,1,2,3.
, ,
, ,
所以 的概率分布为
0 1 2 3
变式探究1 在本例条件下,若记取到白球的个数为随机变量 ,求随机变量 的分布列.
解 由题意可知 ,1,服从两点分布.又 ,所以 的概率分
布为
0 1
变式探究2 将本例的条件“一次随机抽取3个球”改为“有放回地抽取3次,每次抽取1个球”,其他条件不变,结果又如何
解 （1）取出3个球颜色都不相同的概率 .
（2）由题意知 .
，
.
所以 的概率分布为
0 1 2 3
【题型三】 二项分布与超几何分布的区别与联系
例3 某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况,随机
抽取该流水线上的40件产品作为样本称出它们的质量（单位:
克）,质量的分组区间为 , , ,
,由此得到样本的频率直方图如图.
（1）根据频率直方图,求质量超过505克的产品数量;
解 质量超过505克的产品的频率为
所以质量超过505克的产品数量为 （件）.
（2）在上述抽取的40件产品中任取2件,设 为质量超过505克的产品数量,求 的分布
列,并求其均值;
解 由（1）知质量超过505克的产品数量为12件,则质量未超过505克的产品数量为28
件, 的可能取值为0,1,2, 服从超几何分布.
,
,
,
所以 的概率分布为
0 1 2
所以由超几何分布的性质得， 的均值 .
（3）从该流水线上任取2件产品,设 为质量超过505克的产品数量,求 的分布列.
解 根据样本估计总体的思想,取一件产品,该产品的质量超过505克的概率为 .
从流水线上任取2件产品互不影响,该问题可看成2重伯努利试验,质量超过505克的件数 的可能取值为0,1,2,且 ， ,
, ,1,2,
所以 ,
,
,
所以 的概率分布为
0 1 2
规律方法 不放回抽样服从超几何分布,放回抽样服从二项分布,求均值可利用公式代入计算.
跟踪训练2 在10件产品中有2件次品,连续抽3次,每次抽1件,求:
（1）不放回抽样时,抽取次品数 的均值;
解（方法一）由题意知 的可能取值为0,1,2.
,
,
,
随机变量 的概率分布为
0 1 2
.
（方法二）由题意知 , ,1,2,
随机变量 服从超几何分布, , , ,
.
（2）放回抽样时,抽取次品数 的均值与方差.
解 由题意知,抽取1次取到次品的概率为 ,
随机变量 服从二项分布 , ,
, .(共30张PPT)
8.3 正态分布
【课标要求】1.通过误差模型,了解服从正态分布的随机变量;通过具体实例,借助频率直
方图的几何直观,了解正态分布的特征.2.了解正态分布的均值、方差及其含义.
1
要点深化·核心知识提炼
2
题型分析·能力素养提升
01
要点深化·核心知识提炼
知识点1.正态密度曲线
函数 的图象称为正态密度曲线.这里有两个参数 和
, 其中 , .
不同的 和 对应着不同的正态密度曲线.
知识点2.正态密度曲线的特征
当 时,曲线上升;当 时,曲线下降;当曲线向左右两边无限延伸时,以
轴为渐近线.
曲线关于直线 对称.
越大,曲线越扁平; 越小,曲线越尖陡.
在正态密度曲线下方和 轴上方范围内的区域面积为1.
知识点3.正态分布
1.定义
（1）设 是一个随机变量,若对任给区间 , 是正态密度曲线下
方和 轴上 上方所围成的图形的面积,则称随机变量 服从参数为 和 的正态
分布,简记为 .
（2）正态分布 称为标准正态分布.
2.随机变量在三个特殊区间内取值的概率
（1）落在区间 内的概率约为 ;
（2）落在区间 内的概率约为 ;
（3）落在区间 内的概率约为 .
名师点睛
（1）把 , 的正态分布叫作标准正态分布.
（2）参数 是反映随机变量取值的平均水平的特征数（均值）; 是衡量随机变
量总体波动大小的特征数,可以用样本标准差去估计.
02
题型分析·能力素养提升
【题型一】正态密度曲线及其性质的应用
例1（1） 函数 （其中 ）的图象可能为( )
A
A.&1& B.&2& C.&3& D.&4&
[解析] 函数 图象的对称轴为直线 ,因为 ,所以排除B,D;又正态曲线位于 轴上方,因此排除C.
（2）已知三条正态曲线
的图象如图所示,则
下列判断正确的是( )
D
A. , B. ,
C. , D. ,
[解析] 由正态曲线关于直线 对称,知 , 的大小决定曲线的形状,
越大,随机变量的分布越分散,曲线越“矮胖”; 越小,随机变量的分布越集中,曲线越
“瘦高”,则 .
跟踪训练1（1） 如图分别是甲、乙、丙三种品牌石英钟时间误
差分布的正态曲线,则下列说法不正确的是( )
B
A.三种品牌的石英钟时间误差的均值相等
B.时间误差的均值从大到小依次为甲、乙、丙
C.时间误差的方差从小到大依次为甲、乙、丙
D.三种品牌的石英钟中甲品牌的质量最好
[解析] 正态曲线中的参数 , 分别表示随机变量的均值和标准差.由题图可知甲、乙、丙三种曲线的对称轴相同,故它们的时间误差的均值相等,A正确,B错误.再根据题图的扁平与尖陡情况可以判断它们的标准差从小到大依次为甲、乙、丙,这也说明甲品牌偏离均值的离散程度较小,所以甲品牌的质量最好,故C,D正确.
（2）（多选题）甲、乙两类水果的质量（单位: ）分别服
从正态分布 , ,其正态曲线
, 如图所示,则下列说法正确的有
( )
ABC
A.甲类水果的平均质量为
B.甲类水果的质量比乙类水果的质量更集中于平均值左右
C.甲类水果的平均质量比乙类水果的平均质量小
D.乙类水果的质量服从的正态分布的参数
[解析] 由题图可知,甲图象关于直线 对称,乙图象关于直线 对称,
所以 , , ,故A,C正确;
因为甲图象比乙图象更“高瘦”,所以甲类水果的质量比乙类水果的质量更集中于平均值左右,故B正确;
因为乙图象的最大值为 ,
即 , ,故D错误.
【题型二】 正态总体在三个特殊区间内取值的概率值
例2 设 ,试求:
解 , ,
（1） ;
.
（2） .
解 ,
.
变式探究 若本例条件不变,求 .
解
.
跟踪训练2 为了解某省高中男生的身体发育情况,随机抽取1
000名男生测量他们的体重,测量的结果表明他们的体重
（单位: ）服从正态分布 ,正态曲线如下图所示.若
体重落在区间 内属于正常情况,则在这1 000名男
生中不属于正常情况的人数约是( )
D
A.954 B.819 C.683 D.317
[解析] 由题意可知, , ,故
,从而不属于正常情况的人数
约是 .
【题型三】标准正态分布
例3 在某校举行的数学竞赛中,全体参赛学生的竞赛成绩 近似服从正态分布
.已知成绩在90分以上（含90分）的学生有12名.
（1）此次参赛的学生总数约为多少人
解 因为 ,
所以 .
由条件知,
.
这说明成绩在90分以上（含90分）的学生人数约占全体参赛人数的 ,
所以参赛总人数约为 （人）.
（2）若该校计划奖励竞赛成绩排在前50名的学生,则设奖的分数线约为多少分
说明:对任何一个正态分布 来说,通过 转化为标准正态分布 ,从而查标准正态分布表得到
参考数据:可供查阅的（部分）标准正态分布表 .
0 1 2 3 4
1.2 0.888
1.3
1.4
1.9
2.0
2.1
5 6 7 8 9
1.2
1.3
1.4
1.9
2.0
2.1
续表
解 假定设奖的分数线为 分,则 ,
故 .
又 ，
即 ,查表得 ,
解得 .
故设奖的分数线约为83分.
跟踪训练3 某市统考成绩大体上反映了全市学生的成绩状况,因此可以把统考成绩作为
总体,设平均成绩 ,标准差 ,总体服从正态分布,若全市重点学校录取率
为 ,则重点录取分数线可能划在多少分？（已知 （ ） ）
解 平均成绩 ,标准差 ,总体服从正态分布,
.设重点录取分数线可能划在 分,
则 .
又 , , .
重点录取分数线可能划在505分.(共31张PPT)
培优课4
二项分布、超几何分布、正态分布
【课标要求】1.进一步掌握二项分布、超几何分布、正态分布的应用.2.弄清二项分布、
超几何分布、正态分布的区别及其内在联系.
1
题型分析·能力素养提升
01
题型分析·能力素养提升
【题型一】二项分布及应用
例1 甲、乙、丙3人均以游戏的方式决定是否参加学校音乐社团、美术社团,游戏规则为
①先将一个圆8等分（如图）,再将8个等分点 , , , , , ,
, 分别标注在8个相同的小球上,并将这8个小球放入一个不透明
的盒子里,每个人从盒内随机摸出两个小球,然后用摸出的两个小球上
标注的分点与圆心 构造三角形.若能构成直角三角形,则两个社团都参加;若能构成锐
角三角形,则只参加美术社团;若能构成钝角三角形,则只参加音乐社团;若不能构成三角
形,则两个社团都不参加.
②前一个同学摸出两个小球记录下结果后,把两个小球都放回盒内,下一位同学再从盒中随机摸取两个小球.
（1）求甲能参加音乐社团的概率;
解 从盒中随机摸出两个小球,即是从8个等分点中随机选取两个不同的分点,共有
（种）,其中与圆心 构成直角三角形的有8种,即 , ,
, , , , , ,与圆心 构成钝角三角
形的有8种,即 , , , , , ,
, .
所以甲能参加音乐社团的概率为 .
（2）记甲、乙、丙3人能参加音乐社团的人数为随机变量 ,求 的概率分布、均值和方差.
解 由题意可知, , , 的可能取值为0,1,2,3.
,
,
,
，
所以 的概率分布为
0 1 2 3
均值 ,
方差 .
跟踪训练1 某饭店从某水产养殖场购进一批生蚝,并随机抽取了40只统计质量,得到结果如表所示:
数量/只 6 10 12 8 4
（1）若购进这批生蚝 ,且同一组数据用该组区间的中点值代表,试估计这批生蚝
的数量（所得结果保留整数）;
解 由表格中的数据可估算出这批生蚝质量的平均数为
,
所以购进生蚝 ,
这批生蚝的数量为 （只）.
（2）以频率视为概率,若在本次购买的生蚝中随机挑选4个,记质量在 间的生蚝的
个数为 ,求 的概率分布及均值.
解 由表格中的数据可知,任意挑选一只,质量在 间的概率为 ,由题意
可知, ， ,
随机变量 的可能取值有0,1,2,3,4,
则 ,
,
,
,
.
所以随机变量 的概率分布为
0 1 2 3 4
因此随机变量 的均值 .
【题型二】超几何分布及应用
例2 某超市在节日期间进行有奖促销,凡在该超市购物满500元的顾客,可以获得一次抽奖机会,有两种方案.方案一:在抽奖的盒子中有除颜色外完全相同的2个黑球,3个白球,顾客一次性摸出2个球,规定摸到2个黑球奖励50元,1个黑球奖励20元,没有摸到黑球奖励15元.方案二:在抽奖的盒子中有除颜色外完全相同的2个黑球,3个白球,顾客不放回地每次摸出一个球,直到将所有黑球摸出则停止摸球,规定2次摸出所有黑球奖励50元,3次摸出所有黑球奖励30元,4次摸出所有黑球奖励20元,5次摸出所有黑球奖励10元.
（1）记 为1名顾客选择方案一时摸出黑球的个数,求随机变量 的均值.
解（方法一）由题易知 服从超几何分布,且 , , ,
故 .
（方法二） 的所有可能取值为0,1,2.
, ,
,
.
（2）若你是1名要抽奖的顾客,你会选择哪种方案进行抽奖 并说明理由.
解 记 为1名顾客选择方案一进行抽奖获得的奖金数额,则 可取50,20,15.
, ,
,
.
记 为1名顾客选择方案二进行抽奖获得的奖金数额,
则 可取50,30,20,10.
, ,
, ,
,
,方案一抽奖获得奖金均值大于方案二,
我会选择方案一进行抽奖.
规律方法超几何分布主要用于抽检产品、摸不同类别的小球等概率模型,其实质是古典概型.
跟踪训练2 为了适当疏导电价矛盾,保障电力供应,支持可再生能源发展,促进节能减排,
某省于2018年推出了省内居民阶梯电价的计算标准:以一个年度为计费周期、月度滚动
使用,第一阶梯年用电量为2 160度以下（含2 160度）,执行第一档电价 元/度;第
二阶梯年用电量为 至4 200度（含4 200度）,执行第二档电价 元/度;第三
阶梯年用电量为4 200度以上,执行第三档电价 元/度.某市的电力部门从本市的
用电户中随机抽取10户,统计其同一年度的用电情况,如表所示:
用户编号 1 2 3 4 5
年用电量/度 1 000 1 260 1 400 1 824 2 180
用户编号 6 7 8 9 10
年用电量/度 2 423 2 815 3 325 4 411 4 600
（1）表中编号为10的用电户本年度应交电费多少元？
解 因为第二档电价比第一档电价多 元/度,第三档电价比第一档电价多0.3元/度,编号为10的用户一年的用电量是4 600度,则该户本年度应交电费为 （元）.
（2）现要在这10户家庭中任意选取4户,对其用电情况作进一步分析,求取到第二阶梯电量的户数的概率分布.
解 设取到第二阶梯电量的用户数为 ,可知第二阶梯电量的用户有4户，且 服
从超几何分布,则 的可能取值为0,1,2,3,4.
, ,
, ,
,
故 的概率分布为
0 1 2 3 4
所以 .
【题型三】正态分布与二项分布的综合应用
例3 九所学校参加联考,参加人数约 ,考完后经计算得数学平均分为113分.已知本
次联考的数学成绩服从正态分布,且标准差为12.
（1）计算联考数学成绩不低于137分的人数（结果保留整数）.
解 设本次联考数学成绩为 ,
由题意知 ,其中 , .
因为 ,
所以 ,
故所求人数为 .
（2）从所有试卷中任意抽取1份,已知数学成绩不超过123分的概率为0.8.
①求数学成绩低于103分的概率;
解 .
②从所有试卷中任意抽取5份,由于试卷数量较大,可以把每份试卷被抽到的概率视为相
同, 表示抽到数学成绩低于103分的试卷的份数,写出 的概率分布,并求出均值 .
参考数据:若 ,则 ,
, .
解 由题意可知 ,
故 ,
,
,
,
,
,
所以 的概率分布为
0 1 2 3 4 5
所以 .
规律方法 （1）利用正态分布的概率公式求得满足条件的概率,再乘以总人数,可得结果.
（2）利用正态分布的对称性求概率.
跟踪训练3 为调查禽类某种病菌感染情况,某养殖场每周都定期
抽样检测禽类血液中 指标的值.养殖场将某周的5 000只家禽
血液样本中 指标的检测数据进行整理,绘成如下频率直方图.
（1）根据频率直方图,估计这5 000只家禽血液样本中 指标值的中位数（结果保留两
位小数）.
解 ,
,
设这5 000只家禽血液样本中 指标值的中位数为 , ,则
,
解得 .
（2）通过长期调查分析可知,该养殖场家禽血液中 指标的值 服从正态分布
.
①若其中一个养殖棚有1 000只家禽,估计其中血液 指标的值不超过10.03的家禽数量
（结果保留整数）.
解 ,
,
.
②在统计学中,把发生概率小于 的事件称为小概率事件,通常认为小概率事件的发生
是不正常的.该养殖场除定期抽检外,每天还会随机抽检20只,若某天发现抽检的20只家
禽中恰有3只血液中 指标的值大于等于 ,判断这一天该养殖场的家禽健康状况是
否正常,并分析说明理由.
参考数据:
, ;
②若 ,则 ;
.
解 ,
.
设“随机抽检的20只家禽中恰有3只血液中 指标的值大于等于12.66”为事件 ,
则 ,
判断这一天该养殖场的家禽健康状况不正常.
