山东省菏泽市重点中学2023-2024学年高二上学期12月月考数学试卷（含解析）

菏泽重点中学2023-2024学年高二上学期12月月考
数学试卷
一、单选题（每小题5分，共40分）
1．已知直线与直线相互垂直，则实数m的值是（ ）
A．0 B．1 C．-1 D．
2．双曲线的焦距为（ ）
A． B． C． D．
3．已知在四面体中，为的中点，，若，则（ ）
A． B．
C． D．
4．在平行六面体中，，则的长为（ ）
A． B． C．12 D．20
5．已知，若三向量共面，则实数等于（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
6．已知双曲线的两条渐近线与抛物线的准线分别交于A,B两点，O为坐标原点，若双曲线的离心率为2，△AOB的面积为，则p=（ ）
A．1 B． C．2 D．3
7．如图，过抛物线的焦点的直线依次交抛物线及准线于点，若，且，则抛物线的方程为（ ）
A． B． C． D．
8．如图,点,分别是双曲线C:(,)的左、右焦点,M是C右支上的一点,与y轴交于点P,的内切圆在边上的切点为Q,若,则C的离心率为( )
B．3 C． D．
二、多选题（每小题5分，共20分）
9．已知直线和直线，下列说法正确的是（ ）
A．当时，
B．当时，
C．直线过定点，直线过定点
D．当平行时，两直线的距离为
10．向量，则下列说法正确的是（ ）
A．，使得
B．若，则
C．若，则
D．当时，在方向上的投影向量为
11．如图，四棱柱的底面ABCD是正方形，O为底面中心，平面ABCD，．以O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则（ ）
A．
B．平面
C．平面的一个法向量为
D．点B到直线的距离为
12．已知圆与直线相交于两点，为坐标原点，则下列说法正确的是（ ）
A．直线过定点 B．若，则
C．的最小值为 D．的面积的最大值为2
三、填空题（每小题5分，共20分）
13．已知点，，，则到的距离为 .
14．若空间向量，平面的一个法向量为，则直线AB与平面所成角 ．
15．已知M为抛物线上的动点，F为抛物线的焦点，，则的最小值为 .
16．一条光线从点射出，经轴反射后与圆相切，则反射光线所在直线的斜率为 .
四、解答题（共70分）
17．（10分）已知三个顶点分别为，，．
(1)求的面积；
(2)过内一点有一条直线l与边AB，AC分别交于点M，N，且点P平分线段MN，求直线l的方程．
18．（12分）如图，在长方体中，，点为的中点．
(1)证明：平面；
(2)设，求点到平面的距离．
19．（12分）已知圆C的圆心在x轴上，且经过点，．
(1)求圆C的标准方程；
(2)过点的直线l与圆C相切，求直线l的方程．
20．（12分）已知为坐标原点，过抛物线焦点的直线与交于两点，点在第一象限，且.
(1)求直线的斜率；
(2)若，求抛物线的方程.
21．（12分）如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，且平面平面，在平面内过作，交于，连.

(1)求证：平面；
(2)求平面与平面夹角的正弦值；
(3)在线段上存在一点，使直线与平面所成的角的正弦值为，求的长.
22．（12分）已知双曲线的中心为坐标原点，左、右焦点分别为，且点在双曲线上.
(1)求双曲线的渐近线方程；
(2)若直线与直线交于点，点是双曲线上一点，且满足，记直线的斜率为，直线的斜率为，求.
参考答案
一、单选题
1．已知直线与直线相互垂直，则实数m的值是（ ）
A．0 B．1 C．-1 D．
【答案】A
【分析】结合两直线垂直的系数关系直接求解即可.
【详解】因为直线与直线相互垂直，所以，解得m=0，即实数m的值是0，
故选：A.
2．双曲线的焦距为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由双曲线方程确定参数，即可得焦距.
【详解】由题设，故焦距为.
故选：A
3．已知在四面体中，为的中点，，若，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据题意，结合空间向量的线性运算法则，准确运算，即可求解.
【详解】如图所示，因为为的中点，，且，则. 故选：D.

4．在平行六面体中，，则的长为（ ）
A． B． C．12 D．20
【答案】B
【分析】利用向量表示，再利用空间向量的数量积计算得解.
【详解】在平行六面体中，，
，而，
所以 ，
.
故选：B
5．已知，若三向量共面，则实数等于（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【分析】设，根据向量共面定理，解方程组即可求解.
【详解】因为，且三向量共面，
所以，所以，
所以，解得.
故选：A
6．已知双曲线的两条渐近线与抛物线的准线分别交于A,B两点，O为坐标原点，若双曲线的离心率为2，△AOB的面积为，则p=（ ）
A．1 B． C．2 D．3
【答案】C
【分析】根据双曲线的渐近线方程与抛物线的准线方程可得A，B两点的纵坐标，由双曲线的离心率可得，再根据面积即可求解.
【详解】解：∵双曲线，
∴双曲线的渐近线方程是.
又抛物线的准线方程是，
故A，B两点的纵坐标分别是.
∵双曲线的离心率为2，∴.
∴，则.
A，B两点的纵坐标分别是，
又△AOB的面积为，∴，得p=2.
故选：C.
7．如图，过抛物线的焦点的直线依次交抛物线及准线于点，若，且，则抛物线的方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】分别过点作准线的垂线，分别交准线于点，,设，推出；根据，进而推导出，结合抛物线定义求出；最后由相似比推导出，即可求出抛物线的方程.
【详解】如图分别过点作准线的垂线，分别交准线于点，,设与交于点.
设，, ，由抛物线定义得：，故
在直角三角形中，， ，，， ，，
∥，， ，，所以抛物线的方程为.
故选：B
8．如图,点,分别是双曲线C:(,)的左、右焦点,M是C右支上的一点,与y轴交于点P,的内切圆在边上的切点为Q,若,则C的离心率为( )
A． B．3 C． D．
【答案】D
【分析】利用三角形内切圆的性质及双曲线的定义即可获解
【详解】
如图,设内切圆与的两外两个交点为R,S,则
所以,即
又PO垂直平分,所以
即,所以
又,所以离心率.
故选：D
二、多选题
9．已知直线和直线，下列说法正确的是（ ）
A．当时，
B．当时，
C．直线过定点，直线过定点
D．当平行时，两直线的距离为
【答案】ACD
【分析】根据直线平行和垂直满足的斜率关系即可判断AB，根据定点的求解可判断C，根据平行线间距离公式可判断D.
【详解】对于，当时，那么直线为，
直线为，此时两直线的斜率分别为和，
所以有，所以，故A选项正确；
对于，当时，那么直线为，直线为，此时两直线重合，故B选项错误；
对于，由直线，整理可得：，故直线过定点，
直线：，整理可得：
，故直线过定点，故C选项正确；
对于，当平行时，两直线的斜率相等，即
，解得：或，当时，两直
线重合，舍去；当时，直线为为
，此时两直线的距离，故D选项正确.
故选：ACD.
10．向量，则下列说法正确的是（ ）
A．，使得
B．若，则
C．若，则
D．当时，在方向上的投影向量为
【答案】BCD
【分析】若得，使，列出方程组，即可判断A；由空间向量模的坐标运算公式即可判断B；由空间向量垂直，得，即可判断C；由空间向量的投影向量计算公式即可判断D．
【详解】对于A，若，则，使，即，显然无解，故A错误；
对于B，若，则，解得，故B正确；
对于C，若，则，解得，故C正确；
对于D，若，得，
则在方向上的投影向量为，故D正确；
故选：BCD．
11．如图，四棱柱的底面ABCD是正方形，O为底面中心，平面ABCD，．以O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则（ ）
A．
B．平面
C．平面的一个法向量为
D．点B到直线的距离为
【答案】BCD
【分析】根据已知条件及给定的几何图形写出点的坐标,再对各个选项逐一分析计算并判断作答.
【详解】依题意, 是正方形, ,与的交点为原点,,
在给定的空间直角坐标系中, ,
而,
则点,,故错误;
,,
设平面的法向量,
则,
令,得,故正确;
,即平面,故正确;
,,,
到的距离,故正确
故选:
12．已知圆与直线相交于两点，为坐标原点，则下列说法正确的是（ ）
A．直线过定点 B．若，则
C．的最小值为 D．的面积的最大值为2
【答案】ABD
【分析】将直线整理成关于的方程，令其系数为0，即可得出直线过的定点，判断A；利用得出直线的斜率，即可判断B；当直线与垂直时，取得最小值，再利用几何法求弦长，即可判断C；由，结合弦长公式与基本不等式，即可判断D.
【详解】对于选项A：将直线整理为：，
令，解得，即直线过定点，故选项A正确；
对于选项B：由题意知，，则直线的斜率为，
若，则直线即直线的斜率为，解得：，故选项B正确；
对于选项C：因为直线过定点，所以当直线与垂直时，取得最小值，
此时，故选项C错误；
对于选项D：设点到直线的距离为，
则，
当且仅当，即时，等号成立，
故的面积的最大值为2，故选项D正确；
故选：ABD.
三、填空题
13．已知点，，，则到的距离为 .
【答案】/
【分析】根据已知条件求得，结合点到直线的距离公式，即可求解.
【详解】因为，，
所以 所以,
所以点到的距离
.故答案为:.
14．若空间向量，平面的一个法向量为，则直线AB与平面所成角 ．
【答案】/
【分析】结合线面角的空间向量的坐标计算公式即可求出结果.
【详解】，
因为线面角的范围是，所以，故答案为：.
15．已知M为抛物线上的动点，F为抛物线的焦点，，则的最小值为 .
【答案】4
【分析】利用抛物线的定义求解.
【详解】解：如图所示：
设点M在准线上的射影为D，
由抛物线的定义知，
∴要求的最小值，即求的最小值，
当D，M，P三点共线时，最小，
最小值为.
故答案为：4
16．一条光线从点射出，经轴反射后与圆相切，则反射光线所在直线的斜率为 .
【答案】或
【解析】由题意可知点在反射光线上，设反射光线所在的直线方程为，利用直线与圆的相切的性质即可得出.
【详解】由题意可知点在反射光线上，
设反射光线所在的直线方程为，即.
圆的圆心，半径为1，
由直线与圆相切的性质可得，
解得或.
故答案为：或
四、解答题
17．已知三个顶点分别为，，．
(1)求的面积；
(2)过内一点有一条直线l与边AB，AC分别交于点M，N，且点P平分线段MN，求直线l的方程．
【答案】(1)6
(2)
【分析】（1）求出直线AB的方程、点C到直线AB的距离、，由可得答案；
（2）求出直线AC的方程，设，则，根据点M，N分别在直线AB，AC上，可得可得答案.
【详解】（1），，，
直线AB的斜率，
直线AB的方程为，
点C到直线AB的距离，
，
；
（2）由题知，直线AB的斜率，
直线AC的方程为，
设，则，
∵点M，N分别在直线AB，AC上，
，解得，
直线l的斜率，
直线l的方程为，
即．
18．如图，在长方体中，，点为的中点．
(1)证明：平面；
(2)设，求点到平面的距离．
【答案】(1)证明见解析
(2)．
【分析】（1）根据正方形性质可知，利用线面垂直的判定定理即可证明平面；
（2）利用空间向量求出平面的一个法向量为，再由代入点到平面距离公式即可计算得出结果.
【详解】（1）在四边形中，，，即是正方形；
所以，
又平面，平面，
，
又平面，平面，，
平面；
（2）由，得，
以为原点，、、所在直线分别为、、轴，建立如图所示的空间直角坐标系，如下图所示：
则，，，，
当为的中点时，，，，
设平面的一个法向量为，
由，可得，
由点到平面的距离公式得，
即点到面的距离是．
19．已知圆C的圆心在x轴上，且经过点，．
(1)求圆C的标准方程；
(2)过点的直线l与圆C相切，求直线l的方程．
【答案】(1)
(2)或
【分析】（1）根据题意，求得线段的垂直平分线方程是，设出圆的标准方程，进而求得圆心坐标和半径，即可求解；
（2）根据题意，分直线的斜率不存在斜率存在，两种情况讨论，结合圆心到直线的距离等于半径，列出方程，即可求解.
【详解】（1）解：如图所示，设的中点为，则，
由圆的性质得，所以，可得，
所以线段的垂直平分线方程是，
设圆的标准方程为，其中，半径为，
由圆的性质，圆心在直线CD上，化简得，
所以圆心，，所以圆C的标准方程为．
（2）解：①当直线的斜率不存在时，直线的方程，与圆相切，符合题意；
②当直线的斜率存在时，设的方程，即，
由题意，解得；
故直线l的方程为，即；
综上直线l的方程为或．
20．已知为坐标原点，过抛物线焦点的直线与交于两点，点在第一象限，且.
(1)求直线的斜率；
(2)若，求抛物线的方程.
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）设，由题意可得，即有，从而可得点坐标，再根据，求解即可；
（2）由题意可设线的方程为，即，联立直线与抛物线方程可得两点的坐标，再根据两点的距离公式求解即可.
【详解】（1）解：设
因为，所以到准线的距离为
即，所以,
代入抛物线方程可得，即，
又因为，所以直线的斜率为；
（2）解：由（1）知，直线的斜率为，
设直线的方程为，
则，
由，得，
所以，
因为，所以，
所以该抛物线方程为.
21．如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，且平面平面，在平面内过作，交于，连.

(1)求证：平面；
(2)求平面与平面夹角的正弦值；
(3)在线段上存在一点，使直线与平面所成的角的正弦值为，求的长.
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)
【分析】（1）利用面面垂直的性质定理推得，再利用余弦定理与勾股定理推得，从而得证；
（2）建立空间直角坐标系，分别求得平面与平面的法向量，从而利用空间向量夹角余弦的坐标表示即可得解；
（3）设，利用线面角的正弦值得到关于的方程，解之即可得解.
【详解】（1）因为平面，平面平面，平面平面，
所以平面，又平面，因此；
因为，，所以四边形是矩形，
则，又，则，
所以，故；
因平面，所以平面.
（2）以为原点所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系，

因为，，则，
故
设平面的法向量为，
所以，令，则，
设平面的法向量为，
所以，令，则，
则，故，
所以平面与平面夹角的正弦值为.
（3）易知平面的法向量是，
设，则，
故
设直线与平面所成角为，
，解得，
所以，则，则，
所以的长为.
22．已知双曲线的中心为坐标原点，左、右焦点分别为，且点在双曲线上.
(1)求双曲线的渐近线方程；
(2)若直线与直线交于点，点是双曲线上一点，且满足，记直线的斜率为，直线的斜率为，求.
【答案】(1)或
(2)
【分析】（1）由点在双曲线上求参数，即可得双曲线方程，进而写出渐近线方程；
（2）设，由向量数量积的坐标表示得到，结合是双曲线上一点及，整理化简即可求值.
【详解】（1）由题意得，，解得.
所以双曲线方程为：，
于是其渐近线为或，即或.
（2）设，，因为，

所以，整理得.
因为点在双曲线上，所以，即，
所以.