新疆生产建设兵团第三师图木舒克市第一中学2023-2024学年高二上学期12月第三次月考数学试卷（含解析）

2023年12月第三师图木舒克市第一中学高二第三次月考数学试卷
考试范围：选择性必修一，等差数列；考试时间：120分钟；
第I卷（选择题）
一、单选题
1．设数列满足，且，则（ ）
A．-2 B． C． D．3
2．已知点是抛物线上的一点，若以抛物线的焦点为圆心，以为半径的圆交抛物线的准线于，两点，，当的面积为时，则等于（ ）
A．2 B． C．4 D．
3．若直线与垂直，则实数的值是（ ）
A．3或-3 B．3或4 C．-3或-1 D．-1或4
4．如图，平行六面体中，，，，，则与所成角的大小为（ ）
A． B． C． D．
5．已知椭圆，焦点在轴上，且焦距为4，则短轴长为（ ）
A． B．4 C． D．8
6．已知双曲线的左 右焦点分别为，过斜率为的直线与的右支交于点，若线段与轴的交点恰为的中点，则的离心率为（ ）
A． B． C．2 D．3
7．在等差数列中，其前项和为，若是方程的两个根，那么的值为（ ）
A． B． C． D．
8．在长方体中，已知异面直线与，与AB所成角的大小分别为和，则直线和平面所成的角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．若直线x－2y－1＝0与直线x－2y－c＝0的距离为2，则实数c的值为（ ）
A．9 B．－9
C．11 D．－11
10．已知圆与圆相内切，则r等于（ ）
A． B． C． D．
11．已知命题p：，q：，则下列说法正确的有（ ）
A．p是q的必要条件 B．p是q的充分条件
C．p是q的充要条件 D．q是p的必要条件
12．若抛物线y2＝2px(p>0)上的动点Q到其焦点的距离的最小值为1，则（ ）
A．
B．准线方程为
C．当时的面积为
D．已知直线l1：4x－3y＋6＝0和直线l2：x＝－1，则点到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是
第II卷（非选择题）
三、填空题
13．数列的前项和记为，若，则 .
14．若方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是 .
15．圆与圆的位置关系为 ．
16．已知抛物线的焦点为，过且倾斜角为的直线交于两点，线段中点的纵坐标为，则 .
四、解答题
17．已知在第一象限，若，，，，求：
(1)AB边所在直线的方程；
(2)AC边所在直线的点斜式方程.
18．已知数列为等差数列．
(1)，，求；
(2)若，求．
19．在棱长为4的正方体中，建系如图，解答下列问题：
(1)点分别是线段和的四等分点，分别满足，求和所成角的余弦值；
(2)点是线段的四等分点，满足，求与平面所成角的正弦值.
20．已知抛物线的焦点为.
(1)求；
(2)过抛物线焦点的直线与抛物线交于两点，若求直线方程.
21．如图，是四棱柱，侧棱底面，底面是梯形，，．
(1)求证：平面平面；
(2)E是底面所在平面上一个动点，是否存在点E使得与平面夹角的正弦值为？若存在，求点E到平面距离的最小值；若不存在，请说明理由．
22．已知椭圆：的两焦点，，且椭圆过.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)过点作不与坐标轴垂直的直线交椭圆于，两点，线段的垂直平分线与轴负半轴交于点，若点的纵坐标的最大值为，求的取值范围.
参考答案：
1．A
【分析】判断出数列的周期为4，即可求解.
【详解】因为，，所以，，，，
显然数列的周期为4，而，因此. 故选：A.
2．C
【分析】依题意可得为等边三角形，则用可表示出，利用三角形面积公式，结合抛物线定义可构造方程求得的值.
【详解】
依题意，所以为等边三角形，
设准线与轴交点为，则，，
则圆的半径，
，解得（负值舍去）.
故选：C.
3．A
【详解】∵直线与垂直，
∴，则或，故选A.
4．C
【分析】设，表示出，，计算，即可求得答案.
【详解】设，则，三向量的夹角皆为，
由题意可得，，
故，
即，所以与所成角的大小为，故选：C
5．A
【分析】由题可得，后由，可得m，即可得答案.
【详解】设椭圆半焦距为c，半长轴为a，半短轴为b，则由题有，
则.故，则短轴长为.
故选：A
6．D
【分析】求得点坐标，根据直线的斜率列方程，化简求得双曲线的离心率.
【详解】由于线段与轴的交点恰为的中点，且是的中点，
所以，由解得，则，而，所以，
，两边除以得，解得或（舍去）. 故选：D
7．D
【分析】由根与系数关系得，再根据等差数列前n项和公式、下标和性质求.
【详解】由题设，而. 故选：D
8．A
【分析】设，结合题意可求得，以为原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，结合空间向量夹角公式可得答案.
【详解】设，则，
由于，所以异面直线与所成角为，从而，
由于，所以异面直线与所成角为，从而，所以，以为原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，则，
，设平面的法向量为，
则，取，所以，直线和平面所成的角的正弦值为，
从而直线和平面所成的角的余弦值为．故选：A．
9．BC
【分析】根据两平行线的距离公式列方程求解即可.
【详解】∵直线x－2y－1＝0与直线x－2y－c＝0的距离为，∴，
即，解得或. 故选：BC.
10．AC
【分析】先求出两圆的圆心和半径，再由题得解方程即得解.
【详解】由题得圆的圆心为半径为5；
圆的圆心为，半径为；
由题得. 故选：AC
【点睛】本题主要考查圆与圆的位置关系，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.
11．BD
【分析】根据充分条件和必要条件的定义直接得到答案.
【详解】命题p：，q：，则p是q的充分条件，q是p的必要条件. 故选：BD
12．BCD
【分析】结合抛物线上的点到焦点的距离的最小值求得，进而求得准线方程，结合抛物线的定义来求得的面积，结合抛物线的定义来求得到、的距离之和的最小值.
【详解】到焦点的距离等于到准线的距离，到焦点距离最小时，到准线的距离最小，
即为原点时，到焦点的距离最小为，也即，抛物线的准线方程为，A选项错误，B选项正确.
抛物线方程为，
对于C选项，，则，，，C选项正确.
对于D选项，直线为抛物线的准线，所以到的距离等于到焦点的距离.
所以到直线和直线的距离之和的最小值为“到直线的距离”，焦点，则最小值为，D选项正确. 故选：BCD
13．
【分析】根据的关系即可求解.
【详解】解：当时，有，但当时，不适合上式，故. 故答案为:.
14．
【分析】根据焦点在y轴的椭圆方程的条件，建立关于m的不等式组，解之即可得到实数m的取值范围
【详解】椭圆化成标准方程形式，得，∵方程表示焦点在轴上的椭圆，∴，解得，得实数的取值范围是. 故答案为：
15．外切
【分析】由两圆的圆心距与半径之和半径之差的关系，判断两圆位置关系.
【详解】圆，圆心坐标为，半径，圆，圆心坐标为，半径，两圆圆心距，所以两圆外切. 故答案为：外切
16．
【分析】根据题意得到的直线方程为，联立方程组得到，求得的中点的纵坐标为，求得，结合抛物线的定义和，即可求解.
【详解】由抛物线，可得其焦点坐标为，过焦点且倾斜角为的直线方程为，设，联立方程组，整理得，
可得，则的中点的纵坐标为，因为线段中点的纵坐标为，可得，解得，
又由抛物线的定义可得. 故答案为：.
17．(1)
(2)
【分析】（1）由题意可得直线与轴平行，且过点，可得直线的方程；
（2）由题意可得直线的倾斜角为，可得斜率，根据点斜式方程求解即可．
【详解】（1）如图所示， 直线过点，，可得直线与轴平行，
故边所在直线的方程为
（2）由可得直线的倾斜角为，故斜率，故所在直线的方程为．
18．(1)11 (2)
【分析】(1)根据等差数列的定义求出首项公差即可；(2)根据等差数列的性质和前项和公式求解.
【详解】（1）设公差为，由，解得，所以，
（2）因为，所以.
19．(1) (2)
【分析】(1)根据空间向量的坐标运算求异面直线的夹角；
(2)根据空间向量的坐标运算求出直线的方向向量和平面的法向量，从而计算线面夹角的正弦值.
【详解】（1）在正方体中，, 所以，所以，
所以和所成角的余弦值为.
（2）由（1）可知，，
设平面的法向量为，与平面所成角为，
则，令则，所以，所以.
20．(1)4 (2)或
【分析】（1）根据抛物线的几何性质，得出方程，即可求解；
（2）根据题意，设所求直线方程为，联立方程组，结合韦达定理和弦长公式，列出方程求得，即可求解.
【详解】（1）解：根据题意，抛物线的焦点为，可得，所以.
（2）解：由（1）知，抛物线方程为，因为直线与抛物线交于两点，所以直线斜率不为，
又由焦点为，可设所求直线方程为，联立方程组，整理得，
则，设，可得，
则
又因为，即，解得，即，所以所求直线方程为或.
21．(1)见详解；
(2)存在点使得与平面夹角的正弦值为，点到平面距离的最小值为
【分析】（1）取中点，连接，根据各线段长度可得四边形是菱形，是正三角形，利用菱形性质及三角形性质即可得出，即，从而平面，于是平面平面.
（2）以为坐标原点，建立空间直角坐标系，设，求出和平面的法向量，令即可求出点坐标，然后由点到平面的距离公式向量表示即可，根据式子即可求点到平面的最小值.
【详解】（1）取中点，连接，则 ，
所以四边形是菱形，是正三角形，所以，=300，
所以，所以，
因为底面，平面，所以，又因为平面，平面，，所以平面，因为平面，所以平面平面
（2）以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，设，
所以，，，
设平面的一个法向量为，则，
所以，取得：，
所以
因为与平面夹角的正弦值为，所以，
即：，所以，所以
由点到平面的距离公式得：
所以当时，点到平面距离的最小，最小值为
22．(1) (2),．
【分析】（1）由题意列出方程组，求解即可；
（2）设直线的方程为为不等于0的实数），联立直线方程与椭圆方程，结合韦达定理可得中点坐标，进而得线段的中垂线方程，求出的纵坐标，结合题意求得，由弦长公式可得，令，，根据函数的单调性求出其值域即得答案．
【详解】（1）由题意可得：，解得，所以椭圆的方程为：；
（2）因为左焦点，由题意可得直线的斜率存在且不为0，
设直线的方程为为不等于0的实数），，，，，
由，可得，
则，，，
所以，所以的中点为，，
所以线段的中垂线方程为：，令，则y=，即点纵坐标为，
又因为是与轴交于负半轴，所以<0，，又因为点的纵坐标的最大值为，
所以，解得，又因为
，因为，
令，，由于函数在单调递增，
所以在,上单调递增，所以，，所以，，
即的取值范围为：,．
【点睛】方法点睛：圆锥曲线中取值范围问题的五种求解策略：
（1）利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围；
（2）利用已知参数的范围，求新的参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系；
（3）利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；
（4）利用已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；
（5）利用求函数值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围.