陕西省渭南市重点中学2023-2024学年高二上学期12月第三阶段考试数学试题（含答案）

渭南高级中学2023-2024学年度第一学期第三阶段考试
高二数学试题
答卷须知：
1、本试卷分为第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分。
2、请在答题纸上作答。
3、试卷满分150分，考试时间120分钟。
第I卷（选择题）
一、单选题（共40分）
1．（本题5分）抛物线的准线方程为（ ）
A． B． C． D．
2．（本题5分）直线：与直线：互相垂直，则（ ）
A．0 B．1 C．2 D．-1
3．（本题5分）甲、乙两个人独立地破译一个密码,他们能译出密码的概率分别为和则恰有1人译出密码的概率是（ ）
A． B． C． D．
4．（本题5分）双曲线的一个顶点为，焦点到渐近线的距离为，则双曲线方程是（ ）
A． B． C． D．
5．（本题5分）已知椭圆的右焦点为，点和所连线段的中点在椭圆上，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
6．（本题5分）设直线的方程为，则直线的倾斜角的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．（本题5分）已知双曲线的离心率为2，右焦点为，动点在双曲线右支上，点，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
8．（本题5分）已知，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题（共20分）
9．（本题5分）下列命题中是假命题的为（ ）
A．已知向量 ，则，与任何向量都不能构成空间的一个基底
B．若与，共面,则
C．已知是空间的一个基底，若，则也是空间的一个基底
D．若四点共面,
10．（本题5分）对于一个古典概型的样本空间和事件，若，则（ ）
A．事件与事件互斥 B．
C．事件与事件相互独立 D．
11．（本题5分）已知空间三点，，，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．在方向上的投影向量为
C．点到直线的距离为
D．的面积为
12．（本题5分）已知曲线，为C上一点，则下列说法正确的是（ ）．
A．曲线C关于x轴对称 B．的取值范围为
C．的取值范围为 D．
第Ⅱ卷（非选择题）
三、填空题（共20分）
13．（本题5分）已知抛物线，过焦点的直线与抛物线交于、两点，若，则此直线的斜率等于 .
14．（本题5分）在的展开式中，的系数为 .
15．（本题5分）某学校安排名高三教师去个学校进行交流学习，且每位教师只去一个学校，要求每个学校至少有一名教师进行交流学习，则不同的安排方式共有 种
16．（本题5分）点是双曲线上的一个动点，点到双曲线的两条渐近线的距离分别为，若，则双曲线的离心率为 ．
四、解答题（共70分）
17．（本题10分）（1）求过点，且与直线平行的直线的一般式方程；
（2）求过点，且在轴上的截距与在轴上的截距之和为2的直线的斜率．
18．（本题12分）已知是抛物线：上一点，且到的焦点的距离为．
(1)求抛物线的方程及点的坐标；
(2)已知直线与抛物线相交于A，B两点，为坐标原点．求证：．
19．（本题12分）如图，在三棱锥中，为正三角形，平面平面.
(1)求证：；
(2)若是的中点，求直线与平面所成角的正弦值.
20．（本题12分）已知圆经过，两点，且圆心在直线：上．
(1)求圆的方程；
(2)过点作圆的切线，求切线方程．
21．（本题12分）如图1，在边长为2的菱形中，，将沿对角线折起到的位置，使平面平面，E是BD的中点，平面ABD，且，如图2．
(1)求证：平面；
(2)在线段AD上是否存在一点M，使得平面，若存在，求的值；若不存在，说明理由．
22．（本题12分）椭圆的左右焦点分别为，，其中，为原点．M是椭圆上任意一点，且．
(1)求椭圆的标准方程及离心率；
(2)过点的斜率为2的直线交椭圆于A，两点．求的面积．
2023-2024学年度高中数学12月月考卷
参考答案：
1．C 2．C 3．B 4．B 5．B 6．D 7．B 8．C
9．BD 10．BCD 11．ACD 12．BCD
13．. 14． 15．150 16．2
6.【详解】设直线的倾斜角为，
则由直线可得，
所以，
故选：D
7．B
因为双曲线的离心率为2，所以，解得，则左焦点，
由双曲线的定义得，
因为，即当，，三点共线时最大，
所以.
故选：B.
8．C
【详解】设点为直线上的动点，
由可看作与的距离和与的距离之和，
设点则点为点关于直线的对称点，
故，且，
所以 ，
当且仅当三点共线时，取等号，
所以的最小值为.
故选：C
10．BCD
【详解】因为，，，
所以，又，则，所以，B正确；
因为，所以事件与事件相互独立，C正确；
所以，D正确；
因为，所以事件与事件不是互斥事件，A错误.
故选：BCD
12．BCD
法1：画图 法2.【详解】对于A中，用代换，方程不变，所以曲线关于轴对称，
用代换，方程不变，方程变为，所以曲线不关于轴对称，所以A错误；
对于B中，由，可得，解得，所以B正确；
对于C中，由，当时，可得，
当时，，所以的取值范围为，所以C正确；
对于D中，当时，显然成立；
当时，由，可得，即，可得，所以D正确.
故选：BCD.
16.【详解】设，渐近线方程为，即，
则，解得，
，故.
故答案为：
17．（1） ；（2） ．
【详解】（1）依题意可设所求直线的方程为，
将点的坐标代入得，
解得，故所求直线的方程为． ..........................5
（2）依题意可设所求直线的方程为．
令，得；令，得．
依题意可得，
解得． ............................10
18．(1)，或
【详解】（1）由抛物线定义知：，可得，则，...............2
故，所以或. ..................................4
（2）令，联立直线与，
所以，故，................8
所以，
又，则，
所以，得证. .......................12
19．
【详解】（1）如图，设为的中点，
因为为正三角形，
所以.
平面平面，平面平面，平面，
底面，而底面， ......................................2
，又，平面，
平面，而平面，
； ...........................................5
（2）设的中点为，.
由（1）知两两垂直，以为轴、轴、轴的正半轴建立空间直角坐标系，
，取，
则，. ...................................7
.
设平面的法向量为，
则，取，则. .........................10
直线与平面所成角的正弦值为. ...............................12
20．(1)；
(2)或
【详解】（1）设圆的方程为（），
圆经过，两点，
①，
②，
又圆心在直线上，故③，
由①②③解得，，，
故圆的方程为； ................................6
（2）由（1）可知圆：，
设过的圆的切线为，当的斜率不存在时，不是圆的切线；
当的斜率存在时，设所求切线方程为，即，
圆心到切线的距离，..............................8
整理得：，
解得或，
即切线方程为或. .............................12
21．(1)证明见解析
(2)不存在，理由见解析
【详解】（1）∵，E为BD的中点，
∴⊥，
又平面⊥平面，且平面平面，平面，
∴⊥平面，
∵平面， ................................2
∴ ，
而平面，平面，
∴平面； ..............................................4
（2）由（1）知，⊥平面，平面，
所以⊥，⊥，又⊥，
故以所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，
则，....................6

设平面的法向量为，
则，
令，则，故， ........................8
假设在线段AD上存在，使得平面，
设，则，
∴．则．
平面的法向量，
由，即，即，无解，不存在．
∴线段AD上不存点M，使得平面． ....................................12
22．(1)；离心率为；
(2)
【详解】（1）由已知，，又因为，，
所以，
所以，，，
椭圆方程为，离心率为； .............................4
（2）直线的方程为，设，
由得，
，，．...........8
到直线的距离为，
所以． .......................................12