河南省环际大联考“逐梦计划”2023-2024学年高二上学期12月阶段考试（三）数学试题（含答案）

环际大联考
“逐梦计划”2023~2024学年度第一学期阶段考试（三）
高二数学试题
（试卷总分：150分 考试时间：120分钟）
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的学校、班级、姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.直线的倾斜角为（ ）
A.0 B. C. D.不存在
2.已知双曲线的离心率为，则实数的值为（ ）
A. B. C.1 D.2
3.，，，，五人站成一排，如果，必须相邻，那么排法种数共有（ ）
A.24 B.120 C.48 D.60
4.已知点，，如果直线上有且只有一个点使得那么实数的值为（ ）
A.20 B. C. D.10
5.若直线过抛物线的焦点，与抛物线相交于，两点，且，则线段的中点到轴的距离为（ ）
A.6 B.8 C.10 D.12
6.已知直线与椭圆恒有公共点，则实数的取值范围为（ ）
A. B.或
C.且 D.且
7.如图，过抛物线的焦点的直线交抛物线于点，，交其准线于点，若，且，则此拋物线方程为（ ）
A. B. C. D.
8.在棱长为1的正方体中，、为线段上的两个三等分点，动点在内，且，则点的轨迹长度为（ ）
A. B. C. D.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分。
9.如图，在棱长为1的正方体中，为线段的中点，则下列说法正确的是（ ）
A.四面体的体积为
B.
C.向量在方向上的投影向量为
D.平面
10.已知曲线，则下列说法正确的是（ ）
A.若，则为椭圆
B.若，则为双曲线
C.若为椭圆，则其长轴长一定大于2
D.曲线不能表示圆
11.已知圆则下列说话正确的是（ ）
A.圆与直线必有两个交点
B.圆上存在4个点到直线的距离都等于1
C.圆与圆恰有三条公切线，则
D.动点在圆上，则
12.已知椭圆的左、右焦点分别为，，过的直线与交于，两点，若，则下列说话正确的是（ ）
A. B.的面积等于
C.直线的斜率为 D.的离心率等于
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知，则关于的方程有实数解的有序数对的个数为________.
14.已知直线过点，且，两点到直线的距离相等，则直线的方程为________.
15.如图，正方体的棱长为1，、分别为与的中点，则点到平面的距离为________.
16.已知抛物线的焦点为，准线为，若点在上，点在上，且是周长为12的正三角形.则抛物线的方程为________.
四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。
17.（本题满分10分）已知的三个顶点分别为，，.
（1）求边上的中线所在直线的方程；
（2）求边上的高所在直线的方程.
18.（本题满分12分）已知直线与圆相交于，两点.
（1）求；
（2）若为圆上的动点，求的取值范围.
19.（本题满分12分）如图在边长是2的正方体中，，分别为，的中点.
（1）求异面直线与所成角的大小.
（2）证明：平面.
20.（本题满分12分）已知拋物线的准线方程为，过点作斜率为的直线与抛物线交于不同的两点，.
（1）求的取值范围；
（2）若为直角三角形，且，求的值.
21.（本题满分12分）如图1，梯形中，，过，分别作，，垂足分别为、.若，，，将梯形沿，折起，且平面平面（如图2）.
图1 图2
（1）证明：；
（2）若，在线段上是否存在一点，使得直线与平面所成角的正弦值为，若存在，求出的长，若不存在，说明理由.
22.（本题满分12分）已知椭圆的离心率为，且椭圆过点.
（1）求的方程；
（2）设过点的动直线与相交于，两点，若为坐标原点，当面积最大时，求的方程.
环际大联考
“逐梦计划”2023~2024学年度第一学期阶段考试（三）
高二数学参考答案与评分标准
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1~4.CACD 5~8.ACBB
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.ACD 10.BC 11.ABCD 12.AB
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.12
14.或
15.
16.
四、解答题：本大题共6小题，共70分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。
17.解：（1）∵，，
∴的中点为.
又∵在边上的中线上，
∴所求直线方程为，
边上的中线所任直线的方程为.…………………………………………5分
（2）∵，，
∴直线的斜率为.而边上的高所住直线与直线垂直，
∴边上的高所在直线的斜率为.又∵任边上的高上，
∴所求直线方程为，
即边上的高所在组线的方程为.……………………………………10分
18.解：（1）∵圆
∴，………………………………………………………………………2分
∴圆心为，半径，
则圆心到直线的距离：，………………………………4分
∴.………………………………………………6分
（2）表示圆上的任意点与连线的斜率，
设，即，则直线与圆有公共点，
∴…………………………………………………………………………9分
∴
∴的取值范围为.…………………………………………………………12分
19.解：如图建系
，，，，，
∴，…………………………………………………………3分
（1）∴………………………………………………5分
∴
即异面直线与所成夹角为……………………………………………………7分
（2），
∴，……………………………………………………………………10分
∵，，且平面，
∴平面…………………………………………………………………………12分
法二：设平面的法向量为
，………………………………………………………………8分
∴，
令，则……………………………………………………………………10分
∴……………………………………………………………………………………11分
∴平面…………………………………………………………………………12分
20.解：（1）由题意，抛物线的方程为……………………………………2分
设直线方程为，
联立方程组，消去得，……………………4分
要使直线与抛物线交于不同的两点，，则，
即，
解得或，
综上，们取值范围为或.……………………………………6分
（2）设，，由（1）可知，是的两个根，
则，，………………………………………………7分
法一：因为为直像三作形，且，
所以，即，…………………………………………8分
国为
，……………………9分
所以有，
解得或，………………………………………………………………10分
当时，直线过原点，，，不能够构成三角形，
所以.…………………………………………………………………………12分
法二：因为为直角三角形，且，
所以，即，…………………………………………8分
因为，所以，
因为，所以，……………………………………………………10分
即，解得，
此时满足（1）中的取值范围，所以.…………………………………………12分
21.解：∵平面平而，平而，
平面平面，，
∴平面，……………………………………………………………………2分
（1）（法一）又平而，则.
又正方形中，，且，
平面，则平面，
又平面，则.……………………………………………………5分
（法二）∵平而，，
∴，，分别为，，轴建系
∴，，，，
∴，
∴
∴………………………………………………………………………5分
图2
（2）∵，∴平面，
∴∴，，
设平面的一个法向量为，
令，则………………………………………………………………8分
设在线段上存在一点且，
则，
设直线与平面所成的角为，
………………………………10分
则，不满足，所以不存在点满足题意.………………………………12分
22.解：（1）由已知
，解得
∴……………………………………………………………………5分
（2）由已知直线的斜率存在，设直线，，
∴联立方程可得：，整理后可得：
，
∵方程有两个不等实根
∴解得：或…………………………7分
又，
原点到直线的距离为
.……………………………………9分
∴
……………………………………………………………………10分
由均值不等式可得：
等号成立条件：
∴此时…………………………………………………………11分
∴的方程为或……………………………………12分