河南省郑州市重点中学2023-2024学年高二上学期12月第二次月考数学试卷(无答案)

郑州市重点中学2023-2024学年高二上学期12月第二次月考
数学
（120分钟 150分）
一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每题给出的选项中，只有一项符合题目要求）
1．向量，则（ ）
A．9 B．3 C．1 D．
2．已知数列是等差数列，是其前项和．若，则的值是（ ）
A．1 B． C． D．
3．已知是抛物线的焦点，点在抛物线上，则（ ）
A． B． C． D．
4．作圆上一点处的切线，直线与直线平行，则直线与的距离为（ ）
A．4 B．2 C． D．
5．已知数列通项公式为，若对任意，都有，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．已知是双曲线的左、右焦点，椭圆与双曲线的焦点相同，与在第一象限的交点为，若的中点在双曲线的渐近线上，且，则椭圆的离心率是（ ）
A． B． C． D．
7．《九章算术》是我国古代的数学名著，书中将底面为矩形，且有一条侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马．如图，在阳马中，平面，底面是正方形，与交于点分别为，的中点，点满足，若平面，则（ ）
A． B． C． D．
8．数学美的表现形式多种多样，我们称离心率（其中）的椭圆为黄金椭圆，现有一个黄金椭圆方程为，若以原点为圆心，短轴长为直径作为黄金椭圆上除顶点外任意一点，过作的两条切线，切点分别为，直线与轴分别交于两点，则（ ）
A． B． C． D．
二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得零分）
9．已知方程表示的曲线为，则下列四个结论中正确的是（ ）
A．当时，曲线是椭圆
B．当或时，曲线是双曲线
C．若曲线是焦点在轴上的椭圆，则
D．若曲线是焦点在轴上的双曲线，则
10．关于空间向量，以下说法正确的是（ ）
A．若空间向量，则在上的投影向量为
B．若对空间中任意一点，有，则四点共面
C．若空间向量满足，则与夹角为锐角
D．若直线的方向向量为，平面的一个法向量为，则
11．已知圆和圆，下列说法正确的是（ ）
A．两圆有两条公切线
B．两圆的公共弦所在的直线方程为
C．点在圆上，点在圆上，的最大值为
D．圆上有2个点到直线的距离为
12．双曲线的左、右焦点分别为，过点的直线与双曲线右支交于、两点，和内切圆半径分别为和，则（ ）
A．双曲线的渐近线方程为
B．面积的最小值为15
C．和的内切圆圆心的连线与轴垂直
D．为定值
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13．已知等差数列的前项和分别为，且，则______．
14．已知点，直线过点，且的一个方向向量为，则点到直线的距离为______．
15．已知、为椭圆的左、右焦点，点为该椭圆上一点，且满足，若的外接圆面积是其内切圆面积的64倍，则该椭圆的离心率为______．
16．瑞士著名数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一直线上．这条直线被后人称为三角形的“欧拉线”．在平面直角坐标系中作，点，点，过其“欧拉线”上一点作圆的两条切线，切点分别为、，则的最小值为______．
四、解答题（本题共6小题，70分．解答应该写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（10分）已知直线恒过定点且分别交轴轴的正半轴于、两点．
（1）求过定点且与直线垂直的直线的方程；
（2）求当面积最小时，直线的方程．
18．（12分）已知圆的圆心在直线上且与轴相切于点．
（1）求圆的方程；
（2）若直线过点且被圆截得的弦长为，求直线的方程．
19．（12分）已知抛物线的焦点为的顶点都在抛物线上，满足．
（1）求的值；
（2）设直线、直线、直线的斜率分别为，若实数满足：上，求的值．
20．（12分）已知数列的前项和为，且
（1）求的通项公式；
（2）若，求数列的前项和．
21．（12分）如图，在四棱锥中，平面，四边形是直角梯形，．
（1）求锐二面角的余弦值；
（2）设是棱上一点，是的中点，若与平面所成角的正弦值为，求线段的长．
22．（12分）已知点在曲线上，为坐标原点，若点满足，记动点的轨迹为．
（1）求的方程；
（2）设的右焦点为，过点且斜率不为0的直线交椭圆于两点，若与轴垂直，且是与在第一象限的交点，记直线与直线的斜率分别为，当时，求的面积．