中小学教育资源及组卷应用平台
第16章 分式章末测试卷
考试时间：60分钟；满分：100分
姓名：___________班级：___________考号：___________
考卷信息：
本卷试题共25题，单选10题，填空8题，解答7题，满分100分，限时60分钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可衡量学生掌握本章内容的具体情况！
一、单选题(共20分)
1．(本题2分)在代数式：①，②，③，④中，是分式的有（ ）
A．①② B．③④ C．①③ D．①②③④
【答案】C
【分析】根据分式的定义这个判断即可解答．
【详解】解：所列代数式中分式有①，③，
故选：C．
【点睛】本题主要考查分式和整式的定义，解题的关键是掌握如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式．
2．(本题2分)已知方程：①，②，③，④．这四个方程中，分式方程的个数是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】B
【分析】利用分式方程的定义判断即可．
【详解】解：①，是分式方程；
②，是分式方程；
③，是分式方程；
④，不是分式方程，
则分式方程的个数是3．
故选：B．
【点睛】此题考查了分式方程的定义，熟练掌握分式方程的定义是解本题的关键．
3．(本题2分)解方程，去分母后正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】方程两边同乘以即可得．
【详解】解：，
方程两边同乘以，得，
故选：B．
【点睛】本题考查了解分式方程，熟练掌握去分母的方法是解题关键．
4．(本题2分)分式方程的解为，则a的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【分析】把代入原方程，关于然后解a的方程即可．
【详解】解：把代入原方程得：，解得．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了分式方程的解，掌握分式方程的解的定义是解题的关键．
5．(本题2分)如果把分式中的，都扩大为原来的2倍，那么分式的值（ ）
A．扩大为原来的2倍 B．缩小为原来的
C．扩大为原来的4倍 D．不变
【答案】D
【分析】根据分式的基本性质化简即可．
【详解】解：把分式中的m和n都扩大为原来的2倍为：．
所以不变．
故选：D．
【点睛】题目主要考查了分式的基本性质，解题关键是利用了分式的基本性质进行化简．
6．(本题2分)下列各式中，无论x取何值，分式都有意义的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据分式有意义，分母不等于0对各选项分析判断即可得解．
【详解】解：A．无论x取何值，，分式都有意义，故本选项符合题意；
B．时，，分式无意义，故本选项不符合题意；
C．时，，分式无意义，故本选项不符合题意；
D．时，，分式无意义，故本选项不符合题意．
故选：A．
【点睛】本题考查了分式有意义的条件，从以下两个方面理解分式的概念：（1）分式无意义 分母为零，（2）分式有意义 分母不为零，是解题的关键.
7．(本题2分)关于的不等式组有解且至多有5个整数解，关于的方程有整数解，则满足条件的所有整数的和是（ ）
A．2 B．0 C．4 D．不存在符合条件的
【答案】D
【分析】解出不等式组的解集，根据不等式组有解且至多5个整数解，求得m的取值范围；解分式方程，检验，根据方程有整数解求得m的值．
【详解】解：，
解不等式①得：，
∴，
∵不等式组有解且至多5个整数解，
∴，
∴，
分式方程两边都乘以得：，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵方程有整数解，
∴，，
解得：，
∵，，
∴m无解，
故选：D．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，解分式方程，考核学生的计算能力，解分式方程时一定要检验．
8．(本题2分)张吉怀高铁于2021年12月6日正式开通，湘西正式进入高铁时代．在高铁收官冲刺阶段，为确保高铁如期高质量依法投入运营，中铁W集团计划将全长246公里的张吉怀高铁项目进行验收，第一周按原计划的速度生产，一周后以原来速度的1.5倍生产，结果比原计划提前一周完成任务．若设原计划每周完成公里，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】设原计划每周完成公里，根据第一周按原计划的速度生产，一周后以原来速度的1.5倍生产，结果比原计划提前一周完成任务，可得出关于的分式方程，此题得解．
【详解】解：设原计划每周完成公里，根据第一周按原计划的速度生产，一周后以原来速度的1.5倍生产，结果比原计划提前一周完成任务，
得：．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．
9．(本题2分)若关于的一元一次不等式组的解集为，且关于的分式方程有非正整数解，则符合条件的所有整数的和为（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】A
【分析】先计算不等式的解集，再解分式方程，联合确定a的值，最后求和．
【详解】因为中第一个不等式的解集为，第二个不等式的解集为，且不等式组的解集为，
所以，
解得；
因为，
解得，
因为关于的分式方程有非正整数解，且方程有增根，
所以且，
解得且，
所以且，
因为非正整数解，
所以a的值为，
所以，
故选A．
【点睛】本题考查了不等式组的解集，分式方程的特殊解，增根，熟练掌握解不等式组，解分式方程是解题的关键．
10．(本题2分)已知两个分式：，：将这两个分式进行如下操作：
第一次操作：将这两个分式作和，结果记为；作差，结果记为；
（即，）
第二次操作：将，作和，结果记为；作差，结果记为；
（即）
第三次操作：将作和，结果记为；作差，结果记为；
（即）…（依此类推）
将每一次操作的结果再作和，作差，继续依次操作下去，通过实际操作，有以下结论：
①；②当时，；③若，则；④在第（n为正整数）次操作的结果中：（），；
以上结论正确的个数有（ ）个
A．3 B．2 C．1 D．0
【答案】A
【分析】利用第一次、第二次、第三次操作，找到规律，然后判断即可．
【详解】解：∵M1=，N1=
∴，，
∴，，
∴，，
，，
……
可知 ，故选项①正确；
由上式可知：，
=
当时，，故选项②正确；
由上式可知：，
∴，
解得，或，故选项③不正确；
∵M1=，N1=
，，
，，
……
∴（），，故选项④正确，
故选：A．
【点睛】本题考查的分式的和与差，解题的关键是细心运算，找到数字规律．
二、填空题(共16分)
11．(本题2分)若分式有意义，则x的取值范围是________．
【答案】
【分析】根据分式有意义的条件列式求解即可．
【详解】解：∵分式有意义，
∴，
解得．
故答案为：．
【点睛】本题考查了分式有意义的条件，掌握分式有意义的条件是分母不等于零成为解题的关键．
12．(本题2分)PM2.5是指大气中直径小于或等于 的颗粒物，含有大量有毒、有害物质，也称可入肺颗粒物．将0.0000025用科学记数法表示为_______________．
【答案】
【分析】根据科学记数法的表示方法求解即可．
【详解】解：由题意得：；
故答案为：．
【点睛】本题主要考查科学记数法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．解题关键是正确确定a的值以及n的值．
13．(本题2分)已知，则＝_____．
【答案】5
【分析】已知等式左边通分并利用同分母分式的加法法则计算，整理后代入原式计算即可求出值．
【详解】解：已知等式整理得：，即，
则原式，
，
．
故答案为：5．
【点睛】本题考查了分式的加减法，掌握运算法则是关键．
14．(本题2分)已知，则__．
【答案】
【分析】根据分式的加减运算法则以及待定系数法即可求出A与B的值．
【详解】解：
令，解得：
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查分式的加减运算则、一元二次方程组的应用等知识点，解题的关键是正确求出A与B的值．
15．(本题2分)如果关于x的方程有增根，那么m的值为________．
【答案】
【分析】先将分式方程去分母转化为整式方程，再由分式方程有增根，得到最简公分母为0求出x的值，最后代入整式方程求出k的值即可．
【详解】解：分式方程去分母得：，
由分式方程有增根，得到，即，
把代入整式方程得：．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了分式方程的增根，增根确定后可按如下步骤进行：①化分式方程为整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
16．(本题2分)实数a，b满足，则分式的值是______．
【答案】
【分析】先把已知等式的两边去括号，移项变形，化成，利用非负性得到，，代入分式即可求值．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，，
∴．
故答案为：
【点睛】本题考查了分式的化简求值，解题的关键是把已知的等式变性后利用非负性质求得，．
17．(本题2分)如图，是的平分线，动点M，N分别在射线上，连接交于点P，若的长度为的长度为当与的面积比为2∶1时，则的值是_____．
【答案】9
【分析】过P点作，.根据角平分线的性质可得，，由与的面积比为2∶1，列比例式求解即可.
【详解】
过P点作，
∵点P在的平分线上，
∴，
∶=2∶1，
2∶1
∴ ∶=2∶1，
∶ =2∶1，
，
故答案为：9
【点睛】本题主要考查了角平分线的性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等.掌握以上知识是解题的关键.
18．(本题2分)欧拉是18世纪瑞士著名的数学家，他的贡献不仅遍及高等数学的各个领域，在初等数学中也留下了他的足迹．下面是关于分式的欧拉公式：
（其中，，均不为零，且两两互不相等）．
（1）当时，常数的值为_________．
（2）利用欧拉公式计算：_________．
【答案】 0 6063
【分析】（1）将代入欧拉公式化简即可求解；
（2）根据所求式子的特点，令，求解即可．
【详解】解：（1）当时，
，
故答案为0
（2）令，则
故答案为∶ 6063．
【点睛】本题考查分式的化简求值，弄清欧拉公式的特点，选取恰当的a、b、c、 r的值进行代入是解题的关键．
三、解答题(共64分)
19．(本题6分)计算．
【答案】
【分析】先计算括号内的异分母分式减法，同时将除法化为乘法，将分式的分母分子分解因式，再计算乘法即可．
【详解】原式
【点睛】此题考查了分式的混合运算，正确掌握分式的混合运算法则是解题的关键．
20．(本题6分)解分式方程
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先将分式方程转化为一般方程，再解一元一次方程，最后检验即可得出答案；
（2）先将分式方程转化为一般方程，再解一元一次方程，最后检验即可得出答案．
【详解】（1）解：方程两边同时乘以得，
解得 ，
检验：当将时，
所以是原分式方程的解；
（2）解：方程两边同时乘以得
，
解得，
检验：当时，，
所以是原分式方程的解．
【点睛】本题考查了解分式方程，熟知解分式方程的一般步骤是解题关键，注意解完分式方程以后一定要进行检验，只有当最简公分母不等于0时，整式方程的解才是原分式方程的解．
21．(本题8分)先化简，再求值：，其中．
【答案】，6
【分析】先计算括号内的，再计算除法，然后把代入化简后的结果，即可求解．
【详解】解：原式
当时．原式．
【点睛】本题主要考查了分式的化简求值，熟练掌握分式的混合运算法则是解题的关键．
22．(本题10分)下面是小明解方程的过程，认真阅读并回答问题．
解：方程两边同时乘以最简公分母 ，得第一步
∴第二步
∴第三步
∴第四步
∴第五步
(1)任务一：①上述解题过程中，第一步的最简公分母是 ；
②上述第二步到第三步变形的依据是 ；
(2)任务二：上述解题过程是否完整，若不完整，请补充完整．
【答案】(1)①；②等式的基本性质1：等式两边都加上（或都减去）同一个数或同一个式子，结果仍相等
(2)不完整，见解析
【分析】（1）①找出分式方程的最简公分母即可；②利用等式的基本性质判断即可；
（2）不完整，补充检验过程即可．
【详解】（1）解：①上述解题过程中，第一步的最简公分母是；
故答案为：．
②等式的基本性质1：等式两边都加上（或都减去）同一个数或同一个式子，结果仍相等；
故答案为：等式的基本性质1：等式两边都加上（或都减去）同一个数或同一个式子，结果仍相等．
（2）解：不完整，
在第五步后补充如下内容：
检验：当时，，
所以，分式方程的解为．
【点睛】本题主要考查了解分式方程、实数的运算等知识点，熟练掌握分式方程的解法及运算法则是解本题的关键．
23．(本题10分)国庆节期间，几名大学生包租了一辆车准备从市区到郊外游览，租金为300元，出发时，又增加了两名学生，总人数达到x名．
(1)原来平均每名学生需分摊车费 元，现在平均每名学生需分摊车费 元；
(2)开始包车的几名学生平均每人可比原来少分摊多少钱？
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）根据题意列代数式即可；
（2）根据题意列出分式，然后根据分式加减运算法则求解即可．
【详解】（1）解：∵增加了两名学生，总人数达到x名
∴原来的学生数为
∵租金为300元
∴原来平均每名学生需分摊车费元，现在平均每名学生需分摊车费元．
故答案为，．
（2）解：由题意可得：．
答：开始包车的几名学生平均每人可比原来少分摊元钱．
【点睛】本题主要考查了列代数式，分式的加减运算等知识点，根据题意列出代数式和分式是解答本题的关键．
24．(本题12分)我们把形如（a，b不为零），且两个解分别为，的方程称为“十字分式方程”．例如为十字分式方程，可化为，∴，．再如为十字分式方程，可化为，∴，．应用上面的结论解答下列问题：
(1)若为十字分式方程，则______，______；
(2)若十字分式方程的两个解分别为，，求的值．
【答案】(1)，；
(2)．
【分析】（1）根据“十字分式方程”的定义，将进行分解，使得分解后的两数和为，即可求解；
（2）根据“十字分式方程”的定义，求得，即可求解．
【详解】（1）解：由可得，
则，，
故答案为：，；
（2）解：由可得，，
可得，或，
即或
当时，，
当时，，
故答案为：．
【点睛】此题考查了新定义问题，解题的关键是理解“十字分式方程”的定义，正确求得对应方程的解．
25．(本题12分)定义：若分式与分式的差等于它们的积，即，则称分式是分式的“关联分式”．
(1)已知分式，试说明是的“关联分式”；
(2)小聪在求分式的“关联分式”时，用了以下方法：
设的“关联分式”为，则，
∴，∴．
请你仿照小聪的方法求分式的“关联分式”．
(3)①观察（1）（2）的结果，寻找规律，直接写出分式的“关联分式”：______．
②若是的“关联分式”，则的值为______．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)①；②
【分析】（1）根据“关联分式”的定义进行判断即可；
（2）仿照小聪的方法进行求解即可；
（3）①根据解析（2）找规律求出的关联分式即可；
②根据关联分式分子，分母规律可知，，然后整理求出结果即可．
【详解】（1）解：∵，
，
∴是的关联分式．
（2）解：设的关联分式是，则：，
∴，
∴，
∴．
（3）解：①根据解析（2）可知，的关联分式为：
；
故答案为：；
②∵是的“关联分式”，
∴，
由①得，
由②得：，
即，
把代入得：，
解得：．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了分式的混合运算，解题的关键是找出关联分式中分子、分母的规律，得出．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
第16章 分式章末测试卷
考试时间：60分钟；满分：100分
姓名：___________班级：___________考号：___________
考卷信息：
本卷试题共25题，单选10题，填空8题，解答7题，满分100分，限时60分钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可衡量学生掌握本章内容的具体情况！
一、单选题(共20分)
1．(本题2分)在代数式：①，②，③，④中，是分式的有（ ）
A．①② B．③④ C．①③ D．①②③④
2．(本题2分)已知方程：①，②，③，④．这四个方程中，分式方程的个数是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
3．(本题2分)解方程，去分母后正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．(本题2分)分式方程的解为，则a的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
5．(本题2分)如果把分式中的，都扩大为原来的2倍，那么分式的值（ ）
A．扩大为原来的2倍 B．缩小为原来的
C．扩大为原来的4倍 D．不变
6．(本题2分)下列各式中，无论x取何值，分式都有意义的是（ ）
A． B． C． D．
7．(本题2分)关于的不等式组有解且至多有5个整数解，关于的方程有整数解，则满足条件的所有整数的和是（ ）
A．2 B．0 C．4 D．不存在符合条件的
8．(本题2分)张吉怀高铁于2021年12月6日正式开通，湘西正式进入高铁时代．在高铁收官冲刺阶段，为确保高铁如期高质量依法投入运营，中铁W集团计划将全长246公里的张吉怀高铁项目进行验收，第一周按原计划的速度生产，一周后以原来速度的1.5倍生产，结果比原计划提前一周完成任务．若设原计划每周完成公里，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
9．(本题2分)若关于的一元一次不等式组的解集为，且关于的分式方程有非正整数解，则符合条件的所有整数的和为（ ）
A． B． C．1 D．
10．(本题2分)已知两个分式：，：将这两个分式进行如下操作：
第一次操作：将这两个分式作和，结果记为；作差，结果记为；
（即，）
第二次操作：将，作和，结果记为；作差，结果记为；
（即）
第三次操作：将作和，结果记为；作差，结果记为；
（即）…（依此类推）
将每一次操作的结果再作和，作差，继续依次操作下去，通过实际操作，有以下结论：
①；②当时，；③若，则；④在第（n为正整数）次操作的结果中：（），；
以上结论正确的个数有（ ）个
A．3 B．2 C．1 D．0
二、填空题(共16分)
11．(本题2分)若分式有意义，则x的取值范围是________．
12．(本题2分)PM2.5是指大气中直径小于或等于 的颗粒物，含有大量有毒、有害物质，也称可入肺颗粒物．将0.0000025用科学记数法表示为_______________．
13．(本题2分)已知，则＝_____．
14．(本题2分)已知，则__．
15．(本题2分)如果关于x的方程有增根，那么m的值为________．
16．(本题2分)实数a，b满足，则分式的值是______．
17．(本题2分)如图，是的平分线，动点M，N分别在射线上，连接交于点P，若的长度为的长度为当与的面积比为2∶1时，则的值是_____．
18．(本题2分)欧拉是18世纪瑞士著名的数学家，他的贡献不仅遍及高等数学的各个领域，在初等数学中也留下了他的足迹．下面是关于分式的欧拉公式：
（其中，，均不为零，且两两互不相等）．
（1）当时，常数的值为_________．
（2）利用欧拉公式计算：_________．
三、解答题(共64分)
19．(本题6分)计算．
20．(本题6分)解分式方程
(1)；
(2)．
21．(本题8分)先化简，再求值：，其中．
22．(本题10分)下面是小明解方程的过程，认真阅读并回答问题．
解：方程两边同时乘以最简公分母 ，得第一步
∴第二步
∴第三步
∴第四步
∴第五步
(1)任务一：①上述解题过程中，第一步的最简公分母是 ；
②上述第二步到第三步变形的依据是 ；
(2)任务二：上述解题过程是否完整，若不完整，请补充完整．
23．(本题10分)国庆节期间，几名大学生包租了一辆车准备从市区到郊外游览，租金为300元，出发时，又增加了两名学生，总人数达到x名．
(1)原来平均每名学生需分摊车费 元，现在平均每名学生需分摊车费 元；
(2)开始包车的几名学生平均每人可比原来少分摊多少钱？
24．(本题12分)我们把形如（a，b不为零），且两个解分别为，的方程称为“十字分式方程”．例如为十字分式方程，可化为，∴，．再如为十字分式方程，可化为，∴，．应用上面的结论解答下列问题：
(1)若为十字分式方程，则______，______；
(2)若十字分式方程的两个解分别为，，求的值．
25．(本题12分)定义：若分式与分式的差等于它们的积，即，则称分式是分式的“关联分式”．
(1)已知分式，试说明是的“关联分式”；
(2)小聪在求分式的“关联分式”时，用了以下方法：
设的“关联分式”为，则，
∴，∴．
请你仿照小聪的方法求分式的“关联分式”．
(3)①观察（1）（2）的结果，寻找规律，直接写出分式的“关联分式”：______．
②若是的“关联分式”，则的值为______．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
