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17.2 一次函数与正比例函数
【课前预习】
【知识点1 一次函数和正比例函数的概念】
一般地，若两个变量x，y间的关系可以表示成（k，b为常数，k0）的形式，则称y是x的一次函数（x为自变量，y为因变量）。
特别地，当一次函数中的b=0时（即）（k为常数，k0），称y是x的正比例函数。
【知识点2 正比例函数和一次函数解析式的确定】
确定一个正比例函数，就是要确定正比例函数定义式（k0）中的常数k。确定一个一次函数，需要确定一次函数定义式（k0）中的常数k和b。解这类问题的一般方法是待定系数法。
【课堂互动】
【题型1 一次函数、正比例函数的识别】
【例1】下列函数：（1）y＝﹣2x；（2）；（3）y＝2x2；（4）y＝﹣x+1；（5）y＝x2+1，（6）y＝kx+b（k是常数），其中一次函数的个数是（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【分析】根据y＝kx+b（k，b为常数，k≠0）是一次函数，判断即可．
【解答】解：下列函数：（1）y＝﹣2x；（2）；（3）y＝2x2；（4）y＝﹣x+1；（5）y＝x2+1，（6）y＝kx+b（k是常数），其中一次函数的是：（1）y＝﹣2x；（4）y＝﹣x+1，
共有2个，
故选：C．
【训练1-1】下列语句中，y与x是一次函数关系的有（ ）个
（1）汽车以60千米/时的速度匀速行驶，行驶路程y（千米）与行驶时间x（时）之间的关系
（2）圆的面积y（厘米2）与它的半径x（厘米）之间的关系；
（3）一棵树现在高50厘米，每个月长高2厘米，x月后这棵树的高度为y厘米，y与x的关系；
（4）某种大米的单价是2.2元/千克，当购买x千克大米时，花费y元，y与x的关系．
A．1 B．4 C．3 D．2
【分析】根据一次函数的定义逐个判断即可．
【解答】解：汽车以60千米/时的速度匀速行驶，行驶路程y（千米）与行驶时间x（时）之间的关系，是一次函数；
圆的面积y（厘米2）与它的半径x（厘米）之间的关系，不是一次函数；
一棵树现在高50厘米，每个月长高2厘米，y与x的关系，是一次函数；
某种大米的单价是2.2元/千克，当购买x千克大米时，花费y元，y与x的关系，是一次函数，
所以共3个一次函数，
故选：C．
【训练1-2】下列问题中，是正比例函数的关系的是（ ）
A．矩形面积一定，长与宽的关系
B．正方形面积和边长的关系
C．三角形面积一定，底边和底边上的高的关系
D．匀速运动中，速度固定时，路程和时间的关系
【分析】根据正比例函数的定义对各选项进行逐一分析即可．
【解答】解：A、∵S＝ab，∴矩形的长和宽成反比例，故本选项错误；
B、∵S＝a2，∴正方形面积和边长是二次函数，故本选项错误；
C、∵Sah，∴三角形的面积一定，底边和底边上的高是反比例关系，故本选项错误；
D、∵S＝vt，∴速度固定时，路程和时间是正比例关系，故本选项正确．
故选：D．
【训练1-3】如图，有一个装水的容器，容器内的水面高度是10cm，水面面积是100cm2．现向容器内注水，并同时开始计时．在注水过程中，水面高度以每秒0.2cm的速度匀速增加．容器注满水之前，容器内水面的高度h，注水量V随对应的注水时间t的变化而变化，则h与t，V与t满足的函数关系分别是（ ）
A．正比例函数关系，正比例函数关系
B．正比例函数关系，一次函数关系
C．一次函数关系，一次函数关系
D．一次函数关系，正比例函数关系
【分析】根据题意可得容器注满水之前，容器内的水面高度与对应的注水时间满足的函数关系式，进而判断出相应函数类型；根据注水量＝水面面积×水面上升的高度，即可得到V与t满足的函数关系．
【解答】解：设容器内的水面高度为h，注水时间为t，根据题意得：
h＝0.2t+10，
∴容器注满水之前，容器内的水面高度与对应的注水时间满足的函数关系是一次函数关系．
V＝100×0.2t＝20t，
∴注水量V与对应的注水时间t满足的函数关系是正比例函数关系．
故选：D．
【题型2 利用一次函数、正比例函数的概念求值或取值范围】
【例2】当m，n为何值时，y＝（m﹣1）n．
（1）是一次函数；
（2）是正比例函数．
【分析】（1）根据形如y＝kx+b（k≠0，k是常数）是一次函数可得；
（2）根据形如y＝kx+b（k≠0，k是常数，b＝0）是正比例函数可得．
【解答】解：（1）当m2＝1且m﹣1≠0时，y＝（m﹣1）n是一次函数，
即：m＝﹣1．
答：当m＝﹣1时，y＝（m﹣1）n是一次函数；
（2）当m2＝1且m﹣1≠0，且n＝0时，y＝（m﹣1）n是正比例函数，
即：m＝﹣1且n＝0时，y＝（m﹣1）n是正比例函数．
【训练2-1】已知函数y＝（m+1）x2﹣|m|+4，y是x的一次函数，则m的值是（ ）
A．1 B．﹣1 C．1或﹣1 D．任意实数
【分析】根据一次函数的定义：形如y＝kx+b（k，b为常数且k≠0），可得2﹣|m|＝1且m+1≠0，然后进行计算即可解答．
【解答】解：由题意得：
2﹣|m|＝1且m+1≠0，
∴m＝±1且m≠﹣1，
∴m＝1，
故选：A．
【训练2-2】若y＝（m+2）x+m2﹣4是关于x的正比例函数，则常数m＝ 2 ．
【分析】依据正比例函数的定义求解即可．
【解答】解：∵y＝（m+2）x+m2﹣4是关于x的正比例函数，
∴m+2≠0，m2﹣4＝0，
解得：m＝2．故答案为：2．
【训练2-3】当m，n为何值时，y＝（m﹣3）x|m|﹣2+n﹣2．
（1）是一次函数；
（2）是正比例函数．
【分析】（1）根据一次函数的定义列出绝对值方程和不等式，然后求解即可；
（2）根据正比例函数的是特殊的一次函数解答．
【解答】解：（1）由|m|﹣2＝1得，m＝±3，
∵（m﹣3）≠0，
∴m≠3，
所以，m＝﹣3时是一次函数；
（2）由|m|﹣2＝1得，m＝±3，
∵（m﹣3）≠0，n﹣2＝0，
∴m≠3，n＝2，
所以，m＝﹣3，n＝2时是正比例函数．
【题型3 用待定系数法求一次函数解析式】
【例3】已知y是z的一次函数，z是x的正比例函数，问：
（1）y是x的一次函数吗？
（2）若当x＝5时，y＝﹣2；当x＝﹣3时，y＝6．则当x＝1时，y的值是什么？
【分析】（1）由一次函数、正比例函数解析式可以求得y与x的函数关系式，根据关系式作出判断；
（2）把相应的x、y的值代入（1）中的函数关系式，列出关于km、b的方程组，通过解方程组可以求得它们的值；然后把x＝1代入解析式，即可求得相应的y值．
【解答】解：（1）依题意，可设y＝kz+b、z＝mx（k≠0，m≠0）．
则y＝kmx+b，
所以y是x的一次函数；
（2）由题意，得，
解得，
所以，y＝﹣x+3．
当x＝1时，y＝﹣1+3＝2．即y＝2．
【训练3-1】已知一次函数图象经过点A（1，3）和B（2，5）．求：
（1）这个一次函数的解析式．
（2）当x＝﹣3时，y的值．
【分析】（1）直线y＝kx+b（k≠0）经过A（1，3）和B（2，5）两点，代入可求出函数关系式；
（2）把x＝﹣3代入（1）中的函数解析式，即可求得相应的y值．
【解答】解：（1）设该直线解析式为y＝kx+b（k≠0）．则
，
解得 ．
故该一次函数解析式为：y＝2x+1；
（2）把x＝﹣3代入（1）中的函数解析y＝2x+1，得
y＝2×（﹣3）+1＝﹣6+1＝﹣5．
即：y的值为﹣5．
【训练3-2】已知y﹣1与x+2成正比例，且x＝﹣1时，y＝3．
（1）求y与x之间的关系式；
（2）它的图象经过点（m﹣1，m+1），求m的值．
【分析】（1）根据y﹣1与x+2成正比例，设y﹣1＝k（x+2），把x与y的值代入求出k的值，即可确定出关系式；
（2）把点（m﹣1，m+1）代入一次函数解析式求出m的值即可．
【解答】解：（1）根据题意：设y﹣1＝k（x+2），
把x＝﹣1，y＝3代入得：3﹣1＝k（﹣1+2），
解得：k＝2．
则y与x函数关系式为y＝2（x+2）+1＝2x+5；
（2）把点（m﹣1，m+1）代入y＝2x+5得：m+1＝2（m﹣1）+5
解得m＝﹣2．
【训练3-3】已知y＝y1+y2，其中y1与x成正比例，y2与x﹣2成正比例．当x＝﹣1时，y＝2；当x＝3时，y＝﹣2．求y与x的函数关系式，并画出该函数的图象．
【分析】根据题意分别设出y1，y2，代入y＝y1+y2，表示出y与x的解析式，将已知两对值代入求出k与b的值，确定出解析式．
【解答】解：根据题意设y1＝k1x，y2＝k2（x﹣2），即y＝y1+y2＝k1x+k2（x﹣2），
将x＝﹣1时，y＝2；x＝3时，y＝﹣2分别代入得：，
解得：k1，k2，
则yx（x﹣2）＝﹣x+1．
即y与x的函数关系式为y＝﹣x+1；
画出该函数的图象为
【题型4 用待定系数法求正比例函数解析式】
【例4】正比例函数的图象经过点（2，﹣4）、（a，4），求这个函数的解析式和a的值．
【分析】设正比例函数解析式为y＝kx（k≠0），再把点（2，﹣4）代入即可求出k的值，进而得出正比例函数的解析式，把点（a，4）代入正比例函数的解析式，求出a的值即可．
【解答】解：设正比例函数解析式为y＝kx（k≠0）
∵正比例函数的图象经过点（2，﹣4）
∴﹣4＝2×k，即k＝﹣2
∴正比例函数解析式为y＝﹣2x
∵正比例函数的图象经过点（a，4）
∴4＝﹣2×a，即a＝﹣2．
【训练4-1】已知一个函数的图象是经过原点的直线，并且经过点（﹣3，），求此函数的关系式．
【分析】由于一个函数的图象是经过原点的直线，故函数为正比例函数，设函数解析式为y＝kx，将点（﹣3，）代入求解即可．
【解答】解：设函数解析式为y＝kx，
将点（﹣3，）代入解析式得，
﹣3k，
解得，k，
则函数解析式为yx．
【训练4-2】已知y是x的正比例函数，且函数图象经过点A（﹣3，6）．
（1）求y与x的函数关系式；
（2）当x＝﹣6时，求对应的函数值y；
（3）当x取何值时，y．
【分析】（1）设正比例函数解析式为y＝kx，把点的坐标代入计算即可得解；
（2）把x＝﹣6代入解析式解答即可；
（3）把y代入解析式解答即可．
【解答】解：（1）设正比例函数解析式为y＝kx，
∵图象经过点（﹣3，6），
∴﹣3k＝6，
解得k＝﹣2，
所以，此函数的关系式是y＝﹣2x；
（2）把x＝﹣6代入解析式可得：y＝12；
（3）把y代入解析式可得：x．
【训练4-3】若正比例函数图象上一点到y轴与到x轴距离之比是3：1，则此函数的解析式为 yx ．
【分析】设正比例函数解析式为y＝kx，根据题意，正比例函数图象上的点的坐标可设为（3a，a）或（3a，﹣a），然后把它们分别代入y＝kx可计算出对应的k的值，从而可确定正比例函数解析式．
【解答】解：设正比例函数解析式为y＝kx，
∵正比例函数图象上一点到y轴与到x轴距离之比是3：1，
∴正比例函数图象上的点的坐标可设为（3a，a）或（3a，﹣a），
∴k 3a＝a或k 3a＝﹣a
∴k或，
∴正比例函数解析式为yx或yx．
故答案为yx．
【题型5 一次函数解析式与三角形面积问题】
【例5】已知一次函数y＝kx+b的图象交x轴于点A（4，0），交y轴于点B（0，2）．
（1）求这个函数的解析式；
（2）若在第一象限有一点C（2，m），且△ACB的面积为4，求m的值．
【分析】（1）把A与B的坐标代入一次函数解析式求出k与b的值，即可确定出解析式；
（2）把x＝2代入一次函数解析式求出y的值，根据三角形面积公式表示出三角形ABC面积，由已知面积求出m的值即可．
【解答】解：（1）把A（4，0），B（0，2）代入y＝kx+b得：，
解得：，
则一次函数解析式为yx+2；
（2）把x＝2代入一次函数解析式得：y＝﹣1+2＝1，
∵S△ABC＝4，
∴4×|m﹣1|＝4，即|m﹣1|＝2，
解得：m＝3或m＝﹣1（舍去），
则m的值为3．
【训练5-1】如图，一次函数y＝x+2与x轴，y轴分别交于点A，B，点M（1，m）是直线AB上一点，直线MC交x轴于点C（，0）；
（1）求直线MC的函数解析式；
（2）若点P是线段AC上一动点，连接BP，MP，若△ABP的面积是△MPC面积的2倍，求P点坐标．
【分析】（1）求出M点的坐标，由待定系数法可求出答案；
（2）设P（a，0），得出AP＝a+2，PCa，根据面积关系列出方程可得出答案．
【解答】解：（1）∵点M（1，m）是直线AB上一点，
∴1+2＝m，
∴m＝3，
∴M（1，3），
设直线MC的解析式为y＝kx+b，
∴，
解得，
∴直线MC的函数解析式为y＝﹣2x+5；
（2）设P（a，0），
∵一次函数y＝x+2与x轴，y轴分别交于点A，B，
∴当x＝0时，y＝2，当y＝0时，x＝﹣2，
∴A（﹣2，0），B（0，2），
∴AP＝a+2，PCa，
∴S△ABPAP OB（a+2）×2＝a+2，S△MPCPC×3a，
∵△ABP的面积是△MPC面积的2倍，
∴a+2＝2×（a），
解得a，
∴P（，0）．
【训练5-2】如图，直线AB过点A（﹣1，5），P（2，a），B（4，﹣5）．
（1）求直线AB的函数解析式和a的值；
（2）求△AOP的面积．
【分析】（1）根据点A，B的坐标，利用待定系数法即可求出直线AB的解析式，再利用一次函数图象上点的坐标特征即可求出a的值；
（2）设直线AB与y轴交于点D，连接OA，OP，利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点D的坐标，根据三角形的面积公式及S△AOP＝S△AOD+S△POD可求出△AOP的面积．
【解答】解：（1）设直线AB的解析式为y＝kx+b（k≠0），
将A（﹣1，5），B（4，﹣5）代入y＝kx+b，得：，
解得：，
∴直线AB的解析式为y＝﹣2x+3．
当x＝2时，y＝﹣2x+3＝﹣1，
∴点P的坐标为（2，﹣1），
即a的值为﹣1．
（2）设直线AB与y轴交于点D，连接OA，OP，如图所示．
当x＝0时，y＝﹣2x+3＝3，
∴点D的坐标为（0，3）．
∴S△AOP＝S△AOD+S△PODOD |xA|OD |xP|3×13×2．
【训练5-3】如图，直线y＝kx+6与x轴、y轴分别交于点E、F，点E的坐标为（﹣8，0），点A的坐标为（﹣6，0）．
（1）求直线EF的关系式；
（2）求△OEF的面积；
（3）若点P（x，y）是第二象限内的直线上的一个动点，在点P的运动过程中，当点P运动到什么位置时，△OPA的面积为12，并说明理由．
【分析】（1）把E（﹣8，0）代入直线y＝kx+6即可求出k的值，写出直线EF的关系式；
（2）求得F的坐标，根据直角三角形面积公式可得结论；
（3）根据点A的坐标为（﹣6，0），求出OA，根据点P（x，y）是第二象限内的直线上的一个动点，得出△OPA的高是点P的纵坐标，得出面积S6×y＝12，分别求出x和y的值，得出点P的坐标即可．
【解答】解；（1）∵直线y＝kx+6过点E（﹣8，0），
∴0＝﹣8k+6，
k；
∴直线EF的关系式：yx+6；
（2）∵F（0，6），即OF＝6，
∵OE＝8，
∴△OEF的面积OE OF8×6＝24；
（3）过P作PG⊥OA于G，
∵点A的坐标为（﹣6，0），
∴OA＝6，
∵点P（x，y）是第二象限内的直线上的一个动点，
∴△OPA的面积S6×y＝12，
∴y＝4，
∴P（，4）．
【题型6 求实际问题中的一次函数表达式】
【例6】为了保护学生的视力，课桌的高度）ycm与椅子的高度xcm（不含靠背）都是按y是x的一次函数关系配套设计的，如表列出了两套课桌椅的高度：
第一套 第二套
椅子高度xcm 40.0 38.0
课桌高度ycm 75.0 71.8
（1）请确定y与x的函数关系式（不要求写出x的取值范围）；
（2）现有一把高42.0cm的椅子和一张高79.8cm的课桌，它们是否配套？请通过计算说明理由．
【分析】（1）根据题意和表格中的数据可以计算出y与x的函数关系式；
（2）将x＝42.0代入（1）中的函数解析式，然后与79.8作比较，即可解答本题．
【解答】解：（1）设y＝kx+b，
，得，
即y与x的函数关系式是y＝1.6x+11；
（2）现有一把高42.0cm的椅子和一张高79.8cm的课桌，它们不配套，
理由：当x＝42.0时，y＝1.6×42.0+11＝78.2，
∵78.2≠79.8，
∴现有一把高42.0cm的椅子和一张高79.8cm的课桌，它们不配套．
【训练6-1】某种型号的家用车在高速公路上匀速行驶时，测得部分数据如下表：
行驶路程x（千米） … 100 150 …
油箱内剩余油量y（升） … 52 48 …
（1）如果该车的油箱内剩余油量y（升）与行驶路程x（千米）之间是一次函数关系，求y 关于x的函数解析式（不需要写出它的定义域）；
（2）张老师租赁该型号的家用车也在该高速公路的相同路段以相同的速度匀速行驶300千米（不考虑小轿车载客的人数以及堵车等因素）．假如不在高速公路上的服务区加油，那么在上高速公路之前，张老师这辆车的油箱内至少需要有多少升汽油？请根据题目中提供的相关信息简要说明理由．
【分析】（1）根据题意可以设出y与x的函数解析式，然后根据题目中的数据即可求得相应的函数解析式；
（2）根据表格中的数据可以求得每千米耗油量，从而可以求得300千米的耗油量，从而可以解答本题．
【解答】解：（1）该车的油箱内剩余油量y（升）与行驶路程x（千米）之间的函数解析式是y＝kx+b，
，
解得，，
即y 关于x的函数解析式是y；
（2）张老师这辆车的油箱内至少需要有24升汽油，
理由：由题意可得，每千米消耗汽油：4÷（150﹣100）＝4÷50＝0.08升，
则行驶300千米需要消耗的汽油为：300×0.08＝24（升），
即张老师这辆车的油箱内至少需要有24升汽油．
【训练6-2】温度通常有两种表示方法：华氏度（单位：℉）与摄氏度（单位：℃），已知华氏度数y 与摄氏度数x 之间是一次函数关系，下表列出了部分华氏度与摄氏度之间的对应关系：
摄氏度数x （℃） … 0 … 35 … 100 …
华氏度数y （℉） … 32 … 95 … 212 …
（1）选用表格中给出的数据，求y关于x的函数解析式；
（2）有一种温度计上有两个刻度，即测量某一温度时左边是摄氏度，右边是华氏度，那么在多少摄氏度时，温度计上右边华氏度的刻度正好比左边摄氏度的刻度大56？
【分析】（1）设一次函数的解析式为y＝kx+b，由待定系数法求出其解即可；
（2）根据题意列出方程求出其解即可．
【解答】（1）解：设y＝kx+b（k≠0）
把x＝0，y＝32；x＝35，y＝95 代入y＝kx+b，得，
解得
∴y 关于x 的函数解析式为
（2）由题意得：解得x＝30
∴在30摄氏度时，温度计右边华氏度的刻度正好比左边摄氏度的刻度大56．
【训练6-3】某种计时“香篆”在0：00时刻点燃，若“香篆”剩余的长度h（cm）与燃烧的时间x（h）之间是一次函数关系，h与x的一组对应数值如表所示：
燃烧的时间x（h） … 3 4 5 6 …
剩余的长度h（cm） … 210 200 190 180 …
（1）写出“香篆”在0：00时刻点然后，其剩余的长度h（cm）与燃烧时间x（h）的函数关系式，并解释函数表达式中x的系数及常数项的实际意义；
（2）通过计算说明当“香篆”剩余的长度为125cm时的时刻．
【分析】（1）根据待定系数法确定函数关系式解答即可；
（2）把h＝125代入解析式解答即可．
【解答】解：（1）∵“香篆”在0：00时刻点然后，其剩余的长度h（cm）与燃烧时间x（h）的函数关系式是一次函数，
设一次函数的解析式为：h＝kx+b，
∵当x＝3时，h＝210，当x＝4时，h＝200，
可得：，
解得：，
所以解析式为：h＝﹣10x+240，
x的系数表示“香篆”每小时燃烧10cm，常数项表示“香篆”未点燃之前的长度为240cm；
（2）当“香篆”剩余125cm时，可知h＝125，代入解析式得：125＝﹣10x+240，
解得：x＝11.5，
所以“香篆”在0：00点燃后，燃烧了11.5小时后的时刻为11点30分．
【题型7 与求函数表达式相关的探究性问题】
【例7】将长为20cm，宽为10cm的长方形白纸，按如图所示的方法粘合起来，粘合部分宽为2cm．
（1）根据题意，将表格补充完整．
白纸张数 1 2 3 4 5 …
纸条长度 20 38 56 74 92 …
（2）设x张白纸粘合后的总长度为ycm，则y与x之间的关系式是什么？请求出50张白纸粘合后的总长度；
（3）若粘合后的总长度为2018cm，问需要多少张白纸？
【分析】（1）根据图形可知每增加一张白纸，长度就增加18cm可求空格；
（2）x张白纸粘合起来时，纸条长度y（cm）在20cm的基础上增加了（x﹣1）个18cm的长度，依此可得y与x的关系式；
（3）把y＝2018代入（2）的结论，列方程求得x的值即可．
【解答】解：（1）根据图形可知每增加一张白纸，长度就增加18cm，
20+18＝38；74+18＝92．
故答案为：38；92；
（2）根据题意和所给图形可得出：
y＝20+（20﹣2）（x﹣1）＝18x+2，
令x＝50，则y＝18×50+2＝902（cm）；
（3）令y＝2018，则2018＝18x+2，
解得x＝112，
∴需要112张白纸．
【训练7-1】如图，自行车每节链条的长度为2.5cm，交叉重叠部分的圆的直径为0.8cm．
（1）观察图形，填写下表：
链条的节数/节 2 3 4 …
链条的长度/cm 4.2 5.9 7.6 …
（2）如果x节链条的长度为y，那么y与x之间的关系式是什么？
（3）如果一辆某种型号自行车的链条（安装前）由60节这样的链条组成，那么这辆自行车上的链条（ 安装后）总长度是多少？
【分析】（1）根据图形找出规律计算4节链条的长度即可；
（2）由（1）写出表示链条节数的一般式；
（3）根据（2）计算时，特别注意自行车上的链条为环形，在展直的基础上还要缩短0.8．
【解答】解：（1）根据图形可得出：
2节链条的长度为：2.5×2﹣0.8＝4.2（厘米），
3节链条的长度为：2.5×3﹣0.8×2＝5.9（厘米），
4节链条的长度为：2.5×4﹣0.8×3＝7.6（厘米），
故答案为：4.2，5.9，7.6；
（2）由（1）可得x节链条长为：y＝2.5x﹣0.8（x﹣1）＝1.7x+0.8；
∴y与x之间的关系式为：y＝1.7x+0.8；
（3）因为自行车上的链条为环形，在展直的基础上还要缩短0.8，故这辆自行车链条的总长为：1.7×60＝102（厘米），
所以60节这样的链条总长度是102厘米．
【训练7-2】用大小相同的黑白两种颜色的菱形纸片按照黑色纸片逐渐增加1的规律拼成如图图案．
（1）第4个图案中白色纸片的个数是 13 ；
（2）如果第n（n为正整数）个图案中有y个白色纸片，写出y与n的函数关系式．
【分析】（1）根据各个图形中白色菱形的个数，可以写出前几个图形中白色菱形的个数，然后即可发现白色菱形个数的变化特点，从而可以写出第4个图案中白色纸片的个数；
（2）根据（1）中发现的规律，可以写出y与n的函数关系式．
【解答】解：（1）由图可得，
第1个图中白色菱形纸片的个数为：1+3＝4，
第2个图中白色菱形纸片的个数为：1+3×2＝7，
第3个图中白色菱形纸片的个数为：1+3×3＝10，
∴第4个图中白色菱形纸片的个数为：1+3×4＝13，
故答案为：13；
（2）由（1）中发现的规律可得，
y＝3n+1，
即y与n的函数关系式是y＝3n+1．
【训练7-3】如图，直线l1：y＝x+1与直线l2：相交于点P，直线l1与y轴交于点A，一动点C从点A出发，先沿平行于x轴的方向运动，到达直线l2上的点B1处后，改为垂直于x轴的方向运动，到达直线l1上的点A1处后，再沿平行于x轴的方向运动，到达直线l2上的点B2处后，又改为垂直于x轴的方向运动，到达直线l1上的点A2处后，仍沿平行于x轴的方向运动…照此规律运动，动点C依次经过点B1，A1，B2，A2，B3，A3，B2020，A2020……则A2022B2022的长度为（ ）
A．22021 B．22022 C．2022 D．4044
【分析】由直线直线l1：y＝x+1可知，A（0，1），则B1纵坐标为1，代入直线l2：中，得B1（1，1），又A1、B1横坐标相等，可得A1（1，2），则AB1＝1，A1B1＝2﹣1＝1，可判断△AA1B1为等腰直角三角形，利用平行线的性质，得△A1A2B2、△A2A3B3、…、都是等腰直角三角形，根据平行于x轴的直线上两点纵坐标相等，平行于y轴的直线上两点横坐标相等，及直线l1、l2的解析式，分别求A1B1，A2B2的长，得出一般规律，即可得到A2022B2022长度．
【解答】解：由直线l1：y＝x+1可知，A（0，1），
∵平行于x轴的直线上两点纵坐标相等，平行于y轴的直线上两点横坐标相等，直线l1：y＝x+1，直线l2：，
∴B1（1，1），A1（1，2），
AB1＝1，A1B1＝2﹣1＝1，
B2（3，2），A2（3，4），
A1B2＝3﹣1＝2，A2B2＝4﹣2＝2，
…，
A3B3＝7﹣3＝4＝23﹣1，
由此可得AnBn＝2n﹣1，
所以，A2022B2022的长度为22021，
故选：A．
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17.2 一次函数与正比例函数
【课前预习】
【知识点1 一次函数和正比例函数的概念】
一般地，若两个变量x，y间的关系可以表示成（k，b为常数，k0）的形式，则称y是x的一次函数（x为自变量，y为因变量）。
特别地，当一次函数中的b=0时（即）（k为常数，k0），称y是x的正比例函数。
【知识点2 正比例函数和一次函数解析式的确定】
确定一个正比例函数，就是要确定正比例函数定义式（k0）中的常数k。确定一个一次函数，需要确定一次函数定义式（k0）中的常数k和b。解这类问题的一般方法是待定系数法。
【课堂互动】
【题型1 一次函数、正比例函数的识别】
【例1】下列函数：（1）y＝﹣2x；（2）；（3）y＝2x2；（4）y＝﹣x+1；（5）y＝x2+1，（6）y＝kx+b（k是常数），其中一次函数的个数是（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【训练1-1】下列语句中，y与x是一次函数关系的有（ ）个
（1）汽车以60千米/时的速度匀速行驶，行驶路程y（千米）与行驶时间x（时）之间的关系
（2）圆的面积y（厘米2）与它的半径x（厘米）之间的关系；
（3）一棵树现在高50厘米，每个月长高2厘米，x月后这棵树的高度为y厘米，y与x的关系；
（4）某种大米的单价是2.2元/千克，当购买x千克大米时，花费y元，y与x的关系．
A．1 B．4 C．3 D．2
【训练1-2】下列问题中，是正比例函数的关系的是（ ）
A．矩形面积一定，长与宽的关系
B．正方形面积和边长的关系
C．三角形面积一定，底边和底边上的高的关系
D．匀速运动中，速度固定时，路程和时间的关系
【训练1-3】如图，有一个装水的容器，容器内的水面高度是10cm，水面面积是100cm2．现向容器内注水，并同时开始计时．在注水过程中，水面高度以每秒0.2cm的速度匀速增加．容器注满水之前，容器内水面的高度h，注水量V随对应的注水时间t的变化而变化，则h与t，V与t满足的函数关系分别是（ ）
A．正比例函数关系，正比例函数关系
B．正比例函数关系，一次函数关系
C．一次函数关系，一次函数关系
D．一次函数关系，正比例函数关系
【题型2 利用一次函数、正比例函数的概念求值或取值范围】
【例2】当m，n为何值时，y＝（m﹣1）n．
（1）是一次函数；
（2）是正比例函数．
【训练2-1】已知函数y＝（m+1）x2﹣|m|+4，y是x的一次函数，则m的值是（ ）
A．1 B．﹣1 C．1或﹣1 D．任意实数
【训练2-2】若y＝（m+2）x+m2﹣4是关于x的正比例函数，则常数m＝ 2 ．
【训练2-3】当m，n为何值时，y＝（m﹣3）x|m|﹣2+n﹣2．
（1）是一次函数；
（2）是正比例函数．
【题型3 用待定系数法求一次函数解析式】
【例3】已知y是z的一次函数，z是x的正比例函数，问：
（1）y是x的一次函数吗？
（2）若当x＝5时，y＝﹣2；当x＝﹣3时，y＝6．则当x＝1时，y的值是什么？
【训练3-1】已知一次函数图象经过点A（1，3）和B（2，5）．求：
（1）这个一次函数的解析式．
（2）当x＝﹣3时，y的值．
【训练3-2】已知y﹣1与x+2成正比例，且x＝﹣1时，y＝3．
（1）求y与x之间的关系式；
（2）它的图象经过点（m﹣1，m+1），求m的值．
【训练3-3】已知y＝y1+y2，其中y1与x成正比例，y2与x﹣2成正比例．当x＝﹣1时，y＝2；当x＝3时，y＝﹣2．求y与x的函数关系式，并画出该函数的图象．
【题型4 用待定系数法求正比例函数解析式】
【例4】正比例函数的图象经过点（2，﹣4）、（a，4），求这个函数的解析式和a的值．
【训练4-1】已知一个函数的图象是经过原点的直线，并且经过点（﹣3，），求此函数的关系式．
【训练4-2】已知y是x的正比例函数，且函数图象经过点A（﹣3，6）．
（1）求y与x的函数关系式；
（2）当x＝﹣6时，求对应的函数值y；
（3）当x取何值时，y．
【训练4-3】若正比例函数图象上一点到y轴与到x轴距离之比是3：1，则此函数的解析式为 ．
【题型5 一次函数解析式与三角形面积问题】
【例5】已知一次函数y＝kx+b的图象交x轴于点A（4，0），交y轴于点B（0，2）．
（1）求这个函数的解析式；
（2）若在第一象限有一点C（2，m），且△ACB的面积为4，求m的值．
【训练5-1】如图，一次函数y＝x+2与x轴，y轴分别交于点A，B，点M（1，m）是直线AB上一点，直线MC交x轴于点C（，0）；
（1）求直线MC的函数解析式；
（2）若点P是线段AC上一动点，连接BP，MP，若△ABP的面积是△MPC面积的2倍，求P点坐标．
【训练5-2】如图，直线AB过点A（﹣1，5），P（2，a），B（4，﹣5）．
（1）求直线AB的函数解析式和a的值；
（2）求△AOP的面积．
【训练5-3】如图，直线y＝kx+6与x轴、y轴分别交于点E、F，点E的坐标为（﹣8，0），点A的坐标为（﹣6，0）．
（1）求直线EF的关系式；
（2）求△OEF的面积；
（3）若点P（x，y）是第二象限内的直线上的一个动点，在点P的运动过程中，当点P运动到什么位置时，△OPA的面积为12，并说明理由．
【题型6 求实际问题中的一次函数表达式】
【例6】为了保护学生的视力，课桌的高度）ycm与椅子的高度xcm（不含靠背）都是按y是x的一次函数关系配套设计的，如表列出了两套课桌椅的高度：
第一套 第二套
椅子高度xcm 40.0 38.0
课桌高度ycm 75.0 71.8
（1）请确定y与x的函数关系式（不要求写出x的取值范围）；
（2）现有一把高42.0cm的椅子和一张高79.8cm的课桌，它们是否配套？请通过计算说明理由．
【训练6-1】某种型号的家用车在高速公路上匀速行驶时，测得部分数据如下表：
行驶路程x（千米） … 100 150 …
油箱内剩余油量y（升） … 52 48 …
（1）如果该车的油箱内剩余油量y（升）与行驶路程x（千米）之间是一次函数关系，求y 关于x的函数解析式（不需要写出它的定义域）；
（2）张老师租赁该型号的家用车也在该高速公路的相同路段以相同的速度匀速行驶300千米（不考虑小轿车载客的人数以及堵车等因素）．假如不在高速公路上的服务区加油，那么在上高速公路之前，张老师这辆车的油箱内至少需要有多少升汽油？请根据题目中提供的相关信息简要说明理由．
【训练6-2】温度通常有两种表示方法：华氏度（单位：℉）与摄氏度（单位：℃），已知华氏度数y 与摄氏度数x 之间是一次函数关系，下表列出了部分华氏度与摄氏度之间的对应关系：
摄氏度数x （℃） … 0 … 35 … 100 …
华氏度数y （℉） … 32 … 95 … 212 …
（1）选用表格中给出的数据，求y关于x的函数解析式；
（2）有一种温度计上有两个刻度，即测量某一温度时左边是摄氏度，右边是华氏度，那么在多少摄氏度时，温度计上右边华氏度的刻度正好比左边摄氏度的刻度大56？
【训练6-3】某种计时“香篆”在0：00时刻点燃，若“香篆”剩余的长度h（cm）与燃烧的时间x（h）之间是一次函数关系，h与x的一组对应数值如表所示：
燃烧的时间x（h） … 3 4 5 6 …
剩余的长度h（cm） … 210 200 190 180 …
（1）写出“香篆”在0：00时刻点然后，其剩余的长度h（cm）与燃烧时间x（h）的函数关系式，并解释函数表达式中x的系数及常数项的实际意义；
（2）通过计算说明当“香篆”剩余的长度为125cm时的时刻．
【题型7 与求函数表达式相关的探究性问题】
【例7】将长为20cm，宽为10cm的长方形白纸，按如图所示的方法粘合起来，粘合部分宽为2cm．
（1）根据题意，将表格补充完整．
白纸张数 1 2 3 4 5 …
纸条长度 20 38 56 74 92 …
（2）设x张白纸粘合后的总长度为ycm，则y与x之间的关系式是什么？请求出50张白纸粘合后的总长度；
（3）若粘合后的总长度为2018cm，问需要多少张白纸？
【训练7-1】如图，自行车每节链条的长度为2.5cm，交叉重叠部分的圆的直径为0.8cm．
（1）观察图形，填写下表：
链条的节数/节 2 3 4 …
链条的长度/cm 4.2 5.9 7.6 …
（2）如果x节链条的长度为y，那么y与x之间的关系式是什么？
（3）如果一辆某种型号自行车的链条（安装前）由60节这样的链条组成，那么这辆自行车上的链条（ 安装后）总长度是多少？
【训练7-2】用大小相同的黑白两种颜色的菱形纸片按照黑色纸片逐渐增加1的规律拼成如图图案．
（1）第4个图案中白色纸片的个数是 ；
（2）如果第n（n为正整数）个图案中有y个白色纸片，写出y与n的函数关系式．
【训练7-3】如图，直线l1：y＝x+1与直线l2：相交于点P，直线l1与y轴交于点A，一动点C从点A出发，先沿平行于x轴的方向运动，到达直线l2上的点B1处后，改为垂直于x轴的方向运动，到达直线l1上的点A1处后，再沿平行于x轴的方向运动，到达直线l2上的点B2处后，又改为垂直于x轴的方向运动，到达直线l1上的点A2处后，仍沿平行于x轴的方向运动…照此规律运动，动点C依次经过点B1，A1，B2，A2，B3，A3，B2020，A2020……则A2022B2022的长度为（ ）
A．22021 B．22022 C．2022 D．4044
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