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第18章 平行四边形章末测试卷
考卷信息：
本卷试题共23题，单选10题，填空6题，解答7题，满分100分，限时60分钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可衡量学生掌握本章内容的具体情况！
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）能判定四边形是平行四边形的是（ ）
A． ， B．，
C． ， D． ，
2．（3分）如图，的面积为4，点P在对角线AC上，E、F分别在AB、AD上，且PE//BC，PF//CD，连接EF，图中阴影部分的面积为（ ）
A．1.8 B．2 C．2.4 D．3
3．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，EF∥AD，HN∥AB，则图中的平行四边形（不包括四边形ABCD）的个数共有（ ）
A．9个 B．8个 C．6个 D．4个
4．（3分）如图，在3×3的正方形网格中，以线段AB为对角线作平行四边形，使另两个顶点也在格点上，则这样的平行四边形最多可以画( )
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
5．（3分）在平面直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别为，，，当四边形ABCD是平行四边形时，点D的坐标为（ ）
A． B． C． D．
6．（3分）如图，在△ABC中，D，E分别是AB，BC的中点，点F在DE的延长线上，连接CF，添加一个条件使四边形ADFC是平行四边形，则这个条件可以是（ ）
A．∠FDB＝∠F B．AC＝AD C．∠FDB＝∠BCF D．AD＝CF
7．（3分）如图，在△ABC中，∠BAC=45°，AB=AC=8，P为AB边上一动点，以PA、PC为边作平行四边形PAQC，则对角线PQ的长度的最小值为（ ）
A．8 B．4 C． D．
8．（3分）如图，A为y轴上一点，B点坐标为（1，0），连接AB，分别以OB、AB为边构造等边和等边，且点D恰好落在AB上，点P为平面内一点，当四边形PBCD为平行四边形时，点P坐标为（ ）
A． B． C． D．
9．（3分）如图，平行四边形的对角线、交于点，平分交于点，，，连接．下列结论：①；②平分；③；④垂直平分．其中正确的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，AB＝5，BC＝8，∠ABC和∠BCD的角平分线分别交AD于点E和F，若BE＝6，则CF＝（ ）
A．6 B．8 C．10 D．13
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）平行四边形绕点A逆时针旋转，得到平行四边形（点与点B是对应点，点与点C是对应点，点与点D是对应点），点恰好落在边上，与交于点E，则的度数为_______．
12．（3分）在中，，分别平分，，交于点E，F，若，，则的长为______．
13．（3分）若是不在同一条直线的三点，则以这三点为顶点画平行四边形，可画_____个.
14．（3分）如图，平行四边形中，，、分别在、的延长线上，，，，则的长为________．
15．（3分）如图，线段AB＝4，点P在以AB为直径的圆上，在AB的同侧作等边△ABD、等边△APE和等边△BPC，则四边形PCDE面积的最大值是______．
16．（3分）如图，一副三角板如图1放置，，顶点重合，将绕其顶点旋转，如图2，在旋转过程中，当，连接，，此时四边形的面积是________．
三．解答题（共7小题，满分52分）
17．（6分）如图，如图，，过的中点O作直线交的延长线于E，交的延长线于F，求证：．
18．（6分）如图，在中，，，垂足分别为点，点，连接、．
(1)试判断与的关系，并说明理由；
(2)若，的面积是，则的面积为______．
19．（8分）如图，在中，AB＝AC，以BC为对角线画，且平分∠ABC，请仅用无刻度直尺，分别在下列图中按要求画图（保留画图痕迹）．
(1)在图1中，画出的角平分线AF；
(2)在图2中，画出的角平分线CG．
20．（8分）如图，在中，点为上一点，连接并延长交的延长线于点，，连接．
(1)求证：平分；
(2)若点为中点，，，求的面积．
21．（8分）如图，在等边中，，射线，点E从点A出发沿射线以的速度运动，点F从点B出发沿射线以的速度运动，如果点同时出发，设运动时间为．当何值时，以为顶点的四边形是平行四边形？
22．（8分）如图：
(1)如图1，平行四边形ABCD中，于M，于N．求证：．
(2)如图2，平行四边形ABCD中，AC，BD是两条对角线，求证：．
(3)如图3，PT是的中线，已知：，，．求：PT的长度．
23．（8分）如图（1），在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为(﹣1，0)，(3，0)，将线段AB先向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度，得到线段CD，连接AC，BD．
（1）求点C、点D的坐标及S四边形ABDC；
（2）点Q在y轴上，且S△QAB=S四边形ABDC，求出点Q的坐标；
（3）如图（2），点P是线段BD上任意一个点（不与B、D重合），连接PC、PO，试探索∠DCP、∠CPO、∠BOP之间的关系，并证明你的结论．
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第18章 平行四边形章末测试卷
考卷信息：
本卷试题共23题，单选10题，填空6题，解答7题，满分100分，限时60分钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可衡量学生掌握本章内容的具体情况！
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）能判定四边形是平行四边形的是（ ）
A． ， B．，
C． ， D． ，
【答案】C
【分析】根据平行四边形的判定定理（①有两组对边分别平行的四边形是平行四边形，②有两组对边分别相等的四边形是平行四边形，③有两组对角分别相等的四边形是平行四边形，④有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，⑤对角线互相平分的四边形是平行四边形）进行判断即可．
【详解】解：A、，，不能判定四边形为平行四边形；
B、，，不能判定四边形为平行四边形；
C、，，能判定四边形为平行四边形；
D、，，不能判定四边形为平行四边形；
故选：C．
2．（3分）如图，的面积为4，点P在对角线AC上，E、F分别在AB、AD上，且PE//BC，PF//CD，连接EF，图中阴影部分的面积为（ ）
A．1.8 B．2 C．2.4 D．3
【答案】B
【分析】可证得四边形AEPF是平行四边形，根据SSS可证得，据此即可解答．
【详解】解：四边形ABCD是平行四边形，
∴AB//CD，AD//BC，
∵PE//BC，PF//CD，
∴PE//AF，PF//AE，
四边形AEPF是平行四边形，
，OA=OP，OE=OF
，
，
图中阴影部分的面积为：
=2
故选：B．
3．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，EF∥AD，HN∥AB，则图中的平行四边形（不包括四边形ABCD）的个数共有（ ）
A．9个 B．8个 C．6个 D．4个
【答案】B
【分析】根据平行四边形的判定定理：两组对边分别平行的四边形是平行四边形，判定即可求得答案．
【详解】解：设EF与NH交于点O，
∵在 ABCD中，EF∥AD，HN∥AB，
∴AD∥EF∥BC，AB∥NH∥CD，
则图中的四边形AEOH、DHOF、BEON、CFON、AEFD、BEFC、AHNB、DHNC都是平行四边形，共8个．
故选：B．
4．（3分）如图，在3×3的正方形网格中，以线段AB为对角线作平行四边形，使另两个顶点也在格点上，则这样的平行四边形最多可以画( )
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】D
【分析】根据平行四边形的判定方法即可解决问题.
【详解】在直线AB的左下方有5个格点，都可以成为平行四边形的顶点，所以这样的平行四边形最多可以画5个，
故选D．
5．（3分）在平面直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别为，，，当四边形ABCD是平行四边形时，点D的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】以AC为对角线，可得AD∥BC，AD=BC；以AB为对角线，可得AD∥BC，AD=BC；以AD为对角线，可得AB∥CD，AB=CD．
【详解】解：①以AD为对角线时，可得AB∥CD，AB＝CD，
∴A点向左平移6个单位，再向下平移3个单位得B点，
∴C点向左平移6个单位，再向下平移3个单位得D (-4，-8)；
②以AC为对角线时，可得AD∥BC，AD=BC，
∴B点向右平移6个单位，再向上平移3个单位得B点，
∴C点向右平移6个单位，再向上平移3个单位得D (8，-2)；
③以AB为对角线时，可得AD∥BC，AD=BC，
∴C点向右平移3个单位，再向上平移5个单位得A，
∴B点向右平移3个单位，再向上平移5个单位得D (2，2)；
综上可知，D点的坐标可能为：D (-4，-8)、D (8，-2)、D (2，2)，
故选：A．
6．（3分）如图，在△ABC中，D，E分别是AB，BC的中点，点F在DE的延长线上，连接CF，添加一个条件使四边形ADFC是平行四边形，则这个条件可以是（ ）
A．∠FDB＝∠F B．AC＝AD C．∠FDB＝∠BCF D．AD＝CF
【答案】A
【分析】根据平行四边形的判定定理依次分析即可．
【详解】解：∵D，E分别是AB，BC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，CE=BE，AD=BD，
∴DE∥AC，
A、当∠FDB＝∠F时，可得CF∥BD，根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形证得四边形ADFC是平行四边形，故符合题意；
B、当AC=AD时，无法证明四边形ADFC是平行四边形，故不符合题意；
C、当∠FDB＝∠BCF时，无法证明四边形ADFC是平行四边形，故不符合题意；
D、当AD=CF时，根据一组对边平行另一组对边相等无法证明四边形ADFC是平行四边形，故不符合题意；
故选：A．
7．（3分）如图，在△ABC中，∠BAC=45°，AB=AC=8，P为AB边上一动点，以PA、PC为边作平行四边形PAQC，则对角线PQ的长度的最小值为（ ）
A．8 B．4 C． D．
【答案】D
【分析】由平行四边形的性质可知O是PQ中点，PQ最短也就是PO最短，所以应该过O作AB的垂线P′O，然后根据等腰直角三角形的性质即可求出PQ的最小值．
【详解】解：设AC、PQ交于点O，如图所示：
∵四边形PAQC是平行四边形，
∴AO=CO，OP=OQ，
∵PQ最短也就是PO最短，
∴过O作OP′⊥AB于点P′，
∵∠BAC=45°，
∴△AP′O是等腰直角三角形，
∵AO=AC=×8=4，
∴OP′= AO=2，
∴PQ的最小值=2OP′=4，
故选D．
8．（3分）如图，A为y轴上一点，B点坐标为（1，0），连接AB，分别以OB、AB为边构造等边和等边，且点D恰好落在AB上，点P为平面内一点，当四边形PBCD为平行四边形时，点P坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用等边三角形的性质可得点D和C的坐标，再利用平行四边形的性质可得P的坐标．
【详解】如图，
以OB、AB为边构造等边△OBD和等边△ABC，
∴∠ODB=∠OBD=60，OB=1，∠CAB=60°，
∴∠OAB=30°，
∴∠OAD=∠DOA=30°，
∴OD=AD=1，
∵点D为AB的中点，
∴AB=2，AO=，
∴，
∴∠CAO=90°，
∴，
∵四边形PBCD是平行四边形，
∴DPBC，DP=BC，
由平移可知，
故选：B．
9．（3分）如图，平行四边形的对角线、交于点，平分交于点，，，连接．下列结论：①；②平分；③；④垂直平分．其中正确的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】证得是等边三角形，由等边三角形的性质得出，求得，即，即可得到；依据，，可得，进而得出平分；依据中，，即可得到；由三角形的中位线定理可得出，则可得出，则可得出结论．
【详解】解：，，平分，
，
是等边三角形，
，
是的中点，
，
，
，即，
，故①不符合题意；
，，
，
平分，故②符合题意；
中，，
，故③不符合题意；
是的中点，是的中点，
是的中位线，
，
，
，
，
垂直平分，故④符合题意，
所以正确的有：②④．
故选：B．
10．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，AB＝5，BC＝8，∠ABC和∠BCD的角平分线分别交AD于点E和F，若BE＝6，则CF＝（ ）
A．6 B．8 C．10 D．13
【答案】B
【分析】设BE与FC的交点为H，过点A作AM∥FC，交BE与点O，证得△ABO≌△MBO（ASA），再证明四边形AMCF是平行四边形，，利用勾股定理即可求解．
【详解】解：如图，设BE与FC的交点为H，过点A作AM∥FC，交BE与点O，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB∥CD，
∴∠ABC+∠DCB+180°，
∵BE平分∠ABC，CF平分∠BCD，
∴∠ABE＝∠EBC，∠BCF＝∠DCF，
∴∠CBE+∠BCF＝90°，
∴∠BHC＝90°，
∵AM∥CF，
∴∠AOE＝∠BHC＝90°，
∵AD∥BC，
∴∠AEB＝∠EBC＝∠ABE，
∴AB＝AE＝5，
又∵∠AOE＝90°，
∴BO＝OE＝3，
∴，
在△ABO和△MBO中，
，
∴△ABO≌△MBO（ASA），
∴AO＝OM＝4，
∴AM＝8，
∵AD∥BC，AM∥CF，
∴四边形AMCF是平行四边形，
∴CF＝AM＝8，
故选：B．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）平行四边形绕点A逆时针旋转，得到平行四边形（点与点B是对应点，点与点C是对应点，点与点D是对应点），点恰好落在边上，与交于点E，则的度数为_______．
【答案】##45度
【分析】根据旋转的性质和平行四边形的性质，可以求得和的度数，然后根据三角形内角和定理可求得的度数．
【详解】解：平行四边形绕点A逆时针旋转，得到平行四边形，点恰好落在边上，与交于点E，
，，
，
，
，
平行四边形，
，
，
，
故答案为：．
【点睛】此题考查了旋转的性质、平行四边形的性质和三角形内角和定理，熟练运用相关性质和定理求得和的度数是解此题的关键．
12．（3分）在中，，分别平分，，交于点E，F，若，，则的长为______．
【答案】4或2##2或4
【分析】先证，同理，，则，再分两种情况，分别求出AB的长即可．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
同理，，
∴，
分两种情况：
①如图1，
则，
即，
解得：；
②如图2，
则，
即，
解得：；
综上所述，的长为4或2，
故答案为：4或2．
13．（3分）若是不在同一条直线的三点，则以这三点为顶点画平行四边形，可画_____个.
【答案】
【分析】不在同一直线上的三点、、，连接、、，分别以其中一条线段为对角线，另两边为平行四边形的边，可构成三个平行四边形．
【详解】解：已知三点、、，连接、、，如图：
∵①以为平行四边形的对角线，、为两边可以画出；
②以为平行四边形的对角线，、为两边可以画出；
③以为平行四边形的对角线，、为两边可以画出．
∴可以构成的平行四边形有三个：、、．
故答案为：．
14．（3分）如图，平行四边形中，，、分别在、的延长线上，，，，则的长为________．
【答案】
【分析】由平行四边形的性质及直角三角形的性质，可以得出△CDF是等边三角形，再根据勾股定理进行解答即可.
【详解】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB//CD，AB=CD，
∴∠DCF=∠ABC=60°，
又∵EF⊥BC，
∴∠CEF=90°-∠DCF=30°，
∴CF=CE，
又∵AE//BD，
∴四边形ABDE是平行四边形，
∴AB=DE，
∴CD=DE，
∴CF=CD，
∴△CDF是等边三角形，
∴CD=CF=DF=2，∴CE=4，
∴EF==2，
故答案为2.
15．（3分）如图，线段AB＝4，点P在以AB为直径的圆上，在AB的同侧作等边△ABD、等边△APE和等边△BPC，则四边形PCDE面积的最大值是______．
【答案】4．
【分析】先延长EP交BC于点F，得出，再判定四边形CDEP为平行四边形，根据平行四边形的性质得出：四边形CDEP的面积，最后根据，判断的最大值即可．
【详解】解：如图，延长EP交BC于点F，
，，
，
，
平分，
又，
，
设中，，，
则，，
和都是等边三角形，
，，，
，
在和中，，
≌，
，
同理可得：≌，
，
四边形CDEP是平行四边形，
四边形CDEP的面积，
又，
，
，
即四边形PCDE面积的最大值为4．
故答案为：4．
16．（3分）如图，一副三角板如图1放置，，顶点重合，将绕其顶点旋转，如图2，在旋转过程中，当，连接，，此时四边形的面积是________．
【答案】
【分析】延长CE交AB于点F，先根据特殊直角三角形的性质和∠AED=75°，推出AB∥CD，从而可证四边形ABCD为平行四边形，再根据等腰直角三角形的性质求出EF长，则可求出CF长，最后计算平行四边形ABCD的面积即可．
【详解】解：如图2，延长CE交AB于点F，
∵，
∴，
又，
∴，
∴AB∥CD，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴，即，
∴，，
∴，
∴．
故答案为：．
三．解答题（共7小题，满分52分）
17．（6分）如图，如图，，过的中点O作直线交的延长线于E，交的延长线于F，求证：．
【答案】见解析
【分析】由题意，可知四边形为平行四边形，则，，又点O为的中点，，故，继而可得出．
【详解】证明：∵，
∴四边形为平行四边形，
∴
∴，
∵点O为的中点，
∴，
又，
∴，
∴，
18．（6分）如图，在中，，，垂足分别为点，点，连接、．
(1)试判断与的关系，并说明理由；
(2)若，的面积是，则的面积为______．
【答案】(1)，，理由见解析；
(2)．
【分析】（1）求出，由，可得，，证明，即可得到；
（2）证明四边形为平行四边形，和是等腰三角形，根据等腰三角形的性质可得，，求出和的面积是，进而可得答案．
【详解】（1）解：，，
理由：∵在中，，，
∴，
∵，，
∴，，
在和中，，
∴，
∴，
（2）解：∵，，
∴四边形为平行四边形，
∴，
∵，，
∴，
∴和是等腰三角形，
∵，，
∴，，
∵的面积是，
∴和的面积是，
∴的面积是，
∴的面积为，
故答案为：．
19．（8分）如图，在中，AB＝AC，以BC为对角线画，且平分∠ABC，请仅用无刻度直尺，分别在下列图中按要求画图（保留画图痕迹）．
(1)在图1中，画出的角平分线AF；
(2)在图2中，画出的角平分线CG．
【答案】(1)作图见解析
(2)作图见解析
【分析】根据等腰三角形得性质、平行四边形的性质作图即可．
【详解】（1）如图，根据平行四边形的性质，连接DE，DE、BC相交于点F，即F是BC的中点，根据等腰三角形的性质，AF为所求．
（2）如图，根据平行四边形的性质，连接DE，DE、BC相交于点F，即F是BC的中点，根据等腰三角形的性质，平分∠BAC，延长BD与AF相交，将点C与BD与AF的交点连接，延长至点G，CG为所求．
20．（8分）如图，在中，点为上一点，连接并延长交的延长线于点，，连接．
(1)求证：平分；
(2)若点为中点，，，求的面积．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据平行四边形的性质可知，可得，根据等边对等角可知，等量代换可得，即可证明平分；
（2）过点作，垂足为点，证明，可得，再根据直角三角形中角所对直角边是斜边的一半，求出边的高为的长度，即可求出的面积．
【详解】（1）解：证明：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴平分．
（2）解：过点作，垂足为点，
∵四边形是平行四边形，，
∴，，，，
∴，
∵点为中点，
∴，
∵，
∴，
∵在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴边的高为，
∴．
21．（8分）如图，在等边中，，射线，点E从点A出发沿射线以的速度运动，点F从点B出发沿射线以的速度运动，如果点同时出发，设运动时间为．当何值时，以为顶点的四边形是平行四边形？
【答案】或
【分析】分别从当点F在C的左侧与当点F在C的右侧时去分析，当时，以为顶点的四边形是平行四边形，可得方程，解方程即可求得答案
【详解】解：①当点F在C的左侧时，根据题意得：
，，
则，
∵，
∴当是，四边形是平行四边形，
即，
解得：；
②当点F在C的右侧时，根据题意得：
，，
则，
∵，
∴当是，四边形是平行四边形
即，
解得：；
综上所述：当或时，以为顶点的四边形是平行四边形．
22．（8分）如图：
(1)如图1，平行四边形ABCD中，于M，于N．求证：．
(2)如图2，平行四边形ABCD中，AC，BD是两条对角线，求证：．
(3)如图3，PT是的中线，已知：，，．求：PT的长度．
【答案】(1)证明见解析；
(2)证明见解析；
(3)
【分析】（1）用AAS证明即可；
（2）作于M，于N，利用勾股定理和平行四边形的性质即可证明；
（3）倍长中线补全图形，证明四边形PQSR是平行四边形，将第二问结论代入数值计算即可．
(1)
证明：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
又∵，
∴，
在和中，，
∴ ，
∴．
(2)
证明：作于M，于N，如图所示，
在和中，
根据勾股定理得，，
∴，
同理，在和中，
根据勾股定理得，，
∴，
∴，
联系第一问，易证：，
∴,
∴，
又∵，
∴．
(3)
延长PT至S，使得，连接QS，RS，如图所示，
∵PT是的中线，
∴，
∴四边形PQSR为平行四边形，
∴，，
由（2）得，
∴，
解得，
∵ ，
∴．
23．（8分）如图（1），在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为(﹣1，0)，(3，0)，将线段AB先向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度，得到线段CD，连接AC，BD．
（1）求点C、点D的坐标及S四边形ABDC；
（2）点Q在y轴上，且S△QAB=S四边形ABDC，求出点Q的坐标；
（3）如图（2），点P是线段BD上任意一个点（不与B、D重合），连接PC、PO，试探索∠DCP、∠CPO、∠BOP之间的关系，并证明你的结论．
【答案】（1）C(0，2），D(4，2）；S四边形ABDC=8；（2）Q(0，4）或Q(0，﹣4）；（3）∠CPO=∠DCP+∠BOP，证明见解析．
【分析】（1）根据平移直接得到点C、点D的坐标，用面积公式计算S四边形ABDC；
（2）设出Q的坐标，OQ=|m|，用S△QAB= S四边形ABDC建立方程，解方程即可；
（3）作出辅助线、平行线，用两直线平行，内错角相等即可．
【详解】解：（1）∵线段AB先向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度，得到线段CD
且A(﹣1，0），B(3，0）
∴C(0，2），D(4，2）
∵AB=4，OC=2
∴S四边形ABDC=AB×OC=8．
（2）∵点Q在y轴上，设Q(0，m）
∴OQ=|m|
∴S△QAB=×AB×OQ=×4×|m|=2|m|
∵S四边形ABDC=8
∴2|m|=8
∴m=4或m=﹣4
∴Q(0，4）或Q(0，﹣4）．
（3）如图
∵线段CD是线段AB平移得到
∴CD∥AB
作PE∥AB
∴CD∥PE
∴∠CPE=∠DCP
∵PE∥AB
∴∠OPE=∠BOP
∴∠CPO=∠CPE+∠OPE=∠DCP+∠BOP
∴∠CPO=∠DCP+∠BOP．
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