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第19章 矩形、菱形与正方形章末测试卷
考试时间：60分钟；满分：100分
姓名：___________班级：___________考号：___________
考卷信息：
本卷试题共25题，单选10题，填空8题，解答7题，满分100分，限时60分钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可衡量学生掌握本章内容的具体情况！
一、单选题(共20分)
1．(本题2分)下列图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．(本题2分)能判定四边形是平行四边形的是（ ）
A． ， B．，
C． ， D． ，
3．(本题2分)如图，菱形的边的垂直平分线交于点，交于点，连接．当时，（ ）
A．15° B．30° C．40° D．50°
4．(本题2分)如图所示，顺次连接四边形各边中点得到四边形，使四边形为正方形，应添加的条件分别是（ ）
A．且 B．且
C．且 D．且
5．(本题2分)如图，在等腰中，，将绕点逆时针旋转得到，当点的对应点落在上时，连接，则的度数是（ ）
A．30° B．45° C．55° D．75°
6．(本题2分)如图，将绕点A逆时针旋转 得，若点在线段的延长线上，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
7．(本题2分)如图，边长为6的正方形中，点E、F分别在边、上，连接、、，已知平分，，则的长为（ ）
A．2 B．3 C． D．
8．(本题2分)如图所示，正方形的面积为9，是等边三角形，点E在正方形内，在对角线上有一点P，使的和最小，则这个最小值为（ ）
A．4.5 B．9 C．2.5 D．3
9．(本题2分)如图①，在矩形的边上有一点，连结，点从顶点出发，沿以1cm/s的速度匀速运动到点．图②是点运动时，的面积随时间变化的函数图象，则的长为（ ）
A．5cm B．4cm C．3cm D．2cm
10．(本题2分)如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，过点作轴于点，轴于点，点在上，将沿直线翻折，点恰好落在轴上的点处，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题(共16分)
11．(本题2分)如图，在中，、相交于点O，若的面积为3，则的面积为_______．
12．(本题2分)如图，绕点O顺时针旋转到的位置，已知，则等于 ________度．
13．(本题2分)如图，在正方形中，为对角线上一点，过作于，于，若，，则___________．
14．(本题2分)在平面直角坐标系中，正方形的在轴正半轴上，边在第一象限，且，．将正方形绕点顺时针旋转，若点对应点恰好落在坐标轴上，则点的对应点的坐标为___________．
15．(本题2分)如图，将边长为的正方形绕点顺时针旋转30°到的位置，则阴影部分的面积是___________．
16．(本题2分)如图，在平面直角坐标系中，Q是直线上的一个动点，将Q绕点顺时针旋转90°，得到点，连接，则的最小值为_________．
17．(本题2分)如图，在中，，，点D是中点．将绕点B逆时针旋转，得到，点D的对应点为，则线段的值是___________．
18．(本题2分)如图，已知，D是上一点，E是延长线上一点，将绕点C顺时针方向旋转，恰好能与重合．若，则旋转角为________．
三、解答题(共64分)
19．(本题8分)已知矩形中，对角线与相交于点．分别过点、作、的平行线交于点．
(1)求证：四边形为菱形．
(2)若，，求菱形的面积．
20．(本题8分)如图，在中，， D点是的中点，、分别是、的角平分线．求证：四边形是矩形．
21．(本题8分)如图，在中，，，，将绕点按顺时针旋转一定角度得到，当点的对应点恰好落在边上时，求的长．
22．(本题10分)如图所示，三个顶点的坐标分别为，，．
(1)画出向右平移个单位长度后得到的图形，并写出的坐标．
(2)画出以点为旋转中心旋转后得到的图形，并写出的坐标．
23．(本题10分)如图1，平面直角坐标系中，轴，，C是点A关于x轴的对称点，，交x轴于点E，连接．
(1)求证：
①平分；
②是等边三角形；
(2)如图2，若F在上，，连接，点B的坐标为，直接写出点F的坐标（用a、b表示）．
24．(本题10分)如图，在矩形中，以O为坐标原点，、分别在x轴、y轴上，点A的坐标为，点B的坐标为，点E是边上的一点，把矩形沿AE翻折后，点C恰好落在x轴上的点F处，且．
(1)求点E、F的坐标；
(2)求所在直线的函数关系式；
(3)在x轴上求一点P，使成为以为腰的等腰三角形，请直接写出所有符合条件的点P的坐标．
25．(本题10分)已知，四边形和四边形都是正方形，点为的中点．
(1)连接、．
①如图1，若点在边上，猜想和的关系，并给予证明：
②若将图1中的正方形绕点顺时针旋转，使点落在对角线的延长线上，请你在图2中补全图形，猜想和的关系，并给予证明．
(2)如图3，若，，将正方形绕点旋转，连接．请你直接写出的取值范围___________．
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第19章 矩形、菱形与正方形章末测试卷
考试时间：60分钟；满分：100分
姓名：___________班级：___________考号：___________
考卷信息：
本卷试题共25题，单选10题，填空8题，解答7题，满分100分，限时60分钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可衡量学生掌握本章内容的具体情况！
一、单选题(共20分)
1．(本题2分)下列图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行判断即可．
【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
B、不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意；
C、既是轴对称图形又是中心对称图形，符合题意；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
故选：C．
2．(本题2分)能判定四边形是平行四边形的是（ ）
A． ， B．，
C． ， D． ，
【答案】C
【分析】根据平行四边形的判定定理（①有两组对边分别平行的四边形是平行四边形，②有两组对边分别相等的四边形是平行四边形，③有两组对角分别相等的四边形是平行四边形，④有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，⑤对角线互相平分的四边形是平行四边形）进行判断即可．
【详解】解：A、，，不能判定四边形为平行四边形；
B、，，不能判定四边形为平行四边形；
C、，，能判定四边形为平行四边形；
D、，，不能判定四边形为平行四边形；
故选：C．
3．(本题2分)如图，菱形的边的垂直平分线交于点，交于点，连接．当时，（ ）
A．15° B．30° C．40° D．50°
【答案】B
【分析】连接，利用判定，从而得到，根据已知可得出的度数，从而得的度数．
【详解】如图，连接，
∵四边形是菱形，
∴，，
在和中，
∵，
∴
∴
∵垂直平分，，
∴
∵，
∴．
故选：B．
4．(本题2分)如图所示，顺次连接四边形各边中点得到四边形，使四边形为正方形，应添加的条件分别是（ ）
A．且 B．且
C．且 D．且
【答案】D
【分析】直接利用三角形中位线的性质以及正方形的判定方法分析得出答案．
【详解】解：使四边形为正方形，应添加的条件分别是且．
理由：∵顺次连接四边形各边中点得到四边形，
∴，，，，
，，，，
∴，，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴，
∴平行四边形是菱形，
∵，
∴，
∵，
，
∵，
∴，
∴菱形是正方形．
故选：D．
5．(本题2分)如图，在等腰中，，将绕点逆时针旋转得到，当点的对应点落在上时，连接，则的度数是（ ）
A．30° B．45° C．55° D．75°
【答案】B
【分析】由等腰三角形的性质和三角形内角和定理，得，根据旋转的性质，得，，再由等腰三角形和三角形内角和定理得，即可求得．
【详解】解：，，
，
由旋转得，，，
，
，
故选：B．
6．(本题2分)如图，将绕点A逆时针旋转 得，若点在线段的延长线上，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据旋转性质得到，，，再根据等腰三角形性质及内角和定理可得，即可得到答案．
【详解】解：
∵绕点A逆时针旋转 得，
∴，，，
∴，
∴，
故选A．
7．(本题2分)如图，边长为6的正方形中，点E、F分别在边、上，连接、、，已知平分，，则的长为（ ）
A．2 B．3 C． D．
【答案】B
【分析】延长到，使，连接，由平分，可证，得，，即可证，得，设，根据，有，即可解得答案．
【详解】解：延长到，使，连接，如图：
平分，
，
，，
∴，
，，
四边形是正方形，
，，
∴，
，
设，则，，
，
，
，
解得，
，
故选：B．
8．(本题2分)如图所示，正方形的面积为9，是等边三角形，点E在正方形内，在对角线上有一点P，使的和最小，则这个最小值为（ ）
A．4.5 B．9 C．2.5 D．3
【答案】D
【分析】由于点B与D关于对称，所以连接，与的交点即为P点．此时最小，而是等边E的边，，由正方形的面积为9，可求出的长，从而得出结果．
【详解】解：设BE与交于点，连接，，
∵点B与D关于对称，
∴，
∴最小．
∵正方形的面积为9，
∴，
又∵是等边三角形，
∴．
故选：D
9．(本题2分)如图①，在矩形的边上有一点，连结，点从顶点出发，沿以1cm/s的速度匀速运动到点．图②是点运动时，的面积随时间变化的函数图象，则的长为（ ）
A．5cm B．4cm C．3cm D．2cm
【答案】D
【分析】抓住关键点，函数图象最高点的纵坐标为9，横坐标为6，得的最大面积为9，此时、重合，，，通过图象知道点到终点时，的面积是6，此时、重合，，得，即可求得的长．
【详解】解：∵是矩形，
∴
由图象可知，当、重合，，，
可得：，
当时、重合，，可得：，
则：．
故选：D．
10．(本题2分)如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，过点作轴于点，轴于点，点在上，将沿直线翻折，点恰好落在轴上的点处，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】设，由折叠性质得到，，利用勾股定理计算出，则，在Rt中利用勾股定理得到，然后解方程求出即可得到点的坐标．
【详解】解：根据题意，画出图如图所示：
设，
由题意可得，，，
与关于直线对称，
，，
在中，，
，
在中，，
，即，
解得：，
点的坐标是，
故选：B．
二、填空题(共16分)
11．(本题2分)如图，在中，、相交于点O，若的面积为3，则的面积为_______．
【答案】12
【分析】由平行四边形的性质得O为和的中点，则，即可得出结论．
【详解】解：四边形是平行四边形，
为和的中点，
，
，
故答案为：12．
12．(本题2分)如图，绕点O顺时针旋转到的位置，已知，则等于 ________度．
【答案】130
【分析】由旋转角可求得，再利用角的和差可求得．
【详解】解：旋转角为，
，
，
故答案为：130．
13．(本题2分)如图，在正方形中，为对角线上一点，过作于，于，若，，则___________．
【答案】
【分析】延长、交、于、，由正方形的性质，得到，再由等腰三角形的性质及正方形的性质得到，，由勾股定理即可得出结论．
【详解】解：如图，延长、交、于、．
四边形为正方形，
，
，，
则 ．
故答案为：．
14．(本题2分)在平面直角坐标系中，正方形的在轴正半轴上，边在第一象限，且，．将正方形绕点顺时针旋转，若点对应点恰好落在坐标轴上，则点的对应点的坐标为___________．
【答案】或
【分析】由正方形的在轴正半轴上，边在第一象限，且，，先求出长，进而得出，画出图形：当正方形绕点A顺时针旋转，分两种情况，①点B的对应点恰好落在x轴正半轴上时，②点B的对应点恰好落在y轴负半轴上时．
【详解】解：∵正方形的在轴正半轴上，边在第一象限，且，，∴，
画图如下：
当正方形绕点A顺时针旋转，作轴于E，分两种情况
①点B的对应点恰好落在x轴正半轴上时，如图，
∵，
∴，
∵，
∴，
在△AB′O和△EB′C′中，
，
∴，
∴，
∴，
∴点C的对应点的坐标为；
②点B的对应点恰好落在y轴负半轴上时，如图，
则，
∴，
∴点C的对应点的坐标为；
综上所述：点C的对应点的坐标为或．
故答案为：或．
15．(本题2分)如图，将边长为的正方形绕点顺时针旋转30°到的位置，则阴影部分的面积是___________．
【答案】
【分析】交于点，连接；根据全等三角形性质，通过证明，得；结合旋转的性质，得；根据三角函数的性质计算，得，结合正方形和三角形面积关系计算，即可得到答案．
【详解】如图，交于点，连接
根据题意得：，
∵
∴
∴
∵正方形绕点顺时针旋转到
∴，
∴
∴
∴
∴
∴
∴阴影部分的面积
故答案为：．
16．(本题2分)如图，在平面直角坐标系中，Q是直线上的一个动点，将Q绕点顺时针旋转90°，得到点，连接，则的最小值为_________．
【答案】
【分析】利用等腰直角三角形构造全等三角形，求出旋转后Q′的坐标，然后根据勾股定理并利用二次函数的性质即可解决问题．
【详解】解：过点Q作轴于点轴于N，
在和中， ，
设，
当时，有最小值为 ，
∴最小值为，
故答案为：.
17．(本题2分)如图，在中，，，点D是中点．将绕点B逆时针旋转，得到，点D的对应点为，则线段的值是___________．
【答案】
【分析】连接，，由旋转的性质可得，，，即为等边三角形，根据直角三角形的性质求得，即可求解．
【详解】解：连接，，如下图：
由旋转的性质可得，，，
即为等边三角形，
∴，
在中，，，
则，
∵点D是中点，
∴，即
故答案为：
18．(本题2分)如图，已知，D是上一点，E是延长线上一点，将绕点C顺时针方向旋转，恰好能与重合．若，则旋转角为________．
【答案】
【分析】设，根据旋转的旋转得，，，的度数等于旋转角的度数，再利用三角形外角性质得，接着证明，则利用三角形内角和得到，然后求出x后计算即可得到旋转角的度数．
【详解】解：设，
∵绕点C顺时针方向旋转，恰好能与重合，
∴，，，的度数等于旋转角的度数，
∴，
在中，
∵，
∴，
∴，
解得，
∴旋转角的度数为．
故答案为：．
三、解答题(共64分)
19．(本题8分)已知矩形中，对角线与相交于点．分别过点、作、的平行线交于点．
(1)求证：四边形为菱形．
(2)若，，求菱形的面积．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）首先根据，得到四边形是平行四边形，然后根据矩形的性质得到，即可证明出四边形为菱形；
（2）首先根据题意求出矩形的面积，进而得到的面积，即可求出菱形的面积．
【详解】（1）证明：∵，，
∴四边形是平行四边形，
∵四边形是矩形，
∴，，，
∴，
∴四边形是菱形；
（2）解：∵，，
∴矩形的面积，
∵，
∴菱形的面积．
20．(本题8分)如图，在中，， D点是的中点，、分别是、的角平分线．求证：四边形是矩形．
【答案】证明见详解
【分析】根据， D点是的中点，可得，结合是的角平分线，即可得到，同理证得 ，根据有三个角是直角的四边形是矩形，即可得到证明．
【详解】证明：∵， D点是的中点，
∴，
∵是的角平分线，
∴
∴，
同理可得：，
∴
∴四边形是矩形．
21．(本题8分)如图，在中，，，，将绕点按顺时针旋转一定角度得到，当点的对应点恰好落在边上时，求的长．
【答案】
【分析】根据题意得出是等边三角形，进而根据即可求解．
【详解】解：将绕点按顺时针旋转一定角度得到，
，
又，
是等边三角形，
，
．
22．(本题10分)如图所示，三个顶点的坐标分别为，，．
(1)画出向右平移个单位长度后得到的图形，并写出的坐标．
(2)画出以点为旋转中心旋转后得到的图形，并写出的坐标．
【答案】(1)图见解析，；
(2)图见解析，；
【分析】（1）利用平移变换的性质分别作出，，的对应点，，即可；
（2）利用中心对称变换的性质分别作出，，的对应点，，即可．
【详解】（1）解：如图，即为所求，；
（2）解：如图，即为所求，．
23．(本题10分)如图1，平面直角坐标系中，轴，，C是点A关于x轴的对称点，，交x轴于点E，连接．
(1)求证：
①平分；
②是等边三角形；
(2)如图2，若F在上，，连接，点B的坐标为，直接写出点F的坐标（用a、b表示）．
【答案】(1)①见解析；②见解析；
(2)．
【分析】（1）①利用平行线的性质和等腰三角形的性质证明即可证明结论；②先根据对称性得到，进而证明，．证明∴．得到，即可证明是等边三角形；
（2）如图所示，过点B作轴于G，过点F作于H，由等边三角形的性质得到，证明四边形是平行四边形，得到，，再由，，证明，得到，利用勾股定理和含30度角的直角三角形的性质求出，则，，同理，据此即可得到答案．
【详解】（1）证明：（1）①∵，
∴．
∵轴，
∴．
∴．
∴平分；
②C是点A关于x轴的对称点，
∴．
∵
∴．
∴．
∴．
在和中
∴．
∴．
∴是等边三角形．
（2）解：如图所示，过点B作轴于G，过点F作于H，
∴，
∵是等边三角形，
∴，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
同理，即，
∴；
24．(本题10分)如图，在矩形中，以O为坐标原点，、分别在x轴、y轴上，点A的坐标为，点B的坐标为，点E是边上的一点，把矩形沿AE翻折后，点C恰好落在x轴上的点F处，且．
(1)求点E、F的坐标；
(2)求所在直线的函数关系式；
(3)在x轴上求一点P，使成为以为腰的等腰三角形，请直接写出所有符合条件的点P的坐标．
【答案】(1)，
(2)
(3)或或
【分析】（1）根据点的坐标可得，，由折叠可得，利用勾股定理求出，则点，根据即可求出点E坐标；
（2）将点、的坐标代入一次函数表达式，即可求解；
（3）分当点在轴负半轴、点在轴正半轴两种情况，分别求解即可．
【详解】（1）解：点的坐标为，点的坐标为，
，，
由折叠可知：，
则，
则点，
，
，
故点；
（2）将点、的坐标代入一次函数表达式：并解得：
，，
故直线的表达式为：；
（3）①当点在轴负半轴时，
，则点；
当时，点；
②当点在轴正半轴时，
，故点；
综上，点的坐标为：或或．
25．(本题10分)已知，四边形和四边形都是正方形，点为的中点．
(1)连接、．
①如图1，若点在边上，猜想和的关系，并给予证明：
②若将图1中的正方形绕点顺时针旋转，使点落在对角线的延长线上，请你在图2中补全图形，猜想和的关系，并给予证明．
(2)如图3，若，，将正方形绕点旋转，连接．请你直接写出的取值范围___________．
【答案】(1)①；②证明见解析
(2)
【分析】（1）①连接，证明，，证明是等腰直角三角形，即可得证；
②延长交于点，连接，证明，，得出，根据等边对等角，设，，根据外角的性质得出，即可证明；
（2）连接，根据，当在上时，最大，，当在上时，最小，，即可求解．
【详解】（1）①如图，连接，
∵四边形和四边形都是正方形，
∴,，
∴，
∵为的中点，
∴，则，
在中，
，
∴，
∴，，
在中，
，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴；
②，
证明：如图，延长交于点，连接，
∵四边形和四边形都是正方形，
∴，，
∵落在对角线的延长线上，
∴，
∴，
∴在的延长线上，
∵，
∴，
在中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，为的中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
在中，
,
∴，
∴，，
∴，
∵，，
∴ ，
设，，
∴，，
∵，
∴，
即，
∴；
（2）如图，连接，
∵
∴当在上时，如图，此时最大，，
由（1）可知是等腰直角三角形，
∵，，
∴，，
∴
∴，
∴
当在上时，最小，同理可得是等腰直角三角形，
此时，
综上所述，．
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