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20.1 数据的整理与初步分析
【课前预习】
【知识点1 解统计学的几个基本概念】
总体、个体、样本、样本容量是统计学中特有的规定，准确把握教材，明确所考查的对象是解决有关总体、个体、样本、样本容量问题的关键。
【知识点2 平均数】
当给出的一组数据，都在某一常数a上下波动时，一般选用简化平均数公式，其中a是取接近于这组数据平均数中比较“整”的数;当所给一组数据中有重复多次出现的数据，常选用加权平均数公式。
【知识点3 众数与中位数平均数】
平均数、众数、中位数都是用来描述数据集中趋势的量。平均数的大小与每一个数据都有关，任何一个数的波动都会引起平均数的波动，当一组数据中有个数据太高或太低，用平均数来描述整体趋势则不合适，用中位数或众数则较合适。中位数与数据排列有关，个别数据的波动对中位数没影响；当一组数据中不少数据多次重复出现时，可用众数来描述。
【知识点4 极差】
用一组数据中的最大值减去最小值所得的差来反映这组数据的变化范围，用这种方法得到的差称为极差，极差＝最大值－最小值。
【知识点5 方差与标准差】
用“先平均，再求差，然后平方，最后再平均”得到的结果表示一组数据偏离平均值的情况，这个结果叫方差，计算公式是
s2=[(x1-)2+(x2-)2+…+(xn-)2]；
方差是反映一组数据的波动大小的一个量，其值越大，波动越大，也越不稳定或不整齐。
【课堂互动】
【考点1 四种统计量的意义】
【例1】某校初中女子篮球队共有11名队员，她们的年龄情况如表：
年龄/岁 12 13 14 15
人数 1 3 3 4
则对该篮球队队员年龄描述正确的是（ ）
A．中位数是14 B．众数是13 C．平均数是14 D．方差是2
【训练1-1】某校“英语课本剧”表演比赛中，九年级的10名学生参赛成绩统计如图所示，对于这10名学生的参赛成绩，下列说法中正确的是（ ）
A．平均数是88 B．众数是85 C．中位数是90 D．方差是6
【训练1-2】如图，是小明绘制的他在一周内每天跑步圈数的折线统计图．下列结论不正确的是（ ）
A．众数是10 B．中位数是9 C．平均数是9 D．方差是8
【训练1-3】小明参加射击比赛，成绩统计如表：
成绩（环） 6 7 8 9 10
次数 1 2 3 3 1
关于他的射击成绩，下列说法正确的是（ ）
A．平均数是8环 B．众数是8环
C．中位数是8环 D．方差是2环2
【考点2 方差的计算】
【例2】小强每天坚持引体向上锻炼，他记录了某一周每天做引体向上的个数，如图．
其中有三天的个数被墨汁覆盖了，但小强已经计算出这组数据唯一众数是13，平均数是12，那么这组数据的方差是（ ）
A． B． C． D．1
【训练2-1】 已知一组数据1，a，3，6，7，它的平均数是5，这组数据的方差是 ．
【训练2-2】如果一组数据a1，a2，…，an的方差是2，那么数据2a1﹣2，2a2﹣2，…，2an﹣2的方差是（ ）
A．2 B．4 C．8 D．16
【训练2-3】甲、乙两人在相同的情况下各打靶6次，每次打靶的成绩依次如下（单位：环）：
甲：9，6，7，6，7，7．
乙：4，5，8，7，8，10．
（1）计算两人打靶成绩的方差；
（2）请推荐一人参加比赛，并说明理由．
【考点3 方差反映数据的稳定性】
【例3】2022年将在北京﹣张家口举办冬季奥运会，北京将成为世界上第一个既举办夏季奥运会，又举办冬季奥运会的城市．某队要从两名选手中选取一名参加比赛，为此对这两名队员进行了五次测试，测试成绩如图所示．若选择A选手，则理由是 ．
【训练3-1】甲、乙、丙、丁都参加了5次数学模拟测试，每个人这5次测试的平均成绩都是125分，方差分别是，，，，最稳定的是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【训练3-2】为了比较甲乙两种水稻秧苗谁出苗更整齐，每种秧苗各随机抽取50株，分别量出每株长度，发现两组秧苗平均长度一样，甲、乙的方差分别是10.9、9.9，则下列说法正确的是（ ）
A．甲秧苗出苗更整齐
B．乙秧苗出苗更整齐
C．甲、乙出苗一样整齐
D．无法确定甲、乙出苗谁更整齐
【训练3-3】甲、乙、丙、丁四名射击运动员进行射击测试，每人10次射击成绩的平均数（单位：环）及方差S2（单位：环2）如表所示：
甲 乙 丙 丁
9 8 9 9
S2 1.8 0.6 5 0.6
根据表中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应选择（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【考点4 统计量的选择】
【例4】在我校“文化艺术节”英语表演比赛中，有16名学生参加比赛，规定前8名的学生进入决赛，某选手想知道自己能否晋级，只需要知道这16名学生成绩的（ ）
A．中位数 B．方差 C．平均数 D．众数
【训练4-1】初中三年学习生涯，让懵懂青涩的少年逐渐成长为奋发向上的青年．比较九（1）班50名同学三年前后的年龄数据，在平均数、众数、中位数和方差四个统计量中，大小没有发生变化的统计量是（ ）
A．平均数 B．众数 C．中位数 D．方差
【训练4-2】一鞋店试销一种新款式鞋，试销期间卖出情况如表：
型号 22 22.5 23 23.5 24 24.5 25
数量（双） 3 5 10 15 8 3 2
鞋店经理最关心哪种型号鞋畅销，则下列统计量对鞋店经理来说最有意义的是 众数 ．（填“平均数”、“众数”或“中位数”）
【训练4-3】八年级某班40位同学的体育素质测试成绩统计如表所示，其中有两个数据被遮盖：
成绩/分 24 25 26 27 28 29 30
人数/人 3 4 7 8 10
下列关于成绩的统计量中，与被遮盖的数据无关的是（ ）
A．平均数，方差 B．平均数，众数
C．中位数，众数 D．中位数，方差
【考点5 由统计图分析数据的集中趋势】
【例5】为选拔同学参加全市组织的青少年科学知识竞赛，重庆一中在全校进行了“请党放心，强国有我”科学知识竞赛，并对八年级（3）班全体同学本次知识竞赛成绩进行了统计，我们将成绩分为A、B、C、D、E五类，制成了如下不完整的条形统计图和扇形统计图（如图所示）．
请你根据统计图中的信息，解答下列问题：
（1）八年级（3）班学生总人数是 人；在扇形统计图中，a的值是 ；
（2）若八年级（3）班得C等级的同学人数是得E等级的同学人数的4倍，请将条形统计图补充完整；
（3）若等级为A表示优秀，等级为B表示良好，等级为C表示合格，等级为D表示不合格，等级为E表示差，根据本次统计结果，估计全校2000名学生中知识竞赛成绩在合格及以上的学生大约有多少人？
【训练5-1】某中学七年级甲、乙两个班进行了一次数学运算能力测试，测试人数每班都为40人，每个班的测试成绩分为A，B，C，D四个等级，绘制的统计图如图．
根据以上统计图提供的信息，下列说法错误的是（ ）
A．甲班D等的人数最多
B．乙班A等的人数最少
C．乙班B等与C等的人数相同
D．C等的人数甲班比乙班多
【训练5-2】在九年级综合素质评定结束后，为了了解年级的评定情况，现对九年级某班的学生进行了评定等级的调查，绘制了如下男女生等级情况折线统计图和全班等级情况扇形统计图．
（1）全班共有 名学生；
（2）评级2A的学生人数在扇形统计图中所占的圆心角度数是 ；
（3）补全折线统计图；
（4）九年级现有学生约400人，请你估算评级低于3A的学生人数．
【训练5-3】“停课不停学”，某校为了了解学生在钉钉直播课中观看直播课时间（一节课30分钟），随机抽取了若干名学生观看直播课的时间，获得数据如表，并绘制了相应的扇形统计图．
被抽取学生观看直播课时间统计表：
观看直播课时间 人数
27＜t≤30 20
24＜t≤27 15
21＜t≤24 10
18＜t≤21 m
15＜t≤18 1
t≤15 1
（1）请问被随机抽取的学生共有多少名？并求表格中m的值．
（2）在扇形统计图中，求观看时间在24＜t≤27的学生人数所对的扇形圆心角的度数．
（3）若该校共有学生1100名，估计观看直播课时间在21分钟以上（不包括21分钟）的有多少人？
【考点6 统计量的综合应用】
【例6】某校组织初三学生电脑技能竞赛，每班选派相同人数去参加竞赛，竞赛成绩分A、B、C、D四个等级，其中相应等级的得分依次记为100分，90分，80分，70分．将初三（1）班和（2）班的成绩整理并绘制成统计图．
平均数（分） 中位数（分） 众数（分）
1班 87.5 90
2班 100
（1）此次竞赛中（2）班成绩在C级以上（包括C级）的人数为 ；
（2）请你将表格补充完整；
（3）试运用所学的统计知识，从两个不同角度评价初三（1）班和初三（2）班的成绩．
【训练6-1】某农业科技部门为了解甲、乙两种新品西瓜的品质（大小、甜度等），进行了抽样调查，在相同条件下，随机抽取了两种西瓜各7份样品，对西瓜的品质进行评分（百分制），并对数据进行收集、整理，下面给出两种西瓜得分的统计图表．
甲、乙两种西瓜得分表
序号 1 2 3 4 5 6 7
甲种西瓜（分） 75 85 86 88 90 96 96
乙种西瓜（分） 80 83 87 90 90 92 94
甲、乙两种西瓜得分统计表
平均数 中位数 众数
甲种西瓜 a b 96
乙种西瓜 88 90 c
（1）a＝ ，b＝ ，c＝ ；
（2）从离散程度看， 种西瓜的得分较稳定（填“甲”或“乙”）；
（3）小明认为甲种西瓜的品质较好些，小军认为乙种西瓜的品质较好些．请结合统计图表中的信息分别写出他们的理由．
【训练6-2】数学小组对当地甲、乙两家网约车公司司机的月收入情况进行了抽样调查．两家公司分别随机抽取10名司机，他们的月收入（单位：千元）情况如图所示．
将以上信息整理分析如下：
平均数 中位数 众数 方差
甲公司 a 7 c d
乙公司 7 b 5 7.6
（1）填空：a＝ ；b＝ ；c＝ ；d＝ ；
（2）某人计划从甲、乙公司中选择一家做网约车司机，你建议他选哪家公司？说明理由．
【训练6-3】分析下列统计图信息，解答问题：
甲、乙两家公司在2021年上半年的月营业额统计图如下：
甲、乙两家公司2021年上半年月营业额的相关数据统计如下：
公司 平均数 中位数 众数 方差
甲 2.5 2.3 2.2 0.73
乙 2.3 a 1.7 3.54
（1）分别求出甲、乙两公司上半年的营业总额：
（2）补全乙公司上半年营业额条形统计图，并求出a的值：
（3）结合数据分析2021年上半年甲、乙两家公司哪家经营状况较好，请说明理由．
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20.1 数据的整理与初步分析
【课前预习】
【知识点1 解统计学的几个基本概念】
总体、个体、样本、样本容量是统计学中特有的规定，准确把握教材，明确所考查的对象是解决有关总体、个体、样本、样本容量问题的关键。
【知识点2 平均数】
当给出的一组数据，都在某一常数a上下波动时，一般选用简化平均数公式，其中a是取接近于这组数据平均数中比较“整”的数;当所给一组数据中有重复多次出现的数据，常选用加权平均数公式。
【知识点3 众数与中位数平均数】
平均数、众数、中位数都是用来描述数据集中趋势的量。平均数的大小与每一个数据都有关，任何一个数的波动都会引起平均数的波动，当一组数据中有个数据太高或太低，用平均数来描述整体趋势则不合适，用中位数或众数则较合适。中位数与数据排列有关，个别数据的波动对中位数没影响；当一组数据中不少数据多次重复出现时，可用众数来描述。
【知识点4 极差】
用一组数据中的最大值减去最小值所得的差来反映这组数据的变化范围，用这种方法得到的差称为极差，极差＝最大值－最小值。
【知识点5 方差与标准差】
用“先平均，再求差，然后平方，最后再平均”得到的结果表示一组数据偏离平均值的情况，这个结果叫方差，计算公式是
s2=[(x1-)2+(x2-)2+…+(xn-)2]；
方差是反映一组数据的波动大小的一个量，其值越大，波动越大，也越不稳定或不整齐。
【课堂互动】
【考点1 四种统计量的意义】
【例1】某校初中女子篮球队共有11名队员，她们的年龄情况如表：
年龄/岁 12 13 14 15
人数 1 3 3 4
则对该篮球队队员年龄描述正确的是（ ）
A．中位数是14 B．众数是13 C．平均数是14 D．方差是2
【分析】根据中位数的概念求解可得．
【解答】解：∵一共有11个数据，其中位数为第6个数据，
∴这组数据的中位数为14岁．
故选：A．
【训练1-1】某校“英语课本剧”表演比赛中，九年级的10名学生参赛成绩统计如图所示，对于这10名学生的参赛成绩，下列说法中正确的是（ ）
A．平均数是88 B．众数是85 C．中位数是90 D．方差是6
【分析】根据众数、中位数、平均数、方差的定义和统计图中提供的数据分别列出算式，求出答案．
【解答】解：∵平均数是（80×1+85×2+90×5+95×2）÷10＝89；
故A错误；
∵90出现了5次，出现的次数最多，
∴众数是90；
故B正确；
共有10个数，
∴中位数是第5、6个数的平均数，
∴中位数是（90+90）÷2＝90；
故C正确；
方差为 [（89﹣80）2+2×（89﹣85）2+2×（89﹣95）2+（89﹣90）2×5]＝19，
故D错误．
故选：C．
【训练1-2】如图，是小明绘制的他在一周内每天跑步圈数的折线统计图．下列结论不正确的是（ ）
A．众数是10 B．中位数是9 C．平均数是9 D．方差是8
【分析】由折线图得到一周内每天跑步圈数的数据，计算这组数据的平均数、中位数、众数、方差，然后判断得结论．
【解答】解：A．数据10出现的次数最多，即众数是10，故本选项正确，不符合题意；
B．排序后的数据中，最中间的数据为9，即中位数为9，故本选项正确，符合题意；
C．平均数为：（7+8+9+9+10+10+10）＝9，故本选项正确，不符合题意；
D．方差为[（7﹣9）2+（8﹣9）2+（9﹣9）2+（9﹣9）2+（10﹣9）2+（10﹣9）2+（10﹣9）2]，故本选项不正确，符合题意；
故选：D．
【训练1-3】小明参加射击比赛，成绩统计如表：
成绩（环） 6 7 8 9 10
次数 1 2 3 3 1
关于他的射击成绩，下列说法正确的是（ ）
A．平均数是8环 B．众数是8环
C．中位数是8环 D．方差是2环2
【分析】根据平均数、标准差、众数和中位数的概念逐一计算可得．
【解答】解：A．这组数据的平均数8.1（环），此选项错误；
B．众数为8环和9环，此选项错误；
C．中位数是 8（环），此选项正确；
D．方差[（6﹣8）2+3×（7﹣8）2+2×（8﹣8）2+3×（9﹣8）2+（10﹣8）2]（环2），此选项错误；
故选：C．
【考点2 方差的计算】
【例2】小强每天坚持引体向上锻炼，他记录了某一周每天做引体向上的个数，如图．
其中有三天的个数被墨汁覆盖了，但小强已经计算出这组数据唯一众数是13，平均数是12，那么这组数据的方差是（ ）
A． B． C． D．1
【分析】根据平均数是12和这组数据唯一众数是13得到被墨汁覆盖的三个数为：10，13，13，根据方差公式即可得到结论．
【解答】解：∵平均数是12，
∴这组数据的和＝12×7＝84，
∴被墨汁覆盖三天的数的和＝84﹣（11+12+13+12）＝36，
∵这组数据唯一众数是13，
∴被墨汁覆盖的三个数为：10，13，13，
∴S2[（11﹣12）2+（12﹣12）2+（10﹣12）2+（13﹣12）2+（13﹣12）2+（13﹣12）2+（12﹣12）2]．
故选：C．
【训练2-1】 已知一组数据1，a，3，6，7，它的平均数是5，这组数据的方差是 6.8 ．
【分析】先根据算术平均数的定义求出a的值，再利用方差的定义列式计算即可．
【解答】解：∵1，a，3，6，7的平均数是5，
∴5，
解得a＝8，
∴这组数据为1，8，3，6，7，
则这组数据的方差为[（1﹣5）2+（8﹣5）2+（3﹣5）2+（6﹣5）2+（7﹣5）2]＝6.8，
故答案为：6.8．
【训练2-2】如果一组数据a1，a2，…，an的方差是2，那么数据2a1﹣2，2a2﹣2，…，2an﹣2的方差是（ ）
A．2 B．4 C．8 D．16
【分析】根据方差的性质解答．
【解答】解：∵数据a1，a2，……，an的方差是2，
∴2a1﹣2，2a2﹣2，…，2an﹣2的方差是2×22＝8，
故选：C．
【训练2-3】甲、乙两人在相同的情况下各打靶6次，每次打靶的成绩依次如下（单位：环）：
甲：9，6，7，6，7，7．
乙：4，5，8，7，8，10．
（1）计算两人打靶成绩的方差；
（2）请推荐一人参加比赛，并说明理由．
【分析】（1）先计算出甲、乙的平均数，再根据方差的计算公式计算即可；
（2）根据方差的意义求解即可（答案不唯一）．
【解答】解：（1）（9+6+7+6+7+7）＝7（环），
（4+5+8+7+8+10）＝7（环），
∴S甲2[（9﹣7）2+2×（6﹣7）2+3×（7﹣7）2]＝1，
S乙2[（4﹣7）2+（5﹣7）2+（7﹣7）2+2×（8﹣7）2+（10﹣7）2]＝4．
（2）推荐甲．在甲、乙平均成绩相同的前提下，甲成绩的方差较小，甲成绩比较稳定．
（或推荐乙．在甲、乙平均成绩相同的前提下，乙一直处于上升趋势，有潜力（答案不唯一）．
【考点3 方差反映数据的稳定性】
【例3】2022年将在北京﹣张家口举办冬季奥运会，北京将成为世界上第一个既举办夏季奥运会，又举办冬季奥运会的城市．某队要从两名选手中选取一名参加比赛，为此对这两名队员进行了五次测试，测试成绩如图所示．若选择A选手，则理由是 A选手的成绩比较稳定 ．
【分析】根据折线统计图中的数据，分别计算A选手、B选手五次成绩的平均数和方差，做出判断即可．
【解答】解：A选手成绩的平均数为：（7+8+8+9+8）＝8，
B选手成绩的平均数为：（10+8+11+6+5）＝8，
A选手成绩的方差为：[（7﹣8）2+（8﹣8）2×3+（9﹣8）2]＝0.4，
B选手成绩的方差为：[（10﹣8）2+（8﹣8）2+（11﹣8）2+（6﹣8）2+（5﹣8）2]＝5.2，
∵0.4＜5.2，
∴A选手的成绩比较稳定．
故答案为：A选手的成绩比较稳定．
【训练3-1】甲、乙、丙、丁都参加了5次数学模拟测试，每个人这5次测试的平均成绩都是125分，方差分别是，，，，最稳定的是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【分析】根据方差的意义可作出判断．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
【解答】解：∵S甲2＝0.65，S乙2＝0.55，S丙2＝0.50，S丁2＝0.45，
∴S丁2＜S丙2＜S乙2＜S甲2，
∴成绩最稳定的是丁．
故选：D．
【训练3-2】为了比较甲乙两种水稻秧苗谁出苗更整齐，每种秧苗各随机抽取50株，分别量出每株长度，发现两组秧苗平均长度一样，甲、乙的方差分别是10.9、9.9，则下列说法正确的是（ ）
A．甲秧苗出苗更整齐
B．乙秧苗出苗更整齐
C．甲、乙出苗一样整齐
D．无法确定甲、乙出苗谁更整齐
【分析】方差反映一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立，即可得出答案．
【解答】解：∵甲、乙方差分别是10.9、9.9，
∴S2甲＞S2乙，
∴乙秧苗出苗更整齐；
故选：B．
【训练3-3】甲、乙、丙、丁四名射击运动员进行射击测试，每人10次射击成绩的平均数（单位：环）及方差S2（单位：环2）如表所示：
甲 乙 丙 丁
9 8 9 9
S2 1.8 0.6 5 0.6
根据表中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应选择（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【分析】首先比较平均数，平均数相同时选择方差较小的参加比赛．
【解答】解：由表知甲、丙、丁射击成绩的平均数相等，且大于乙的平均数，
∴从甲、丙、丁中选择一人参加竞赛，
∵丁的方差较小，
∴选择丁参加比赛，
故选：D．
【考点4 统计量的选择】
【例4】在我校“文化艺术节”英语表演比赛中，有16名学生参加比赛，规定前8名的学生进入决赛，某选手想知道自己能否晋级，只需要知道这16名学生成绩的（ ）
A．中位数 B．方差 C．平均数 D．众数
【分析】根据中位数的定义进行求解即可．
【解答】解：16位学生参加比赛，取得前8名的学生进入决赛，中位数就是第8、第9个数的平均数，
因而要判断自己能否晋级，只需要知道这16名学生成绩的中位数就可以．
故选：A．
【训练4-1】初中三年学习生涯，让懵懂青涩的少年逐渐成长为奋发向上的青年．比较九（1）班50名同学三年前后的年龄数据，在平均数、众数、中位数和方差四个统计量中，大小没有发生变化的统计量是（ ）
A．平均数 B．众数 C．中位数 D．方差
【分析】根据平均数，中位数，众数以及方差的意义分别对每一项进行分析即可得出答案．
【解答】解：A、平均数，设第一年平均年龄是，则1，1，则平均数发生变化，故本选项不符合题意；
B、众数，设第一年的众数为a，则第二年为a+1，第三年为a+2，则众数发生变化，故本选项不符合题意；
C、中位数，设第一年的中位数为b，则第二年为b+1，第三年为b+2，则中位数发生变化，故本选项不符合题意；
D、方差，设第一年的方差为：[（x1）2+（x2）2+ +（xn）2]，
第二年的方差为：[（x1+1）﹣（1）]2+[（x2+1）﹣（1）]2+ +[（xn+1）﹣（1）]2，
同理可证，
则，故方差未有变化，本选项符合题意；
故选：D．
【训练4-2】一鞋店试销一种新款式鞋，试销期间卖出情况如表：
型号 22 22.5 23 23.5 24 24.5 25
数量（双） 3 5 10 15 8 3 2
鞋店经理最关心哪种型号鞋畅销，则下列统计量对鞋店经理来说最有意义的是 众数 ．（填“平均数”、“众数”或“中位数”）
【分析】众数是一组数据中出现次数最多的数，可能不止一个，对这个鞋店的经理来说，他最关注的是数据的众数．
【解答】解：对这个鞋店的经理来说，他最关注的是哪一型号的卖得最多，即是这组数据的众数．
故答案为：众数．
【训练4-3】八年级某班40位同学的体育素质测试成绩统计如表所示，其中有两个数据被遮盖：
成绩/分 24 25 26 27 28 29 30
人数/人 3 4 7 8 10
下列关于成绩的统计量中，与被遮盖的数据无关的是（ ）
A．平均数，方差 B．平均数，众数
C．中位数，众数 D．中位数，方差
【分析】根据中位数、众数的意义结合频数分布表中的数据进行判断即可．
【解答】解：设被遮盖的数据分别为a、b，
则a+b＝40﹣3﹣4﹣8﹣7﹣10＝8＜10，
因此不影响众数，其成绩的众数是30分，
而3+4+a+b＝17，
因此不影响中位数，将这40名学生成绩从小到大排列处在中间位置的两个数都是28分，因此中位数是28分，
故选：C．
【考点5 由统计图分析数据的集中趋势】
【例5】为选拔同学参加全市组织的青少年科学知识竞赛，重庆一中在全校进行了“请党放心，强国有我”科学知识竞赛，并对八年级（3）班全体同学本次知识竞赛成绩进行了统计，我们将成绩分为A、B、C、D、E五类，制成了如下不完整的条形统计图和扇形统计图（如图所示）．
请你根据统计图中的信息，解答下列问题：
（1）八年级（3）班学生总人数是 50 人；在扇形统计图中，a的值是 20 ；
（2）若八年级（3）班得C等级的同学人数是得E等级的同学人数的4倍，请将条形统计图补充完整；
（3）若等级为A表示优秀，等级为B表示良好，等级为C表示合格，等级为D表示不合格，等级为E表示差，根据本次统计结果，估计全校2000名学生中知识竞赛成绩在合格及以上的学生大约有多少人？
【分析】（1）用B等级的人数除以所占的百分比求出八年级（3）班学生总人数，用D等级的人数除以总人数，即可得出a；
（2）设E等级的同学有x人，则C等级的同学人数有4x，根据总人数是50，列出方程，求出x的值，从而补全统计图；
（3）用全校的总人数乘以知识竞赛成绩在合格及以上的学生所占的百分比即可．
【解答】解：（1）八年级（3）班学生总人数是：12÷24%＝50（人），
a%100%＝20%，即a＝20；
故答案为：50，20；
（2）设E等级的同学有x人，则C等级的同学人数有4x，根据题意得：
8+12+4x+10+x＝50，
解得：x＝4，
则4x＝4×4＝16，
则E等级的同学有4人，则C等级的同学人数有16人，
补全统计图如下：
（3）20001440（人），
答：估计全校2000名学生中知识竞赛成绩在合格及以上的学生大约有1440人．
【训练5-1】某中学七年级甲、乙两个班进行了一次数学运算能力测试，测试人数每班都为40人，每个班的测试成绩分为A，B，C，D四个等级，绘制的统计图如图．
根据以上统计图提供的信息，下列说法错误的是（ ）
A．甲班D等的人数最多
B．乙班A等的人数最少
C．乙班B等与C等的人数相同
D．C等的人数甲班比乙班多
【分析】根据条形统计图中的数据可判断选项A，根据扇形统计图的数据分别求出乙班A，B，C，D四个等级的人数，然后比较大小即可解答本题．
【解答】解：由条形统计图可知，甲班D等的人数最多，故选项A不合题意；
由扇形统计图可知，乙班A等级的人数为：40×10%＝4（人），故乙班A等的人数最少，故选项B不合题意；
B、C均站35%，故乙班B等与C等的人数相同，故选项C不合题意；
乙班C等级的人数为：40×35%＝14（人），
∴C等的人数甲班比乙班少，故选项D符合题意．
故选：D．
【训练5-2】在九年级综合素质评定结束后，为了了解年级的评定情况，现对九年级某班的学生进行了评定等级的调查，绘制了如下男女生等级情况折线统计图和全班等级情况扇形统计图．
（1）全班共有 50 名学生；
（2）评级2A的学生人数在扇形统计图中所占的圆心角度数是 72° ；
（3）补全折线统计图；
（4）九年级现有学生约400人，请你估算评级低于3A的学生人数．
【分析】（1）根据合格的男生有2人，女生有1人，得出合格的总人数，再根据评级合格的学生占6%，即可得出全班的人数；
（2）根据扇形统计图中评级2A的学生占20%，用360°乘20%即可求解；
（3）根据折线统计图和扇形统计图以及全班的学生数，即可得出女生评级3A的学生和女生评级4A的学生数，即可补全折线统计图；
（4）用总人数乘以评级低于3A的学生所占的百分比即可．
【解答】解：（1）因为合格的男生有2名学生，女生有1名学生，共计2+1＝3（名），
又因为评级合格的学生占6%，
所以全班共有：3÷6%＝50（名）．
故答案为：50；
（2）评级2A的学生人数在扇形统计图中所占的圆心角度数是360°×20%＝72°，
故答案为：72°；
（3）根据题意得：
女生评级3A的学生是：50×16%﹣3＝8﹣3＝5（人），
女生评级4A的学生是：50×50%﹣10＝25﹣10＝15（人），
如图：
（4）根据题意得：400×（6%+8%+20%）＝136（人），
答：估算评级低于3A的学生人数为136人．
【训练5-3】“停课不停学”，某校为了了解学生在钉钉直播课中观看直播课时间（一节课30分钟），随机抽取了若干名学生观看直播课的时间，获得数据如表，并绘制了相应的扇形统计图．
被抽取学生观看直播课时间统计表：
观看直播课时间 人数
27＜t≤30 20
24＜t≤27 15
21＜t≤24 10
18＜t≤21 m
15＜t≤18 1
t≤15 1
（1）请问被随机抽取的学生共有多少名？并求表格中m的值．
（2）在扇形统计图中，求观看时间在24＜t≤27的学生人数所对的扇形圆心角的度数．
（3）若该校共有学生1100名，估计观看直播课时间在21分钟以上（不包括21分钟）的有多少人？
【分析】（1）根据27＜t≤30的人数和所占的百分比求出总人数，再用总人数减去其他人数，即可得出m的值；
（2）用360°乘以观看时间在24＜t≤27的学生人数所占的百分比即可；
（3）用该校的总人数乘以观看直播课时间在21分钟以上（不包括21分钟）的人数所占的百分比即可．
【解答】解：（1）被随机抽取的学生共有20÷40%＝50（名），
m＝50﹣20﹣15﹣10﹣1﹣1＝3；
（2）观看时间在24＜t≤27的学生人数所对的扇形圆心角的度数是：360°108°；
（3）1100990（人），
答：估计观看直播课时间在21分钟以上（不包括21分钟）的有990人．
【考点6 统计量的综合应用】
【例6】某校组织初三学生电脑技能竞赛，每班选派相同人数去参加竞赛，竞赛成绩分A、B、C、D四个等级，其中相应等级的得分依次记为100分，90分，80分，70分．将初三（1）班和（2）班的成绩整理并绘制成统计图．
平均数（分） 中位数（分） 众数（分）
1班 87.5 90 90
2班 88 85 100
（1）此次竞赛中（2）班成绩在C级以上（包括C级）的人数为 17 ；
（2）请你将表格补充完整；
（3）试运用所学的统计知识，从两个不同角度评价初三（1）班和初三（2）班的成绩．
【分析】（1）求出（1）班的人数，即（2）班人数，再由（2）班C级及以上所占的百分比即可求出相应的人数；
（2）根据中位数、众数、平均数的意义和计算方法求出结果即可；
（3）从两个角度分析两个班的成绩进行评价即可．
【解答】解：（1）（5+9+2+4）×（1﹣15%）＝17（人），
故答案为：17；
（2）一班的竞赛成绩出现次数最多的是90分，即众数是90分，
将二班学生计算成绩从小到大排列后，处在中间位置的两个数的平均数为85（分），因此中位数是85分，
二班的平均数为：100×45%+90×5%+80×35%+70×15%＝88（分）
故答案为：88；85；90，补全统计表详见解答；
（3）
角度1：因为（1）班成绩的中位数比（2）班高，所以（1）班的成绩比（2）班好；
角度2：因为（2）班A级人数比（1）班多，所以（2）班成绩的优秀水平比（1）班高．
【训练6-1】某农业科技部门为了解甲、乙两种新品西瓜的品质（大小、甜度等），进行了抽样调查，在相同条件下，随机抽取了两种西瓜各7份样品，对西瓜的品质进行评分（百分制），并对数据进行收集、整理，下面给出两种西瓜得分的统计图表．
甲、乙两种西瓜得分表
序号 1 2 3 4 5 6 7
甲种西瓜（分） 75 85 86 88 90 96 96
乙种西瓜（分） 80 83 87 90 90 92 94
甲、乙两种西瓜得分统计表
平均数 中位数 众数
甲种西瓜 a b 96
乙种西瓜 88 90 c
（1）a＝ 88 ，b＝ 88 ，c＝ 90 ；
（2）从离散程度看， 乙 种西瓜的得分较稳定（填“甲”或“乙”）；
（3）小明认为甲种西瓜的品质较好些，小军认为乙种西瓜的品质较好些．请结合统计图表中的信息分别写出他们的理由．
【分析】（1）根据中位数、众数的意义求解即可；
（2）根据数据大小波动情况，直观可得答案；
（3）从中位数、众数的比较得出答案．
【解答】解：（1）a88，
将甲种西瓜得分重新排列为：75，85，86，88，90，96，96，
其中位数b＝88，
乙种西瓜得分的众数c＝90，
故答案为：88、88、90；
（2）由甲、乙两种西瓜得分的大小波动情况，直观可得s甲2＞s乙2，
∴乙种西瓜的得分较稳定，
故答案为：乙；
（3）甲种西瓜的品质较好些，理由为：甲种西瓜得分的众数比乙种的高．
乙种西瓜的品质较好些，理由为：乙种西瓜得分的中位数比甲种的高．
【训练6-2】数学小组对当地甲、乙两家网约车公司司机的月收入情况进行了抽样调查．两家公司分别随机抽取10名司机，他们的月收入（单位：千元）情况如图所示．
将以上信息整理分析如下：
平均数 中位数 众数 方差
甲公司 a 7 c d
乙公司 7 b 5 7.6
（1）填空：a＝ 7.3 ；b＝ 5.5 ；c＝ 7 ；d＝ 1.41 ；
（2）某人计划从甲、乙公司中选择一家做网约车司机，你建议他选哪家公司？说明理由．
【分析】（1）利用平均数、中位数、众数及方差的定义分别计算后即可确定正确的答案；
（2）根据平均数，中位数及众数的大小和方差的大小进行选择即可．
【解答】解：（1）甲公司平均月收入：a{5+6+7×4+8×2+9×[10×（1﹣10%﹣10%﹣40%﹣20%）]}＝7.3（千元）；
乙公司滴滴中位数为b5.5（千元）；
甲公司众数c＝7（千元）；
甲公司方差：d[4×（7﹣7.3）2+2×（8﹣7.3）2+2×（9﹣7.3）2+（5﹣7.3）2+（6﹣7.3）2]＝1.41；
故答案为：7.3，5.5，7，1.41；
（2）选甲公司，因为甲公司平均数，中位数、众数大于乙公司，且甲公司方差小，更稳定．
【训练6-3】分析下列统计图信息，解答问题：
甲、乙两家公司在2021年上半年的月营业额统计图如下：
甲、乙两家公司2021年上半年月营业额的相关数据统计如下：
公司 平均数 中位数 众数 方差
甲 2.5 2.3 2.2 0.73
乙 2.3 a 1.7 3.54
（1）分别求出甲、乙两公司上半年的营业总额：
（2）补全乙公司上半年营业额条形统计图，并求出a的值：
（3）结合数据分析2021年上半年甲、乙两家公司哪家经营状况较好，请说明理由．
【分析】（1）用各自的平均数×6即可；
（2）根据（1）的结论求出2月份的营业额，根据中位数的定义求出a的值，再补全乙公司上半年营业额条形统计图即可；
（3）根据平均数、中位数、众数的意义进行判断即可．
【解答】解：（1）甲公司上半年的营业总额为：2.5×6＝15（百万元），
乙公司上半年的营业总额为：2.3×6＝13.8（百万元）；
（2）乙公司2月份的营业额为：13.8﹣1.5﹣1.7﹣2.3﹣1.7﹣3.6＝3（百万元），
∴补全乙公司上半年营业额条形统计图如下：
故a；
（3）甲公司的经营状况较好，理由：甲公司经营营业额的平均数、中位数、众数均比乙公司的高．
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