4.3 探索三角形全等的条件（第3课时）同步课件(共31张PPT)

(共31张PPT)
4.3 探索三角形全等的条件
第3课时
学习目标
1）探索并理解“边角边” 判定方法。
2）利用“边角边” 判定方法证明两个三角形全等。
重点
探索并理解“边角边” 判定方法。
难点
利用“边角边”判定方法证明两个三角形全等。
三边分别相等的两个三角形全等（即 “边边边”或“SSS”）
三角形判定方法：
两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等。（即 “角边角”或“ASA”）
两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等。
（即 “角角边”或“AAS”）
要画一个三角形与已知三角形全等。只知道一个条件行吗？两个条件呢？三个条件呢？
两个条件：
①两角对应相等；
②两边对应相等；
③一边一角对应相等。
结论：只给出一个或两个条件时，都不能保证所画的三角形一定全等
一个条件：
①一角对应相等；
②一边对应相等；
如果给出三个条件画三角形，你能说出有哪几种可能的情况？
三个角相等
三条边相等
两边一角相等
两角一边相等
不一定全等
全等
本节课尝试证明
全等
问题 如果已知一个三角形的两边及一角，那么有几种可能的情况呢？
（1）两边及夹角
（2）两边及其一边的对角
它们能判定两个三角形全等吗？
“两边及夹角”
“两边和其中一边的对角”
A
B
C
A
B
C
尺规作图画出一个△A′B′C′，使A′B′＝AB，A′C′＝AC，∠A′＝∠A（即使两边和它们的夹角对应相等）. 把画好的△A′B′C′剪下，放到△ABC上，它们全等吗？
A
B
C
A
B
C
A′
D
E
B′
C′
作法：
（1）画∠DA'E=∠A；
（2）在射线A'D上截A'B'=AB,在射线A'E上截取A'C'=AC；
（3）连接B'C '.
思考：
① △A′B′C′与△ABC全等吗？如何验证？
②这两个三角形全等是满足哪三个条件？
三角形全等判定方法4
符号语言：
在△ABC与△DEF中
∴△ABC≌△DEF（SAS）.
两边及其夹角分别相等的两个三角形全等．
(可以简写成“边角边”或“SAS”)
F
E
D
C
B
A
AC=DF，
∠C=∠F，
BC=EF，
注意：角写在中间！
例1.如果AB=CB ，∠ABD=∠CBD，那么△ABD和△CBD全等吗？
A
B
C
D
解：在△ABD 和△ CBD中，
AB=CB(已知)，
∠ABD= ∠CBD(已知)，
所以 △ ABD≌△CBD ( SAS).
BD=BD(公共边)，
例2.已知:如图, AB=DB,CB=EB,∠1＝∠2，试说明:∠A=∠D.
解:因为 ∠1＝∠2(已知)，
所以∠1+∠DBC＝ ∠2+ ∠DBC(等式的性质)，
即∠ABC＝∠DBE.
在△ABC和△DBE中,
AB＝DB(已知)，
∠ABC＝∠DBE(已证)，
CB＝EB(已知)，
所以△ABC≌△DBE(SAS).
所以 ∠A=∠D(全等三角形的对应角相等).
1
A
2
C
B
D
E
如果“两边及一角”条件中的角是其中一边的对角，比如三角形两条边分别为 2.5 cm，3.5 cm，长度为 2.5cm 的边所对的角为 40°，情况会怎样呢？
B
C
A
2.5cm
3.5cm
40°
E
D
F
40°
3.5cm
2.5cm
G
两边分别相等且其中一等边的对角相等的两个三角形不一定全等.
如图，把一长一短的两根木棍的一端固定在一起，摆出△ABC.固定住长木棍，转动短木棍，得到△ABD.这个实验说明了什么？
B
A
C
D
△ABC和△ABD满足AB=AB ,AC=AD,
∠B=∠B,但△ABC与△ABD不全等.
画△ABC和△DEF，使∠B=∠E=30°AB=DE=5cm ，AC=DF=3cm ．观察所得的两个三角形是否全等？

A
B
M
C
D
A
B
C
A
B
D
归纳：有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等.
也就是说：两边及其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等．所以它不能作为判定两三角形全等的条件．
归纳总结：
“两边及一内角”中的两种情况只有一种情况能判定三角形全等．即：两边及其夹角对应相等的两个三角形全等．（简记为“边角边”或“SAS”）．
A
B
C
D
A ′
B ′
C ′
D ′
E
E'
F
F'
已知：如图，△ABC ≌△A′B′C′ ，AD和A′ D′ ，AE和A'E'，AF和A'F'，分别是△ABC 和△A′B′C′的高和角平分线.试说明AD＝ A′D′ ，AE＝ A′E′ ，AF＝ A′F′并用一句话说出你的发现.
对于全等三角形的对应边上的中线是否相等，你现在有想法了吗？
全等三角形的对应线段（角平分线、高、中线）相等
已知条件 可选择的判定方法 寻找条件
两边对应相等 SSS SAS 第三边对应相等或两边的夹角对应相等
一边一角 对应相等
SAS
AAS
ASA
角的另一条边对应相等或寻找另一角
1.如图，AB=DB，BC=BE，欲证△ABE≌△DBC，则需要增加的条件是 ( )
A.∠A＝∠D B.∠E＝∠C
C.∠A=∠C D.∠ABD＝∠EBC
2．如图，AC与BD交于O点，若OA＝OD，用“SAS”证明△AOB≌△DOC，还需（ ）．
A．AB＝DC
B．OB＝OC
C．∠A＝∠D
D．∠AOB＝∠DOC
B
3.如图，已知AB＝AE，AC＝AD，下列条件中不能判定△ABC≌△AED的是(　　)
A．BC＝ED
B．∠BAD＝∠EAC
C．∠B＝∠E
D．∠BAC＝∠EAD
4.如图，AB平分∠CAD，E为AB上一点，若AC＝AD，则下列结论错误的是（ ）．
A．BC＝BD
B．CE＝DE
C．BA平分∠CBD
D．图中有两对全等三角形
D
5.如图，BC∥EF，BC＝BE，AB＝FB，∠1＝∠2，若∠1＝60°，求∠C 的度数．
6. 要测量圆形工件的外径,工人师傅设计了如图所示的卡钳,
O为卡钳两柄交点,且有OA=OB=OC=OD,若圆形工件恰好通过卡钳AB,则这个工件的外径必是CD之长,其中的依据是全等三角形的判定条件_____
SAS
7.如图，点A，F，E，C在同一条直线上， AF＝CE，BE∥DF，BE＝DF.试说明：△ABE≌△CDF.
解：∵BE∥DF，
∴∠AEB＝∠CFD(两直线平行，内错角相等).
又∵AF＝CE，
∴AF＋FE＝CE＋EF，即AE＝CF.
在△ABE和△CDF中，
AE=CF(已证)
∠AEB＝∠CFD(已证)
BE=DF(已知) ∴△ABE≌△CDF (SAS)．
8．如图，OA＝OB，OC＝OD，∠AOB＝∠COD，
请说明AC＝BD的理由．
证明：∵∠AOB＝∠COD，
∴∠AOB＋∠BOC＝∠COD＋∠BOC，
即∠AOC＝∠BOD．
在△OAC和△OBD中，
∴△OAC≌△OBD（SAS）．
∴AC＝BD．
9.如图，AB=AC，AD=AE，那么，CD=BE吗？
A
B
C
A
B
A
C
D
E
D
E
解：在△ABE和△ACD中，
AB=AC（已知），
∠A＝∠A（公共角），
AE=AD（已知），
　　∴△ABE≌△ACD（SAS）．
　　∴CD=BE（全等三角形的对应边相等）．
分解
10．如图，A，D，F，B在同一直线上，AD＝BF，AE＝BC，且AE∥BC．
求证：（1）△AEF≌△BCD；（2）EF∥CD．
证明：（1）∵AE∥BC，∴∠A＝∠B．
又∵AD＝BF，
∴AD＋DF＝BF＋FD．即AF＝BD．
在△AEF和△BCD中，
∴△AEF≌△BCD．
10．如图，A，D，F，B在同一直线上，AD＝BF，AE＝BC，且AE∥BC．
求证：（1）△AEF≌△BCD；（2）EF∥CD．
（2）∵△AEF≌△BCD，
∴∠EFA＝∠CDB．
∴EF∥CD．
内容
有两边及夹角对应相等的两个三角形全等（简写成 “SAS”)
应用
为证明线段和角相等提供了新的证法
注意
1 已知两边，必须找“夹角”
2 已知一角和这角的一夹边，必须找这角的另一夹边
边角边
习题4.8
第1、2题