江西省宜春市丰城市东煌学校2023-2024学年高一上学期12月月考数学试卷（含解析）

东煌学校2023-2024学年上学期12月月考试卷
高一数学
一、单选题
1．集合＝，＝，则＝（ ）
A． B． C． D．
2．设函数，则（ ）
A． B． C．1 D．3
3．已知是定义在上的偶函数，那么的最大值是（ ）
A． B． C． D．
4．若对任意的都成立，则实数的取值范围为
A． B． C． D．
5．函数的定义域为（ ）
A． B． C． D．
6．设函数，若，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
7．有如下命题：①函数，，，中有三个在上是减函数；②函数有两个零点；③若，则其中真命题的个数为
A． B． C． D．
8．若函数为定义在上的奇函数，且在为增函数，又，则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
9．已知函数在上具有单调性，则k可能的取值范围是（ ）
A．(35，40] B．[20，25] C．(40，100) D．[70，160)
10．已知函数的定义域为，值域为，则实数对的可能值为（ ）
A． B． C． D．
11．关于函数的性质描述，正确的是（ ）
A．的定义域为 B．的值域为
C．在定义域上是增函数 D．的图象关于原点对称
12．关于函数下列说法正确的是（ ）
A．为偶函数 B．在其定义域上单调递增
C．有且仅有一个零点 D．在区间上存在唯一的零点
三、填空题
13．常用对数：以 为底：
14．函数的定义域为 ．
15．f(x)＝，则＝ .
16．已知为幂函数，且满足，若，则实数的取值范围是 .
四、问答题
17．先将下列式子改写成指数式，再求各式中x的值．
（1）log2x＝－；
（2）logx3＝－.
18．求函数y＝－x2＋2|x|＋3的递增区间．
19．已知二次函数的最小值为-4，且关于x的不等式的解集为．
（1）求函数的解析式；
（2）当时，求函数的值域．
20．已知函数（）在区间上有最大值1和最小值-2.
(1)求的值；
(2)若在区间上，函数的图象恒在函数的图象上方，求实数m的取值范围.
五、计算题
21．化简或求值：
（1）；
（2）.
六、应用题
22．某工厂的固定成本为3万元，该工厂每生产100台某产品的生产成本为1万元，设生产该产品
（百台），其总成本为万元（总成本=固定成本+生产成本），并且销售收入满足，假设该产品产销平衡，根据上述统计数据规律求：
（Ⅰ）要使工厂有盈利，产品数量应控制在什么范围？
（Ⅱ）工厂生产多少台产品时盈利最大？
参考答案：
1．A
【分析】分别求出集合M、N，再按并集的定义计算即可.
【详解】由已知，＝，＝，
所以＝.
故选：A
【点睛】本题主要考查集合的并集运算，涉及到解对数不等式，考查学生的数学运算能力，是一道基础题.
2．D
【分析】根据函数解析式先求出，再求出.
【详解】，
.
故选：D.
【点睛】本题考查分段函数求函数值，属于基础题.
3．D
【分析】根据函数是定义在上的偶函数，利用定义域关于原点对称和，求得解析式，再利用二次函数的性质求解.
【详解】因为是定义在上的偶函数，
则有，则，
同时，即，
则有，必有.
所以，其定义域为，
则的最大值为，
故选：D
4．C
【详解】试题分析：不等式对任意的都成立，即为在上恒成立，即指数函数在上的图象恒在直线的下方.当时，显然成立；当时，由的图象过点可得，由指数函数图象的变化规律可得，所以实数的取值范围为，故选C.
考点：指数函数的图象.
【方法点晴】本题主要考查了指数函数的图象，考查了函数与不等式的关系及数形结合的数学思想,属于中档题.解答本题时把不等式对任意的都成立，转化为两个基本初等函数在上的图象恒在直线的下方，通过讨论函数的单调性，得到实数的范围.
5．D
【分析】根据具体函数的形式，列式求函数的定义域.
【详解】根据函数的形式可知，函数的定义域需满足，
，得，且，
所以函数的定义域为.
故选：D
6．D
【解析】分别在和两种情况下解不等式求得结果即可.
【详解】若，则，解得：；
若，则，解得：；
综上所述：若，则的取值范围为.
故选：D.
7．D
【分析】①根据函数的单调性可得，，三个函数在上是减函数，在R上递增的，故①正确；
②令函数=0化简：=x+2，作出图像，看交点个数得出结果②正确；
③若，因为 为单调递减函数，所以故③正确.
【详解】由题①函数，，，中，根据函数的单调性易知，，，三个函数在上是减函数，在R上递增的，故①正确；
②令函数=0
化简：=x+2，作出图像
有两个交点，故由两个零点；②正确；
③若，因为 为单调递减函数，所以
故③正确.
故选D
【点睛】本题考查了函数的性质（单调性）以及函数与方程，借助数形结合思想，属于较易题.
8．A
【分析】分析出函数在上的单调性，可得出，分、两种情况解原不等式，即可得出原不等式的解集.
【详解】因为函数为定义在上的奇函数，且在为增函数，
则该函数在上也为增函数，且，
由可得.
当时，则，解得；
当时，则，解得.
综上所述，不等式的解集为.
故选：A.
9．AB
【解析】根据二次函数性质得对称轴与区间位置关系，解不等式得结果.
【详解】因为函数在上具有单调性，
又函数的对称轴为：，
所以或，
即得：或，
故选：AB.
【点睛】本题主要考查了二次函数单调性的性质，考查基本分析求解能力，属于容易题.
10．ABC
【分析】先画出的图象，再根据其值域为，结合选项即可判断.
【详解】解：画出的图象如图所示：
由图可知：，
，
根据选项可知：当的定义域为，值域为时，
的可能值为，，.
故选：ABC.
11．ABD
【分析】由被开方式非负和分母不为，解不等式可得的定义域，可判断A；化简，讨论，，分别求得的范围，求并集可得的值域，可判断B；由，可判断C；由奇偶性的定义可判断为奇函数，可判断D；
【详解】对于A，由，解得且，
可得函数的定义域为，故A正确；
对于B，由A可得，即，
当可得，
当可得，可得函数的值域为，故B正确；
对于C，由，则在定义域上不是增函数，故C 错误；
对于D，由的定义域为，关于原点对称，
，则为奇函数，故D正确；
故选：ABD
【点睛】本题考查了求函数的定义域、值域、奇偶性、单调性，属于中档题.
12．AD
【分析】根据偶函数的定义判断A；利用特值结合单调性定义判断B；利用零点存在定理结合函数单调性，奇偶性判断CD.
【详解】的定义域为，
，则为偶函数，故A正确；
∵，，
∴，由此可判断B错误；
当时，，因为在上均单调递增，
所以在上单调递增，
，，
故在区间上存在唯一的零点，故D正确；
在区间上存在唯一的零点，又为偶函数，
则在区间上存在唯一的零点，
故有2个零点，故C错误.
故选：AD.
13．10
【分析】根据常用对数的定义可得.
【详解】根据常用对数的定义可得答案为:10
故答案为:10
【点睛】本题考查了常用对数的定义,属于基础题.
14．
【分析】根据函数有意义满足的不等式，即可求解.
【详解】函数有意义须，，
解得，
所以函数的定义域是.
故答案为:
【点睛】本题考查函数的定义域，以及解对数不等式，属于基础题.
15．9
【分析】根据解析式，先求出，再求得的值.
【详解】因为,
且,
所以，,
所以, 故答案为9.
【点睛】本题主要考查分段函数的解析式，属于中档题.对于分段函数解析式的考查是命题的动向之一，这类问题的特点是综合性强，对抽象思维能力要求高，因此解决这类题一定要层次清楚，思路清晰.
16．
【分析】由幂函数定义及，即可求出幂函数的解析式，进而由函数在定义域上单调递增且，即可求的范围
【详解】设，则有，解得
∴，且函数在上单调递增
∵
∴，解得
故答案为：
【点睛】本题考查了幂函数，由幂函数的定义及已知条件求出幂指数，进而得到解析式，再根据所得幂函数的单调性及已知不等关系求参数范围
17．（1）x＝，；（2）， ；
【分析】（1）根据指数式与对数式的互化公式以及指数的运算性质可得结果；
（2）根据指数式与对数式的互化公式以及指数的运算性质可得结果；
【详解】（1）因为log2x＝－，所以x＝，所以；
（2）因为logx3＝－，所以，所以；
18．(－∞，－1]和[0,1]
【分析】先化简函数的解析式，再作出函数的图像，根据函数的图像得到函数的单调递增区间.
【详解】由题意y＝－x2＋2|x|＋3＝
函数图像如图所示：
∴函数y＝－x2＋2|x|＋3的递增区间是(－∞，－1]和[0,1]．
【点睛】本题主要考查函数的图像的作法和函数的单调区间，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.
19．（1）（2）
【分析】（1）设，由一元二次不等式和一元二次方程的关系可利用韦达定理构造方程求得且；根据二次函数最值可构造方程求得，进而得到函数解析式；
（2）根据二次函数性质可知，，从而得到函数值域.
【详解】（1）设
的解集为
和为的两根且 ，即
最小值为 ，解得：
（2）由（1）知，为开口方向向上，对称轴为的二次函数
当时，；当时，
在上的值域为
【点睛】本题考查待定系数法求解函数解析式、二次函数值域的求解问题；关键是能够根据一元二次不等式的解集和一元二次方程根的关系将函数解析式进行化简，进而根据函数最值求得参数值.
20．(1)
(2)
【分析】（1）利用单调性获解；（2）分离变量，转化为函数的最值问题即可
【详解】（1）
∵，∴函数图象开口向上，对称轴，
∴在递减；
∴，且，
∴；
（2）因为在区间上，函数的图象恒在函数的图象上方，
所以在上恒成立,等价于,
即，要使此不等式在上恒成立，
只需使函数在上的最小值大于0即可.
∵在上单调递减，
∴，由得，.
因此满足条件的实数m的取值范围是.
21．（1）；（2）.
【分析】（1）直接利用分数指幂性质、运算法则求解；
（2）直接利用对数的性质、运算法则求解.
【详解】（1）原式.
（2）原式，
.
22．（Ⅰ）；（Ⅱ）600.
【详解】试题分析：（Ⅰ）由于销售收入是一个关于产品数量x的一个分段函数，另外计算工厂的盈利需要将销售收入r（x)减去总的成本g（x)万元，所以在两段函数中分别求出盈利大于零的时候产品数量的范围，及可求得结论；（Ⅱ）通过二次函数的最值的求法即可得到盈利最大值时对应的产品数x的值，本小题单位的转化也是易错点.
试题解析：
解：依题意得，设利润函数为，则，
所以 2分
（Ⅰ）要使工厂有盈利，则有f（x)＞0，因为
f（x)＞0 ， 4分

或， 6分
即. 7分
所以要使工厂盈利，产品数量应控制在大于300台小于1050台的范围内． 8分
（Ⅱ）当时，
故当x＝6时，f（x)有最大值4.5. 10分
而当x＞7时，.
所以当工厂生产600台产品时，盈利最大． 12分
考点：函数的综合应用.