2023-2024学年12月月考高二数学试卷
一、单选题
1．已知直线过点、，则直线的倾斜角为（ A ）
A． B． C． D．
2．平行六面体中，，则（ B ）
A．1 B． C． D．
【详解】由平行六面体可得，又，
所以，则.
3．的展开式中的系数为（ B ）
A． B．7 C．77 D．
【详解】的展开式通项为，
故的展开式中的系数为，
4．若直线与垂直，则（ A ）
A． B．2 C． D．
【详解】因为直线与垂直，所以，解得，
5．将4名医生，3名护士分配到3个社区对居民进行健康体检，要求每个社区至少有1名医生和1名护士，则不同的分配方法共有（ D ） A．64种 B．108种 C．128种 D．216种
【详解】先将4名医生分成3组，每组至少1人，共有种方法，再将3组医生分到3个社区有种，最后将3名护士分配到3个社区有种，所以，共有种.
6．在长方体中，已知，，，E为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ B ）A． B． C． D．
【详解】以D为坐标原点，，，的方向分别为轴的正方向建立空间直角坐标系，
则，，，，，.
设异面直线与DE所成角的大小为，所以.
第8题
7．2023年成都大运会期间，5名同学到4个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，每个场馆至少安排1名同学，则不同的安排方法共有（ C ）
A．60种 B．120种 C．240种 D．480种
【详解】先将5名同学分为4组，其中1组有2名，另外3组各1名，共有种分法，
然后将这4组全排列，共有种排法， 则不同的安排方法共有（种），
8．已知点在抛物线上，是抛物线的焦点，点为直线上的动点，则的最小值为（ D ） A．8 B． C． D．
【详解】由抛物线，可得焦点为，准线方程为，
如图所示，设点关于的对称点为，则，
可得，当且仅当点为直线与的交点时，取得最小值，
则，即的最小值为.
二、多选题
9．已知直线，则下列结论正确的是（ BD ）
A．直线l的倾斜角是 B．点到直线的距离是2
C．若直线，则 D．过与直线平行的直线方程是
10．已知，，，则（ ACD ）
A． B． C．若，则 D．若，则，
【详解】，所以，故A正确；，所以，故B错；因为，所以，解得，故C正确；
因为，所以，即，解得，故D正确 故选：ACD.
11．已知双曲线：的离心率为2，下列双曲线中与双曲线C的渐近线相同的是（ BCD ）A． B． C． D．
12．在的展开式中，则（ AC ）
A．二项式系数最大的项为第3项和第4项 B．所有项的系数和为0
C．常数项为 D．所有项的二项式系数和为64
【详解】A：所有项的二项式系数为，最大的为和，对应的是第3项和第4项，故A正确；B：设，所有项的系数为，
所以，故B错误；
C：二项式展开式的通项公式为，
令，解得，所以常数项为，故C正确；
D：所有项的系数之和为，所以D错误.
三、填空题
13．若双曲线（）的一条渐近线与直线垂直，则该双曲线的离心率为 .
【详解】双曲线（）的渐近线方程为，直线斜率为，
由一条渐近线与直线垂直得，解得，所以离心率为.
14．现有，，，，五人排成一列，其中与相邻，不排在两边，则共有 种不同的排法（用具体数字作答）.
【详解】法一：将捆绑，则除以外其他四人的排序有种，又不排在两边，
所以可选的位置有两种，所以共种排法；
法二：将捆绑，若的位置任意，则五人的排序有种，其中排在两边的情况有种，所以不排在两边的情况有种； 故答案为：.
15．已知圆和圆内切，则 7 .
【详解】由题意可知圆心，半径为2，圆心，半径为r.则，即点在圆外. 又因为两圆内切，所以，则.
16．如图，二面角的棱上有两个点，，线段与分别在这个二面角两个面内，并且都垂直于棱．若二面角的平面角为，且，，，则 .
【详解】由条件知，，，又二面角的平面角为，则，所以
，所以.故答案为：
四、解答题
17．已知直线 与直线交于点.
(1)求过点且平行于直线的直线的方程；
(2)求过点且垂直于直线的直线的方程；
(3)求过点并且在轴上的截距是在轴上截距2倍的直线的方程.
【详解】（1）由，得，所以交点，
设过点且平行于直线的直线方程为，
将点坐标代入，解得，则直线方程是:.
（2）求过点且垂直于直线的直线方程为，
将点坐标代入，解得，则直线方程是:.
（3）当直线过原点时，设直线方程为，将点坐标代入，可得，
则，化简可得；当直线不过原点时，设直线方程为，
由条件可得，解得，则，化简可得；
综上所述，直线的方程为或,
18．名男生和名女生站成一排．
(1)甲不在中间也不在两端的站法有多少种？ (2)甲、乙两人必须站在两端的站法有多少种？
(3)男、女分别排在一起的站法有多少种？ (4)男、女相间的站法有多少种？
(5)甲、乙、丙三人从左到右顺序一定的站法有多少种？
【详解】（1）先排甲有种，其余有种，共有种排法.
（2）先排甲、乙，再排其余人，共有种排法.
（3）把男生和女生分别看成一个元素，男生和女生内部还有一个全排列，共种.
（4）先排名男生有种方法，再将名女生插在男生形成的个空上有种方法，
故共有种排法.
（5）人共有种排法，其中甲、乙、丙三人有种排法，
因而在种排法中每种对应一种符合条件的排法，故共有种排法．
19．在棱长为2的正方体中，点是的中点，点是中点．
(1)证明：平面；(2)求到面的距离．
【详解】（1）以为原点，直线，，所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，如图所示：则，，，，，，
则，，，设平面的一个法向量为，
则，取，则，，所以，
又因为，所以， 所以平面.
（2）由（1）知平面的法向量为，
又因为， 所以到面的距离为．
20．已知椭圆的焦距为2，离心率为．
(1)求椭圆C的标准方程； (2)经过椭圆的左焦点作倾斜角为60°的直线，直线与椭圆交于M，N两点，点为椭圆的右焦点，求的面积．
【详解】（1）由已知得，可得，
所以椭圆C的标准方程为；
（2）由（1）得，则直线：，
联立，消去得，设，则，
所以.
21．（1）若，求的值；
（2）在的展开式中，
①求二项式系数最大的项；②系数的绝对值最大的项是第几项？
【详解】（1）∵，
令，可得，令，可得，
∴．
（2）①．
二项式系数最大的项为中间项，即第5项．所以．
②设第项系数的绝对值最大，
则所以解得
故系数绝对值最大的项是第6项和第7项．
22．如图，在三棱柱中，侧面是边长为的正方形，为矩形，.
(1)求证：平面ABC；(2)求平面与平面所成角的正弦值；
(3)求点C到平面的距离.
【详解】（1）因为侧面为正方形，为矩形，所以，，
因为，平面，所以平面；
（2）由（1）知，，，
由题意知，，，所以即，
如图，以为原点，以分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，
则，连接，
所以，，，
设平面的法向量为，则即，
令，则，，所以，
设平面的法向量为，
则即，令，则，，所以，
设平面与平面所成角为，
则， 则；
故所求平面与平面所成角的正弦值为；
（3）由（1）知平面的法向量为，
，则点到平面的距离为.
故点C到平面的距离为.东煌学校2023-2024学年上学期12月月考试卷
高二数学
一、单选题（每小题5分，共40分）
1．已知直线过点、，则直线的倾斜角为（ ）
A． B． C． D．
2．平行六面体中，，则（ ）
A．1 B． C． D．
3．的展开式中的系数为（ ）
A． B．7 C．77 D．
4．若直线与垂直，则（ ）
A． B．2 C． D．
5．将4名医生，3名护士分配到3个社区对居民进行健康体检，要求每个社区至少有1名医生和1名护士，则不同的分配方法共有（ ）
A．64种 B．108种 C．128种 D．216种
6．在长方体中，已知，，，E为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
7．2023年成都大运会期间，5名同学到4个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，每个场馆至少安排1名同学，则不同的安排方法共有（ ）
A．60种 B．120种 C．240种 D．480种
8．已知点在抛物线上，是抛物线的焦点，点为直线上的动点，则的最小值为（ ）
A．8 B． C． D．
二、多选题（每小题5分，共20分）
9．已知直线，则下列结论正确的是（ ）
A．直线l的倾斜角是 B．点到直线的距离是2
C．若直线，则 D．过与直线平行的直线方程是
10．已知，，，则（ ）
A． B． C．若，则 D．若，则，
11．已知双曲线：的离心率为2，下列双曲线中与双曲线C的渐近线相同的是（ ）
A． B． C． D．
12．在的展开式中，则（ ）
A．二项式系数最大的项为第3项和第4项 B．所有项的系数和为0
C．常数项为 D．所有项的二项式系数和为64
三、填空题（每小题5分，共20分）
13．若双曲线（）的一条渐近线与直线垂直，则该双曲线的离心率为 .
14．现有，，，，五人排成一列，其中与相邻，不排在两边，则共有 种不同的排法（用具体数字作答）.
15．已知圆和圆内切，则 .
16．如图，二面角的棱上有两个点，，线段与分别在这个二面角两个面内，并且都垂直于棱．若二面角的平面角为，且，，，则 .
四.解答题（本大题6小题，共70分）
17．（本小题10分）已知直线 与直线交于点.
(1)求过点且平行于直线的直线的方程；
(2)求过点且垂直于直线的直线的方程；
(3)求过点并且在轴上的截距是在轴上截距2倍的直线的方程.
18．（本小题12分）名男生和名女生站成一排．
(1)甲不在中间也不在两端的站法有多少种？ (2)甲、乙两人必须站在两端的站法有多少种？
(3)男、女分别排在一起的站法有多少种？ (4)男、女相间的站法有多少种？
(5)甲、乙、丙三人从左到右顺序一定的站法有多少种？
19．（本小题12分）在棱长为2的正方体中，点是的中点，点是中点．
(1)证明：平面；
(2)求到面的距离．
20．（本小题12分）已知椭圆的焦距为2，离心率为．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)经过椭圆的左焦点作倾斜角为60°的直线，直线与椭圆交于M，N两点，点为椭圆的右焦点，求的面积．
21．（本小题12分）（1）若，求的值；
（2）在的展开式中，
①求二项式系数最大的项； ②系数的绝对值最大的项是第几项？
22．（本小题12分）如图，在三棱柱中，侧面是边长为的正方形，为矩形，.
(1)求证：平面ABC； (2)求平面与平面所成角的正弦值；
(3)求点C到平面的距离.
