1.5 二次函数的应用 课件(共18张PPT) 湘版数学九年级下册
文档属性
| 名称 | 1.5 二次函数的应用 课件(共18张PPT) 湘版数学九年级下册 |  | |
| 格式 | pptx | ||
| 文件大小 | 850.2KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 湘教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-12-28 14:06:27 | ||
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文档简介
(共18张PPT)
第一章 二次函数
1.5 二次函数的应用
复习导入
y=ax2+bx+c
对称轴是：
顶点坐标是：
当 时，函数达到最大值(当a＜0)或最小值(当a＞0)： ．
1.二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标、对称轴？
复习导入
2.二次函数y=ax2
y=a(x-h)2
y=a(x-h)2+k时，
图象将发生怎样的变化？
y=ax2 y=a(x-h)2 y=a(x-h)2+k
不变的 变 的 顶点
对称轴
开口方向和开口大小
（0，0）
（h，0）
（h，k）
y轴
x=h
x=h
一般地，函数y=ax2，的图象先向右（当h>0）或向左（当h<0）平移|h|个单位可得y=a(x-h)2的图象；或再向上（当k>0）或向下（当k<0）平移|k|个单位可得到y=a(x-h)2+k的图象．
探究新知
如图，一座拱桥的纵截面是抛物线的一部分，拱桥的跨度是4.9 m，当水面宽4 m时，拱顶离水面2 m．若想了解水面宽度变化时，拱顶离水面高度怎样变化，你能解决这个问题吗？
探究新知
桥洞的拱形是什么函数的图象？
桥洞的拱形是抛物线，是某个二次函数的图象．
要求该抛物线的函数解析式，你认为首先要做的是什么
建立平面直角坐标系．
4 m
2 m
4.9 m
如何方便简单地构建函数模型呢？我们有下面四种选择：
（0，0）
（4，0）
（2，2）
y
o
x
o
y
x
（0，0）
（2，-2）
（-2，-2）
探究新知
o
y
x
（2，0）
（2，0）
（-2，0）
（0，0）
（-4，0）
（-2，2）
o
y
x
选择哪个更容易解决问题？
由于第二种建立坐标系的顶点坐标是（0，0），因此这个二次函数的形式是y=ax2．这样建立的直角坐标系函数解析式最为简单．
如何确定a是多少？
如图，已知水面宽4 m，拱顶离水面高2 m
∴点A（2，-2）在抛物线上．由此得出：-2=a·22，
解得 ．
∴这个函数的表达式为 ，
其中|x|是水面宽度的一半，y是拱顶离水面高度的相反数．
由于拱桥的跨度为4.9米，因此自变量x的取值范围是：
-2.45≤x≤2.45．
探究新知
探究新知
当水面宽 4.6 m 时， 拱顶离水面几米？
解：当水面宽 4.6 m 时，把x=2.3代入函数的表达式
，得
y=-2.645．
答：当水面宽 4.6 m 时，拱顶离水面2.645米．
知识要点
建立二次函数模型解决实际问题的基本步骤是什么？
(1)根据题意建立适当的平面直角坐标系.
(2)把已知条件转化为点的坐标.
(3)合理设出函数解析式.
(4)利用待定系数法求出函数解析式.
(5)利用二次函数的图象和性质进一步分析,判断并进行有关的计算.
典例精析
例1 如图是某抛物线形悬索桥的截面示意图， 已知悬索桥两端主塔高150 m， 主塔之间的距离为900 m， 试建立适当的直角坐标系， 求出该抛物线形桥所对应的二次函数表达式.
解：如图，以悬索桥的中心点为原点，抛物线对称轴为y轴建立直角坐标系，则可设二次函数表达式为 y = ax2，A（450,150）
解得
∴ ，-450≤x≤450
探究新知
如图 ， 用 8 m 长的铝材做一个日字形窗框. 试问： 窗框的宽和高各为多少时， 窗框的透光面积 S（m2）最大？ 最大面积是多少？ （假设铝材的宽度不计）
解：设窗框的宽度为x m．则窗框的高为 m，
其中 ．
则窗框的透光面积为：，．
配方得： ， ．
这时高为： ．
∴当窗户宽米，高2米时，透光面积最大，最大面积为 m2．
∴当时，S取最大值.
如图 ， 用 8 m 长的铝材做一个日字形窗框. 试问： 窗框的宽和高各为多少时， 窗框的透光面积 S（m2）最大？ 最大面积是多少？ （假设铝材的宽度不计）
探究新知
要考虑是不是在自变量x的取值范围内
还可以怎么求最大值？
运用二次函数求实际问题中的最大值或最小值解题的一般步骤是怎样的？
1.应当求出函数解析式和自变量的取值范围．
3.确定所求得的最大值或最小值对应的自变量的值必须在自变量的取值范围内．
2.通过配方变形，或利用顶点公式求它的最大值或最小值．
知识要点
典例精析
例2 某网络玩具店引进一批进价为 20 元/件的玩具，如果以单价 30 元销售，那么一个月内可售出 180 件. 根据销售经验，提高销售单价会导致销售量的下降，即销售单价每上涨 1 元，月销售量将相应减少10 件. 当销售单价为多少元时，该店能在一个月内获得最大利润？
进价/元 售价/元 数量/件 利润
现价 20 30 180
涨价 20
30 + x
180-10x
典例精析
进价/元 售价/元 数量/件 利润
现价 20 30 180
涨价 20
30 + x
180-10x
解 设每件商品的销售单价上涨 x 元， 一个月内获取的商品总利润为 y 元.
每月减少的销售量为 10 x件， 实际销售量为 (180 - 10 x)件， 单件利润为（30 + x - 20 ）元， 则
y = (10 + x )(180 - 10x ) ，
即 y = - 10x2 + 80x + 1 800 （ 0 ≤ x ≤ 18 ） .
将上式进行配方，y ＝ - 10 ( x - 4 )2 + 1 960.
当 x = 4 时，即销售单价为 34 元时， y 取最大值 1 960.
当堂练习
1.小红想将一根72cm长的彩带剪成两段，分别围成两个正方形，则她要怎么剪才能让这两个正方形的面积和最小？此时的面积和为多少？
解：设一个正方形的边长为a cm，则另一个正方形的边长为(18-a)cm．则两个正方形的面积和为：
S=a2+(18-a)2=2a2-36a+324(0＜x＜18)．
将上式进行配方得：S=2(a-9)2+162(0＜x＜18)．
当a=9 cm时，S最小，最小值为162 cm2.
此时，她将彩带二等分．
答：她应将彩带分成相等的两段剪，此时的面积和最小为162 cm2．
当堂练习
2.如图，正方形ABCD的边长为a,点P,Q,R,S分别在AB,BC,CD,DA上，且BQ=2AP,CR=3AP,DS=4AP.问AP为多少时，四边形PQRS的面积有最小值？最小值是多少？
当AP时，S最小，最小值为 2.
课堂小结
建立二次函数模型解决实际问题的基本步骤是什么？
(1)根据题意建立适当的平面直角坐标系.
(2)把已知条件转化为点的坐标.
(3)合理设出函数解析式.
(4)利用待定系数法求出函数解析式.
(5)利用二次函数的图象和性质进一步分析,判断并进行有关的计算.
第一章 二次函数
1.5 二次函数的应用
复习导入
y=ax2+bx+c
对称轴是：
顶点坐标是：
当 时，函数达到最大值(当a＜0)或最小值(当a＞0)： ．
1.二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标、对称轴？
复习导入
2.二次函数y=ax2
y=a(x-h)2
y=a(x-h)2+k时，
图象将发生怎样的变化？
y=ax2 y=a(x-h)2 y=a(x-h)2+k
不变的 变 的 顶点
对称轴
开口方向和开口大小
（0，0）
（h，0）
（h，k）
y轴
x=h
x=h
一般地，函数y=ax2，的图象先向右（当h>0）或向左（当h<0）平移|h|个单位可得y=a(x-h)2的图象；或再向上（当k>0）或向下（当k<0）平移|k|个单位可得到y=a(x-h)2+k的图象．
探究新知
如图，一座拱桥的纵截面是抛物线的一部分，拱桥的跨度是4.9 m，当水面宽4 m时，拱顶离水面2 m．若想了解水面宽度变化时，拱顶离水面高度怎样变化，你能解决这个问题吗？
探究新知
桥洞的拱形是什么函数的图象？
桥洞的拱形是抛物线，是某个二次函数的图象．
要求该抛物线的函数解析式，你认为首先要做的是什么
建立平面直角坐标系．
4 m
2 m
4.9 m
如何方便简单地构建函数模型呢？我们有下面四种选择：
（0，0）
（4，0）
（2，2）
y
o
x
o
y
x
（0，0）
（2，-2）
（-2，-2）
探究新知
o
y
x
（2，0）
（2，0）
（-2，0）
（0，0）
（-4，0）
（-2，2）
o
y
x
选择哪个更容易解决问题？
由于第二种建立坐标系的顶点坐标是（0，0），因此这个二次函数的形式是y=ax2．这样建立的直角坐标系函数解析式最为简单．
如何确定a是多少？
如图，已知水面宽4 m，拱顶离水面高2 m
∴点A（2，-2）在抛物线上．由此得出：-2=a·22，
解得 ．
∴这个函数的表达式为 ，
其中|x|是水面宽度的一半，y是拱顶离水面高度的相反数．
由于拱桥的跨度为4.9米，因此自变量x的取值范围是：
-2.45≤x≤2.45．
探究新知
探究新知
当水面宽 4.6 m 时， 拱顶离水面几米？
解：当水面宽 4.6 m 时，把x=2.3代入函数的表达式
，得
y=-2.645．
答：当水面宽 4.6 m 时，拱顶离水面2.645米．
知识要点
建立二次函数模型解决实际问题的基本步骤是什么？
(1)根据题意建立适当的平面直角坐标系.
(2)把已知条件转化为点的坐标.
(3)合理设出函数解析式.
(4)利用待定系数法求出函数解析式.
(5)利用二次函数的图象和性质进一步分析,判断并进行有关的计算.
典例精析
例1 如图是某抛物线形悬索桥的截面示意图， 已知悬索桥两端主塔高150 m， 主塔之间的距离为900 m， 试建立适当的直角坐标系， 求出该抛物线形桥所对应的二次函数表达式.
解：如图，以悬索桥的中心点为原点，抛物线对称轴为y轴建立直角坐标系，则可设二次函数表达式为 y = ax2，A（450,150）
解得
∴ ，-450≤x≤450
探究新知
如图 ， 用 8 m 长的铝材做一个日字形窗框. 试问： 窗框的宽和高各为多少时， 窗框的透光面积 S（m2）最大？ 最大面积是多少？ （假设铝材的宽度不计）
解：设窗框的宽度为x m．则窗框的高为 m，
其中 ．
则窗框的透光面积为：，．
配方得： ， ．
这时高为： ．
∴当窗户宽米，高2米时，透光面积最大，最大面积为 m2．
∴当时，S取最大值.
如图 ， 用 8 m 长的铝材做一个日字形窗框. 试问： 窗框的宽和高各为多少时， 窗框的透光面积 S（m2）最大？ 最大面积是多少？ （假设铝材的宽度不计）
探究新知
要考虑是不是在自变量x的取值范围内
还可以怎么求最大值？
运用二次函数求实际问题中的最大值或最小值解题的一般步骤是怎样的？
1.应当求出函数解析式和自变量的取值范围．
3.确定所求得的最大值或最小值对应的自变量的值必须在自变量的取值范围内．
2.通过配方变形，或利用顶点公式求它的最大值或最小值．
知识要点
典例精析
例2 某网络玩具店引进一批进价为 20 元/件的玩具，如果以单价 30 元销售，那么一个月内可售出 180 件. 根据销售经验，提高销售单价会导致销售量的下降，即销售单价每上涨 1 元，月销售量将相应减少10 件. 当销售单价为多少元时，该店能在一个月内获得最大利润？
进价/元 售价/元 数量/件 利润
现价 20 30 180
涨价 20
30 + x
180-10x
典例精析
进价/元 售价/元 数量/件 利润
现价 20 30 180
涨价 20
30 + x
180-10x
解 设每件商品的销售单价上涨 x 元， 一个月内获取的商品总利润为 y 元.
每月减少的销售量为 10 x件， 实际销售量为 (180 - 10 x)件， 单件利润为（30 + x - 20 ）元， 则
y = (10 + x )(180 - 10x ) ，
即 y = - 10x2 + 80x + 1 800 （ 0 ≤ x ≤ 18 ） .
将上式进行配方，y ＝ - 10 ( x - 4 )2 + 1 960.
当 x = 4 时，即销售单价为 34 元时， y 取最大值 1 960.
当堂练习
1.小红想将一根72cm长的彩带剪成两段，分别围成两个正方形，则她要怎么剪才能让这两个正方形的面积和最小？此时的面积和为多少？
解：设一个正方形的边长为a cm，则另一个正方形的边长为(18-a)cm．则两个正方形的面积和为：
S=a2+(18-a)2=2a2-36a+324(0＜x＜18)．
将上式进行配方得：S=2(a-9)2+162(0＜x＜18)．
当a=9 cm时，S最小，最小值为162 cm2.
此时，她将彩带二等分．
答：她应将彩带分成相等的两段剪，此时的面积和最小为162 cm2．
当堂练习
2.如图，正方形ABCD的边长为a,点P,Q,R,S分别在AB,BC,CD,DA上，且BQ=2AP,CR=3AP,DS=4AP.问AP为多少时，四边形PQRS的面积有最小值？最小值是多少？
当AP时，S最小，最小值为 2.
课堂小结
建立二次函数模型解决实际问题的基本步骤是什么？
(1)根据题意建立适当的平面直角坐标系.
(2)把已知条件转化为点的坐标.
(3)合理设出函数解析式.
(4)利用待定系数法求出函数解析式.
(5)利用二次函数的图象和性质进一步分析,判断并进行有关的计算.