第八单元数与形-六年级上册数学单元易错精讲精练人教版（含解析）
文档属性
| 名称 | 第八单元数与形-六年级上册数学单元易错精讲精练人教版（含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 1.4MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-12-28 16:07:01 | ||
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文档简介
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第八单元数与形-六年级上册数学单元易错精讲精练人教版
易错精讲
易错题一：
【例1】
请根据下图中的规律，按要求回答问题。
（1）在下表中完整地填写③、④号图的相关数据。
图号 ① ② ③ ④
白色三角形个数 0 1
黑色三角形个数 1 3
总个数
（2）根据以上的信息，你发现了什么规律？
（3）当黑色三角形个数比白色三角形个数多10个时，白色三角形和黑色三角形的总个数是多少个？黑色的多少个？
答案：（1）3；6；6；10；；；
（2）第n个图形黑色三角形个数比白色三角形个数多n个，总个数为n2；
（3）100个；55个
【分析】（1）图①白色三角形为0个，黑色三角形为1个，三角形的总个数为12；图②白色三角形为1个，黑色三角形为（1＋2）个，三角形的总个数为22；图③白色三角形为（1＋2）个，黑色三角形为（1＋2＋3）个，三角形的总个数为32；图④白色三角形为（1＋2＋3）个，黑色三角形为（1＋2＋3＋4）个，三角形的总个数为42……
（2）由表格可知，图①黑色三角形个数比白色三角形个数多1个，总个数为12；图②黑色三角形个数比白色三角形个数多2个，总个数为22；图③黑色三角形个数比白色三角形个数多3个，总个数为32；图④黑色三角形个数比白色三角形个数多4个，总个数为42……
（3）由规律可知，当黑色三角形个数比白色三角形个数多10个时，三角形的总个数为100个，黑色三角形的个数＝（三角形的总个数＋两种三角形个数的差）÷2；据此解答。
【详解】（1）
图号 ① ② ③ ④
白色三角形个数 0 1 3 6
黑色三角形个数 1 3 6 10
总个数
（2）分析可知，第n个图形黑色三角形个数比白色三角形个数多n个，总个数为n2。
（3）当黑色三角形个数比白色三角形个数多10个时，黑白三角形的总个数为102＝100（个）
（100＋10）÷2
＝110÷2
＝55（个）
答：白色三角形和黑色三角形的总个数是100个，黑色的55个。
【点睛】分析图形和表格找出三角形个数变化的规律是解答题目的关键。
易错题二：
【例2】
下面的4个图形都是用相同的小棒拼成的。
①根据前4个图形的规律拼摆，40根小棒能摆出第10个图形吗？
②第n个图形是由多少根小棒拼成的？把探索过程用你喜欢的方式表示出来。
答案：①不能
②4n＋1根；过程见详解
【分析】观察可知，图形数量＝（小棒数量－1）÷4；小棒数量＝图形数量×4＋1，据此分析。
【详解】①10×4＋1
＝40＋1
＝41（根）
41＞40
答：不能摆出第10个图形。
②第1个图形用5根小棒，5＝1×4＋1
第2个图形用9根小棒，9＝2×4＋1
第3个图形用13根小棒，13＝3×4＋1
第4个图形用17根小棒，17＝4×4＋1
所以小棒数量＝4n＋1（根）
【点睛】数和图形的规律是相对应的，图形的排列有什么变化规律，数的排列就有相应的变化规律。
易错题三：
【例3】
一张桌子摆4把椅子，两张桌子并起来摆6把椅子……照这样摆下去。
（1）6张桌子可以摆多少把椅子？
（2）n张桌子可以摆多少把椅子？用式子表示出来是（ ）把。
（3）如果有34人，需要并起来多少张桌子才能坐下？
答案：（1）14把；
（2）2n＋2；
（3）16张
【分析】由图可知，1张桌子时，可以摆4把椅子；2张桌子时，可以摆（4＋2）把椅子；3张桌子时，可以摆（4＋2＋2）把椅子……每增加一张桌子就增加2把椅子，那么n张桌子时，可以摆4＋2（n－1）把椅子；最后计算出椅子数量为34时，n的值即可。
【详解】（1）1张桌子可以摆椅子的数量：4把
2张桌子可以摆椅子的数量：4＋2＝6（把）
3张桌子可以摆椅子的数量：4＋2×2＝4＋4＝8（把）
4张桌子可以摆椅子的数量：4＋3×2＝4＋6＝10（把）
5张桌子可以摆椅子的数量：4＋4×2＝4＋8＝12（把）
6张桌子可以摆椅子的数量：4＋5×2＝4＋10＝14（把）
答：6张桌子可以摆14把椅子。
（2）分析可知，n张桌子可以摆椅子的数量：4＋2（n－1）＝4＋2n－2＝（2n＋2）把
（3）如果有34人，那么需要34把椅子。
2n＋2＝34
解：2n＝34－2
2n＝32
n＝32÷2
n＝16
答：如果有34人，需要并起来16张桌子才能坐下。
【点睛】分析题意找出椅子数量变化的规律是解答题目的关键。
易错题四：
【例4】
你能利用下图发现a2－b2＝(a＋b)×(a－b)这个公式吗？
（1）利用你所学的面积知识探索一下．
（2）利用上面的公式快速计算下面各题．
912－902 542－462
答案：（1）探讨过程见解析
（2）181；800
【详解】（1）提示：
一个梯形的面积＝(a＋b)×(a－b)÷2
阴影部分的面积＝a2－b2＝(a＋b)×(a－b)÷2×2＝(a＋b)×(a－b)
（2）912－902＝(91＋90)×(91－90)＝181
542－462＝(54＋46)×(54－46)＝800
易错培优练
一、选择题
1．观察下列图形的排列规律（其中☆，□，●分别表示五角星、正方形、圆）。●□☆●●□☆●□☆●●□☆●……若第一个图形是圆，则第2015个图形是（ ）。
A．正方形 B．圆 C．五角星 D．无法确定
2．仔细观察前两幅图，并根据规律写出第三幅图所表示的数是（ ）。
A．21341 B．200013041 C．200013401 D．200010341
3．如图，按这样的规律接着画下去，第六个图形中有（ ）个■。
A．30 B．36 C．42 D．48
4．用小棒按照如下方式摆图形，摆n个八边形需要（ ）根小棒。
A．8n B．8n－1 C．7n＋1 D．8（n－1）
5．按如图所示的方式排列点阵，则第六个点阵中有（ ）个点。
A．16 B．21 C．25 D．36
6．“龟兔赛跑”中兔子跑得快，一开始领先，但它太骄傲在途中睡了一觉再继续跑；乌龟跑得慢，但一直不停地跑，抵达终点，赢得胜利。下面哪幅图基本反映了比赛的过程？（ ）。
A． B．
C． D．
二、填空题
7．〇〇☆☆☆〇〇☆☆☆〇〇☆☆☆……排列，左起第22个是( )，前50个图形中，☆有( )个。
8．“2022北京冬奥会”某国代表团安排入住奥运村C区宿舍，若每间2人，则有12人没有床位：若每间3人，则多出2个空床位，C区共有宿舍( )间，运动员共有( )。
9．先观察，再按规律填一填。
1＝12 1＋3＝22 1＋3＋5＝32
1＋3＋5＋7＝( )2
1＋3＋5＋7＋9＋11＋13＝( )2
10．从如图中点的排列规律可以看出，第8个图共有( )个点，第n个图共有( )个点。
11．如果按照下面的画法，画到第10个正方形时，图中共有( )个直角三角形。
12．《庄子·天下》中有这样一段话：“一尺之锤，日取其半，万世不竭。”意思是说：一尺长的木棍，每天截取一半，永远也截不完。照这样下去，第四天截取的长度占最初木棍长度的( )。
13．照下面的规律画下去，第4个图形有( )个小△，第n个图形有( )个小△。
14．如图所示，第①幅图有2颗☆，第②幅图有8颗☆，第③幅图有18颗☆。
(1)第④幅图有( )颗☆。
(2)当有200颗☆时，这是第( )幅图。
三、解答题
15．像下图那样用小棒摆三角形，请你算一算。摆10个三角形用多少根小棒？摆n个三角形呢？
16．牛牛突然他想起今天中午吃饭的时候，餐厅贴出来的菜单：
水 煮 鱼 水 煮 鱼 水 煮 鱼 水 煮 ……
宫 保 鸡 丁 宫 保 鸡 丁 宫 保 鸡 ……
如图所示，每列上、下两个字组成一组，例如，第一组是“水宫”，第二组是“煮保”，请写出第45组是什么？
17．用同样大小的黑色棋子按如图所示的规律摆放：
（1）第8个图形中有多少颗黑色棋子？
（2）第几个图形中有303颗黑色棋子？
18．现有若干个圆环，它的外直径是5厘米，环宽是0.5厘米，将它们（如下图）扣在一起，拉紧后测量其长度，请完成表格。
圆环个数 1 2 3 4 5 6 ……
拉紧后的长度/cm
（1）请完成表格。
（2）根据表中规律，11个圆环拉紧后的长度是多少厘米？
（3）设圆环的个数为a，拉紧后的总长度为S，你能用一个关系式表示你发现的规律吗？
（4）若拉紧后的长度是77厘来，则它是由多少个圆环扣成的？
19．
（1）按这样的规律摆下去，第n个图形需要多少个●？
（2）按上面的规律，摆第几个图形需要用200个●？
参考答案：
1．A
【分析】观察图形可知，圆、正方形、五星、圆、圆、正方形、五星，7个一组为一循环周期，即个数能被7整除的图形为五角星；不能整数余数为1、2、3、4、5、6的图形分别为圆、正方形、五角星、圆、圆、正方形；由此可知，余数是几，就是第几个图形，据此解答。
【详解】2015÷7＝287……6
2015个图形是正方形。
观察下列图形的排列规律（其中☆，□，●分别表示五角星、正方形、圆）。●□☆●●□☆●□☆●●□☆●……若第一个图形是圆，则第2015个图形是正方形。
故答案为：A
2．C
【分析】根据前两幅图可知，有几只表示几个亿，有几个表示几个万；有几个有几个百，有几只表示几个千，有几个表示几个1，据此解答。
【详解】根据分析可知，第三幅图有2个亿、1个万、3个千、4个百和1个1，所以第三幅图所表示的数是200013401。
仔细观察前两幅图，并根据规律写出第三幅图所表示的数是200013401。
故答案为：C
【点睛】观察各个图中每种动物的数量与写作的大数中每个数位上的数，是解答本题的关键。
3．D
【分析】看图可知，第一个图形有8个黑色正方形，第二个图形有16个黑色正方形，第三个图形有24个黑色正方形。以此列推，可以得出规律：第一个图形有8×1个黑色正方形，第二个图形有8×2个黑色正方形，第三个图形有8×3个黑色正方形，所以第n个图形有8×n个黑色正方形。
【详解】根据规律可知，第六个图形中的黑色正方形有：8×6＝48（个）
故答案为：D
【点睛】此题考查了学生的逻辑思维能力，关键是找到规律。
4．C
【分析】根据图示发现：摆1个八边形需要小棒：8根；摆2个八边形需要小棒（8＋7）根；摆3个八边形需要小棒（8＋7＋7）根；……摆n个八边形需要小棒的根数是8＋7（n－1）。据此解答。
【详解】8＋7（n－1）
＝8＋7n－7
＝（7n＋1）根
摆n个八边形需要（7n＋1）根小棒。
故答案为：C
【点睛】本题主要考查数与形结合的规律，关键根据图示发现这组图形的规律，并运用规律做题。
5．D
【分析】观察图形可知：
第1个图形有1个点，1＝12；
第2个图形有1＋3＝4个点，4＝22；
第3个图形有1＋3＋5＝9个点，9＝33；
……
第n个图形有n2个点；
据此规律解答。
【详解】规律：第n个图形有n2个点；
当n＝6时，n2＝62＝36；
则第六个点阵中有36个点。
故答案为：D
【点睛】通过数与形的结合，从已知的图形或数据中找到规律，并按规律解题。
6．B
【分析】由图可知，横轴表示时间，纵轴表示路程，实线表示兔子的比赛过程，虚线表示乌龟的比赛过程，折线越陡速度越快，折线越缓速度越慢，据此逐项分析。
【详解】A．兔子跑完全程用的时间比乌龟跑完全程用的时间少，则兔子先到达终点，错误；
B．一开始兔子比乌龟的速度快，中途兔子睡完觉后继续跑，最后乌龟跑完全程用的时间比兔子跑完全程用的时间短，乌龟先到达终点，正确；
C．一开始乌龟的速度比兔子的速度快，乌龟领先，不符合题意，错误；
D．最后乌龟和兔子同时到达终点，乌龟没有赢得胜利，错误。
故答案为：B
【点睛】理解图中每段折线表示的意义是解答题目的关键。
7． 〇 30
【分析】每5个图形一循环，计算第22个，第50个图形是第几组循环零几个图形，即可判断最后一个的形状及五角星的个数。
【详解】22÷5＝4（组）……2（个）
50÷5＝10（组）
10×3＝30（个）
左起第22个是〇，前50个图形中，☆有30个。
【点睛】先找到规律，再根据规律求解。
8． 14 40
【分析】根据题意，当每个房间增加3－2＝1个人的时候，原来12个没有床位的人有了床位，还多出2个床位来，也就是说，每个房间增加一个床位，就会多出12＋2＝14个床位，所以一共有（12＋2）÷（3－2）间房，再根据题意可求出总人数。
【详解】根据题意可得宿舍的间数：（12＋2）÷（3－2）
＝14÷1
＝14（间）
那么运动员的人数为：14×2＋12
＝28＋12
＝40（人）
“2022北京冬奥会”某国代表团安排入住奥运村C区宿舍，若每间2人，则有12人没有床位：若每间3人，则多出2个空床位，C区共有宿舍14间，运动员共有40。
【点睛】此题考查了学生的理解分析能力和整数的四则运算。
9． 4 7
【分析】结合图与算式，先找出算式与计算结果的规律，算式中加数的大小规律是：第一个加数是1，第二个加数是3，后面每个加数增加2，计算结果的规律是加数个数的平方。
【详解】通过观察图形及图形对应的算式可以发现：算式左边是从1开始连续奇数的和，算式右边数是左边有几个奇数，它们的和就是几的平方。
1＋3＋5＋7相加，有4个奇数，所以为4的平方，1＋3＋5＋7＋9＋11＋13相加，有7个奇数，所以为7的平方。
综上所述：1＋3＋5＋7＝42
1＋3＋5＋7＋9＋11＋13＝72
【点睛】本题是探索算数规律的题目，关键是利用数形结合的思想寻找算式中的规律。
10． 25 3n＋1/1＋3n
【分析】观察可知，点的数量＝第几个图形就用几×3＋1，据此分析。
【详解】8×3＋1
＝24＋1
＝25（个）
第8个图共有25个点；即第n个图有（3n＋1）个点。
【点睛】数和图形的规律是相对应的，图形的排列有什么变化规律，数的排列就有相应的变化规律。
11．36
【分析】观察图形可知：
1个正方形有0个直角三角形，0＝1×4－4；
2个正方形有4个直角三角形，4＝2×4－4；
3个正方形有8个直角三角形，8＝3×4－4；
4个正方形有12个直角三角形，12＝4×4－4；
5个正方形有16个直角三角形，16＝5×4－4；
……
按此规律摆下去，n个正方形有（4n－4）个直角三角形。
【详解】规律：n个正方形有（4n－4）个直角三角形。
当n＝10时
4n－4
＝4×10－4
＝40－4
＝36（个）
画到第10个正方形时，图中共有36个直角三角形。
【点睛】通过数与形的结合，从已知的图形或数据中找到规律，并按规律解题。
12．
【分析】根据题意，每天截取一半，则每次截取的和剩下的一样多，第一天截取的是木棍总长度的，第二天截取的是的，即×＝，第三天截取的是的，即：×＝，以此类推，可得第n天截取的长度占最初木棍长度的分率为n个的乘积；据此解答。
【详解】根据分析：
×××
＝×
＝
所以，照这样下去，第四天截取的长度占最初木棍长度的。
【点睛】此题考查了分数乘法与加法的综合应用，明确求一个数的几分之几用乘法计算。
13． 16 n2
【分析】观察图形可知：
第1个图形有1个△，1＝12；
第2个图形有4个△，4＝22；
第3个图形有9个△，9＝32；
……
第n个图形有n2个△；
据此找到规律并解答。
【详解】第4个图形有△的个数：42＝16（个）
第n个图形有n2个△。
【点睛】通过数与形的结合，从已知的图形或数据中找到规律，并按规律解题。
14．(1)32
(2)⑩
【分析】第①幅图中☆的颗数表示成；第②幅图中☆的颗数表示成2＋4＋2＝2×4＝2×22；第③幅图中☆的颗数表示成2＋4＋6＋4＋2＝2×9＝2×32；……；由此可得。第④幅图中☆的颗数是2×42＝32（颗）；当有200颗☆时，200÷2＝100（颗），100＝10×10，故第⑩幅图中有200颗☆。
【详解】（1）2×42＝32（颗）
（2）200÷2＝100（颗），100＝10×10
【点睛】本题主要考查学生的推理能力，关键要发现其中的规律。
15．21根；（2n＋1）根
【分析】根据图示发现：摆1个三角形需要小棒：（1＋2）根；摆2个三角形需要小棒：（1＋2＋2）根；摆3个三角形需要小棒：（1＋2＋2＋2）根；依次类推……摆n个三角形需要小棒：（2×n＋1）根。据此解答。
【详解】摆n个三角形需要小棒：2×n＋1＝（2n＋1）根
当n＝10时，
2×10＋1
＝20＋1
＝21（根）
答：摆10个三角形用21根小棒；摆n个三角形用（2n＋1）根小棒。
【点睛】本题主要考查数与形结合的规律，关键根据图示发现这组图形的规律，并运用规律做题。
16．鱼宫
【分析】观察表格可知，第一排是按照水、煮、鱼 3个一组循环排列的；第二排是按照宫、保、鸡、丁 4个一组循环排列的，用45分别除以3和4，余数是几就从左边数几即可。
【详解】45÷3＝15（组）
45÷4＝11（组） 1（个）
答：第45组上面的字是鱼，下面的字是宫。
【点睛】本题考查循环数列，明确上、下几个字为一组是解题的关键。
17．（1）27颗（2）100个
【分析】第1图形有黑色棋子的颗数：6＝1×3＋3；
第2图形有黑色棋子的颗数：9＝2×3＋3；
第3图形有黑色棋子的颗数：12＝3×3＋3；
第4图形有黑色棋子的颗数：15＝4×3＋3；
……
第n图形有黑色棋子的颗数：n×3＋3。
【详解】（1）8×3＋3
＝24＋3
＝27（颗）
答：第8个图形中有27颗黑色棋子。
（2）（303－3）÷3
＝300÷3
＝100（个）
答：第100个图形中有303颗黑色棋子。
【点睛】解题关键是通过归纳与总结，得到其中的规律，再灵活运用规律解答。
18．（1）见详解
（2）45厘米
（3）S＝1＋4a；
（4）19个
【分析】（1）根据题干可知，1个圆环的长度是5厘米，以后每增加一个圆环，就增加5－0.5×2＝4厘米，由此可以完成表格，
（2）观察上表格可得：当有n个圆环，拉紧后的总长度就是：1＋4n厘米，由此进行解答；
（3）依据上面规律，代入数据即可得出用字母a、S表示的关系式；
（4）设有n个圆环扣成的，由上面得出的关系式即可得出一个方程，解方程即可。
【详解】（1）1个圆环的长度是5厘米，以后每增加一个圆环，就增加5－0.5×2＝4厘米，由此可以完成表格：
圆环个数 1 2 3 4 5 6 ……
拉紧后的长度/cm 5 9 13 17 21 25 ……
（2）观察上表格可得：当有n个圆环，拉紧后的总长度就是：1＋4n厘米，
所以，当n＝11时，总长度为：
1＋11×4
＝1＋44
＝45（厘米）
答：11个圆环拉紧后的长度是45厘米。
（3）设圆环的个数为a，拉紧后的总长度为S，则可得圆环与拉紧后的总长度的关系式：
S＝0.5×2＋（5－0.5×2）a
＝1＋4a
答：关系式为：S＝＝1＋4a
（4）解：设圆环的个数为x，根据上面关系式可得：
1＋4x＝77
4x＝76
X＝19
答：是由19个圆环扣成的。
【点睛】此题考查是的找规律，正确找出规律并用规律解决问题是解题关键。
19．（1）4n个
（2）50个
【分析】第1个图形中有●的个数：4个，4＝1×4；
第2个图形中有●的个数：8个，8＝2×4；
第3个图形中有●的个数：12个，12＝3×4；
……
第n个图形中有●的个数：4n个。
【详解】（1）4×n＝4n（个）
答：第n个图形需要4n个●。
（2）200÷4＝50（个）
答：摆第50个图形需要用200个●。
【点睛】本题是找规律的题型，从已知的图形或数据中找到规律，并按规律解题。
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易错精讲
易错题一：
【例1】
请根据下图中的规律，按要求回答问题。
（1）在下表中完整地填写③、④号图的相关数据。
图号 ① ② ③ ④
白色三角形个数 0 1
黑色三角形个数 1 3
总个数
（2）根据以上的信息，你发现了什么规律？
（3）当黑色三角形个数比白色三角形个数多10个时，白色三角形和黑色三角形的总个数是多少个？黑色的多少个？
答案：（1）3；6；6；10；；；
（2）第n个图形黑色三角形个数比白色三角形个数多n个，总个数为n2；
（3）100个；55个
【分析】（1）图①白色三角形为0个，黑色三角形为1个，三角形的总个数为12；图②白色三角形为1个，黑色三角形为（1＋2）个，三角形的总个数为22；图③白色三角形为（1＋2）个，黑色三角形为（1＋2＋3）个，三角形的总个数为32；图④白色三角形为（1＋2＋3）个，黑色三角形为（1＋2＋3＋4）个，三角形的总个数为42……
（2）由表格可知，图①黑色三角形个数比白色三角形个数多1个，总个数为12；图②黑色三角形个数比白色三角形个数多2个，总个数为22；图③黑色三角形个数比白色三角形个数多3个，总个数为32；图④黑色三角形个数比白色三角形个数多4个，总个数为42……
（3）由规律可知，当黑色三角形个数比白色三角形个数多10个时，三角形的总个数为100个，黑色三角形的个数＝（三角形的总个数＋两种三角形个数的差）÷2；据此解答。
【详解】（1）
图号 ① ② ③ ④
白色三角形个数 0 1 3 6
黑色三角形个数 1 3 6 10
总个数
（2）分析可知，第n个图形黑色三角形个数比白色三角形个数多n个，总个数为n2。
（3）当黑色三角形个数比白色三角形个数多10个时，黑白三角形的总个数为102＝100（个）
（100＋10）÷2
＝110÷2
＝55（个）
答：白色三角形和黑色三角形的总个数是100个，黑色的55个。
【点睛】分析图形和表格找出三角形个数变化的规律是解答题目的关键。
易错题二：
【例2】
下面的4个图形都是用相同的小棒拼成的。
①根据前4个图形的规律拼摆，40根小棒能摆出第10个图形吗？
②第n个图形是由多少根小棒拼成的？把探索过程用你喜欢的方式表示出来。
答案：①不能
②4n＋1根；过程见详解
【分析】观察可知，图形数量＝（小棒数量－1）÷4；小棒数量＝图形数量×4＋1，据此分析。
【详解】①10×4＋1
＝40＋1
＝41（根）
41＞40
答：不能摆出第10个图形。
②第1个图形用5根小棒，5＝1×4＋1
第2个图形用9根小棒，9＝2×4＋1
第3个图形用13根小棒，13＝3×4＋1
第4个图形用17根小棒，17＝4×4＋1
所以小棒数量＝4n＋1（根）
【点睛】数和图形的规律是相对应的，图形的排列有什么变化规律，数的排列就有相应的变化规律。
易错题三：
【例3】
一张桌子摆4把椅子，两张桌子并起来摆6把椅子……照这样摆下去。
（1）6张桌子可以摆多少把椅子？
（2）n张桌子可以摆多少把椅子？用式子表示出来是（ ）把。
（3）如果有34人，需要并起来多少张桌子才能坐下？
答案：（1）14把；
（2）2n＋2；
（3）16张
【分析】由图可知，1张桌子时，可以摆4把椅子；2张桌子时，可以摆（4＋2）把椅子；3张桌子时，可以摆（4＋2＋2）把椅子……每增加一张桌子就增加2把椅子，那么n张桌子时，可以摆4＋2（n－1）把椅子；最后计算出椅子数量为34时，n的值即可。
【详解】（1）1张桌子可以摆椅子的数量：4把
2张桌子可以摆椅子的数量：4＋2＝6（把）
3张桌子可以摆椅子的数量：4＋2×2＝4＋4＝8（把）
4张桌子可以摆椅子的数量：4＋3×2＝4＋6＝10（把）
5张桌子可以摆椅子的数量：4＋4×2＝4＋8＝12（把）
6张桌子可以摆椅子的数量：4＋5×2＝4＋10＝14（把）
答：6张桌子可以摆14把椅子。
（2）分析可知，n张桌子可以摆椅子的数量：4＋2（n－1）＝4＋2n－2＝（2n＋2）把
（3）如果有34人，那么需要34把椅子。
2n＋2＝34
解：2n＝34－2
2n＝32
n＝32÷2
n＝16
答：如果有34人，需要并起来16张桌子才能坐下。
【点睛】分析题意找出椅子数量变化的规律是解答题目的关键。
易错题四：
【例4】
你能利用下图发现a2－b2＝(a＋b)×(a－b)这个公式吗？
（1）利用你所学的面积知识探索一下．
（2）利用上面的公式快速计算下面各题．
912－902 542－462
答案：（1）探讨过程见解析
（2）181；800
【详解】（1）提示：
一个梯形的面积＝(a＋b)×(a－b)÷2
阴影部分的面积＝a2－b2＝(a＋b)×(a－b)÷2×2＝(a＋b)×(a－b)
（2）912－902＝(91＋90)×(91－90)＝181
542－462＝(54＋46)×(54－46)＝800
易错培优练
一、选择题
1．观察下列图形的排列规律（其中☆，□，●分别表示五角星、正方形、圆）。●□☆●●□☆●□☆●●□☆●……若第一个图形是圆，则第2015个图形是（ ）。
A．正方形 B．圆 C．五角星 D．无法确定
2．仔细观察前两幅图，并根据规律写出第三幅图所表示的数是（ ）。
A．21341 B．200013041 C．200013401 D．200010341
3．如图，按这样的规律接着画下去，第六个图形中有（ ）个■。
A．30 B．36 C．42 D．48
4．用小棒按照如下方式摆图形，摆n个八边形需要（ ）根小棒。
A．8n B．8n－1 C．7n＋1 D．8（n－1）
5．按如图所示的方式排列点阵，则第六个点阵中有（ ）个点。
A．16 B．21 C．25 D．36
6．“龟兔赛跑”中兔子跑得快，一开始领先，但它太骄傲在途中睡了一觉再继续跑；乌龟跑得慢，但一直不停地跑，抵达终点，赢得胜利。下面哪幅图基本反映了比赛的过程？（ ）。
A． B．
C． D．
二、填空题
7．〇〇☆☆☆〇〇☆☆☆〇〇☆☆☆……排列，左起第22个是( )，前50个图形中，☆有( )个。
8．“2022北京冬奥会”某国代表团安排入住奥运村C区宿舍，若每间2人，则有12人没有床位：若每间3人，则多出2个空床位，C区共有宿舍( )间，运动员共有( )。
9．先观察，再按规律填一填。
1＝12 1＋3＝22 1＋3＋5＝32
1＋3＋5＋7＝( )2
1＋3＋5＋7＋9＋11＋13＝( )2
10．从如图中点的排列规律可以看出，第8个图共有( )个点，第n个图共有( )个点。
11．如果按照下面的画法，画到第10个正方形时，图中共有( )个直角三角形。
12．《庄子·天下》中有这样一段话：“一尺之锤，日取其半，万世不竭。”意思是说：一尺长的木棍，每天截取一半，永远也截不完。照这样下去，第四天截取的长度占最初木棍长度的( )。
13．照下面的规律画下去，第4个图形有( )个小△，第n个图形有( )个小△。
14．如图所示，第①幅图有2颗☆，第②幅图有8颗☆，第③幅图有18颗☆。
(1)第④幅图有( )颗☆。
(2)当有200颗☆时，这是第( )幅图。
三、解答题
15．像下图那样用小棒摆三角形，请你算一算。摆10个三角形用多少根小棒？摆n个三角形呢？
16．牛牛突然他想起今天中午吃饭的时候，餐厅贴出来的菜单：
水 煮 鱼 水 煮 鱼 水 煮 鱼 水 煮 ……
宫 保 鸡 丁 宫 保 鸡 丁 宫 保 鸡 ……
如图所示，每列上、下两个字组成一组，例如，第一组是“水宫”，第二组是“煮保”，请写出第45组是什么？
17．用同样大小的黑色棋子按如图所示的规律摆放：
（1）第8个图形中有多少颗黑色棋子？
（2）第几个图形中有303颗黑色棋子？
18．现有若干个圆环，它的外直径是5厘米，环宽是0.5厘米，将它们（如下图）扣在一起，拉紧后测量其长度，请完成表格。
圆环个数 1 2 3 4 5 6 ……
拉紧后的长度/cm
（1）请完成表格。
（2）根据表中规律，11个圆环拉紧后的长度是多少厘米？
（3）设圆环的个数为a，拉紧后的总长度为S，你能用一个关系式表示你发现的规律吗？
（4）若拉紧后的长度是77厘来，则它是由多少个圆环扣成的？
19．
（1）按这样的规律摆下去，第n个图形需要多少个●？
（2）按上面的规律，摆第几个图形需要用200个●？
参考答案：
1．A
【分析】观察图形可知，圆、正方形、五星、圆、圆、正方形、五星，7个一组为一循环周期，即个数能被7整除的图形为五角星；不能整数余数为1、2、3、4、5、6的图形分别为圆、正方形、五角星、圆、圆、正方形；由此可知，余数是几，就是第几个图形，据此解答。
【详解】2015÷7＝287……6
2015个图形是正方形。
观察下列图形的排列规律（其中☆，□，●分别表示五角星、正方形、圆）。●□☆●●□☆●□☆●●□☆●……若第一个图形是圆，则第2015个图形是正方形。
故答案为：A
2．C
【分析】根据前两幅图可知，有几只表示几个亿，有几个表示几个万；有几个有几个百，有几只表示几个千，有几个表示几个1，据此解答。
【详解】根据分析可知，第三幅图有2个亿、1个万、3个千、4个百和1个1，所以第三幅图所表示的数是200013401。
仔细观察前两幅图，并根据规律写出第三幅图所表示的数是200013401。
故答案为：C
【点睛】观察各个图中每种动物的数量与写作的大数中每个数位上的数，是解答本题的关键。
3．D
【分析】看图可知，第一个图形有8个黑色正方形，第二个图形有16个黑色正方形，第三个图形有24个黑色正方形。以此列推，可以得出规律：第一个图形有8×1个黑色正方形，第二个图形有8×2个黑色正方形，第三个图形有8×3个黑色正方形，所以第n个图形有8×n个黑色正方形。
【详解】根据规律可知，第六个图形中的黑色正方形有：8×6＝48（个）
故答案为：D
【点睛】此题考查了学生的逻辑思维能力，关键是找到规律。
4．C
【分析】根据图示发现：摆1个八边形需要小棒：8根；摆2个八边形需要小棒（8＋7）根；摆3个八边形需要小棒（8＋7＋7）根；……摆n个八边形需要小棒的根数是8＋7（n－1）。据此解答。
【详解】8＋7（n－1）
＝8＋7n－7
＝（7n＋1）根
摆n个八边形需要（7n＋1）根小棒。
故答案为：C
【点睛】本题主要考查数与形结合的规律，关键根据图示发现这组图形的规律，并运用规律做题。
5．D
【分析】观察图形可知：
第1个图形有1个点，1＝12；
第2个图形有1＋3＝4个点，4＝22；
第3个图形有1＋3＋5＝9个点，9＝33；
……
第n个图形有n2个点；
据此规律解答。
【详解】规律：第n个图形有n2个点；
当n＝6时，n2＝62＝36；
则第六个点阵中有36个点。
故答案为：D
【点睛】通过数与形的结合，从已知的图形或数据中找到规律，并按规律解题。
6．B
【分析】由图可知，横轴表示时间，纵轴表示路程，实线表示兔子的比赛过程，虚线表示乌龟的比赛过程，折线越陡速度越快，折线越缓速度越慢，据此逐项分析。
【详解】A．兔子跑完全程用的时间比乌龟跑完全程用的时间少，则兔子先到达终点，错误；
B．一开始兔子比乌龟的速度快，中途兔子睡完觉后继续跑，最后乌龟跑完全程用的时间比兔子跑完全程用的时间短，乌龟先到达终点，正确；
C．一开始乌龟的速度比兔子的速度快，乌龟领先，不符合题意，错误；
D．最后乌龟和兔子同时到达终点，乌龟没有赢得胜利，错误。
故答案为：B
【点睛】理解图中每段折线表示的意义是解答题目的关键。
7． 〇 30
【分析】每5个图形一循环，计算第22个，第50个图形是第几组循环零几个图形，即可判断最后一个的形状及五角星的个数。
【详解】22÷5＝4（组）……2（个）
50÷5＝10（组）
10×3＝30（个）
左起第22个是〇，前50个图形中，☆有30个。
【点睛】先找到规律，再根据规律求解。
8． 14 40
【分析】根据题意，当每个房间增加3－2＝1个人的时候，原来12个没有床位的人有了床位，还多出2个床位来，也就是说，每个房间增加一个床位，就会多出12＋2＝14个床位，所以一共有（12＋2）÷（3－2）间房，再根据题意可求出总人数。
【详解】根据题意可得宿舍的间数：（12＋2）÷（3－2）
＝14÷1
＝14（间）
那么运动员的人数为：14×2＋12
＝28＋12
＝40（人）
“2022北京冬奥会”某国代表团安排入住奥运村C区宿舍，若每间2人，则有12人没有床位：若每间3人，则多出2个空床位，C区共有宿舍14间，运动员共有40。
【点睛】此题考查了学生的理解分析能力和整数的四则运算。
9． 4 7
【分析】结合图与算式，先找出算式与计算结果的规律，算式中加数的大小规律是：第一个加数是1，第二个加数是3，后面每个加数增加2，计算结果的规律是加数个数的平方。
【详解】通过观察图形及图形对应的算式可以发现：算式左边是从1开始连续奇数的和，算式右边数是左边有几个奇数，它们的和就是几的平方。
1＋3＋5＋7相加，有4个奇数，所以为4的平方，1＋3＋5＋7＋9＋11＋13相加，有7个奇数，所以为7的平方。
综上所述：1＋3＋5＋7＝42
1＋3＋5＋7＋9＋11＋13＝72
【点睛】本题是探索算数规律的题目，关键是利用数形结合的思想寻找算式中的规律。
10． 25 3n＋1/1＋3n
【分析】观察可知，点的数量＝第几个图形就用几×3＋1，据此分析。
【详解】8×3＋1
＝24＋1
＝25（个）
第8个图共有25个点；即第n个图有（3n＋1）个点。
【点睛】数和图形的规律是相对应的，图形的排列有什么变化规律，数的排列就有相应的变化规律。
11．36
【分析】观察图形可知：
1个正方形有0个直角三角形，0＝1×4－4；
2个正方形有4个直角三角形，4＝2×4－4；
3个正方形有8个直角三角形，8＝3×4－4；
4个正方形有12个直角三角形，12＝4×4－4；
5个正方形有16个直角三角形，16＝5×4－4；
……
按此规律摆下去，n个正方形有（4n－4）个直角三角形。
【详解】规律：n个正方形有（4n－4）个直角三角形。
当n＝10时
4n－4
＝4×10－4
＝40－4
＝36（个）
画到第10个正方形时，图中共有36个直角三角形。
【点睛】通过数与形的结合，从已知的图形或数据中找到规律，并按规律解题。
12．
【分析】根据题意，每天截取一半，则每次截取的和剩下的一样多，第一天截取的是木棍总长度的，第二天截取的是的，即×＝，第三天截取的是的，即：×＝，以此类推，可得第n天截取的长度占最初木棍长度的分率为n个的乘积；据此解答。
【详解】根据分析：
×××
＝×
＝
所以，照这样下去，第四天截取的长度占最初木棍长度的。
【点睛】此题考查了分数乘法与加法的综合应用，明确求一个数的几分之几用乘法计算。
13． 16 n2
【分析】观察图形可知：
第1个图形有1个△，1＝12；
第2个图形有4个△，4＝22；
第3个图形有9个△，9＝32；
……
第n个图形有n2个△；
据此找到规律并解答。
【详解】第4个图形有△的个数：42＝16（个）
第n个图形有n2个△。
【点睛】通过数与形的结合，从已知的图形或数据中找到规律，并按规律解题。
14．(1)32
(2)⑩
【分析】第①幅图中☆的颗数表示成；第②幅图中☆的颗数表示成2＋4＋2＝2×4＝2×22；第③幅图中☆的颗数表示成2＋4＋6＋4＋2＝2×9＝2×32；……；由此可得。第④幅图中☆的颗数是2×42＝32（颗）；当有200颗☆时，200÷2＝100（颗），100＝10×10，故第⑩幅图中有200颗☆。
【详解】（1）2×42＝32（颗）
（2）200÷2＝100（颗），100＝10×10
【点睛】本题主要考查学生的推理能力，关键要发现其中的规律。
15．21根；（2n＋1）根
【分析】根据图示发现：摆1个三角形需要小棒：（1＋2）根；摆2个三角形需要小棒：（1＋2＋2）根；摆3个三角形需要小棒：（1＋2＋2＋2）根；依次类推……摆n个三角形需要小棒：（2×n＋1）根。据此解答。
【详解】摆n个三角形需要小棒：2×n＋1＝（2n＋1）根
当n＝10时，
2×10＋1
＝20＋1
＝21（根）
答：摆10个三角形用21根小棒；摆n个三角形用（2n＋1）根小棒。
【点睛】本题主要考查数与形结合的规律，关键根据图示发现这组图形的规律，并运用规律做题。
16．鱼宫
【分析】观察表格可知，第一排是按照水、煮、鱼 3个一组循环排列的；第二排是按照宫、保、鸡、丁 4个一组循环排列的，用45分别除以3和4，余数是几就从左边数几即可。
【详解】45÷3＝15（组）
45÷4＝11（组） 1（个）
答：第45组上面的字是鱼，下面的字是宫。
【点睛】本题考查循环数列，明确上、下几个字为一组是解题的关键。
17．（1）27颗（2）100个
【分析】第1图形有黑色棋子的颗数：6＝1×3＋3；
第2图形有黑色棋子的颗数：9＝2×3＋3；
第3图形有黑色棋子的颗数：12＝3×3＋3；
第4图形有黑色棋子的颗数：15＝4×3＋3；
……
第n图形有黑色棋子的颗数：n×3＋3。
【详解】（1）8×3＋3
＝24＋3
＝27（颗）
答：第8个图形中有27颗黑色棋子。
（2）（303－3）÷3
＝300÷3
＝100（个）
答：第100个图形中有303颗黑色棋子。
【点睛】解题关键是通过归纳与总结，得到其中的规律，再灵活运用规律解答。
18．（1）见详解
（2）45厘米
（3）S＝1＋4a；
（4）19个
【分析】（1）根据题干可知，1个圆环的长度是5厘米，以后每增加一个圆环，就增加5－0.5×2＝4厘米，由此可以完成表格，
（2）观察上表格可得：当有n个圆环，拉紧后的总长度就是：1＋4n厘米，由此进行解答；
（3）依据上面规律，代入数据即可得出用字母a、S表示的关系式；
（4）设有n个圆环扣成的，由上面得出的关系式即可得出一个方程，解方程即可。
【详解】（1）1个圆环的长度是5厘米，以后每增加一个圆环，就增加5－0.5×2＝4厘米，由此可以完成表格：
圆环个数 1 2 3 4 5 6 ……
拉紧后的长度/cm 5 9 13 17 21 25 ……
（2）观察上表格可得：当有n个圆环，拉紧后的总长度就是：1＋4n厘米，
所以，当n＝11时，总长度为：
1＋11×4
＝1＋44
＝45（厘米）
答：11个圆环拉紧后的长度是45厘米。
（3）设圆环的个数为a，拉紧后的总长度为S，则可得圆环与拉紧后的总长度的关系式：
S＝0.5×2＋（5－0.5×2）a
＝1＋4a
答：关系式为：S＝＝1＋4a
（4）解：设圆环的个数为x，根据上面关系式可得：
1＋4x＝77
4x＝76
X＝19
答：是由19个圆环扣成的。
【点睛】此题考查是的找规律，正确找出规律并用规律解决问题是解题关键。
19．（1）4n个
（2）50个
【分析】第1个图形中有●的个数：4个，4＝1×4；
第2个图形中有●的个数：8个，8＝2×4；
第3个图形中有●的个数：12个，12＝3×4；
……
第n个图形中有●的个数：4n个。
【详解】（1）4×n＝4n（个）
答：第n个图形需要4n个●。
（2）200÷4＝50（个）
答：摆第50个图形需要用200个●。
【点睛】本题是找规律的题型，从已知的图形或数据中找到规律，并按规律解题。
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