东竞高中高2023级十二月月考数学试卷参考答案
1. 【答案】A2.【答案】A 3．B 4．D 5.D 6．C 7. B 8. D
9．CD 10．AB 11．ACD 12. AD
13. _9__ 14.__1___ 15. 16．
17. 【答案】（1）12 （2）2
18. 略
19.【详解】（1）∵，∴.
原式的分子、分母同除以，得原式 .故答案为:
【答案】，.
【分析】根据给定条件，利用同角公式，结合三角函数的符号法则求解即得.
【详解】由，得，即，
解得，而，则，
因此，
所以，.
20.略
21． 【详解】（1）依题意，当时，
可设，且，解得，
又由，解得，所以；
（2）令，
即，解得，
即至少需要经过后，学生才能回到教室.
22. 【分析】（1）分析函数的定义域与单调性，由可得出关于的不等式组，即可得解；
（2）分析可知方程在时由唯一解，分、两种情况讨论，在第一种情况下，直接验证即可；在第二种情况下，由已知条件可得出关于实数的不等式组，综合可得出实数的取值范围.
【详解】（1）解：若，，由可得，
故函数的定义域为，
因为内层函数为上的增函数，外层函数为增函数，
故函数在上为增函数，
由可得，解得
不等式的解集为.
（2）解：因为方程有唯一实数解，则方程有唯一实数解，
即时，方程有唯一实数解.
即时，方程有唯一实数解，
即方程有唯一实数解.
①若，即时，解得，此时，合乎题意；
②若，即时，解得，，
当时，解得，此时，合乎题意；
当时，由，方程有唯一解，
则或，解得或.
因此，实数的取值范围为.东竞高中高 2023 级十二月月考数学试卷
注意事项
1.答题前, 先将自己的姓名、班级、座号、准考证号填写在试卷和答题卡上。
2.选择题的作答：每小题选出答案后，用 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试卷、草 纸和答题卡的非答题区域均无效。
3. 非选择题的作答：用黑色签字笔直接写在答题卡上的对应答题区域内。写在试卷、草稿纸和答题卡的非答题区域均无效。
第 I 卷 选择题 (60 分)
一、选择题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分. 在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合 , 则
A.
B.
C.
D.
2. “ ”是“ ” 的 ( )
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分又不必要条件
3. 设函数 , 则
A. 2
B. 3
C.
D.
4. 已知扇形的圆心角为 , 弧长为 , 则扇形的半径为 ( )
A.
B. 3
C.
D. 6
5. 已知角 的终边经过点 , 则 的值为 ( )
A.
B.
C. 1
D.
6. 函数 的零点所在区间是 ( )
A.
B.
C.
D.
7. 为了衡量星星的明暗程度, 古希腊天文学家喜帕恰斯在公元前二世纪首先提出了星等这个概念.星等的数值越小, 星星就越亮; 星等的数值越大它的光就越暗.到了 1850 年, 由于光度计在天体光度测量的应用, 英国天文学家普森又提出了亮度的概念, 天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述. 两颗星的星等与亮度满足 , 其中星等为 的星的亮度为 . 已知“心宿二”的星等是 1, “天津四”的星等是 1.25 ,则“心宿二”的亮度大约是“天津四”的（）倍.
A. 1
B.
C.
D.
8. 已知 , 则 的大小关系为 ( )
A.
B.
C.
D.
二、选择题: 本题共 4 小题, 每小题 5 分, 共 20 分. 在每小题给出的选项中, 有多项符合题目要求. 全部选对的得 5 分, 部分选对的得 2 分, 有选错的得 0 分.
9. 已知下列各角: (1) ： (2) ； (3) ； (4) , 其中是第二象限角的是（ ）
A. (1)
B. (2)
C. (3)
D. (4)
10. 下列四个式子中: (1) ; (2)若 , 则 ; (3) ; (4) . 其中正确的有（ ）
A. (1)
B. (2)
C. (3)
D. (4)
11. 若 是定义域为 的偶函数, 且 在 上为减函数, 则下列选项正确的是 ( )
A. 的图象关于 轴对称
B. 在 上为减函数
C. 当 时, 取得最大值
D.
12. 已知函数 . 则下列说法正确的是 ( )
A. 函数 与函数 互为反函数
B. 函数 在区间 内没有零点
C. 若 均为正实数, 且满足 , 则
D. 若函数 的图象与函数 的图象和函数 的图象在第一象限内交点的横坐标分别为 , 则
第II卷（非选择题 共 90 分）
三、填空题: 本题共 4 小题, 每小题 5 分, 共 20 分. 请将答案填写在答题卡相应位置上.
13. 若 , 则 ________
14.化简: ________
15.已知函数 , 则 的值域为________
16. 函数 , 方程 有 3 个实数解, 则 的取值范围为________
四、解答题: 本题共 6 小题, 共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 计算:
(1) ;
(2)
18. 设集合 .
(1) 若 , 求 ;
(2) 若 , 求实数 的取值范围.
19. (1) 已知 , 求 的值.
(2) 已知 , 求 和 的值.
20. 已知指数函数 的图象经过点 .
(1)求函数 的解析式并判断 的单调性;
(2) 函数 , 求函数 在区间 上的最小值。
21. 秋冬季是流感的高发季节, 为了预防流感, 东竞高中决定对教室采用药熏消毒法进行消毒, 药熏开始前要求学生全部离开教室.已知在药熏过程中, 教室内每立方米空气中的药物含量 (毫克) 与药熏时间 (小时) 成正比: 当药熏过程结束, 药物即释放完毕, 教室内每立方米空气中的药物含量 (毫克) 达到最大值.此后, 教室内每立方米空气中的药物含量 (毫克) 与时间 (小时) 的函数关系式为 ( 为常数, ). 已知从药熏开始, 教室内每立方米空气中的药物含量 (毫克) 关于时间 (小时) 的变化曲线如图所示.
(1)从药熏开始, 求每立方米空气中的药物含量 (毫克) 与时间 (小时) 之间的函数关系式;
(2)据测定, 当空气中每立方米的药物含量不高于 毫克时, 学生方可进入教室, 那么从药薰开始, 至少需要经过多少小时后, 学生才能回到教室.
22. 已知函数 .
(1)若 , 求不等式 的解集;
(2) 已知函数 , 且方程 有唯一实数解, 求实数 的取值范围.
