一元二次方程根与系数的关系试卷
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一、选择题（共10小题，每题2分）
1. （2014年山东威海）方程x2﹣（m+6）+m2=0有两个相等的实数根，且满足x1+x2=x1x2，则m的值是【 】
A. ﹣2或3 B. 3 C. ﹣2 D. ﹣3或2
【答案】C．
【考点】一元二次方程根与系数的关系和根的判别式．
【分析】∵x1+x2=m+6，x1x2=m2，x1+x2=x1x2，∴m+6=m2，解得m=3或m=﹣2．
∵方程x2﹣（m+6）+m2=0有两个相等的实数根，
∴△=b2﹣4ac=（m+6）2﹣4m2=﹣3m2+12m+36=0，解得m=6或m=﹣2．
∴m=﹣2．
故选C．
2．（2014年山东烟台）关于x的方程x2﹣ax+2a=0的两根的平方和是5，则a的值是【 】
A. ﹣1或5 B. 1 C. 5 D. ﹣1
【答案】D．
【考点】1．一元二次方程根与系数的关系和根的判别式；2．解一元二次方程．
【分析】设方程的两根为x1，x2，则x1+x2=a，x1 x2=2a，
∵x12+x22=5，∴（x1+x2）2﹣2x1 x2=5，即a2﹣4a﹣5=0，解得a1=5，a2=﹣1，
∵△=a2﹣8a≥0，∴a=﹣1．
故选D．
3. （2014年广西玉林、防城港）x1，x2是关于x的一元二次方程x2﹣mx+m﹣2=0的两个实数根，是否存在实数m使成立？则正确的是结论是【 】
A．m=0时成立 B．m=2时成立 C．m=0或2时成 D．不存在
【答案】A．
【考点】1.一元二次方程根与系数的关系；2.代数式的变形；3.解分式方程；4.整体思想的应用.
【分析】由一元二次方程根与系数的关系得出，x1+x2=m，x1x2=m﹣2．假设存在实数m使成立，将x1+x2=m，x1x2=m﹣2整体代入变形后的式子，得到关于m的分式方程，解之即可：
∵x1，x2是关于x的一元二次方程x2﹣mx+m﹣2=0的两个实数根，∴x1+x2=m，x1x2=m﹣2．
∵，∴，解得m=0．
经检验，m=0是方程的根，且当m=0时，方程为x2﹣2=0的两根为，符合题意．
故选A．
4．（2014年湖北黄冈）若α、β是一元二次方程的两根，则=【 】
A. –6 B. 32 C. 16 D. 40
【答案】C．
【考点】1.一元二次方程根与系数的关系；2.求代数式的值；3.整体思想的应用.
【分析】∵α、β是一元二次方程的两根，
∴.
∴.
故选C．
5．（2014年湖北江汉油田、潜江、天门、仙桃）已知m，n是方程的两实数根，则的值为【 】
A. B. C. D.
【答案】A．
【考点】1．一元二次方程根与系数的关系；2．分式化简求值；3．整体思想的应用．
【分析】∵m，n是方程的两实数根，∴m+n=1，mn=﹣1．
∴．
故选A．
6. （2014年广西钦州）若x1，x2是一元二次方程x2+10x+16=0的两个根，则x1+x2的值是【 】
A．﹣10 B． 10 C．﹣16 D．16
【答案】A．
【考点】一元二次方程的根与系数的关系.
【分析】直接根据一元二次方程的根与系数的关系得到两根之和即可：
∵x1，x2一元二次方程x2+10x+16=0两个根，
∴x1+x2=﹣10．
故选A．
7. （2014年江西省南昌）若α，β是方程x2﹣2x﹣3=0的两个实数根，则α2+β2的值为【 】
A. B. C. D.
【答案】A．
【考点】1.一元二次方程根与系数的关系；2.代数式求值；3.完全平方公式；4.整体思想的应用．
【分析】∵是方程的两根，∴.
∴.
故选A．
8. （2014年四川攀枝花）若方程的两实根为α、β，那么下列说法不正确的是【 】
A． B． C． D．
【答案】D．
【考点】1.一元二次方程根与系数的关系；2.代数式求值；3.整体思想的应用．
【分析】∵方程的两实根为α、β，
∴α+β=﹣1，αβ=﹣1．
∴；．
∴说法不正确的是.
故选D．
9.（2014年广西贵港）若关于x的一元二次方程x2+bx+c=0的两个实数根分别为x1=﹣2，x2=4，则b+c的值是【 】
A．﹣10 B．10 C．﹣6 D．﹣1
【答案】A．
【考点】1.一元二次方程根与系数的关系；2.求代数式的值．
【分析】∵关于x的一元二次方程x2+bx+c=0的两个实数根分别为x1=﹣2，x2=4，
∴根据一元二次方程根与系数的关系得，﹣2+4=﹣b，﹣2×4=c，即b=﹣2，c=﹣8
∴b+c=﹣10．
故选A．
10. （2014年广西来宾）已知一元二次方程的两根分别是2和﹣3，则这个一元二次方程是【 】
A．x2﹣6x+8=0 B．x2+2x﹣3=0 C．x2﹣x﹣6=0 D．x2+x﹣6=0
【答案】D．
【考点】一元二次方程根与系数的关系．
【分析】设此一元二次方程为x2+px+q=0，
∵二次项系数为1，两根分别为﹣2，3，
∴p=﹣（2﹣3）=1，q=（﹣3）×2=﹣6.
∴这个方程为：x2+x﹣6=0．
故选D．
二、填空题（共10小题，每题2分）
1. （2014年山东德州）方程x2+2 ( http: / / www.21cnjy.com )kx+k2﹣2k+1=0的两个实数根x1，x2满足x12+x22=4，则k的值为 ▲ ．
【答案】1．
【考点】1．一元二次方程根与系数的关系和根的的判别式；2．代数式化简；3．整体思想的应用．
【分析】∵x12+x22=4，
∴x12+x22=x12+2x1 x2+x22﹣2x1 x2=（x1+x2）2﹣2x1 x2=4．
∵方程x2+2kx+k2﹣2k+1=0的两个实数根为x1，x2，
∴x1+x2=﹣2k，x1 x2=k2﹣2k+1，且．
∴4k2﹣4（k2﹣2k+1）=4，解得k=1．
2.. 2014年山东莱芜）若关于x的方程x2+（k﹣2）x+k2=0的两根互为倒数，则k= ▲ ．
【答案】﹣1．
【考点】1．一元二次方程根的的判别式和根与系数的关系；2．倒数．
【分析】设关于x的方程x2+（k﹣2）x+k2=0的两根为x1，x2，∴x1x2=k2．
∵两根互为倒数，∴k2=1，解得k=1或﹣1．
∵方程有两个实数根，△＞0，∴当k=1时，△＜0，舍去．
故k的值为﹣1．
3. （2014年广西桂林）已知关于x的一元二次方程的两根x1和x2，且，则k的值是 ▲ .
【答案】或.
【考点】1.解方程；2.一元二次方程的根和根的判别式；3.分类思想的应用.
【分析】∵，∴或.
∵关于x的一元二次方程的两根x1和x2，
∴若，则；
若，则方程有两相等的实数根，
∴.
∴或.
4. （2014年贵州黔东南）若一元二次方程x2﹣x﹣1=0的两根分别为x1、x2，则= ▲ ．
【答案】﹣1．
【考点】1.一元二次方程根与系数的关系；2.代数式求值；3.整体思想的应用.
【分析】∵一元二次方程x2﹣x﹣1=0的两根分别为x1、x2，
∴x1+x2=1，x1x2=﹣1，
∴.
5．（2014年四川眉山）已知关于x的方程的两个根分别是、，且，则k的值为 ▲ ．
【答案】.
【考点】1.一元二次方程根与系数的关系；2.求代数式的值；3.整体思想的应用.
【分析】∵关于x的方程的两个根分别是、，
∴.
∵，即，∴.
6. （2014年四川雅安）关于x的方程的两实数根为x1，x2，且x12+x22=3，则m= ▲ ．
【答案】0.
【考点】1.一元二次方程根的判别式和根与系数的关系的应用；2.解一元二次方程；3.分类思想的应用．
【分析】∵关于x的方程的两实数根为x1，x2，
∴x1+x2=，x1x2=.
∵，
解得：m 1=0，m 2=2.
当m=0时，方程为，，满足题意；
当m=2时，方程为，，方程无实数根，不符合题意，舍去.
∴m=0.
7. （2013年四川攀枝花4分）设x1，x2是方程2x2﹣3x﹣3=0的两个实数根，则的值为 ▲ ．
【答案】。
【考点】一元二次方程根与系数的关系，求代数式的值，整体思想的应用。
【分析】∵x1，x2是方程2x2﹣3x﹣3=0的两个实数根，∴x1+x2=，x1x2=。
∴。
8. （2013年四川眉山）已知关于x的一元二次方程x2﹣x﹣3=0的两个实数根分别为α、β，则（α+3）（β+3）= ▲ ．
【答案】9。
【考点】一元二次方程根与系数的关系，求代数式的值。
【分析】∵x的一元二次方程x2﹣x﹣3=0的两个实数根分别为α、β，∴α+β=1，αβ=﹣3。
∴（α+3）（β+3）=αβ+3α+3β+9=αβ+3（α+β）+9=﹣3+3×1+9=9。
9. （2013年贵州黔东南）若两个不等实数m、n满足条件：m2﹣2m﹣1=0，n2﹣2n﹣1=0，则m2+n2的值是 ▲ ．
【答案】6。
【考点】一元二次方程根与系数的关系，求代数式的值。
【分析】∵两个不等实数m、n满足条件：m2﹣2m﹣1=0，n2﹣2n﹣1=0，
∴m、n是关于x的方程x2﹣2x﹣1=0的两个根。∴m+n=2，mn=﹣1。
∴。
10. （2012湖北鄂州）设x1、x2是一元二次方程x2＋5x－3=0的两个实根，且，则a= ▲ .
【答案】10。
【考点】一元二次方程的解和根与系数的关系。
【分析】∵x1、x2是一元二次方程x2＋5x－3=0的两个实根，∴x22＋5x2－3=0，x1x2=－3。
又∵，即，即。
∴，即，解得a=10。
三、解答题（共6小题，每题10分）
1. （2013年山东日照）已知，关于x的方程的两个实数根、满足，求实数m的值.
【答案】解：原方程可变形为：。
∵、是方程的两个根，∴△≥0，即：。
∴ 8m+4≥0, m≥。
又∵、满足，∴或。
当时，△=0，即8m+4=0，得m=。
当时，，即=0，得m=(不合m≥，舍去)。
∴当时，m的值为。
【考点】一元二次方程根的判别式和根与系数的关系，分类思想的应用。
【分析】将方程整理为一般形式，根据方程有解 ( http: / / www.21cnjy.com )得到根的判别式的值大于等于0，列出关于m的不等式，求出不等式的解集得到m的范围，根据两根满足的关系式，利用绝对值的代数意义化简，即可求出满足题意m的值。
2.（2014年湖北鄂州）一元二次方程mx2﹣2mx+m﹣2=0．
（1）若方程有两实数根，求m的范围．
（2）设方程两实根为x1，x2，且|x1﹣x2|=1，求m．
【答案】解：（1）∵关于x的一元二次方程mx2﹣2mx+m﹣2=0有两个实数根，
∴m≠0且△≥0，即（﹣2m）2﹣4 m （m﹣2）≥0，解得m≥0．
∴m的取值范围为m＞0．
（2）∵方程两实根为x1，x2，∴x1+x2=2，x1 x2=．
∵|x1﹣x2|=1，∴（x1﹣x2）2=1．∴（x1+x2）2﹣4x1x2=1．
∴22﹣4×=1，解得：m=8．
经检验m=8是原方程的解．
∴m=8．
【考点】1．一元二次方程根的判别式和根与系数的关系；2．解一元一次不等式；3．解分式方程．
【分析】（1）根据关于x的一元二次方程mx ( http: / / www.21cnjy.com )2﹣2mx+m﹣2=0有两个实数根，得出m≠0且（﹣2m）2﹣4 m （m﹣2）≥0，求出m的取值范围即可．
（2）根据方程两实根为x1 ( http: / / www.21cnjy.com )，x2，求出x1+x2和x1 x2的值，再根据|x1﹣x2|=1，得出（x1+x2）2﹣4x1x2=1，再把x1+x2和x1 x2的值代入计算即可．
3. （2014年湖北十堰）已知关于x的一元二次方程．
（1）若方程有实数根，求实数m的取值范围；
（2）若方程两实数根分别为x1，x2，且满足，求实数m的值．
【答案】解：（1）由题意有，
整理得8m+8≥0，解得m≥﹣1.
∴实数m的取值范围是m≥﹣1.
（2）由两根关系，得，
∵，∴.
∴，整理，得m2+8m﹣9=0，
解得m=﹣9或m=1.
∵m≥﹣1，∴m=1．
【考点】1.一元二次方程根的判别式；2.一元二次方程根与系数的关系．
【分析】（1）若一元二次方程有两实数根，则根的判别式△=b2﹣4ac≥0，建立关于m的不等式，求出m的取值范围.
（2）由代入，建立关于m的方程，据此即可求得m的值．
4. （2014年湖南怀化）设m是不小 ( http: / / www.21cnjy.com )于﹣1的实数，使得关于x的方程x2+2（m﹣2）x+m2﹣3m+3=0有两个不相等的实数根x1，x2．
（1）若，求的值；
（2）求的最大值．
【答案】解：∵方程有两个不相等的实数根，
∴△=b2﹣4ac=4（m﹣2）2﹣4（m2﹣3m+3）=﹣4m+4＞0，∴m＜1.
结合题意知：﹣1≤m＜1．
（1）∵x1+x2=﹣2（m﹣2），x1x2=m2﹣3m+3，，
∴，解得：m1=，m2=（不合题意，舍去）.
∴．
（2）∵，
∴当m=﹣1时，的最大值为3．
【考点】1.一元二次方程根的判别式和根与系数的关系；2.解分式方程；3.二次根式化简；4.二次函数的最值．
【分析】（1）首先根据根的判别式求出m的取值范围，利用根与系数的关系，求出符合条件的m的值.
（2）把利用根与系数的关系得到的关系式代入代数式，细心化简，结合m的取值范围求出代数式的最大值．
5. （2014年四川南充）已知关于x的一元二次方程，有两个不相等的实数根．
（1）求实数m的最大整数值；
（2）在（1）的条下，方程的实数根是x1，x2，求代数式x12+x22﹣x1x2的值．
【答案】解：（1）∵一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴△=8﹣4m＞0，解得m＜2.
∴整数m的最大值为1.
（2）∵m=1，∴此一元二次方程为：.
∴x1+x2=，x1x2=1.
∴x12+x22﹣x1x2=（x1+x2）2﹣3x1x2=8﹣3=5．
【考点】1.一元二次方程根的判别式；2. 一元二次方程根与系数的关系；3.解一元一次不等式；4.求代数式的值；5.整体思想的应用..
【分析】（1）若一元二次方程有两不 ( http: / / www.21cnjy.com )等实数根，则根的判别式△=b2﹣4ac＞0，建立关于m的不等式，求出m的取值范围，进而得出m的最大整数值.
（2）根据（1）可知：m=1，继而可得一元二次方程为，根据根与系数的关系，可得x1+x2=，x1x2=1，将x12+x22﹣x1x2变形为（x1+x2）2﹣3x1x2，将x1+x2和x1x2整体代入可求得答案．
6. （2013年湖北孝感）已知关于x的一元二次方程有两个实数根x1，x2．
（1）求实数k的取值范围；
（2）是否存在实数k使得成立？若存在，请求出k的值；若不存在，请说明理由．
【答案】解：（1）∵原方程有两个实数根，
∴，即。
∴。∴。
∴当时，原方程有两个实数根。
（2）假设存在实数k使得成立。
∵x1，x2是原方程的两根，∴。
由，得。
∴，整理得：。
∴只有当k=1时，上式才能成立。
又∵由（1）知，
∴不存在实数k使得成立。
【考点】一元二次方程根与系数的关系和根的判别式。
【分析】（1）根据已知一元二次方程的根的情况，得到根的判别式△≥0，据此列出关于k的不等式，通过解该不等式即可求得k的取值范围。
（2）假设存在实数k使得成立．利用根与系数的关系可以求得，然后利用完全平方公式可以把已知不等式转化为含有两根之和、两根之积的形式，通过解不等式可以求得k的值。一元二次方程根与系数的关系试卷
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一、选择题（共10小题，每题2分）
1. （2014年山东威海）方程x2﹣（m+6）+m2=0有两个相等的实数根，且满足x1+x2=x1x2，则m的值是【 】
A. ﹣2或3 B. 3 C. ﹣2 D. ﹣3或2
2．（2014年山东烟台）关于x的方程x2﹣ax+2a=0的两根的平方和是5，则a的值是【 】
A. ﹣1或5 B. 1 C. 5 D. ﹣1
3. （2014年广西玉林、防城港）x1，x2是关于x的一元二次方程x2﹣mx+m﹣2=0的两个实数根，是否存在实数m使成立？则正确的是结论是【 】
A．m=0时成立 B．m=2时成立 C．m=0或2时成 D．不存在
4．（2014年湖北黄冈）若α、β是一元二次方程的两根，则=【 】
A. –6 B. 32 C. 16 D. 40
5．（2014年湖北江汉油田、潜江、天门、仙桃）已知m，n是方程的两实数根，则的值为【 】
A. B. C. D.
6. （2014年广西钦州）若x1，x2是一元二次方程x2+10x+16=0的两个根，则x1+x2的值是【 】
A．﹣10 B． 10 C．﹣16 D．16
7. （2014年江西省南昌）若α，β是方程x2﹣2x﹣3=0的两个实数根，则α2+β2的值为【 】
A. B. C. D.
8. （2014年四川攀枝花）若方程的两实根为α、β，那么下列说法不正确的是【 】
A． B． C． D．
9.（2014年广西贵港）若关于x的一元二次方程x2+bx+c=0的两个实数根分别为x1=﹣2，x2=4，则b+c的值是【 】
A．﹣10 B．10 C．﹣6 D．﹣1
10. （2014年广西来宾）已知一元二次方程的两根分别是2和﹣3，则这个一元二次方程是【 】
A．x2﹣6x+8=0 B．x2+2x﹣3=0 C．x2﹣x﹣6=0 D．x2+x﹣6=0
二、填空题（共10小题，每题2分）
1. （2014年山东德州）方程x2+2 ( http: / / www.21cnjy.com )kx+k2﹣2k+1=0的两个实数根x1，x2满足x12+x22=4，则k的值为 ▲ ．
2.. 2014年山东莱芜）若关于x的方程x2+（k﹣2）x+k2=0的两根互为倒数，则k= ▲ ．
3. （2014年广西桂林）已知关于x的一元二次方程的两根x1和x2，且，则k的值是 ▲ .
4. （2014年贵州黔东南）若一元二次方程x2﹣x﹣1=0的两根分别为x1、x2，则= ▲ ．
5．（2014年四川眉山）已知关于x的方程的两个根分别是、，且，则k的值为 ▲ ．
6. （2014年四川雅安）关于x的方程的两实数根为x1，x2，且x12+x22=3，则m= ▲ ．
7. （2013年四川攀枝花4分）设x1，x2是方程2x2﹣3x﹣3=0的两个实数根，则的值为 ▲ ．
8. （2013年四川眉山）已知关于x的一元二次方程x2﹣x﹣3=0的两个实数根分别为α、β，则（α+3）（β+3）= ▲ ．
9. （2013年贵州黔东南）若两个不等实数m、n满足条件：m2﹣2m﹣1=0，n2﹣2n﹣1=0，则m2+n2的值是 ▲ ．
10. （2012湖北鄂州）设x1、x2是一元二次方程x2＋5x－3=0的两个实根，且，则a= ▲ .
三、解答题（共6小题，每题10分）
1. （2013年山东日照）已知，关于x的方程的两个实数根、满足，求实数m的值.
2.（2014年湖北鄂州）一元二次方程mx2﹣2mx+m﹣2=0．
（1）若方程有两实数根，求m的范围．
（2）设方程两实根为x1，x2，且|x1﹣x2|=1，求m．
3. （2014年湖北十堰）已知关于x的一元二次方程．
（1）若方程有实数根，求实数m的取值范围；
（2）若方程两实数根分别为x1，x2，且满足，求实数m的值．
4. （2014年湖南怀化）设m是不小于﹣1 ( http: / / www.21cnjy.com )的实数，使得关于x的方程x2+2（m﹣2）x+m2﹣3m+3=0有两个不相等的实数根x1，x2．
（1）若，求的值；
（2）求的最大值．
5. （2014年四川南充）已知关于x的一元二次方程，有两个不相等的实数根．
（1）求实数m的最大整数值；
（2）在（1）的条下，方程的实数根是x1，x2，求代数式x12+x22﹣x1x2的值．
6. （2013年湖北孝感）已知关于x的一元二次方程有两个实数根x1，x2．
（1）求实数k的取值范围；
（2）是否存在实数k使得成立？若存在，请求出k的值；若不存在，请说明理由．
