天津市重点中学校2023-2024学年高二上学期第三次月考(12月)数学试卷（含解析）

天津市重点中学校2023-2024学年高二上学期第三次月考数学 (12 月 19 日)
一. 选择题（共 10 小题）
1. 已知三角形 的三个顶点分别为 , 则 边上的中线所在直线的方程为 ( )
A.
B.
C.
D.
2. 已知在等差数列 中, , 则
A. 4
B. 6
C. 8
D. 10
3. 离心率 , 长轴长为 6 的椭圆的标准方程是 ( )
A.
B. 或
C.
D. 或
4. 圆 和 的公共弦的长度为 ( )
A.
B.
C.
D.
5. 数列 满足 , 则
A. -3
B.
C.
D. 2
6. 已知空间四边形 , 其对角线 分别是边 的中点, 点 在线段 上, 且使 , 用向量 , 表示向量 是 ( )
A.
B.
C.
D.
7. 若双曲线 的一条渐近线被圆 所截得的弦长为 2 , 则 的离心率为 ( )
A. 2
B.
C.
D.
8. 设等差数列 的前 项和为 , 若 , 则满足 的最小正整数 的值为 ( )
A. 1010
B. 1011
C. 2020
D. 2021
9. 已知双曲线 的右焦点 与抛物线 的焦点重合, 过 作与一条渐近线平行的直线 , 交另一条渐近线于点 , 交抛物线 的准线于点 ,若三角形 ( 为原点) 的面积 , 则双曲线的方程为 ( )
A.
B.
C.
D.
二. 填空题 (共 6 小题)
10. 两条平行直线 与 的距离是________
11. 在平面直角坐标系 中, 若抛物线 上的点 到该抛物线焦点的距离为 5 , 则点 的纵坐标为________
12. 设等差数列 的前 项和为 , 若 , 则 ________
13. 如果椭圆 的弦被点 平分, 则这条弦所在的直线方程是________
14. 如图, 正四棱柱 中, 设 , 点 在线段 上, 且 , 则直线 与平面 所成角的正弦值是________
15. 双曲线 的左、右焦点分别为 . 过 作其中一条渐近线的垂线, 垂足为 . 已知 , 直线 的斜率为 , 则双曲线的方程为________
三. 解答题 (共 6 小题)
16. 已知等差数列 的前 项和为 , 且 .
(1) 求数列 的通项公式;
(2) 记 , 求数列 的前 项和 .
17. 已知抛物线 的顶点在原点, 对称轴是坐标轴, 且经过点 为抛物线的焦点.
(1) 求抛物线 的标准方程;
(2) 若 为抛物线上一动点, 求 的最小值.
18. 已知正项数列 的前 项和为 , 且 .
(1) 求 ;
(2) 求证: 数列 是等差数列.
19. 在三棱台 中, 若 平面 , 分别为 中点.
(1) 求证: 平面 ;
(2) 求平面 与平面 所成角的余弦值:
(3) 求点 到平面 的距离.
20. 设椭圆 的左、右焦点分别为 . 点 满足 .
(1) 求椭圆的离心率 ;
(2) 设直线 与椭圆相交于 两点, 若直线 与圆 相交于 两点, 且 , 求椭圆的方程.
参考答案
一. 选择题（共 10 小题）
1. 已知三角形 的三个顶点分别为 , 则 边上的中线所在直线的方程为 ( )
A.
B.
C.
D.
【分析】根据已知条件, 求出 的中点, 再结合斜率公式, 以及直线的点斜式公式, 即可求解.
【解答】解：设 的中点为 ,
则 ,
,
,
故 边上的中线所在直线的方程为 , 即 .
故选: .
【点评】本题主要考查直线的点斜式公式, 属于基础题.
2. 已知在等差数列 中, , 则
A. 4
B. 6
C. 8
D. 10
【分析】根据已知条件, 结合等差数列的性质, 直接求解.
【解答】解: 在等差数列 中,
则 , 解得 .
故选: .
【点评】本题主要考查等差数列的性质, 属于基础题.
3. 离心率 , 长轴长为 6 的椭圆的标准方程是 ( )
A. B. 或
C.
D. 或
【分析】椭圆的长轴为 6 , 根据离心率求出 , 根据勾股定理求出 得到椭圆的解析式即可.
【解答】解: 由 ,
由 , 知
又
故 或 为所求，
故选: .
【点评】本题考查双曲线的标准方程、圆标准方程, 以及双曲线的简单性质的应用. 关键是灵活运用椭圆简单性质解决数学问题的能力.
4. 圆 和 的公共弦的长度为 ( )
A.
B.
C.
D.
【分析】联立 , 解出, 再利用两点间的距离公式即可得出.
【解答】解: 联立 , 解得 或 .
两圆的交点 .
.
故选: .
【点评】本题考查了相交两圆的公共弦的长度、两点间的距离公式, 属于基础题.5. 数列 满足 , 则
A. -3
B.
C.
D. 2
【分析】根据数列的递推关系式, 推断出数列 是周期为 4 的数列, 从而可得 的值.
【解答】解：数列 满足 , 所以 ,
,
所以数列 是周期为 4 的数列, 则 .
故选: .
【点评】本题考查的知识点是数列的递推公式, 数列的周期性, 难度中档.
6. 已知空间四边形 , 其对角线 分别是边 的中点, 点 在线段 上, 且使 , 用向量 , 表示向量 是 ( )
A.
B.
C.
D.
【分析】根据所给的图形和一组基底, 从起点 出发, 把不是基底中的向量, 用是基底的向量来表示, 就可以得到结论.
【解答】解:
故选: .
【点评】本题考查向量的基本定理及其意义, 解题时注意方法, 即从要表示的向量的起点出发, 沿着空间图形的棱走到终点, 若出现不是基底中的向量的情况, 再重复这个过程.
7. 若双曲线 的一条渐近线被圆 所截得的弦长为 2 , 则 的离心率为
A. 2
B.
C.
D.
【分析】通过圆的圆心与双曲线的渐近线的距离, 列出关系式, 然后求解双曲线的离心率即可.
【解答】解: 双曲线 的一条渐近线不妨为: ,圆 的圆心 , 半径为: 2 ,
双曲线 的一条渐近线被圆 所截得的弦长为 2 ,
可得圆心到直线的距离为: ,解得: , 可得 , 即 .
故选: .
【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用, 圆的方程的应用, 考查计算能力.
8. 设等差数列 的前 项和为 , 若 , 则满足 的最小正整数 的值为 ( )
A. 1010
B. 1011
C. 2020
D. 2021
【分析】根据题意, 由等差数列的性质以及等差数列的前 项公式, 可得 , 进一步得到答案.
【解答】解：根据题意，等差数列 中，若 ,
则 ,
,
故满足 的最小正整数 的值为 2020 ;
故选: .
【点评】本题考查等差数列的前 项和公式的应用, 涉及等差数列的性质, 属于基础题.
9. 已知双曲线 的右焦点 与抛物线 的焦点重合, 过 作与一条渐近线平行的直线 , 交另一条渐近线于点 , 交抛物线 的准线于点 ,若三角形 ( 为原点) 的面积 , 则双曲线的方程为
A.
B.
C.
D.
【分析】求得抛物线的焦点, 可得双曲线的 , 再由双曲线的渐近线方程，设直线 的方程为 , 求得 的坐标, 可得 到 的距离, 再由三角形的面积公式, 解方程可得 , 可得所求方程.
【解答】解：抛物线 的焦点为 , 可得双曲线的焦点 ,即 , 即有 , (1)双曲线 的渐近线方程为 ,
设直线 的方程为 ,
由 可得 ,
由方程 和 联立, 可得 ,
可得 ,
到直线 的距离为 ,
则 的面积为 ,
化为 , (2)
由(1)(2)可得 ,
则双曲线的方程为 .
故选: .
【点评】本题考查双曲线的方程和性质, 考查两直线的交点和三角形的面积公式, 考查方程思想和运算能力, 属于中档题.
二. 填空题 (共 6 小题)
10. 两条平行直线 与 的距离是 5 .
【分析】根据直线平行求出 的值, 代入两平行线间的距离公式求出答案即可.
【解答】解: 直线 与 平行,
,
两条平行直线 与 的距离是:,
故答案为: 5 .
【点评】本题考查了两平行线间的距离, 是基础题.
11. 在平面直角坐标系 中, 若抛物线 上的点 到该抛物线焦点的距离为 5 , 则点 的纵坐标为 4 .
【分析】由抛物线定义可知, 抛物线上任一点到焦点的距离与到准线的距离是相等的,已知 , 则 到准线的距离也为 5 , 即 , 将 的值代入, 进而求出 .
【解答】解: 抛物线 ,
由抛物线定义可知, 抛物线上任一点到焦点的距离与到准线的距离是相等的,
,
故答案为: 4 .
【点评】本题考查抛物线的简单性质的应用, 抛物线的定义是解决抛物线问题最基本的方法. 抛物线上的点到焦点的距离, 叫焦半径. 到焦点的距离常转化为到准线的距离求解.
12. 设等差数列 的前 项和为 , 若 , 则 36 .
【分析】利用等差数列的性质得到 成等差数列, 即可求解.
【解答】解： 等差数列 的前 项和为 ,
成等差数列,
即 成等差数列,
,
故答案为: 36 .
【点评】本题考查了等差数列的性质, 是基础题.
13. 如果椭圆 的弦被点 平分, 则这条弦所在的直线方程是 .
【分析】若设弦的端点为 , 代入椭圆方程得 (1), (2); 作差(1) - (2), 并由中点坐标公式, 可得直线斜率 , 从而求出弦所在的直线方程.
【解答】解: 设弦的端点为 ,代入椭圆方程, 得
(1) - (2)得
由中点坐标 ,
代入上式, 得
,
直线斜率为 ,
所求弦的直线方程为: ,
即 .
故答案为: .
【点评】本题考查了圆锥曲线中由中点坐标公式, 通过作差的方法, 求得直线斜率 的应用模型，属于基础题目.
14. 如图, 正四棱柱 中, 设 , 点 在线段 上, 且 , 则直线 与平面 所成角的正弦值是.
【分析】建立空间直角坐标系, 先求出平面的法向量, 然后求出线面角的正弦值.
【解答】解: 以 为坐标原点, 所在直线分别为 轴, 建立空间直角坐标系,则 ,
设平面 的法向量为 ,
则 ,
令 ,
则 ,
故 ,
设直线 与平面 所成角大小为 ,
则 .
故答案为: .
【点评】本题考查了线面角的求法, 重点考查了空间向量的应用, 属中档题.
15. 双曲线 的左、右焦点分别为 . 过 作其中一条浙近线的垂线, 垂足为 . 已知 , 直线 的斜率为 , 则双曲线的方程为 .
【分析】根据双曲线的几何性质, 点到直线的距离公式, 斜率公式, 建立方程, 即可求解.
【解答】解: , 不妨设渐近线方程为 ,
根据三角形 的等面积算法可得 ,
, 又 ,
直线 的斜率为 ,
解得 ,
所求双曲线的方程为 .
故答案为: .
【点评】本题考查双曲线的几何性质, 方程思想, 属中档題.
三. 解答题 (共 6 小题)
16. 已知等差数列 的前 项和为 , 且 .
(1) 求数列 的通项公式:
(2) 记 , 求数列 的前 项和 .
【分析】(1) 利用等差数列前 项和公式、通项公式列出方程组, 求出首项和公差, 由此能求出数列的通项公式.
(2) 由 , 得 , 当 时, , 此时 ; 当 时, , 此时 , 由此能求出结果.
【解答】解：(1) 设数列 的公差为 ,
由 ,
得 ,
解得 ,
.
(2) 由 , 得 , 当 时, ,
此时
当 时, ,
此时
,
.
【点评】本题考查等差数列的通项公式的求法, 考查等差数列的各项的绝对值的和的求法, 是中档题, 解题时要认真审题, 注意等差数列的性质的合理运用.
17. 已知抛物线 的顶点在原点, 对称轴是坐标轴, 且经过点 为抛物线的焦点.
(1) 求抛物线 的标准方程;
(2) 若 为抛物线上一动点, 求 的最小值.
【分析】(1) 对称轴分为是 轴和 轴两种情况, 分别设出标准方程为 和 , 然后将 点坐标代入即可求出抛物线标准方程;
(2) 根据不同的抛物线画图, 根据图形求解 的最小值.
【解答】解: (1) 由题意可设抛物线的标准方程为 或 .当 时, 可得 , 解得 , 此时抛物线的标准方程为: ;当 时, 可得 , 解得 , 此时抛物线的标准方程为: .综上可得: 抛物线的标准方程为: 或 ;
(2) 当抛物线方程为 时, 如图, 设 为 在准线上 (准线方程: ) 的投影, 可得 ,
依题意可得 ,即 的最小值为 .
当抛物线方程为 时, 如图, 当 三点共线时, 取得最小值,最小值为 .
【点评】本题考查抛物线的方程、几何性质, 考查了数形结合数思想, 属于中档题.
18. 已知正项数列 的前 项和为 , 且 .
(1) 求 ;
(2) 求证: 数列 是等差数列.
【分析】(1) 再 中, 分别令 , 即可求得 的值.
(2) 由题意可得 , 由此得到 0 , 从而能求出 的通项公式, 从而得出结论.
【解答】(1) 解: 正项数列 的前 项和为 , 且 ,令 , 可得 .
再令 , 可得 , 求得 或 -1 (舍去),
即 .
(2) 证明: , 当 时, ,
,
化简得 .
.
,
是以 1 为首项, 2 为公差的等差数列.
【点评】本题主要考查数列的通项公式的求法, 考查数列的前 项和公式的求法, 解题时要认真审题, 仔细解答, 注意等价转化思想的合理运用, 属于中档题.
19. 在三棱台 中, 若 平面 , 分别为 中点.
(1) 求证: 平面 ;
(2) 求平面 与平面 所成角的余弦值;
(3) 求点 到平面 的距离.
【分析】 (1) 连接 , 推得四边形 为平行四边形, 再由平行四边形的性质和线面平行的判定定理可得证明:
(2) 运用三垂线定理得到平面 与平面 所成角, 再解直角三角形可得所求值;
(3) 运用等积法和三棱雉的体积公式可得所求距离.
【解答】解: (1) 证明: 连接 , 可得 为 的中位线,可得 , 且 ,
而 ,
则 ,可得四边形 为平行四边形,则 ,
而 平面 平面 ,所以 平面 ;
(2) 取 的中点 , 连接 ,由 , 可得 .由 平面 平面 ,可得 ,可得 平面 .过 作 , 垂足为 , 连接 ,由三垂线定理可得 ,可得 为平面 与平面 所成角.由 .
在矩形 中, ,
所以 ;
(3) 设 到平面 的距离为 .
在 中, ,
则 .
由 , 可得 ,
解得 .
【点评】本题考查线面平行的判定和平面与平面所成角、点到平面的距离, 考查转化思想和运算能力、推理能力, 属于中档题.
20. 设椭圆 的左、右焦点分别为 . 点 满足 .
(1) 求椭圆的离心率 ;
(2) 设直线 与椭圆相交于 两点, 若直线 与圆 相交于 两点, 且 , 求椭圆的方程.
【分析】(1) 直接利用 , 对应的方程整理后即可求椭圆的离心率 ;
(2) 先把直线 与椭圆方程联立求出 两点的坐标以及对应的 两点, 进而求出 , 再利用弦心距, 弦长以及圆心到直线的距离之间的等量关系, 即可求椭圆的方程.
【解答】解：(1) 设 .
由题得 , 即 , 整理得 , 得 (舍),或 ,
所以 .
(2) 由 (1) 知 , 可得椭圆方程为 , 直线方程 为 .
的坐标满足方程组 ,
消 并整理得 ,解得 , 得方程组的解为 ,
不妨设 .
所以 , 于是 .
圆心 到直线 的距离 ,
因为 , 所以 , 整理得 (舍) 或 .
所以椭圆方程为 .
【点评】本题主要考查椭圆的方程和几何性质, 直线的方程, 两点间的距离公式以及点到直线的距离公式等基础知识, 考查用代数方法研究圆锥曲线的性质和数形结合的数学思想, 考查解决问题的能力和运算能力.