昭通市市直中学2023-2024学年高一上学期12月第二次联考
数学
第 I 卷（选择题，共 60 分）
注意事项:
1. 答题前, 考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚.
2. 每小题选出答案后, 用 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑. 如需改动, 用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效。
一、单项选择题 (本大题共 8 小题, 每个小题 5 分, 共 40 分. 在每小题给出的选项中,只有一项是符合题目要求的)
1. 已知集合 , 则
A.
B.
C.
D.
2. 角 为第一象限角是 且 的
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
3. 函数 在区间 内的零点个数是
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
4. 设 , 则
A.
B.
C.
D.
5. 我国著名数学家华罗庚曾说过: “数缺形时少直观, 形少数时难入微; 数形结合百般好, 隔离分家万事休”. 在数学学习和研究中, 常用函数的图象来研究函数的性质,也常用函数的解析式来分析函数图象的特征，如函数 的大致图象是
6. 已知函数 , 且 恒过定点 , 且满足 , 其中 是正实数, 则 的最小值是
A. 16
B. 6
C.
D.
7. 函数 的定义域为
A.
B.
C.
D.
8. 已知函数 , 则关于 的不等式 的解集为
A.
B.
C.
D.
二、多项选择题（本大题共 4 小题, 每小题 5 分, 共 20 分. 在每小题给出的选项中, 有多项是符合题目要求的. 全部选对的得 5 分, 部分选对的得 2 分, 有远错的得 0 分)
9. 下列命题为真命题的是
A. 若 , 则
B. 若 , 则
C. 若 , 则
D. 若 , 则
10. 已知 是定义在 上的奇函数, 当 时, , 则下列说法正确的是
A.
B. 在定义域 上为增函数
C. 当 时,
D. 不等式 的解集为
11. 下列命题不正确的是
A. 函数 与函数 是同一个函数
B. 函数 在 上是减函数
C. 函数 的最小值为
D. 已知函数 且 在 上是减函数, 则实数 的取值范围是
12. 已知函数 则下列说法正确的是
A. 函数 的单调递增区间为
B. 函数 有两个零点
C. 若方程 有 3 个实根, 则
D. 方程 的所有实根之和为
第 II 卷（非选择题，共 90 分）
注意事项:
第 II 卷用黑色碳素笔在答题卡上各题的答题区域内作答, 在试题卷上作答无效.
三、填空题 (本题共 4 小题, 每小题 5 分, 共 20 分)
13. 化简: ________
14. 已知角 的终边过点 , 则 ________
15. 函数 的值域为________
16. 研究函数 时, 分别得出如下结论:
(1) 函数 在其定义域上是奇函数;
(2) 函数 的值域为 ;
(3) 函数 在其定义域上是增函数;
(4) 设 , 则存在实数 , 使得函数 没有零点.
其中, 结论正确的有________个
四、解答题 (共 70 分. 解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤)
17. (本小题满分 10 分)
计算:
( I ) ;
(II ) 已知 在第四象限, 求 的值.
18. (本小题满分 12 分)
(I) 若二次函数 满足 , 且图象过原点, 求 的解析式;
(II) 已知 是一次函数, 且满足 , 求 的解析式.
19. (本小题满分 12 分)
已知幂函数 的图像过点 .
(I) 求函数 的解析式;
(II) 设函数 在 上是单调函数, 求实数 的取值组成的集合.
20. (本小题满分 12 分)
某乡镇为全面实施乡村振兴战略, 大力发展特色农产业, 提升特色农产品的知名度,邀请了一家广告牌制作公司设计一个宽为 米、长为 米的长方形展牌, 其中 ,并要求其面积为 平方米.
(I) 求 关于 的函数 , 并写出 的取值范围;
(II)如何设计展牌的长和宽, 才能使展牌的周长最小
21. (本小题满分 12 分)
设集合 .
(I) 若 , 求 和 ;
(II) 若 , 求实数 的取值范围.
22. (本小题满分 12 分)
已知函数 的图象过点 .
(I) 求函数 的解析式;
(II) 若函数 在区间 上有零点, 求整数 的值;
（III）设 , 若对于任意 , 都有 , 求 的取值范围.昭通市市直中学2023-2024学年高一上学期12月第二次联考
数学参考答案
第 I 卷 (选择题, 共 60 分)
一、单项选择题 (本大题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分. 在每小题所给的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的)
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案
【解析】
1. 由 , 故 , 故选 A.
2. 若角 在第一象限角, 则 . 若 , 则 在第一象限或第三象限,若 , 则 在第一象限或第二象限或 轴正半轴上, 所以角 在第一象限. 综上所述,角 在第一象限是 且 的充要条件, 故选 C.
3. 函数 在区间 内单调递减, , 在区间 内只有一个零点, 故选 B.
4. , 又 在 上单调递增, , 所以 , 所以 , 故选 D.
5. 定义域为 , 关于原点对称, , 所以 为偶函数, , 选项排除； , 所以排除 选项, 故选 C.
6. 令 , 得 , 此时 为 . , 当且仅当 , 即 时, 等号成立, 故选 A.7. 依题意得, 即 所以函数的定义域为 , 故选 D.
8. 令 , 由指数函数与对数函数性质得 在 上单调递减, , 故 为奇函数, 在 上单调递减, 原不等式可化为 , 即 , 得 , 解得 , 故选 B.
二、多项选择题 (本大题共 4 小题, 每小题 5 分, 共 20 分. 在每小题给出的选项中, 有多项是符合题目要求的. 全部选对的得 5 分, 部分选对的得 2 分, 有选错的得 0 分)
题号 9 10 11 12
答案
【解析】
9. A 项, 若 , 取 , 可得 , 故 A 不正确; B 项, 若 , 可得: , 故 , 故 B 正确: C 项, 若 , 可得 , 由 ,可得: , 故 C 正确: D 项, 举反例, 虽然 , 但是 , 故 D 不正确, 故选 BC.
10. 因为 是定义在 上的奇函数, 当 时, , 所以当 时, , 所以选项 C 不正确; 因为 , 所以选项 A 正确; 二次函数 的对称轴为 , 所以当 时, 单调递增, 又因为 是定义在 上的奇函数, 所以 , 而 是奇函数, 它的图象关于原点对称, 所以 在定义域 上为增函数, 因此选项 正确;因为 是奇函数, , 所以 , 于是由 , 所以选项 正确, 故选 .
11. 对于 A: 函数 定义域为 , 函数 的定义域为 , 定义域不同,故不是同一函数, 故 A 错误; 对于 B: 在 上均是减函数, 但在 上不是减函数, 如 , 但 , 故 B 错误; 对于 C:函数 中, 若令 , 即有 , 故 C 正确; 对于 D: 函数 且 在 上是减函数, 知: , 即有 , 故 D 错误, 故选 ABD.
12. 作出分段函数的图象, 如图1所示,
图1 图2
选项 A: 由图象可知, 函数 的单调递增区间为 , A 错; 选项 B: ,
如图 2 可知, 函数 的图象与 的图象有两个交点, 所以函数 有两个零点, B 正确; 选项 C: 由图 1 可知, 当 时, 函数 的图象与 的图象有 3 个不同的交点, C 正确; 选项 D: 当 时, 由 , 可得: , 由 , 可得 , 所以方程 的所有实根之和为 , D 正确, 故选 BCD.
第 II 卷（非选择题，共 90 分）
三、填空题 (本大题共 4 小题, 每小题 5 分, 共 20 分)
题号 13 14 15 16
答案 2 3
【解析】
13. .
14. 已知角 的终边过点 , 则 .
15. . 又 .
16. 显然函数 的定义域是 , 函数 是奇函数, (1)正确; 由 , 得 , 即函数 的值域为 , (2)正确:当 时, 函数 在 上单调递增, 又函数 是奇函数, 则函数 在 上也单调递增, 因此函数 在 上单调递增, (3)正确; 当 时, , 由 , 得 , 当 时, , 即 有实根 0 ; 当 时, , 显然两根积为 -1 , 因此方程 必有一个负实数根, 即对任意实数 , 方程 都有一个非负实数根, 于是任意实数 , 函数 都有零点, (4)错误, 所以所有正确结论的序号有(1)(2)(3), 故答案为 3 .
四、解答题 (共 70 分. 解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤)
17. (本小题满分 10 分)
解：（I）原式
( II ) 在第四象限,
18. (本小题满分 12 分)
解：（I ）设 ,
, 且图象过原点,
解得
(II) 设 ，
则, ,
即 不论 为何值都成立,
解得
19. (本小题满分 12 分)
解: (I) 因为 的图象过点 ,
所以 , 则 ,
所以函数 的解析式为
(II) 由 (I) 得 , 所以函数 的对称轴为 ,
若函数 在 上是单调函数, 则 或 , 即 或 ,
所以实数 的取值组成的集合为 或 .
20. (本小题满分 12 分)
解: (I) 宽为 米、长为 米的长方形展牌, 所以面积为: , ,
其中 ,
故 , 即
( II ） 展牌的周长即 ,当且仅当 时, 等号成立, 此时 ,
所以设计展牌的长为 6 和宽为 2 , 才能使展牌的周长最小, 最小值为 16 .
21. (本小题满分 12 分)
解: (I) 由 , 可得 解得 . 或 ,
.
(II) 当 时, 由 , 可得 解得 ,
所以 , 满足 ;
当 时, 由 得该不等式解集为 , 故 , 满足 ;
当 时, 由 可得 解得 ,
所以 , 不满足 .
综上所述, 实数 的取值范围为
22. (本小题满分 12 分)
解: (I) 函数 的图象过点 , 所以 , 解得 ,
所以函数 的解析式为 .
(II) 由 (I) 可知 , 且单调递增,
令 ,
则 在区间 上有零点,
所以 解得 ,
因为 , 所以 的取值为 2 或 3 .
(III) 因为 且 , 所以 且 ,
因为 ,所以 的最大值可能是 或 ,
因为
所以 ,
只需 , 即 .
设 在 上单调递增,
又 , 即 , 所以 ,
所以 的取值范围是 .
