专题 等边三角形与角平分线应用 人教版数学 八年级上册（含答案）

专题 等边三角形与角平分线应用
人教版数学 八年级上册
一、填空题
1．如图，在△ABC中，∠ABC＝60°，∠BAC＝75°，AD，CF分别是BC、AB边上的高且相交于点P，∠ABC的平分线BE分别交AD、CF于M、N.以下四个结论：①△PMN等边三角形；②除了△PMN外，还有4个等腰三角形；③△ABD≌△CPD；④当DM＝2时，则DC＝6.其中正确的结论是：　 　（填序号）.
2．如图，在中，的平分线交BC于点E，若，，则的周长为　 　．
3．如图，在中，和的平分线交于点于点，如果的面积是6，则的周长是　 　.
4．如图，在中，，是角平分线，若，，则的面积为　 　．
5．如图，在中，两条角平分线相交于点，过点作于点，若，的周长为，则的面积为　 　．
二、解答题
6．如图，在等边△ABC中，D，E分别是BC，AC上的点，且AE=CD．AD与BE交于点N，BM⊥AD于点M．
求证：
（1）△ABE≌△CAD；
（2）MN= BN．
7．如图，点C为线段上一点，是等边三角形，与相交于点E．
（1）求证：；
（2）求证：平分；
（3）若，求点E到直线的距离．
8．如图，△ABC是等边三角形．
（1） 如图①，DE∥BC，分别交AB、AC于点D、E．求证：△ADE是等边三角形；
（2）如图②，△ADE仍是等边三角形，点B在ED的延长线上，连接CE，判断∠BEC的度数及线段AE、BE、CE之间的数量关系，并说明理由．
9．在等边△ABC中，点D是边BC上一点．作射线AD，点B关于射线AD的对称点为点E．连接CE并延长，交射线AD于点F．
（1）如图①，连接AE，
①AE与AC的数量关系是 ▲ ；
②设∠BAF＝a，用a表示∠BCF的大小；
（2）如图②，用等式表示线段AF，CF，EF之间的数量关系，并证明．
10．如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，EF垂直平分AC，交AC于点E，交AB于点F，M是直线EF．上的动点．
（1）当MD⊥BC时．
①若ME=1，则点M到AB的距离为 ▲
②若∠CMD=30°，CD=3，求△BCM的周长；
（2）若BC=8，且△ABC的面积为40，则△CDM的周长的最小值为　 　
11．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，DE是AB的垂直平分线，垂足为点E，DE交BC于点D，连接AD．
（1）求证：AD平分∠CAB；
（2）若CD＝3，求BD的长．
12．如图，在中，，斜边AB 的垂直平分线交AC于点E，交AB于点 D，AE = 8cm，求 BC 的长.
13．如图，BD是∠ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别为E、F．
（1）试说明：BE=BF；
（2）若△ABC的面积为81，AB=15，DE=6，则BC的长为　 　
14．如图，在中，是边上的中线，是边上一点，延长至点，使，连结.
（1）求证：.（要求写出每一步的理论依据）
（2）当，时，求的度数.
15． 已知△ABC中，∠B＝50°，∠C＝70°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于E点．
（1）求∠EDA的度数；
（2）AB＝10，AC＝8，DE＝3，求S△ABC．
16．如图，在△ABC中，点D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC．E、F为垂足，BE＝CF．求证：
（1）DE＝DF；
（2）连接AD，这时AD平分∠BAC吗？请说明理由．
17． 如图，△ABC中，∠C＝90°，DE⊥AB于E，F在AC上，且BE＝FC，BD＝FD，求证：AD是∠BAC的平分线．
18． 如图，AB∥CD，M是AD的中点，BM⊥CM，连接BC．
（1）求证：CM平分∠BCD；
（2）探究BC、CD、AB之间的数量关系．
三、实践探究题
19．如图，点是等边内一点，是外的一点，，，≌，，连接．
（1）求证：是等边三角形；
（2）当时，试判断的形状，并说明理由；
（3）探究：当为多少度时，是等腰三角形．
20．
（1）【初步感知】
如图1，已知为等边三角形，点为边上一动点点不与点，点重合以为边向右侧作等边，连接．
求证：≌；
（2）【类比探究】
如图，若点在边的延长线上，随着动点的运动位置不同，猜想并证明：与的位置关系为：　 　；线段、、之间的数量关系为：　 　；
（3）【拓展应用】
如图，在等边中，，点是边上一定点且，若点为射线上动点，以为边向右侧作等边，连接、请问：是否有最小值？若有，请直接写出其最小值；若没有，请说明理由．
21．已知是的平分线，点P是射线上一点，点C，D分别在射线，上，连接，．
（1）【发现问题】
如图①，当，时，则与的数量关系是　 　．
（2）【探究问题】
如图②，点C，D在射线，上滑动，且，当时，与在【发现问题】中的数量关系还成立吗？说明理由．
22．【问题背景】
如图，在中，，和的平分线和相交于点G．
【问题探究】
（1）的度数为　 　；
（2）过G作交的延长线于点F，交于点H，判断与的数量关系，并说明理由；
（3）在（2）的条件下，若，求的长．
答案解析部分
1．【答案】①②③④
2．【答案】52
3．【答案】12
4．【答案】18
5．【答案】6
6．【答案】（1）证明：∵△ABC是等边三角形，∴AB=BC=AC，∠BAC=∠ACB= 60°，
在△ABE和△CAD中，
∴△ABE≌△CAD （SAS）
（2）证明：∵△ABE≌△CAD，
∴∠ABE=∠CAD，
∴∠BNM=∠BAN+∠ABN=∠BAN+∠CAD=60°，
∵BM⊥AD，
∴∠AMB=90°，
∴∠NBM=30°，
∴MN= BN
7．【答案】（1）证明：∵是等边三角形，
∴.
∴.
∴.
∴.
∴．
（2）证明：过点C作，垂足分别为H，I，
∵，
∴
∴．
∴．
∴平分．
（3）解：如图，，
∵，
∴.
∵，
，
∴．
∴．
∵，
由（2）平分，
∴，．
∴．
∴．
∴点E到直线的距离为．
8．【答案】（1）解：∵是等边三角形，
∴∠A=∠B=∠C=60°，
∵DE∥BC，
∴∠ADE=∠AED=60°，
∴是等边三角形；
（2）∠BEC =60°，AE+CE=BE，
理由如下：
∵是等边三角形，
∴AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=60°，
∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC，
即：∠BAD=∠CAE，
∴，
∴∠ABD=∠ACE，BD=CE，
∴∠CBD+∠ACE=60°，
∴∠BEC=180°-（∠CBD+∠ACB+∠ACE)=180°-120°=60°，
∵BE=BD+DE，AE=DE，
∴AE+CE=BE.
9．【答案】（1）解：①∵点B关于射线AD的对称点为E，
∴AE＝AB，
∵△ABC为等边三角形，
∴AB＝AC，
∴AE＝AC．
故答案为：AE＝AC．
②解：∵∠BAF＝∠EAF＝α，△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC，∠BAC＝∠ACB＝60°，
∴∠EAC＝60°﹣2α，AE＝AC，
∴∠ACE＝ [180°﹣（60°﹣2α）]＝60°+α，
∴∠BCF＝∠ACE﹣∠ACB＝60°+α﹣60°＝α．
（2）解：结论：AF＝EF+CF．
证明：如图，作∠FCG＝60°交AD于点G，连接BF．
∵∠BAF＝∠BCF＝α，∠ADB＝∠CDF，
∴∠ABC＝∠AFC＝60°，
∴△FCG是等边三角形，
∴GF＝FC，
∵△ABC是等边三角形，
∴BC＝AC，∠ACB＝60°，
∴∠ACG＝∠BCF＝α，
在△ACG和△BCF中，
，
∴△ACG≌△BCF（SAS）．
∴AG＝BF，
∵点B关于射线AD的对称点为E，
∴BF＝EF，
∴AF﹣AG＝GF，
∴AF＝EF+CF．
10．【答案】（1）解：①1；
②∵D是BC的中点，MD⊥BC．
∴MB =MC，∴MD平分∠BMC，∴∠BMC=2∠CMD=60°，
∴△BCM是等边三角形，
∴BC=BM=MC．
∵D是BC的中点，
∴BC=2CD=6，
∴△BCM的周长为BC+BM+MC=18．
（2）14
11．【答案】（1）证明：∵DE是AB的垂直平分线，
∴DB＝DA，
∴∠DAB＝∠DBA＝30°．
∵∠C＝90°，∠B＝30°，
∴∠CAD＝∠BAD＝30°，
∴AD平分∠CAB．
（2）解：∵AD平分∠CAB，DC⊥AC，DE⊥AB，
∴DC＝DE．
∵DC＝DE，CD＝3，
∴DE＝3．
∵∠B＝30°，DE⊥AB，
∴BD＝2DE＝6．
12．【答案】解：BC=4cm
13．【答案】（1）证明：∵BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB， DF⊥BC，
∴∠DBE=∠DBF，∠BED=∠BFD=90°，在△BDE和△BDF中，
∴△BDE≌△BDF （AAS），∴BE=BF
（2）12
14．【答案】（1）证明：是边上的中线（已知）.
（三角形中线的定义），
在和中，
，
；
（2）解：（已知），
（垂直的定义）
在和中，
（SAS）
（全等三角形的性质）
平分（角平分线的定义）
（已知）
（等量代换）
在中，（三角形内角和定理）
（等式的基本性质）
又（已证）
（全等三角形的性质）
15．【答案】（1）解：∵∠B＝50°，∠C＝70°，
∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝180°﹣50°﹣70°＝60°，
∵AD是△ABC的角平分线，
∴∠BAD＝∠BAC＝×60°＝30°，
∵DE⊥AB，
∴∠DEA＝90°，
∴∠EDA＝180°﹣∠BAD﹣∠DEA＝180°﹣30°﹣90°＝60°；
（2）解：如图，过D作DF⊥AC于F，
∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，
∴DF＝DE＝3，
又∵AB＝10，AC＝8，
∴S△ABC＝×AB×DE＋×AC×DF＝×10×3＋×8×3＝27．
16．【答案】（1）解：∵D是BC的中点，
∴BD＝CD，
∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴△BED和△CFD都是直角三角形，
在Rt△BED与Rt△CFD中，
，
∴Rt△BED≌Rt△CFD（HL），
∴DE＝DF；
（2）解：AD平分∠BAC．
理由如下：∵DE＝DF，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴AD是△ABC的角平分线．
17．【答案】解：证明：在Rt△CDF和Rt△EDB中，
，
∴Rt△CDF≌Rt△EDB（HL），
∴DC＝DE，
而DC⊥AC，DE⊥AB，
∴∠DAC＝∠DAB，
即AD是∠BAC的平分线．
18．【答案】（1）证明：延长BM交CD于点N，如图：
∵AB∥CD，
∴∠A＝∠D，∠ABM＝∠DNM，
∵M是AD的中点，
∴AM＝DM，
在△ABM和△DNM中，
∴△ABM≌△DNM（AAS），
∴BM＝NM，
∵BM⊥CM，
∴∠CMB＝∠CMN＝90°，
又∵CM＝CM，
∴△CBM≌△CNM（SAS），
∴∠BCM＝∠NCM，即CM平分∠BCD．
（2）解：
19．【答案】（1）证明：≌，
．
，
是等边三角形．
（2）解：是直角三角形．
理由如下：
是等边三角形，
，
≌，，
，
，
是直角三角形．
（3）解：是等边三角形，
．
，，
，
，
．
当时，，
．
当时，，
．
当时，
，
．
综上所述：当或或时，是等腰三角形．
20．【答案】（1）证明：和是等边三角形，
，，，
，
即
在和中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS）；
（2）平行；
（3）解：有最小值，
在BD延长线上截取，连接EM，
在和中，
，
∴，
，，
是等边三角形，
，
即点在角平分线上运动，
作点关于对称点，
连接与交于点，
此时点与点重合，
，
最小值为．
21．【答案】（1）
（2）解：点P点作于E，于F，
∴，
∵，，
∴，
又，
∴，
由（1）知：，
在和中
，
∴，
∴．
22．【答案】（1）135
（2）解：，理由如下：
∵，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∵和的平分线和相交于点G，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴；
（3）解：∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴．