5.1.2弧度制 课件（共29张PPT）

(共29张PPT)
5.1.2 弧度制
1.理解并掌握弧度制的定义，领会弧度制定义 的合理性.
2.掌握并运用弧度制表示的弧长公式，扇形面积公式.
3.熟练地进行角度制与弧度制的换算.
01
新课导入
公元6世纪，印度人在制作正弦表时，曾用同一单位度量半径和圆周，孕育着最早的弧度制概念。
1748年，在他的一步划时代著作《无穷小分析概论》中，提出把圆的半径作为弧长的度量单位，使一个圆周角等于2π弧度，1弧度等于周角的。
欧拉是明确提出弧度制思想的数学家。
2π
2π
1弧度
02
知识探究
如图，射线OA绕端点O旋转到OB形成角α，在旋转过程中，射线OA上有一点P（不同于O点）的轨迹是一条圆弧，这条圆弧对应于圆心角α.
设α=°, OP=，点P形成的圆弧PP1的长为 .
由初中所学知识可知 .
于是， .
α
【探究】在射线上任取一点(不同于点)，OQ=r1，在旋转过程中，点所形成的圆弧的长为，与的比值是多少 我们能得出什么结论？
α
圆心角所对的弧长与半径的比值，只与的大小有关
定义
长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度(radian)的角，弧度单位用符号rad表示，读作弧度.
1rad
这种以弧度作为单位来度量角的单位制叫做弧度制
正角的弧度数为正数，
负角的弧度数为负数，
零角的弧度数为0.
α的正负由旋转方向决定.
根据弧度制的定义，在半径为的圆中，弧长为所对的弧所对的圆心角为rad.那么，角的弧度数为.
探究
角度制、弧度制都是角的度量制，他们之间应该可以换算，如何换算呢？你认为在换算的过程中最为关键的是什么？
关键是找到联系两种度量制的桥梁：，即.
然后将其单位化：
=
=
弧度数=角度数×
角度数=弧度数×
例2（1） 下列转化结果正确的是( )
A. 化成弧度是 B. 化成角度是
C. 化成弧度是 D. 化成角度是
D
角度
弧度
角度
弧度
135°
180°
150°
270°
360°
0°
-30°
-45°
-60°
-90°
-120°
-135°
-150°
-180°
-270°
-360°
1.填写下列特殊角的度数与弧度数的对应表
2.当角度为负数时，与正数计算过程一样
正角
零角
负角
正实数
0
负实数
在弧度制下，角的集合与实数集R之间建立起一一对应的关系：
例4 利用弧度制证明下列关于扇形的公式.
其中是圆的半径，为圆心角，是扇形的弧长，是扇形的面积.
证明：(1)由公式得：
(2)由半径为R，圆心角为n°的扇形的弧长和面积分别为；
将转换为弧度制
将代入上式可得
03
当堂检测
探究点一 弧度制的概念
例1（1） 下列说法中正确的是( )
D
A.1弧度是1度的圆心角所对的圆弧
B.1弧度是长度为半径的圆弧
C.1弧度是1度的圆弧与1度的角的和
D.1弧度是长度等于半径长的圆弧所对的圆心角的大小，弧度是角的一种度量单位
[解析] 根据弧度的定义，长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫作1弧度的角.故选D.
探究点一 弧度制的概念
（2）下列说法中正确的是( )
A
A. 的角是周角的 ， 的角是周角的
B.大圆中1弧度的圆心角比小圆中1弧度的圆心角大
C.所有圆心角为1弧度的角所对的弧长都相等
D.用弧度制表示的角都是正角
[解析] 易知A正确；对于B，大圆中1弧度的圆心角与小圆中1弧度的圆心角相等，故B错误；对于C，所有圆心角为1弧度的角所对的弧长不一定相等，故C错误；对于D，用弧度制表示的角也可以不是正角，故D错误.故选A.
探究点二 角度制与弧度制的互化
例2（1） 下列转化结果正确的是( )
D
A. 化成弧度是 B. 化成角度是
C. 化成弧度是 D. 化成角度是
[解析] 对于A， 化成弧度是 ，故A不正确；对于B， 化成角度是
，故B不正确；对于C， 化成弧度是 ，故C不正确；
对于D， 化成角度是 ，故D正确．故选D．
探究点二 角度制与弧度制的互化
（2）（多选题）下列转化结果正确的是( )
ABD
A. 化成弧度是 B. 化成角度是
C. 化成弧度是 D. 化成角度是
[解析] 对于A, ，故A正确;对于B,
,故B正确;对于C, ,故C错误;
对于D, ,故D正确.故选 .
探究点三 用弧度制表示角
例3（1） 将 改写成 的形式是( )
C
A. B. C. D.
[解析] 因为 ,所以将 改写成 的形式是 .故选C.
探究点三 用弧度制表示角
图5-1-4
（2）用弧度制表示顶点在原点,始边与 轴的正半轴重合，
终边在图5-1-4中的阴影部分（不包括边界）的角 的集合.
解： , , 满足条件的角 的集合为 .
探究点三 用弧度制表示角
［素养小结］
（1）用弧度制表示区域角,需进行角度与弧度的换算,注意要统一单位.
（2）终边在同一条直线（倾斜角为 ）上的角可以表示为 , 终边在互相垂直的两条直线（其中一条直线的倾斜角为 ）上的角可以表示为 .
探究点四 弧长公式和扇形面积公式的应用
角度一 弧长公式
例4（1） 已知扇形的半径为10，圆心角为 ，则弧长为_ ___.

[解析] 因为 ，所以圆心角 ，又半径 ，所以
弧长 .
（2）[2022·江苏常州高一期中] 已知扇形的周长为30,圆心角为 ,则此扇形的
弧长为 ____.
18
[解析] 设扇形的弧长为 ,半径为 ,由题意可得 ， ,则
，解得 ，故 ．
探究点四 弧长公式和扇形面积公式的应用
角度二 扇形面积公式
例5（1） 已知扇形的周长为 ，圆心角为 ，则此扇形的面积为( )
A
A. B. C. D.
[解析] 设扇形的半径为 ，圆心角为 ，则 ，由题意得 ，所以 ，所以扇形的面积 ，故选A.
探究点四 弧长公式和扇形面积公式的应用
（2）[2023·绍兴高一期末] 已知扇形 的面积为 ， 的长为 ，则
( )
C
A. B.2 C. D.4
[解析] 设扇形的半径为 ,圆心角为 .由扇形 的面积为 ， 的长为 ，可得 ， ，解得 ， ，则 ．故选C.
探究点四 弧长公式和扇形面积公式的应用
［素养小结］
扇形的弧长和面积的求解策略
（1）记公式：面积公式 ，弧长公式 （其中 是扇形的弧
长， 是扇形的半径， 是扇形圆心角的弧度数， ）.
（2）找关键：涉及扇形的半径、周长、弧长、圆心角、面积等的计算问题，关键是分析题目中已知哪些量、求哪些量，然后灵活运用弧长公式、扇形的面积公式直接求解或列方程（组）求解.
04
课堂小结
1．什么叫1弧度角
2. “角度制”与“弧度制”的联系与区别.
3．弧长公式与扇形面积公式．