2023-2024学年上海市建平中学高一年级上学期
12月月考数学试卷
2023.12
一、填空题 (本大题共有12小题，满分36分) 考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，1-12题每个空格填对得3分，否则一律得0分.
1.已知集合，且，则______.
【答案】2
【解析】①当时，，舍去
②，
则
2.已知一个扇形的圆心角大小为，弧长为，则其面积为______.
【答案】
【解析】由题意知
则其面积为
3.已知幂函数在上是严格减函数，则______.
【答案】
【解析】由题意知
当时，，在上不是严格减函数，不符合，舍去
当时，，在上是严格减函数，符合题意
4.已知角的终边经过点，其中，则角的余弦值为______.
【答案】
【解析】由题意知
5.设全集，集合，则______.
【答案】
【解析】
6.若函数为偶函数且非奇函数，则实数的取值范围为______.
【答案】
【解析】由函数可得，函数要为偶函数
则其定义域需关于原点对称
，解得
则不等式组有解，需满足，即
当时，函数
此时既是奇函数，又是偶函数，不符合题意
所以可得
此时函数定义域为
故函数为偶函数且非奇函数
则实数的取值范围为
7.定义在上的函数不存在反函数，则实数的取值范围是______.
【答案】
【解析】由题意知，若函数不存在反函数
则
8.已知，且的充分不必要条件是，则的取值范围是______.
【答案】
【解析】由题意知当时，
当时，
则的取值范围是
9.如果关于的一元三次方程（且）有三个实数根，则______（用表示）
【答案】
【解析】因为关于的三次方程的3个实根为
所以
而
所以
10.已知定义在上的函数，其中，如果函数与函数的值域相同，则的取值范围是______.
【答案】
【解析】
设，则的值域也为
则
11.已知函数的最小值为，则实数的取值范围为______.
【答案】
【解析】当时，
时，在取得最小值
时，在时取得最小值2，故，解得
又因为此时，所以
当时，
时，在之间取得最小值
时，在处取得最小值，故，解得，又因为此时，所以
当时，
时，在之间取得最小值，而此时
所以时的最小值为
又根据二次函数性质，时在处取得最小值
故，解得或
而此时，故
所以实数的取值范围为
12.已知函数，其中，若对任意的，总存在，使得成立，则实数的取值范围是______.
【答案】
【解析】，又
则由得
设
则任意的，总存在的值域是值域的子集
时，（显然）
而
由题可知同号
时，（*）式可化为，解得
当时，（*）式可化为，无解
综上
二、选择题（本大题共有4题，满分12分）每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．
13.用反证法证明命题“设，如果能被5整除，那么中至少有一个能被5整除”，假设应该是（ ）
A.都能被5整除 B.至多有一个能被5整除
C.或不能被5整除 D.都不能被5整除
【答案】D
【解析】用反证法只否定结论即可，而“至少有一个”的反面是“一个也没有”
故选D
14.在平面直角坐标系中，给出下列命题：①小于的角一定是锐角；②钝角一定是第二象限的角；③终边不重合的角一定不相等；④第二象限角大于第一象限角。
其中假命题的个数是（ ）
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
【答案】C
【解析】只有②是正确的
故选C
15.已知函数，有下列两个命题：
①的值域为；②对任意正有理数，函数存在奇数个零点。
则下列判断正确的是（ ）
A.①②均为真命题 B.①②均为假命题
C.①为真命题②为假命题 D.①为假命题②为真命题
【答案】D
【解析】对于①因为，显然的值域中不含有负无理数
故的值域不为，故错误
对于②，的零点，即为有理数或为无理数
对于为有理数，必有解
对于为无理数，必有解或无解
故零点有三个或一个，故正确
故选D
16.已知函数，若不等式在上恒成立，则满足要求的有序数对有（ ）
A.0个 B.1个 C.2个 D.无数个
【答案】B
【解析】由题意若不等式在上恒成立
则必须满足，即
由，两式相加得
再由，两式相加得
结合（4），（5）两式可知，代入不等式组得，解得
经检验，当时
有
满足在上恒成立
综上所示，满足要求的有序数对为，共一个
故选B
三、解答题 (本大题满分52分) 本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤
17.（本题满分8分）
求下列关于的方程的解集：
（1）
（2）
【答案】（1）；（2）
【解析】
（1）
则
则方程的解集为
（2）当时，方程化为
当时，方程化为
当时，方程化为
综上所述，方程的解集为
18.（本题满分10分）
已知函数是定义在上的奇函数，且当时，
（1）求证：在定义域内是严格减函数
（2）若对恒成立，求实数的取值范围。
【答案】（1）见解析；（2）
【解析】
（1）设，
则在内是严格减函数，又奇函数对称区间上的单调性相同
则在定义域内是严格减函数
（2）
当时，
则实数的取值范围为
19.（本题满分10分）
近来，国内多个城市纷纷加码布局“夜经济”，以满足不同层次的多元消费，并拉动就业、带动创业，进而提升区域经济发展活力，某夜市的一位工艺品售卖者，通过对每天销售情况的调查发现：该工艺品在过去的一个月内（以30天计），每件的销售价格（单位：元）与时间（单位：天）的函数关系近似满足。且销售量（单位：件）与时间（单位：天）的部分数据如下表所示
（1）给出以下四个函数模型：①；②；③；④。请你根据上表中的数据，从中选择你认为最合适的一种函数模型来描述日销售量与时间的变化关系，并求出该函数的解析式及定义域
（2）设该工艺品的日销售收入为（单位：元），求的最小值。
【答案】（1）；（2）441.
【解析】
（1）由表格数据知，当时间变换时，先增后减，而①③④都是单调函数
所以选择模型②，
由，可得，解得
由，解得
所以日销售量与时间的变化的关系式为
（2）由（1）知：
所以
即
当时，
由基本不等式，可得，当且仅当时，即时等号成立
当时，为减函数
所以函数的最小值为
综上，当时，函数取得最小值441.
20.（本题满分12分）
已知函数
（1）写出的单调区间以及在每个单调区间上的单调性（无需证明）
（2）解不等式
（3）若满足，且，求证：
【答案】（1）在上单调递增，在上单调递减；（2）；（3）见解析
【解析】
（1）在上单调递增，在上单调递减
（2）由题意
①，不等式即
②，不等式即
综上，
（3）函数大致图像如图
当时，函数单调递增，当时，函数单调递减
则若满足，则
由图像知
①若，则显然
②若，要证明，则要证
注意到，且在上递减
则可证明
，则可证明
构造函数，则
对任意的
在上单调递减，
时，即
，从而得证
21.（本题满分12分）
设函数定义域为，如果存在常数满足：任取，都有，则称是型函数，是这个型函数的常数
（1）判断函数是不是型函数，并说明理由：如果是，给出一个常数；
（2）设函数是定义在区间上的型函数，是一个常数，求证：函数也是型函数；
（3）设函数是定义在上的型函数，其常数，且的值域也是，求的解析式
【答案】（1）是，；（2）；（3）
【解析】
（1）假设是型函数，
则任取，都有恒成立
即
当时，
当时，
综上所述，
（2）设，
任取
则
则
则也是型函数。
（3）假设且
则
由于
或
①当时，假设存在且
若，则
若，则
均矛盾，故对任意，都有
此时，的解析式为
②同理，当时，的解析式为
综上，的解析式为或2023-2024学年上海市建平中学高一年级上学期
12月月考数学试卷
2023.12
一、填空题 (本大题共有12小题，满分36分) 考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，1-12题每个空格填对得3分，否则一律得0分.
1.已知集合，且，则______.
2.已知一个扇形的圆心角大小为，弧长为，则其面积为______.
3.已知幂函数在上是严格减函数，则______.
4.已知角的终边经过点，其中，则角的余弦值为______.
5.设全集，集合，则______.
6.若函数为偶函数且非奇函数，则实数的取值范围为______.
7.定义在上的函数不存在反函数，则实数的取值范围是______.
8.已知，且的充分不必要条件是，则的取值范围是______.
9.如果关于的一元三次方程（且）有三个实数根，则______（用表示）
10.已知定义在上的函数，其中，如果函数与函数的值域相同，则的取值范围是______.
11.已知函数的最小值为，则实数的取值范围为______.
12.已知函数，其中，若对任意的，总存在，使得成立，则实数的取值范围是______.
二、选择题（本大题共有4题，满分12分）每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．
13.用反证法证明命题“设，如果能被5整除，那么中至少有一个能被5整除”，假设应该是（ ）
A.都能被5整除 B.至多有一个能被5整除
C.或不能被5整除 D.都不能被5整除
14.在平面直角坐标系中，给出下列命题：①小于的角一定是锐角；②钝角一定是第二象限的角；③终边不重合的角一定不相等；④第二象限角大于第一象限角。
其中假命题的个数是（ ）
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
15.已知函数，有下列两个命题：
①的值域为；②对任意正有理数，函数存在奇数个零点。
则下列判断正确的是（ ）
A.①②均为真命题 B.①②均为假命题
C.①为真命题②为假命题 D.①为假命题②为真命题
16.已知函数，若不等式在上恒成立，则满足要求的有序数对有（ ）
A.0个 B.1个 C.2个 D.无数个
三、解答题 (本大题满分52分) 本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤
17.（本题满分8分）
求下列关于的方程的解集：
（1）
（2）
18.（本题满分10分）
已知函数是定义在上的奇函数，且当时，
（1）求证：在定义域内是严格减函数
（2）若对恒成立，求实数的取值范围。
19.（本题满分10分）
近来，国内多个城市纷纷加码布局“夜经济”，以满足不同层次的多元消费，并拉动就业、带动创业，进而提升区域经济发展活力，某夜市的一位工艺品售卖者，通过对每天销售情况的调查发现：该工艺品在过去的一个月内（以30天计），每件的销售价格（单位：元）与时间（单位：天）的函数关系近似满足。且销售量（单位：件）与时间（单位：天）的部分数据如下表所示
（1）给出以下四个函数模型：①；②；③；④。请你根据上表中的数据，从中选择你认为最合适的一种函数模型来描述日销售量与时间的变化关系，并求出该函数的解析式及定义域
（2）设该工艺品的日销售收入为（单位：元），求的最小值。
20.（本题满分12分）
已知函数
（1）写出的单调区间以及在每个单调区间上的单调性（无需证明）
（2）解不等式
（3）若满足，且，求证：
21.（本题满分12分）
设函数定义域为，如果存在常数满足：任取，都有，则称是型函数，是这个型函数的常数
（1）判断函数是不是型函数，并说明理由：如果是，给出一个常数；
（2）设函数是定义在区间上的型函数，是一个常数，求证：函数也是型函数；
（3）设函数是定义在上的型函数，其常数，且的值域也是，求的解析式
