山东省泰安市重点中学（青年路校区）2023-2024学年高二上学期12月学情诊断数学试题（含答案）

泰安一中青年路校区2022级高二上学期十二月份学情诊断
数学试题
第Ⅰ卷（选择题）
一、单选题(共8个小题,每小题5分,共40分.四个选项中,只有一项符合题目要求)
1．直线与直线互相平行，则实数（ ）
A． B．4 C． D．2
2．如图，已知三棱锥，点分别是的中点，点为线段上一点，且，若记,则（ ）
A． B． C． D．
3．对抛物线，下列描述正确的是( )
A．开口向上，焦点为 B．开口向上，焦点为
C．开口向右，焦点为 D．开口向右，焦点为
4．已知，若向量共面，则（ ）
A． B． C． D．
5．若圆与圆外切，则（ ）.
A． B． C． D．
6．抛物线有一条重要性质：从焦点发出的光线经过抛物线上的一点反射后，反射光线平行于抛物线的轴．已知抛物线C：，从点发出的一条平行于x轴的光线，经过C上的点A反射后，与C交于另一点B，则点B的纵坐标为（ ）
A. B. C. D.
7．已知数列满足且，则（ ）
A．3 B． C．-2 D．
8.已知F1、F2分别为双曲线C：（a＞0，b＞0）的左、右焦点，点A在双曲线上，且∠F1AF2＝60°，若∠F1AF2的角平分线经过线段OF2（O为坐标原点）的中点，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
二、多项选择题(共4个小题,每小题5分,共20分.四个选项中,全部选对得5分,部分选对得2分,选错得0分)
9．正方体中，E、F、G、H分别为、BC、CD、的中点，则下列结论正确的是（ ）
A． B．平面平面
C．面AEF D．二面角的大小为
10．已知直线，则下列命题正确的是（ ）
A．直线的倾斜角是
B．无论如何变化，直线不过原点
C．无论如何变化，直线总和一个定圆相切
D．当直线和两坐标轴都相交时，它和坐标轴围成的三角形的面积不小于1
11．已知曲线的方程为，则下列结论正确的是（ ）
A．当时，曲线为圆
B．当时，曲线为双曲线，其渐近线方程为
C．“”是“曲线为焦点在轴上的椭圆”的充分而不必要条件
D．存在实数使得曲线为双曲线，其离心率为
12．已知，是椭圆：的左 右焦点， 是左 右顶点，为椭圆的离心率，过右焦点的直线与椭圆交于，两点，已知，，设直线的斜率为，直线和直线的斜率分别为，，直线和直线的斜率分别为，，则下列结论一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
三、填空题(共4小题,每小题5分,共20分)
13．已知点，直线与线段相交，则实数的取值范围是_____________.
14．如图所示，在正方体中，M为棱的中点，则异面直线与AM所成角的余弦值为________.
15．若的两个顶点坐标、，的周长为，则顶点C轨迹方程为 _____________.
16．设是双曲线的两个焦点，是该双曲线上一点，且，则的面积等于__________．
四、解答题(共6个小题,共70分,解答应写出必要的文字说明或者证明过程,演算步骤)
17．(10分）已知中心在原点的双曲线的渐近线方程是，且双曲线过点.
（1）求双曲线的方程；
（2）过双曲线右焦点作倾斜角为的直线交双曲线于、两点，求.
18．(12分）已知过点且斜率为的直线与圆：交于，两点.
（1）求斜率的取值范围；
（2）以点为圆心，为半径的圆与圆总存在公共点，求的取值范围；
19．(12分）如图，四面体ABCD中，平面DAC⊥底面ABC，，AD＝CD＝，O是AC的中点，E是BD的中点．
（1）证明：DO⊥底面ABC；
（2）求二面角D-AE-C的余弦值．
20．(12分）已知抛物线经过点，为抛物线的焦点，且．
（1）求抛物线的标准方程；
（2）过点的直线与抛物线相交于，两点，求面积的最小值（为坐标原点）
21．(12分）已知在四棱锥中，底面是边长为的正方形，是正三角形，CD平面PAD，E,F,G,O分别是PC,PD,BC,AD 的中点．
（Ⅰ）求证：PO平面；
（Ⅱ）线段上是否存在点，使得直线与平面所成角为，若存在，求线段的长度；若不存在，说明理由．
22．(12分）已知椭圆的离心率，是椭圆上一点．
（1）求椭圆的方程；
（2）若直线的斜率为，且直线交椭圆于、两点，点关于原点的对称点为，点，判断直线与的斜率之和是否为定值，如果是，请求出此定值，如果不是，请说明理由。
17．
20.
抛物线的焦点为，准线方程为，
由抛物线经过点，，
可得，即，
又，可得，
解得，，
故抛物线的标准方程为.
【小问2详解】
当直线的斜率不存在时，直线方程为，
由，解得，此时，所以的面积．
当直线的斜率存在时，设直线的方程为．
由得，．
设，，由根与系数的关系得，，
所以
，
综上所述，面积的最小值为．