2025 届高二年级数学教学测评卷（二）参考答案
1.【答案】A 2. 【答案】 D 3．【答案】 D 4．【答案】 A
5.【答案】B【详解】不妨取 B为上顶点，如图所示：则 BF1 BF2 a，
4 a
设 PF x 2
4
2 ，则 PF1 2a x，则 a2 2a x x a
2 2
，整理得到 x a ， cos BPF 3
3 1 5
，
a 5
3
PF 2 4△ 2 16 2 21F2中， 4c a a 2 a
4
a 4 ，整理得到 a2 5c2 e c 5，即 .
9 9 3 3 5 a 5
3 1 1 1 2
6.【答案】 B【详解】因为 S ABC S ABD S CBD ac c a 34 4 2 a c
2a 1 c= 2a c 1 2 1 c 4a 1 8 3所以
3
4+ 4 4 .当且仅当 c=2a时取取“=”.
a c 3 a c 3 3
8 3
即 2a c的最小值为 .
3
2
7. 【答案】B【详解】因为 x2 y2 4x 1 0，即 x 2 y2 5，可得圆心C 2,0 ，半径 r 5 ，过
点 P 0, 2 作圆 C的切线，记切点为 A,B，因为 PC 22 2 2 2 2 PA PC 2，则 r 2 3，
sin APC 5 10可得 ,cos APC 3 6 ，则
4 4 sin APB sin2 APC 2sin APCcos APC 2
10 6 15
，
2 2 2 2 4 4 4
2 2
cos 6
10 1
APB cos2 APC cos2 APC sin2 APC 4 4
0，
4
APB sin sin π APB sin APB 15即 为钝角，所以 ；
4
x 2 ,x 0
8．【答案】B【详解】因为 f (x) ，函数图象如下所示：
log2 x,x 0
要使关于 x的方程[ f (x)]2 mf (x) 1有 4 个不同的实数根，
即[ f (x)]2 mf (x) 1 0有 4 个不同的实数根，
因为方程 x2 mx 1 0必有一正一负两个根，记为 a,b a 0 b ，
问题等价于 f (x) a与 f (x) b共有 4 个解，如图 f (x) a仅有一解，则问题等价于 f (x) b共有 3 个解，
1
等价于0 b 2 1 又因为 a b m， ab 1，所以 a ，所以m b ， b 0,2
b b
试卷第 1页，共 4页
{#{QQABDYYEggiAAABAARgCUQEYCgOQkAGAAIoGBFAMIAIBgANABAA=}#}
1 3 3
函数 y x 在 0,2 上单调递增，当 x 2时， y
x max
，所以m
2
,
2
9.【答案】AB 10.【答案】AC 11.【答案】AD
【详解】若是双曲线方程，则 m 2 4 m 0解得m 4，或m 2，A 正确；当m 3时，曲线方程为
x2 y2 3
4 m 3
1，表示圆，B 错误，若该曲线离心率为 1，则曲线表示椭圆，当焦点在 x轴上时，1 ，
2 m 2 4
m 18 m 2 3 12解得 ，当焦点在 y轴上时，1 ，解得m ，C 错误；若该曲线为焦点在 y轴上双曲线，
5 4 m 4 5
4 m 0
m 2 2 m 2 1 1 1则 ，即 ，e 1 2 ，因为m 4 2，则 0，即1 2，1 e 2，D 对.
m 2 0 4 m m 4 2 m 4 m 4
12 2．【答案】 ACD【详解】对于 A：当 x 0时， x 0，则 f x x 3 x 2 x2 3x 2，
且 f x 为奇函数，所以 f x f x x2 3x 2，故 A 错误；对于 B：当 x 0
时，令 f x 0，得 x2 3x 2 0，解得 x= 1或 2，即当 x 0时， f x 两
个有零点，又函数 f x 是定义在R 上的奇函数，可知当 x 0时， f x 也有两
个零点，又 f 0 0，所以函数 f x 共有5个零点，故 B 正确；对于 C：作出
函数 f x 1 1的图象，若函数 f x 的图像与函数 y a的图像有四个交点，则 a 0或0 a ，故 C 错.
4 4
3 3
对于 D：由图象可知： f x 的单调递减区间是 , 0 ， 0, 2 2 ，故 D 错误.
500
13.【答案】 28 14.【答案】 3 15. 【答案】 3x 2y 8 0 16.【答案】 3
17.解：（I）由 2bsin A 3a结合正弦定理可得： 2sin B sin A 3 sin A,且sin A 0，
sin B 3 ，又因为△ABC为锐角三角形，故 B .
2 3
1 2 1
（II）cosA cosB cosC cosA cos A 3 1
2 3 sinA cosA
1
sin A .
2 2 2 6 2
0 2 A
3 2 2 3
由 可 得 ： A ， A ， 则 sin A ,1 ，
0 A 6 2 3 6 3
3 2
2
sin A 1
3 1
,
3 3 1 3
.即
3 2 2 2 cos A cosB cosC的取值范围是
, .
2 2
18．解（1）由直方图知： (0.14 x) 5 1，可得 x 0.06，
试卷第 2页，共 4页
{#{QQABDYYEggiAAABAARgCUQEYCgOQkAGAAIoGBFAMIAIBgANABAA=}#}
∴500 名志愿者中年龄在 35, 40 的人数为0.06 5 500 150人.
（2）由（1）易知：第 50 百分位数在 30,35 区间内，若该数为 a，
∴0.05 5 0.07 (a 30) 0.5，解得a 33.6 .
（3）由题设 5 名志愿者有 2 名来自 25,30 ，3 名来自 35, 40 ，此 5 人中取 2 人共 10 种方法，2 人恰好来
4 2
自同一组共 4 种方法，∴抽取的 2 名志愿者中恰好来自同一组的概率 . .
10 5
19.解：（1 1）由动点 P(x, y)与两定点 A( 1,0)， B(2,0)的距离的比为 2 ，
可得 x 1 2 y 0 2 1 x 2 2 y 0 2 ，整理得 x2 y2 4x 0，
2
2
即 x 2 y2 4，所以动点 P是以 2,0 为圆心，2 为半径的圆.
（2 由题意知 l的斜率一定存在且不等于 0，设直线 l： y k x 2 ，即 kx y 2k 0，
2k 2k 4 k 2 2
点 Q 到 l d MN 2 r2 d2 2 4 16k 2 4 12k的距离 ，则弦长为2 2 ，k 1 k 1 k2
1 k2 1
S 1 4 2 4 12k
2 4 k 2 1 2 1
因为 △MNQ MN d，即 2 ，解得 k 或 k ，2 3 k 1 k 2 1 5 11
5 11
所以 k 或 k ，所以直线 l的方程为 x 5y 2 0或 x 11y 2 0 .
5 11
20.解：（1）令事件 Ai：甲组在第 i局获胜， i 1、 2、3，
1 2 1 3 1
3
1
甲组胜的概率为P1 P A1A2 P A1A2A3 P A1A2A3 2 2 ； 2 2
（2）由题意知，在甲组第一局获胜的情况下，甲组输掉比赛为事件：甲组接下来的比赛中连输两场，所以
1 1 1 3
在甲第一局获胜的前提下，最终输掉比赛的概率： P2 P A2·A3 ，即甲获胜的概率为 ，2 2 4 4
故应按照 3：1 的比例来分配比赛奖品，即甲组应获得 21 个篮球，乙组获得 7 个篮球比较合理.
21.（1）证明：取 AD中点为N，连接PN，因为 PAD为等边三角形，所以 PN ^ AD，
且平面 PAD 平面 ABCD，平面 PAD 平面 ABCD AD，PN 面 PAD，所以PN ^ 平面 ABCD，
又 AB 平面 ABCD，所以PN AB，又因为 PD AB， PN PD P， PN， PD 平面 PAD，
所以 AB 平面 PAD，又因为DM 平面 PAD，所以 AB DM，
因为M 为 AP中点，所以DM PA，且 PA AB A， PA， PB 平面 PAD，
试卷第 3页，共 4页
{#{QQABDYYEggiAAABAARgCUQEYCgOQkAGAAIoGBFAMIAIBgANABAA=}#}
所以DM 平面 PAB，且DM 平面CDM ，所以平面CDM 平面 PAB．
（2）由（1）可知， AB 平面 PAD，所以 AB AD ，建立如图所示空间直角坐标系，
设 AD 2a a 2 ，则可得 A 0,0,0 ，B 2,0,0 ，P 0,a, 3a M a 3a， 0, ,2 2 ，C 2,a,0 ，D 0,2a,0 ，
即 PB 2, a, 3a DM 0, 3 ，DC 2, a, 0 ， a,
3 a
2 2
，
r
设平面MCD的法向量为n x, y, z ，
DC n 2 x ay 0
则
DM n 3 3
，取 y 2，得平面MCD的一向量为 n a,2,2 3 ，
ay az 0
2 2
设直线 PB与平面MCD所成角为 ，所以 sin cos PB,n
P B n 6a 3 ，
PB n 4 4a2 16 a2 34
解得 a 2 16，或 a2 1，即 a 4（舍去）或 1，
所以 AD 2 V 1 S AB 1 1， P MCD PMD 1 3
3
2 ．
3 3 2 3
x2 y2 c
22. 解：（1）设双曲线方程为
2 2 1 a 0,b 0 ，由已知得知 c 2 5 且 e 5a b a
x2 y2
则 a 2，b c2 a2 4，所以双曲线方程为： 1 .
4 16
（2）由(1)可得 A1 2,0 , A2 2,0 ，设M x1, y1 ,N x2 , y2 ，
1 1
显然直线的斜率不为 0，设直线MN的方程为 x my 4，且 m ，
2 2
x2 y2
与 1联立得： 4m2 1 y2 32my 48 0，
4 16
32m 48
所以 64(4m2 3) 0， y1 y2 4m2
, y y
1 1 2
4m2
，
1
y1 y2
直线MA1的方程为 y x 2 x 2 ，直线 NA 2的方程为 y x 2 1 x2 2
，
x 2 y x 2 y my 2 my y 2 y y 2y
联立直线MA1与直线NA
2 1 2 1 1 2 1 2 1 1
2的方程可得： = x 2 y1 x2 2 y1 my2 6 my1y2 6y1 3
x 2 1
由 可得 x= 1，即 xP 1，据此可得点 P在定直线 x= 1上运动.x 2 3
试卷第 4页，共 4页
{#{QQABDYYEggiAAABAARgCUQEYCgOQkAGAAIoGBFAMIAIBgANABAA=}#}2025 届高二年级数学教学测评卷（二）
一、单选题
1. 设全集U N，集合 A 1,3,5,7,8 ， B 1,2,3,4,5 ，
则图中阴影部分表示的集合为（ ）
A． 2,4 B 7,8 1,3,5 1,2,3,4,5． C． D．
2. 已知复数 z满足 z iz 2，则复数 z的虚部为（ ）
A．1 B． i C． i D． 1
4x
1
，x 1 7
3．设函数 f (x) 2 ，若 f f 8
8 ，则 a （ ）
a x，x 1
1 3
A． B． C．1 D．2
2 4
tan 14．若 ，则 cos( 2 )的值为（ ）
3
4 1 1 4
A． B． C． D．
5 5 5 5
5．已知 F1， F2 为椭圆 E的两个焦点， B为椭圆 E短轴的一个顶点，直线 BF2 与椭圆 E的另
一个交点为 P．若 PF1 BF1，则椭圆 E的离心率为（ ）
4 5 2 5 1
A. B． C． D．
5 5 5 5
6. ABC中， ABC 120 ， BD BC交 AC于点 D，且 BD 1， 2a c的最小值为（ ）
8 8 3
A． B． B．8 D. 8 3
3 3
7. 过点 0, 2 与圆 x2 y2 4x 1 0 相切的两条直线的夹角为 ，则 sin （ ）
A. 1 B. 15 C. 10 D. 6
4 4 4
x 2 , x 0
8．已知函数 f (x) ，关于 x的方程[ f (x)]2 mf (x) 1 有 4 个不同的实数根，
log2 x, x 0
则实数m的取值范围是（）
3 3 3 3
A． ,1 B．2
, C． 1, D． , 2 2 2
试卷第 1页，共 4页
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二、多选题
9.关于函数 f x 2cos2 2x ，下列说法正确的是（ ）
A． f x π的最小正周期为 B． f x 的最大值为 2
2
f x π π π C． 的图象关于点 , 0 对称 D． f x 在 , 上单调递减
4 8 8
10.以下结论正确的是（ ）
x2 1 2 x2 2
1
A． 2 B． 2 的最小值为 2x x 2
1
C．若 a2 2
1 1
2b 1，则 2 2 3 2 2 D．若 a b 1，则 ab a b 4
11. x
2 y2
已知曲线 1 m R ，则下列说法正确的为（ ）
m 2 4 m
A．若该曲线是双曲线方程，则m 4，或m 2
B．若m 2,4 则该曲线为椭圆
12
C 3．若该曲线离心率为 ，则m
2 5
D．若该曲线为焦点在 y 轴上双曲线，则离心率 e 1, 2
12 2．函数 f x 是定义在R 上的奇函数，当 x 0 时，f x x 3x 2，以下命题错误的是（ ）
A．当 x 0 时， f x x2 3x 2
B．函数 f x 有 5 个零点
1 1
C．若函数 f x 的图像与函数 y a的图像有四个交点，则 a
4 4
D． f x 3 3 的单调递减区间是 , 2 2
三、填空题
13.已知a (3, 4), b (2,3) ，则 2 | a | 3a b ．
14.若直线 l1：3x 2y 1 0与 l2：2x my 1 0相互垂直，则实数 m的值为___________.
2 2
15. 已知 P(2,1) x y为椭圆 1内一点，经过 P作一条弦，使此弦被 P点平分，则此弦所在
16 12
的直线方程为___________.
16.在三棱锥 A BCD中， BC BD， AB AD BD 4 3 ，BC 6，平面 ABD
平面 BCD，则三棱锥 A BCD的外接球体积为_________.
试卷第 2页，共 4页
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四、解答题
17.在锐角 ABC中，角 A,B,C的对边分别为 a, b, c，且 2bsin A 3a 0 ．
（I）求角 B的大小； （II）求 cos A cosB cosC的取值范围．
18．为增强市民的节能环保意识，某市面向全市征召义务宣传志愿者.从符合条件的 500 名
志愿者中随机抽取 100 名志愿者，其年龄频率分布直方图如图所示，其中年龄分组区间
是：第一组第 1组 20, 25 、第 2组 25,30 、第 3组 30,35 、第 4组 35, 40 、第 5组 40,45
（1）求图中 x的值并根据频率分布直方图估计这 500 名志愿者中年龄在 35, 40 的人数；
（2）估计抽出的 100 名志愿者年龄的第 50 百分位数（精确到 0.1）
（3）若在抽出的第 2 组和第 4 组志愿者中，采用按比例分配分层抽样的方法抽取 5 名志愿
者参加中心广场的宣传活动，再从这 5 名中采用简单随机抽样方法选取 2 名志愿者担
任 主要负责人.求抽取的 2 名志愿者中恰好来自同一组的概率.
19. 1已知动点 P(x, y) 与两定点 A( 1,0)， B(2,0)的距离的比为 2 .
(1)求动点 P的轨迹方程并说明是什么图形；
(2)过点 B作直线 l，l与点 P的轨迹C相交于M 、 N两点，已知Q( 2,0)，若 S 4 2 MNQ ，3
求直线 l的方程.
试卷第 3页，共 4页
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20.学校为丰富教职工业余文化活动，在元旦节举办了某项比赛，现甲乙两组进入到决赛阶
段，决赛采用三局两胜制决出冠军，假设每局比赛没有平局且每一局比赛中甲组获胜的概
1
率为 2 .
(1)求甲组最终获得冠军的概率；
(2)已知冠军奖品为 28 个篮球，在甲组第一局获胜后，比赛因故取消，奖品分配新方案是：
假设比赛继续进行下去，按照甲乙两组各自获胜的概率分配篮球，问按此方案，甲组、乙
组分别可获得多少个篮球？
21.如图，在四棱锥 P ABCD中， PAD为等边三角形，M 为 PA的中点， PD AB，平面
PAD 平面 ABCD．
(1)证明：平面CDM 平面 PAB；
(2) 3 34若 AD//BC，AD 2BC 4，AB 2 ，直线 PB与平面MCD所成角的正弦值为 ，求
34
三棱锥 P MCD的体积．
22. 已知双曲线 C 的中心为坐标原点，左焦点为 2 5,0 ，离心率为 5 ．
（1）求 C的方程；
（2）记 C的左、右顶点分别为 A1，A2 ，过点 4,0 的直线与 C的左支交于 M，N两点（M
在第二象限），直线MA1 与 NA2交于点 P．证明:点 P在定直线上.
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