云南省曲靖市宣威市重点中学2023-2024学年高二上学期第四次月考数学试题(含解析)

宣威市重点中学高二年级上学期第4次月考试卷
数 学
时间：120分钟 满分：150分
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1．复数（i为虚数单位）在复平面上对应的点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
3．函数的单调递减区间是（ ）
A．, B．, C．, D．,
4．过点A(3,5)作圆O：x2＋y2－2x－4y＋1＝0的切线，则切线的方程为（ ）
A．5x+12y＋45＝0或x－3＝0 B．5x－12y＋45＝0
C．5x+12y＋45＝0 D．5x－12y＋45＝0或x－3＝0
5．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得至其关，要见次日行里数，请公仔细算相还。”其意思是有一个人走了378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛，每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，请问最后一天走的路程为（ ）
A．15里 B．12里 C．9里 D．6里
6．函数的图象如图所示，是函数的导函数，则下列数值排序正确的是（ ）
A． B．
C． D．
7．荀子《劝学》中说：“不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海。”所以说学习是日积月累的过程，每天进步一点点，前进不止一小点。我们可以把看作是每天的“进步”率都是，一年后是；而把看作是每天“退步”率都
是，一年后是；这样，一年后的“进步值”是“退步值”的倍。
那么当“进步”的值是“退步”的值的3倍，大约经过（ ）天。（参考数据：）
A．20 B．30 C．40 D．50
8．过双曲线的右焦点向其一条渐近线
作垂线，垂足为，与另一条渐近线交于点，若，则双曲线的离心率为（ ）
A．2 B． C． D．
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
9．从装有2个红球和2个白球的红袋内任取两个球，那么下列事件中关系正确的是（ ）
A．“至少有一个红球”与“都是白球”是对立事件
B．“至少有一个白球”与“至少有一个红球”是互斥事件
C．“恰好有一个白球”与“恰好有2个白球”是互斥事件
D．“都是红球”与“都不是红球”是对立事件.
10．某球形巧克力设计了一种圆柱形包装盒，每盒可装7个球形巧克力，每盒只装一层，相邻的球形巧克力相切，与包装盒接触的6个球形巧克力与圆柱形包装盒侧面及上下底面都相切，如图是平行于底面且过圆柱母线中点的截面，设包装盒的底面半径为R，球形巧克力的半径为，每个球形巧克力的体积为，包装盒的体积为，则（ ）
A． B． C． D．
11．已知直线l1：3x+y﹣3＝0，直线l2：6x+my+1＝0，则下列表述正确的有（　　）
A．直线l2的斜率为 B．若直线l1垂直于直线l2，则实数m＝﹣18
C．直线l1倾斜角的正切值为3 D．若直线l1平行于直线l2，则实数m＝2
12．已知函数，则（ ）
A．函数的图像可由的图像向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度得到
B．函数的一个对称中心为
C．函数的最小值为
D．函数在区间单调递减
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13．等差数列中，，，则的值为 。
14．已知两单位向量的夹角为，则 。
15．已知函数的图象在点处的切线与直线平行．则 。
16．已知P为抛物线上一个动点，Q为圆上一个动点，那么点P到点Q的距离与点P到抛物线的准线距离之和的最小值是 。
四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（10分）已知数列为等差数列，是公比为2的等比数列，且满足。
(1)求数列和的通项公式； (2)令求数列的前n项和；
18．（12分）在ΔABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c，已知。
(1)求B； (2)若，求sinC的值。
19．（12分）如图，在圆锥PO中，边长为的正ΔABC内接于圆O，AD为圆O的直径，E为线段PD的中点。
(1)求证：直线平面BCE；
(2)若，求直线AP与平面ABE所成角的正弦值。
20．（12分）从某校高中男生中随机选取100名学生，将他们的体重（单位：）数据绘制成频率分布直方图，如图所示。
(1)估计该校的100名同学的平均体重（同一组数据以该组区间的中点值作代表）；
(2)若要从体重在，，三组内的男生中，用分层抽样的方法选取6人组成一个活动队，再从这6人中选2人当正副队长，求这2人中至少有1人体重在内的概率。
21．（12分）如图，已知椭圆的焦点为，且椭圆过点，若直线与直线平行且与椭圆相交于A,B两点。
(1) 求椭圆的标准方程；
(2) 求三角形面积的最大值。
22．（12分）企业拟用10万元投资甲、乙两种商品.已知各投入x万元，甲、乙两种商品分别可获得万元的利润，利润曲线，，如图所示.
(1)求函数的解析式；
(2)应怎样分配投资资金，才能使投资获得的利润最大？
数学答案
时间：120分钟 满分：150分
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1．复数（i为虚数单位）在复平面上对应的点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】B
【分析】根据题意，化简复数，对应复平面内的点的坐标，即可求解.
【详解】由题意，根据复数的运算可得复数，则z对应点在第二象限.
【点睛】本题考查复数的几何意义，属于基础题.
2．已知集合，，则(　　)
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先分别求出集合和，由此能求出．
【详解】∵集合，，
∴．故本题选C．
【点睛】本题考查交集的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力．
3．函数的单调递减区间是（ ）
A．, B．, C．, D．,
【答案】A【分析】运用导数求解.
【详解】函数的导数 ，由得，
即，所以函数的单调递减区间为；
4．过点A(3,5)作圆O：x2＋y2－2x－4y＋1＝0的切线，则切线的方程为
A．5x+12y＋45＝0或x－3＝0 B．5x－12y＋45＝0
C．5x+12y＋45＝0 D．5x－12y＋45＝0或x－3＝0
【答案】D
【分析】先求出圆心为（1,2），半径为2.再对直线的斜率分类讨论，利用直线和圆相切求出直线的方程得解.
【详解】由题得圆O的方程为：，所以圆心为（1,2），半径为2.
当直线没有斜率时，直线方程为x=3，满足题意.
当直线存在斜率时，设直线方程为，
所以，解之得k=,此时直线方程为5x－12y＋45＝0.
【点睛】本题主要考查圆的方程和直线与圆的位置关系，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力.
5．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得至其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其意思是有一个人走了378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛，每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，请问最后一天走的路程为（ ）
A．15里 B．12里 C．9里 D．6里
【答案】D
【分析】由题意每天行程是公比为的等比数列，应用等比数列前n项和公式求首项，再由通项公式求最后一天走的路程.
【详解】由题设，每天行程是公比为的等比数列，
所以，可得，故里.
6．函数的图象如图所示，是函数的导函数，则下列数值排序正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】由图象的变化趋势，结合导数的几何意义有，即可得结果.
【详解】由图知：，即.
7．荀子《劝学》中说：“不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海．”所以说学习是日积月累的过程，每天进步一点点，前进不止一小点．我们可以把看作是每天的“进步”率都是，一年后是；而把看作是每天“退步”率都是，一年后是；这样，一年后的“进步值”是“退步值”的倍．那么当“进步”的值是“退步”的值的3倍，大约经过（ ）天．（参考数据：）
A．20 B．30 C．40 D．50
【答案】D
【详解】设经过天“进步”的值是“退步”的值的3倍，
则，两边取对数得，
∴，，
8．过双曲线的右焦点向其一条渐近线作垂线，垂足为，与另一条渐近线交于点，若，则双曲线的离心率为
A．2 B． C． D．
【答案】B
【分析】通过联立直线与渐近线方程，可分别得到坐标，根据，可得的关系，即可求解.
【详解】由题意得，双曲线的右焦点，一条渐近线的方程为，所以直线的方程为，联立方程，可得，联立方程可得，又，所以，又，整理得，所以，
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
9．从装有2个红球和2个白球的红袋内任取两个球，那么下列事件中关系正确的是（ ）
A．“至少有一个红球”与“都是白球”是对立事件
B．“至少有一个白球”与“至少有一个红球”是互斥事件
C．“恰好有一个白球”与“恰好有2个白球”是互斥事件
D．“都是红球”与“都不是红球”是对立事件.
【答案】AC
【分析】根据对立事件、互斥事件的概念，即可判断各项的正误.
【详解】由题意，任取两个球的所有基本事件：{两个白球，一红一白，两个红球}，
“至少有一个红球”的事件：{一红一白，两个红球}，
“都不是红球”、“都是白球”、 “恰好有2个白球”的事件：{两个白球}，
“至少有一个白球” 的事件：{两个白球，一红一白}，“都是红球”的事件：{两个红球}，
“恰好有一个白球” 的事件：{一红一白}，∴由上知：A、C正确，B、D错误.
10．某球形巧克力设计了一种圆柱形包装盒，每盒可装7个球形巧克力，每盒只装一层，相邻的球形巧克力相切，与包装盒接触的6个球形巧克力与圆柱形包装盒侧面及上下底面都相切，如图是平行于底面且过圆柱母线中点的截面，设包装盒的底面半径为R，球形巧克力的半径为，每个球形巧克力的体积为，包装盒的体积为，则（ ）

A． B．
C． D．
【答案】AD
【分析】从截面图可得R与的关系，由球和圆柱的体积公式计算和，判断选项.
【详解】由截面图可以看出，圆柱的底面直径是球形巧克力直径的3倍，即可得，
圆柱的高等于球形巧克力的直径，即，
，，则有.
11．已知直线l1：3x+y﹣3＝0，直线l2：6x+my+1＝0，则下列表述正确的有（　　）
A．直线l2的斜率为
B．若直线l1垂直于直线l2，则实数m＝﹣18
C．直线l1倾斜角的正切值为3
D．若直线l1平行于直线l2，则实数m＝2
【答案】BD
【分析】利用直线l1的方程，考虑斜率不存在的情况可判断选项A，利用两条直线垂直的充要条件可判断选项B，利用倾斜角与斜率的关系可判断选项C，利用两条直线平行的充要条件可判断选项D．
【详解】解：直线l1：3x+y﹣3＝0，直线l2：6x+my+1＝0，
当m＝0时，直线l2的斜率不存在，故选项A错误；
当直线l1垂直于直线l2，则有3×6+1×m＝0，解得m＝﹣18，故选项B正确；
直线l1的斜率为﹣3，故倾斜角的正切值为﹣3，故选项C错误；
当直线l1平行于直线l2，则，解得m＝2，故选项D正确．
12．已知函数，则（ ）
A．函数的图像可由的图像向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度得到
B．函数的一个对称中心为
C．函数的最小值为
D．函数在区间单调递减
【答案】CD
【详解】由题知，
，
对于A，的图像向左平移个单位长度，得，
再向下平移个单位长度得到，故A错误；
对于B，，
所以函数的一个对称中心为，故B错误；
对于C，，
当时，函数取最小值为，故C正确；
对于D，，
所以单调减区间应满足，解得，
所以单调减区间为，因为，
所以函数在区间单调递减，故D正确.
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13．等差数列中，，，则的值为 ．
【答案】33
【分析】由等差数列的性质可求出，即可得出.
【详解】因为，，所以，则，所以.
14．已知两单位向量的夹角为，则 ．
【答案】
【分析】遇模先平方，即，代入已知计算即可.
【详解】由已知，得，
所以．
15．已知函数的图象在点处的切线与直线平行．则 ．
【答案】0
【分析】由，求得，由此求得.
【详解】在图象上，，
的斜率为，
，，
所以.所以.
16．已知P为抛物线上一个动点，Q为圆上一个动点，那么点P到点Q的距离与点P到抛物线的准线距离之和的最小值是 .
【答案】4
【分析】根据抛物线定义将线段进行转化，数形结合进行求解.
【详解】连接PF，根据抛物线定义可知：点P到抛物线的准线距离等于点P到焦点的距离相等，连接圆心与焦点，交圆于点，交抛物线于点，如图所示，此时点P到点Q的距离与点P到抛物线的准线距离之和最小，其中，故，
四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．已知数列为等差数列，是公比为2的等比数列，且满足
(1)求数列和的通项公式；
(2)令求数列的前n项和；
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）根据等差数列和等比数列的通项公式得到，根据通项公式的求法得到结果；（2）分组求和即可.
【详解】（1）设的公差为,
由已知,有解得，
所以的通项公式为, 的通项公式为.
（2），分组求和，分别根据等比数列求和公式与等差数列求和公式得到：.
18．在中，内角所对的边分别为a,b,c，已知.
（Ⅰ）求B；
（Ⅱ）若，求sinC的值.
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.
【详解】试题分析：（Ⅰ）利用正弦定理，将边化为角：,再根据三角形内角范围化简得，；（Ⅱ）已知两角，求第三角，利用三角形内角和为，将所求角化为两已知角的和，再根据两角和的正弦公式求解.
试题解析：（Ⅰ）解：在中，由，可得，又由，得，所以，得；
（Ⅱ）解：由，可得，则.
【考点】同角三角函数的基本关系、二倍角的正弦公式、两角和的正弦公式以及正弦定理
19．如图，在圆锥PO中，边长为的正△内接于圆O，AD为圆O的直径，E为线段PD的中点．
(1)求证：直线平面BCE；
(2)若，求直线AP与平面ABE所成角的正弦值．
【答案】(1)证明见解析；(2).
【分析】（1）设AD交BC于F，易证F为OD中点，利用中位线的性质可得，再由线面平行的判定证明结论.
（2）过O作，构建以O为空间坐标原点，，，为x轴，y轴，z轴正向建立空间直角坐标系，求直线AP的方向向量与平面ABE的法向量，应用空间向量夹角的坐标表示求线面角的正弦值即可.
【详解】（1）设AD交BC于F，由题意知：O为△中心，则，又，∴F为OD中点．
∴△中E，F分别为PD，OD中点
∴，而面ECB，面ECB，
∴面BCE．
（2）∵，E为PD中点，又，
∴△为等边三角形．
过O作且平面ABC，Q位于上，
以O为空间坐标原点，，，为x轴，y轴，z轴正向建立空间直角坐标系．
则：，，，，，，．
设平面ABE的法向量为，则，取，则，
设直线AP与平面ABE所成角为，则.
∴直线AP与平面ABE所成角正弦值为．
20．从某校高中男生中随机选取100名学生，将他们的体重（单位：）数据绘制成频率分布直方图，如图所示．
（1）估计该校的100名同学的平均体重（同一组数据以该组区间的中点值作代表）；
（2）若要从体重在，，三组内的男生中，用分层抽样的方法选取6人组成一个活动队，再从这6人中选2人当正副队长，求这2人中至少有1人体重在内的概率．
【答案】（1）（2）
试题解析：（1）估计该校的100名同学的平均体重为：
．
（2）由频率分布直方图可知体重在，，三组内的男生人数分别为，，，
故这三组中通过分层抽样所抽取的人数分别为3,2,1．
记体重在的3人为，，，的2人为，，的1人为，
则从这6人中抽取2人的所有可能结果为：，，，，，，，，，，，，，，共15种，
其中体重在至少有1人的结果有：，，，，，，，，共9种，故这2人中至少有1人体重在内的概率为．
21．如图，已知椭圆的焦点为，且椭圆过点，若直线与直线平行且与椭圆相交于A,B两点．
(1) 求椭圆的标准方程；
(2) 求三角形面积的最大值.
【答案】（1）； （2）2.
【分析】（1）由题意，将点代入椭圆方程求得和的值，进而可得椭圆的标准方程；
（2）根据题意，设直线方程为，代入椭圆方程，利用韦达定理，根据基本不等式的性质，即可求得面积的最大值.
【详解】(1)由已知有，∴
∴椭圆的标准方程为.
(2)∵,∴设直线方程为
代入得：
∴当，即时，设，则：,
∴
（当且仅当时，取等号）∴的最大值为.
【点睛】本题考查了椭圆方程的求法以及求三角形面积的最大值，韦达定理以及基本不等式的性质应用问题，属于基础题.
22．企业拟用10万元投资甲、乙两种商品.已知各投入万元，甲、乙两种商品分别可获得万元的利润，利润曲线，，如图所示.
（1）求函数的解析式；
（2）应怎样分配投资资金，才能使投资获得的利润最大？
【答案】（1），；（2）当投资甲商品6.25万元，乙商品3.75万元时，所获得的利润最大值为万元.
【详解】：（1）由题知，在曲线上，则，
解得，即.
又在曲线上，且，则，则，所以.
（2）设甲投资万元，则乙投资为万元，投资获得的利润为万元，则
，
令，则.
当，即（万元）时，利润最大为万元，此时（万元），
答：当投资甲商品6.25万元，乙商品3.75万元时，所获得的利润最大值为万元.