云南省曲靖市宣威市重点中学2023-2024学年高一上学期第二次月考数学试题（含解析）

宣威市重点中学2023-2024学年高一上学期第二次月考
数 学
时间：120分钟 满分：150分
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1.( )
A. B. C. D.
2.已知集合，，则集合中的子集个数为( )
A. B. C. D.
3.已知角的终边上有一点的坐标是，则的值为( )
A. B. C. D.
4.下列命题中的真命题是( )
A. ，
B. ，
C. “”的充要条件是“”
D. “，”是“”的充分条件
5.利用二分法求方程的近似解，则解所在区间为( )
A. B. C. D.
6.函数在区间的图象大致为( )
A B C D
7.下列不等式成立的是( )
A. B.
C. D.
8.黑洞原指非常奇怪的天体，它体积小、密度大、吸引力强，任何物体到了它那里都别想再出来，数字中也有类似的“黑洞”任意取一个四位数，依次写出该四位数中偶数的个数、奇数的个数以及总的数字个数，把这三个数从左到右排成一行得到一个新的数重复以上工作，最后会得到一个反复出现的数，我们称这个反复出现的数为“数字黑洞”，如果把这个“数字黑洞”设为，则( )
A. B. C. D.
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
9.已知函数，则( )
A. 的最小正周期为 B. 的定义域为
C. 若，则 D. 在其定义域上增函数
10.若，则下面结论正确的是( )
A. 若，则 B. 若，则有最小值
C. 若，则 D. 若，则有最大值
11.下列说法正确的有( )
A. 不等式的解集是
B. “，”是“”成立的充分不必要条件
C. 命题：，，则命题的否定：，
D.
12.已知是定义域为的奇函数，且为偶函数，若当时，，下列结论正确的是( )
A. B. C. D.
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13.已知，则 。
14.已知关于的一元二次不等式的解集为，则关于的不等式的解集为 。
15.函数的单调递增区间是 。
16.九章算术是中国古代的数学名著，其中方田一章给出了弧田面积的计算方法如图所示，弧田是由圆弧和其对弦围成的图形，若弧田所在圆的半径为，弦的长是，则弧田的弧长为 ；弧田的面积是 。
四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.本小题0分
如图，在平面直角坐标系中，钝角的始边与轴的非负半轴重合，终边与半径为的圆相交于点，过点作轴的垂线，垂足为点，。
求的值；
求的值。
18.本小题2分
已知集合，集合。
当时，求；
当为非空集合时，若是的充分不必要条件，求实数的取值范围。
19.本小题分
设函数，。
求函数的最小正周期和单调递增区间
求函数在区间上的最小值和最大值，并求出取最值时的值。
20.本小题2分
已知，，。
求的值；
解不等式。
21.本小题分
某同学用“五点法”画函数在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：
求函数的解析式；
求函数的对称中心及对称轴方程；
求关于的不等式的解集。
22.本小题分
已知函数为常数，。
讨论函数的奇偶性，并说明理由；
若为偶函数，且对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围。
宣威市重点中学2023-2024学年高一上学期第二次月考
数 学
时间：120分钟 满分：150分
一、选择题（本大题共8小题，共40分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1.( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】【分析】本题考查诱导公式的应用，考查转化与化归思想的运用，求解时注意符号的正负．利用诱导公式将 化成 ，即可得到答案．
【解答】
解： ．
故选：
2.已知集合，，则集合中的子集个数为( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】【分析】本题考查了集合的子集与交集运算，属于基础题．
根据题意，将集合化简，然后根据交集的运算，以及子集定义即可得到结果．
【解答】
解：因为集合，且，
则，所以其子集为空集与其本身，共个．
故选：．
3.已知角的终边上有一点的坐标是，则的值为( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】【分析】本题主要考查任意角的三角函数的定义，诱导公式，属于基础题．
由题意利用任意角的三角函数的定义，诱导公式，计算求得结果．
【解答】
解：依题有，
，
，
故选：．
4.下列命题中的真命题是( )
A. ，
B. ，
C. “”的充要条件是“”
D. “，”是“”的充分条件
【答案】D
【解析】【分析】本题考查命题的真假的判断，涉及充要条件的应用，存在量词命题与全称量词命题的真假的判断，属于基础题．
利用表达式的最值判断，反例判断，充要条件判断，充分条件判断，即可解决．
【解答】
解：对于，因为，所以，不正确，即不正确；
对于，当时，不成立，所以不正确；
对于，若“”，举例，推不出“”，反之成立，
所以“”的充要条件是“”不成立，即不正确；
对于，“，”可得“”成立，
反之，若“”，则“，”不成立，如，，
所以“，”是“”的充分条件，正确．
故选：．
5.利用二分法求方程的近似解，则解所在区间为( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】【分析】本题考查了零点存在性定理．属于基础题．
设出方程对应的函数，利用零点存在性定理判断出函数零点存在区间，即可求解．
【解答】
解：设函数，易知函数单调递增，且在定义域内连续不断，
因为，，，，
所以，
由零点存在性定理可知函数在区间上有一个零点，
故方程的近似解所在区间为．
故选：．
6.函数在区间的图象大致为( )
A B C D
【答案】A
【解析】【分析】本题考查函数图象的识别，掌握函数的奇偶性与函数值的特点是关键，属于中档题．
先判断函数的奇偶性，再利用的符号确定选项．
【解答】
解：，
则，
为奇函数，函数图象关于原点对称，故排除，，
当时，，故排除．
故选：．
7.下列不等式成立的是( )
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】【分析】
本题考查幂、对数、三角函数值的大小比较，对于同一类型的数可以利用函数的单调性比较大小，对不同类型，或不能应用单调性可以借助中间值如，等进行比较，然后得出结论．分别与和比较后可得．
【解答】
解：，，，
所以．
故选：．
8.黑洞原指非常奇怪的天体，它体积小、密度大、吸引力强，任何物体到了它那里都别想再出来，数字中也有类似的“黑洞”任意取一个四位数，依次写出该四位数中偶数的个数、奇数的个数以及总的数字个数，把这三个数从左到右排成一行得到一个新的数重复以上工作，最后会得到一个反复出现的数，我们称这个反复出现的数为“数字黑洞”，如果把这个“数字黑洞”设为，则( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】【分析】本题考查诱导公式，涉及新定义，属于基础题．
【解答】
解：根据“数字黑洞”的定义，任取一个四位数，经过第一步之后为，经过第二步之后为，再变为，再变为，所以“数字黑洞”为，即，则．
二、不定项选择题（本大题共4小题，共20分）
9.已知函数，则( )
A. 的最小正周期为 B. 的定义域为
C. 若，则 D. 在其定义域上增函数
【答案】ABC
【解析】【分析】
本题主要考查三角函数中正切函数的图像及其性质，属于中档题．
根据题意并结合正切函数的图像及性质可逐一对选项进行判断．
【解答】
解：对于：函数，
函数的最小正周期为：，
故选项A正确；
对于：函数，
对于函数，则有：
函数定义域为：，
故选项B正确；
对于：函数，且

，
故选项C正确；
对于：函数，
由正切函数在定义域内不单调，
而函数为正切函数向左平移个单位后得到的，
故在其定义域内不单调，故选项D错误．
故选ABC．
10.若，则下面结论正确的是( )
A. 若，则 B. 若，则有最小值
C. 若，则 D. 若，则有最大值
【答案】ABD
【解析】【分析】
本题主要考查由基本不等式求最值或取值范围，利用不等式的基本性质判断不等关系，属于一般题．
根据 得到 ，A正确， ，展开利用基本不等式计算得到B正确，举例说明不正确， ，D正确，得到答案．
【解答】
解：对选项A： ，则 ，即 ，A正确；
对选项B： ，则 ，当且仅当 ，即 时取等号，B正确；
对选项C： ， ，可取 则 ，不正确；
对选项D： ，则 ，当且仅当 时取等号，D正确．
故选ABD．
11.下列说法正确的有( )
A. 不等式的解集是
B. “，”是“”成立的充分不必要条件
C. 命题：，，则命题的否定：，
D.
【答案】AB
【解析】【分析】本题考查命题的真假判断、不等式解法、充分条件与必要条件的概念、全称量词命题的否定，属于基础题．
解分式不等式判断，根据充分条件、必要条件的定义判断，根据全称量词命题的否定判断，计算即可判断．
【解答】
解：由得，
即，解得 ，故A正确；
时一定有，但时不一定有成立，
例如，满足，但，
因此“，”是“”成立的充分不必要条件，故B正确；
命题，，是全称量词命题，
根据全称量词命题的否定是存在量词命题，
则命题的否定为：，，故C错误；
，故D错误．
故选AB．
12.已知是定义域为的奇函数，且为偶函数，若当时，，下列结论正确的是( )
A. B. C. D.
【答案】BD
【解析】【分析】本题考查函数的奇偶性和周期性的定义和运用，考查转化思想和运算能力、推理能力，属于中档题．
由函数的奇偶性的定义，分析可得函数的图象关于直线对称，且是周期为的周期函数，结合对数的运算性质可得答案．
【解答】
解：根据题意，是定义域为的奇函数，则，
又由函数为偶函数，则函数的图象关于直线对称，则有，
则有，即，
则函数是周期为的周期函数．
当时，，
可得，即，解得，故A错误；
由，可得，故B正确；
，故C错误；
，故D正确．
故选：．
三、填空题（本大题共4小题，共20分）
13.已知，则 ．
【答案】
【解析】【分析】
本题考查正切函数诱导公式，三角函数式的化简求值，属于基础题．
【解答】
解：，
14.已知关于的一元二次不等式的解集为，则关于的不等式的解集为 ．
【答案】
【解析】【分析】
本题考查了二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系，属基础题．
【解答】
解：因为关于的一元二次不等式的解集为，
所以且，则
所以关于的不等式即，
化简为，解得．
15.函数的单调递增区间是 ．
【答案】
【解析】【分析】
本题考查复合函数的单调区间，属于基础题．
利用复合函数的单调性求解，先由，得出函数的定义域，再根据复合函数的单调性即可求解．
【解答】
解：函数的定义域为，得，
令，因为在定义域内为增函数，在 上为增函数，
所以函数的单调递增区间是 ，
故答案为 ．
16.九章算术是中国古代的数学名著，其中方田一章给出了弧田面积的计算方法如图所示，弧田是由圆弧和其对弦围成的图形，若弧田所在圆的半径为，弦的长是，则弧田的弧长为 ；弧田的面积是 ．
【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查扇形的弧长和面积的计算，利用条件求出扇形的圆心角是解决本题的关键．
根据条件求出扇形的圆心角，结合三角形的面积公式以及扇形的面积公式进行计算即可．
【解答】
解：设的中点为，
弧田所在圆的半径为，弦的长是，
，，
则，则，
则，
则弧长，
的面积，
扇形的面积为，
则弧田的面积是，
故答案为：，．
四、解答题（本大题共6小题，共68分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.本小题分
如图，在平面直角坐标系中，钝角的始边与轴的非负半轴重合，终边与半径为的圆相交于点，过点作轴的垂线，垂足为点，．
求的值；
求的值．
【答案】解：由题意可得，，，
可得，
可得．
由可得，
．
【解析】由题意可得的值，可得坐标，利用任意角的三角函数的定义即可求解；
利用诱导公式化简即可求解．
本题主要考查了任意角的三角函数的定义，诱导公式的应用，考查了转化思想，属于中档题．
18.本小题分
已知集合，集合．
当时，求；
当为非空集合时，若是的充分不必要条件，求实数的取值范围．
【答案】解：，
．
当时，．
，
所以，或．
为非空集合，是的充分不必要条件，
则集合是集合的真子集，
，即
解得，
的取值范围是．

【解析】本题考查充分不必要条件，集合的并集，补集运算，属中档题．
分别求出集合，，然后计算，最后求；
由题意知集合是集合的真子集，建立不等式组求解即可．
19.本小题分
设函数，
求函数的最小正周期和单调递增区间
求函数在区间上的最小值和最大值，并求出取最值时的值．
【答案】解最小正周期，由，
得，所以函数的单调递增区间是．
令，则由可得，
所以当，即时，，
当，即时，．

【解析】本题考查正弦型函数的最小正周期、单调区间和最值的求解，属于一般题．
20.本小题分
已知，，．
求的值；
解不等式．
【答案】解：由得，，
代入得，，
又，解得，
则；
因为由得，，
所以不等式，即为，
则，
可得，
解得，
故不等式的解集为．
【解析】本题考查了指对互换、一元二次不等式、指数不等式的解法，属于基础题．
由得，，代入得，，解一元二次方程即可求解；
由可将不等式转化为，然后根据指数函数的性质解不等式即可．
21.本小题分
某同学用“五点法”画函数在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：
求函数的解析式；
求函数的对称中心及对称轴方程；
求关于的不等式的解集．
【答案】解：时，，，，
时，，．
由，得．
由，得．
故．
由，
得．
故，
．
故关于的不等式的解集为．
【解析】本题考查了由的图像与性质，是中档题．
由表中数据可得，，，的值，从而得到函数解析式；
根据的范围，可求的范围，利用正弦函数的性质即可得的最大值及相应的值；
等价于，利用正弦函数的性质可得的解集．
22.本小题分
已知函数为常数，
讨论函数的奇偶性，并说明理由；
当为偶函数时，若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围．
【答案】解：函数的定义域为，
．
当时，，
即，得．
所以时，函数是偶函数．
当时，，
即，得．
所以时，函数是奇函数．
综上所述：当时，函数是奇函数
当时，函数是偶函数
当时，函数是非奇非偶函数．
为偶函数，根据可知，，．
对于任意的，都有成立，
故，
即，
即，
故对恒成立．
设，．
任取，，且，即，
则
．
因为，所以，，
可得，即
所以函数在上为减函数，
得，故．
所以的取值范围是
【解析】本题考查了不等式的恒成立问题、函数的奇偶性和指数函数及其性质，是拔高题．
分为奇函数和偶函数两种情况，结合奇偶性的定义求解即可；
分离变量得对恒成立，设，，研究的单调性，得出其最大值，可得的取值范围．