2023-2024学年高中数学人教A版（2019）选择性必修第一册 第三章 圆锥曲线的方程 综合训练（含解析）
文档属性
| 名称 | 2023-2024学年高中数学人教A版（2019）选择性必修第一册 第三章 圆锥曲线的方程 综合训练（含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 151.2KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-12-28 15:32:39 | ||
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文档简介
第三章综合训练
一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.已知椭圆M:x2+=λ经过点(1,2),则M上一点到两焦点的距离之和为( )
A.2 B.2
C.4 D.4
2.(2021广东东莞期末)已知点P(-2,4)在抛物线y2=2px(p>0)的准线上,则该抛物线的焦点坐标是( )
A.(0,2) B.(0,4)
C.(2,0) D.(4,0)
3.已知双曲线=1的一条渐近线的方程为y=x,则双曲线的焦距为( )
A. B.10 C.2 D.2
4.设抛物线y2=4x的焦点为F,准线为l,则以F为圆心,且与l相切的圆的方程为( )
A.(x-1)2+y2=4
B.(x-1)2+y2=16
C.(x-2)2+y2=16
D.(x+2)2+y2=4
5.(2021陕西咸阳期末)设P是双曲线=1(a>0,b>0)上的点,F1,F2是焦点,双曲线的离心率是,且∠F1PF2=90°,△F1PF2的面积是7,则a+b=( )
A.3+ B.9+
C.10 D.16
6.已知直线y=k(x+2)(k>0)与抛物线C:y2=8x相交于A,B两点,F为C的焦点,若|FA|=2|FB|,则k等于( )
A. B.
C. D.
7. 我们把由半椭圆=1(x≥0)与半椭圆=1(x<0)合成的曲线称作“果圆”(其中a2=b2+c2,a>b>c>0),如图所示,其中点F0,F1,F2是相应椭圆的焦点.若△F0F1F2是边长为1的等边三角形,则a,b的值分别为( )
A.,1 B.,1
C.5,3 D.5,4
8.已知椭圆C1:=1(a>b>0)与双曲线C2:x2-=1有公共的焦点,C2的一条渐近线与以C1的长轴为直径的圆相交于A,B两点.若C1恰好将线段AB三等分,则( )
A.a2= B.a2=13
C.b2= D.b2=2
二、选择题:在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.
9.当α∈时,方程x2sin α+y2cos α=1表示的轨迹可以是( )
A.两条直线 B.圆
C.椭圆 D.双曲线
10.已知双曲线C:=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1(-5,0),F2(5,0),则能使双曲线C的方程为=1的是( )
A.离心率为
B.双曲线过点
C.渐近线方程为3x±4y=0
D.实轴长为4
11.(2021北京通州期中)在平面直角坐标系xOy中,已知曲线C的方程为x2-2xy=a(a>0),则下列关于曲线C的结论正确的是( )
A.曲线C关于y轴对称
B.曲线C关于原点对称
C.若点P(m,n)在曲线C上,则mn的取值范围是
D.当012. (2021辽宁沈阳期中)某房地产建筑公司在挖掘地基时,出土了一件宋代文物,该文物外面是红色透明蓝田玉材质,里面是一个球形绿色水晶宝珠,其轴截面(如图)由半椭圆C1:=1(x≥0)与半椭圆C2:=1(x<0)组成,其中a2=b2+c2,a>b>c>0,设点F0,F1,F2是相应椭圆的焦点,A1,A2和B1,B2是轴截面与x,y轴的交点,阴影部分是宝珠轴截面,其以曲线x2+y2=4为边界,F1,F2在宝珠珠面上,△F0F1F2为等边三角形,则以下命题中正确的是( )
A.椭圆C1的离心率是
B.椭圆C2的离心率大于椭圆C1的离心率
C.椭圆C2的焦点在y轴上
D.椭圆C2的长短轴之比大于椭圆C1的长短轴之比
三、填空题.
13.抛物线y2=2px(p>0)上的动点Q到焦点的距离的最小值为1,则p= .
14.(2021宁夏银川期中)已知椭圆=1(a>b>0)的离心率为e,F1,F2分别为椭圆的两个焦点,若椭圆上存在点P使得∠F1PF2是钝角,则满足条件e的范围是 .
15.如图,过抛物线y2=4x的焦点F作直线,与抛物线及其准线分别交于A,B,C三点,若=3,则直线AB的方程为 ,|AB|= .
16.数学家华罗庚曾说过:“数缺形时少直观,形少数时难入微”,事实上,有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决.如:与相关的代数问题可以考虑转化为点A(x,y)与点B(a,b)之间距离的几何问题.结合上述观点,可得方程:||=4的解为 .
四、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.设A,B分别是双曲线=1两条渐近线上的动点,且||=2,设O为坐标原点,动点P满足,求动点P的轨迹方程.
18.在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆C:=1(a>b>0)的焦距为2,且过点P.
(1)求椭圆C的方程;
(2)斜率大于0且过椭圆右焦点F2的直线l与椭圆C交于M,N两点,若=3,求直线l的方程.
19.(2021四川雅安期末)已知F1,F2分别是双曲线E:=1(a>0,b>0)的左、右焦点,P是双曲线上一点,F2到左顶点的距离等于它到渐近线距离的2倍,
(1)求双曲线的渐近线方程;
(2)当∠F1PF2=60°时,△PF1F2的面积为48,求此双曲线的方程.
20.已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,A点在抛物线上,且A的横坐标为4,|AF|=5.
(1)求抛物线的方程;
(2)设l为过(4,0)点的任意一条直线,若l交抛物线于A,B两点,求证:以AB为直径的圆必过坐标原点.
21.从椭圆=1(a>b>0)上一点M向x轴作垂线,恰好通过椭圆的左焦点F1,且它的长轴的一个端点A与短轴的一个端点B的连线AB平行于OM.
(1)求椭圆的离心率;
(2)设Q是椭圆上任一点,F2是椭圆的右焦点,求∠F1QF2的取值范围.
22.给定椭圆C:=1(a>b>0),称圆心在原点O,半径为的圆是椭圆C的“卫星圆”.若椭圆C的离心率为,点(2,)在C上.
(1)求椭圆C的方程和其“卫星圆”方程;
(2)点P是椭圆C的“卫星圆”上的一个动点,过点P作直线l1,l2,使得l1⊥l2,与椭圆C都只有一个交点,且l1,l2分别交其“卫星圆”于点M,N,证明:弦长|MN|为定值.
第三章综合训练
1.D 由椭圆M:x2+=λ经过点(1,2)可得λ=2,
即椭圆方程为=1,则a=2,
由椭圆的定义可知M上一点到两焦点的距离之和为2a=4.
2.C 因为点P(-2,4)在抛物线y2=2px的准线上,所以-=-2,所以p=4,则该抛物线的焦点坐标是(2,0).
故选C.
3.C 由题意得,∴m=4,
则双曲线的焦距为2=2.
4.A 根据题意,抛物线y2=4x,其焦点在x轴正半轴上且p=2,
则其焦点F(1,0),准线方程为x=-1,
以F为圆心,且与l相切的圆的半径r=2,
则该圆的方程为(x-1)2+y2=4.
故选A.
5.A 由题意,不妨设点P是右支上的一点,|PF1|=m,|PF2|=n,则
∴a=3,c=4.
∴b=.
∴a+b=3+.
故选A.
6.B 设A(x1,y1),B(x2,y2),
易知x1>0,x2>0,y1>0,y2>0.
由
得k2x2+(4k2-8)x+4k2=0,
所以x1x2=4. ①
根据抛物线的定义得,
|FA|=x1+=x1+2,|FB|=x2+2.
因为|FA|=2|FB|,所以x1=2x2+2, ②
由①②得x2=1(x2=-2舍去),
所以B(1,2),代入y=k(x+2)得k=.
7.A |OF2|=,
|OF0|=c=|OF2|=,
∴b=1,∴a2=b2+c2=,
得a=,即a=,b=1.
8.C 由题意,知a2=b2+5,
因此椭圆方程为(a2-5)x2+a2y2+5a2-a4=0,
双曲线的一条渐近线方程为y=2x,
联立方程消去y,得(5a2-5)x2+5a2-a4=0,
所以直线截椭圆的弦长d=×2a,
解得a2=,b2=.
9.ACD 当α∈时,sin α∈,cos α∈,
可得方程x2sin α+y2cos α=1表示的曲线可以是椭圆(sin α>0,cos α>0),
也可以是双曲线(sin α>0,cos α<0),也可以是两条直线(sin α=1,cos α=0).
故选ACD.
10.ABC 双曲线C:=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1(-5,0),F2(5,0),
可得c=5,如果离心率为,可得a=4,则b=3,所以双曲线C的方程为=1,A正确;
c=5,如果双曲线过点,可得解得a=4,b=3,所以双曲线C的方程为=1,所以B正确;
c=5,如果渐近线方程为3x±4y=0,可得,a2+b2=25,解得a=4,b=3,所以双曲线C的方程为=1,所以C正确;
c=5,如果实轴长为4,可得a=2,b=,双曲线C的方程为=1,所以D不正确.
故选ABC.
11.BD 对于A,点(x,y)关于y轴的对称点为(-x,y),将(-x,y)代入x2-2xy=a,可得x2+2xy=a,故选项A错误;
对于B,点(x,y)关于原点的对称点为(-x,-y),将(-x,-y)代入x2-2xy=a,可得x2-2xy=a,故选项B正确;
对于C,若点P(m,n)在曲线C上,则m2-2mn=a,
若m=0,则a=0不成立,
所以m≠0,故n=,
则mn=m>-,故选项C错误;
对于D,联立方程组
可得3x2-2ax+a=0,
当0则直线与曲线没有公共点,故选项D正确.
12.AC 由a>b>c>0,可得半椭圆C1的焦点在x轴上,即F0为右焦点,则半椭圆C2的焦点在y轴上,且|d|=b,由宝珠的轴截面以曲线x2+y2=4为边界可知,其形状是一个圆,半径R=2,可得|F1F2|=4,即有d2-c2=4,
由△F0F1F2为等边三角形可得|OF0|=2,
则c=2,
即有a2-b2=12,b2-12=4,即b=4,a=2,
可得椭圆C1的离心率是,故A正确;
由椭圆C2的离心率为,故B错误;椭圆C2的焦点在y轴上,故C正确;
椭圆C2的长、短轴之比为2∶,椭圆C1的长、短轴之比为∶2,
,故D错误.
13.2 依题意,设抛物线的焦点为F,点Q的横坐标是x0(x0≥0),
则|QF|=x0+的最小值是=1,则p=2.
14. 如图,当动点P在椭圆长轴端点处沿椭圆弧向短轴端点运动时,P对两个焦点的张角∠F1PF2渐渐增大,
当且仅当P点位于短轴端点P0处时,张角∠F1PF2达到最大值,
因为椭圆上存在点P使得∠F1PF2是钝角,
所以在△P0F1F2中,∠F1P0F2>90°,
所以直角三角形P0OF2中,∠OP0F2>45°,
所以P0O即b所以a2-c2即a2<2c2,
所以e>,
又0所以15.y=(x-1) 抛物线的焦点坐标为F(1,0),准线方程为x=-1,
设C(-1,m),B(a,b),
∵=3,∴(-2,m)=3(a-1,b)=(3a-3,3b),
则3a-3=-2,m=3b,即a=,此时b2=4×,得b=-=-,即m=-2,
则C(-1,-2),则AB的斜率k=,则直线AB的方程为y=(x-1),
代入y2=4x得3x2-10x+3=0,得x1+x2=,
即|AB|=x1+x2+2=+2=.
16.± 因为||=4,所以||=4,其几何意义为动点P(x,0)到定点A(-4,2),B(4,2)的距离差的绝对值为4.
根据双曲线的定义,可将原方程的解转化为“以A,B为焦点,4为实轴长的双曲线与x轴交点的横坐标”.
因为2c=|AB|=8,所以c=4.
因为a=2,所以b2=c2-a2=12,
所以双曲线方程为=1.
令y=0,得=1,解得x=±.
17.解设A(x1,y1),B(x2,y2),P(x,y),
∵动点P满足,∴x=x1+x2,y=y1+y2.
∵A,B分别是双曲线=1的两条渐近线上的动点,∴y1=x1,y2=-x2,
∴x=x1+x2=(y1-y2),y=y1+y2=(x1-x2),∴|AB|==2.
化简可得P的轨迹方程为=1.
18.解(1)由题意得c=,设左焦点为F1,则F1(-,0),F2(,0),
2a=PF1+PF2==4,
∴a=2,b==1.
故椭圆C的方程为+y2=1.
(2)设直线l的方程为x=my+(m>0),代入椭圆方程得(m2+4)y2+2my-1=0,
设M(x1,y1),N(x2,y2),
Δ=16(m2+1)>0恒成立,由韦达定理可得y1+y2=, ①
y1y2=, ②
由=3得y1=-3y2, ③
由①②③可得m=.
故直线l的方程为y=x-.
19.解(1)因为双曲线的渐近线方程为bx±ay=0,
则点F2到渐近线距离为=b(其中c是双曲线的半焦距),
所以由题意知c+a=2b.又因为a2+b2=c2,
解得b=a,
故所求双曲线的渐近线方程是4x±3y=0.
(2)因为∠F1PF2=60°,
由余弦定理得,|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|·|PF2|cos 60°=|F1F2|2,
即|PF1|2+|PF2|2-|PF1|·|PF2|=4c2. ①
又由双曲线的定义得||PF1|-|PF2||=2a,
平方得|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|·|PF2|=4a2, ②
由①②式相减得|PF1|·|PF2|=4c2-4a2=4b2.
根据三角形的面积公式得S=|PF1|·|PF2|sin 60°=·4b2=b2=48,
得b2=48.再由(1)中结论得a2=b2=27,
故所求双曲线方程是=1.
20.(1)解抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,准线为x=-,
由抛物线的定义可得,|AF|=4+=5,
解得p=2,
即抛物线的方程为y2=4x.
(2)证明设直线l:x=my+4,A(x1,y1),B(x2,y2),
代入抛物线方程y2=4x,可得
y2-4my-16=0,
判别式为16m2+64>0恒成立,
y1+y2=4m,y1y2=-16,
x1x2==16,
即有x1x2+y1y2=0,则,则以AB为直径的圆必过坐标原点.
21.解(1)依题意知点F1坐标为(-c,0),
设M点坐标为(-c,y)(y>0).
若A点坐标为(-a,0),则B点坐标为(0,-b),
则直线AB的斜率k=当A点坐标为(a,0),B点坐标为(0,b)时,同样有k=.
则有,∴y=. ①
又∵点M在椭圆=1上,∴=1. ②
由①②得,∴,
即椭圆的离心率为.
(2)①当点Q与椭圆长轴的端点重合时,∠F1QF2=0.
②当点Q与椭圆长轴的端点不重合时,
设|QF1|=m,|QF2|=n,∠F1QF2=θ,
则m+n=2a,|F1F2|=2c.
在△F1QF2中,cos θ=-1≥-1=0.
当且仅当m=n时,等号成立,故当点Q与椭圆长轴的端点不重合时,0≤cos θ≤1,又∵θ∈(0,π),∴θ∈.
综上,∠F1QF2的取值范围是.
22.(1)解由条件可得
解得a=2,b=2.
所以椭圆的方程为=1,
“卫星圆”的方程为x2+y2=12.
(2)证明①当l1,l2中有一条无斜率时,不妨设l1无斜率,
因为l1与椭圆只有一个公共点,则其方程为x=2或x=-2,
当l1方程为x=2时,此时l1与“卫星圆”交于点(2,2)和(2,-2),
此时经过点(2,2),(2,-2)且与椭圆只有一个公共点的直线是y=2或y=-2,即l2为y=2或y=-2,
所以l1⊥l2,
同理,当l1方程为x=-2时,结论相同.所以线段MN应为“卫星圆”的直径,所以|MN|=4.
②当l1,l2都有斜率时,设点P(x0,y0),其中=12,
设经过点P(x0,y0)与椭圆只有一个公共点的直线为y=t(x-x0)+y0,
联立方程组消去y,整理得(1+2t2)x2+4t(y0-tx0)x+2(y0-tx0)2-8=0,
所以Δ=(64-8)t2+16x0y0t+32-8=0,
所以t1·t2==-1,
所以t1·t2=-1,满足条件的两直线l1,l2垂直.
所以线段MN应为“卫星圆”的直径,
所以|MN|=4.
综合①②知:因为l1,l2经过点P(x0,y0),又分别交其“卫星圆”于点M,点N,且l1,l2垂直,
一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.已知椭圆M:x2+=λ经过点(1,2),则M上一点到两焦点的距离之和为( )
A.2 B.2
C.4 D.4
2.(2021广东东莞期末)已知点P(-2,4)在抛物线y2=2px(p>0)的准线上,则该抛物线的焦点坐标是( )
A.(0,2) B.(0,4)
C.(2,0) D.(4,0)
3.已知双曲线=1的一条渐近线的方程为y=x,则双曲线的焦距为( )
A. B.10 C.2 D.2
4.设抛物线y2=4x的焦点为F,准线为l,则以F为圆心,且与l相切的圆的方程为( )
A.(x-1)2+y2=4
B.(x-1)2+y2=16
C.(x-2)2+y2=16
D.(x+2)2+y2=4
5.(2021陕西咸阳期末)设P是双曲线=1(a>0,b>0)上的点,F1,F2是焦点,双曲线的离心率是,且∠F1PF2=90°,△F1PF2的面积是7,则a+b=( )
A.3+ B.9+
C.10 D.16
6.已知直线y=k(x+2)(k>0)与抛物线C:y2=8x相交于A,B两点,F为C的焦点,若|FA|=2|FB|,则k等于( )
A. B.
C. D.
7. 我们把由半椭圆=1(x≥0)与半椭圆=1(x<0)合成的曲线称作“果圆”(其中a2=b2+c2,a>b>c>0),如图所示,其中点F0,F1,F2是相应椭圆的焦点.若△F0F1F2是边长为1的等边三角形,则a,b的值分别为( )
A.,1 B.,1
C.5,3 D.5,4
8.已知椭圆C1:=1(a>b>0)与双曲线C2:x2-=1有公共的焦点,C2的一条渐近线与以C1的长轴为直径的圆相交于A,B两点.若C1恰好将线段AB三等分,则( )
A.a2= B.a2=13
C.b2= D.b2=2
二、选择题:在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.
9.当α∈时,方程x2sin α+y2cos α=1表示的轨迹可以是( )
A.两条直线 B.圆
C.椭圆 D.双曲线
10.已知双曲线C:=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1(-5,0),F2(5,0),则能使双曲线C的方程为=1的是( )
A.离心率为
B.双曲线过点
C.渐近线方程为3x±4y=0
D.实轴长为4
11.(2021北京通州期中)在平面直角坐标系xOy中,已知曲线C的方程为x2-2xy=a(a>0),则下列关于曲线C的结论正确的是( )
A.曲线C关于y轴对称
B.曲线C关于原点对称
C.若点P(m,n)在曲线C上,则mn的取值范围是
D.当0
A.椭圆C1的离心率是
B.椭圆C2的离心率大于椭圆C1的离心率
C.椭圆C2的焦点在y轴上
D.椭圆C2的长短轴之比大于椭圆C1的长短轴之比
三、填空题.
13.抛物线y2=2px(p>0)上的动点Q到焦点的距离的最小值为1,则p= .
14.(2021宁夏银川期中)已知椭圆=1(a>b>0)的离心率为e,F1,F2分别为椭圆的两个焦点,若椭圆上存在点P使得∠F1PF2是钝角,则满足条件e的范围是 .
15.如图,过抛物线y2=4x的焦点F作直线,与抛物线及其准线分别交于A,B,C三点,若=3,则直线AB的方程为 ,|AB|= .
16.数学家华罗庚曾说过:“数缺形时少直观,形少数时难入微”,事实上,有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决.如:与相关的代数问题可以考虑转化为点A(x,y)与点B(a,b)之间距离的几何问题.结合上述观点,可得方程:||=4的解为 .
四、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.设A,B分别是双曲线=1两条渐近线上的动点,且||=2,设O为坐标原点,动点P满足,求动点P的轨迹方程.
18.在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆C:=1(a>b>0)的焦距为2,且过点P.
(1)求椭圆C的方程;
(2)斜率大于0且过椭圆右焦点F2的直线l与椭圆C交于M,N两点,若=3,求直线l的方程.
19.(2021四川雅安期末)已知F1,F2分别是双曲线E:=1(a>0,b>0)的左、右焦点,P是双曲线上一点,F2到左顶点的距离等于它到渐近线距离的2倍,
(1)求双曲线的渐近线方程;
(2)当∠F1PF2=60°时,△PF1F2的面积为48,求此双曲线的方程.
20.已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,A点在抛物线上,且A的横坐标为4,|AF|=5.
(1)求抛物线的方程;
(2)设l为过(4,0)点的任意一条直线,若l交抛物线于A,B两点,求证:以AB为直径的圆必过坐标原点.
21.从椭圆=1(a>b>0)上一点M向x轴作垂线,恰好通过椭圆的左焦点F1,且它的长轴的一个端点A与短轴的一个端点B的连线AB平行于OM.
(1)求椭圆的离心率;
(2)设Q是椭圆上任一点,F2是椭圆的右焦点,求∠F1QF2的取值范围.
22.给定椭圆C:=1(a>b>0),称圆心在原点O,半径为的圆是椭圆C的“卫星圆”.若椭圆C的离心率为,点(2,)在C上.
(1)求椭圆C的方程和其“卫星圆”方程;
(2)点P是椭圆C的“卫星圆”上的一个动点,过点P作直线l1,l2,使得l1⊥l2,与椭圆C都只有一个交点,且l1,l2分别交其“卫星圆”于点M,N,证明:弦长|MN|为定值.
第三章综合训练
1.D 由椭圆M:x2+=λ经过点(1,2)可得λ=2,
即椭圆方程为=1,则a=2,
由椭圆的定义可知M上一点到两焦点的距离之和为2a=4.
2.C 因为点P(-2,4)在抛物线y2=2px的准线上,所以-=-2,所以p=4,则该抛物线的焦点坐标是(2,0).
故选C.
3.C 由题意得,∴m=4,
则双曲线的焦距为2=2.
4.A 根据题意,抛物线y2=4x,其焦点在x轴正半轴上且p=2,
则其焦点F(1,0),准线方程为x=-1,
以F为圆心,且与l相切的圆的半径r=2,
则该圆的方程为(x-1)2+y2=4.
故选A.
5.A 由题意,不妨设点P是右支上的一点,|PF1|=m,|PF2|=n,则
∴a=3,c=4.
∴b=.
∴a+b=3+.
故选A.
6.B 设A(x1,y1),B(x2,y2),
易知x1>0,x2>0,y1>0,y2>0.
由
得k2x2+(4k2-8)x+4k2=0,
所以x1x2=4. ①
根据抛物线的定义得,
|FA|=x1+=x1+2,|FB|=x2+2.
因为|FA|=2|FB|,所以x1=2x2+2, ②
由①②得x2=1(x2=-2舍去),
所以B(1,2),代入y=k(x+2)得k=.
7.A |OF2|=,
|OF0|=c=|OF2|=,
∴b=1,∴a2=b2+c2=,
得a=,即a=,b=1.
8.C 由题意,知a2=b2+5,
因此椭圆方程为(a2-5)x2+a2y2+5a2-a4=0,
双曲线的一条渐近线方程为y=2x,
联立方程消去y,得(5a2-5)x2+5a2-a4=0,
所以直线截椭圆的弦长d=×2a,
解得a2=,b2=.
9.ACD 当α∈时,sin α∈,cos α∈,
可得方程x2sin α+y2cos α=1表示的曲线可以是椭圆(sin α>0,cos α>0),
也可以是双曲线(sin α>0,cos α<0),也可以是两条直线(sin α=1,cos α=0).
故选ACD.
10.ABC 双曲线C:=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1(-5,0),F2(5,0),
可得c=5,如果离心率为,可得a=4,则b=3,所以双曲线C的方程为=1,A正确;
c=5,如果双曲线过点,可得解得a=4,b=3,所以双曲线C的方程为=1,所以B正确;
c=5,如果渐近线方程为3x±4y=0,可得,a2+b2=25,解得a=4,b=3,所以双曲线C的方程为=1,所以C正确;
c=5,如果实轴长为4,可得a=2,b=,双曲线C的方程为=1,所以D不正确.
故选ABC.
11.BD 对于A,点(x,y)关于y轴的对称点为(-x,y),将(-x,y)代入x2-2xy=a,可得x2+2xy=a,故选项A错误;
对于B,点(x,y)关于原点的对称点为(-x,-y),将(-x,-y)代入x2-2xy=a,可得x2-2xy=a,故选项B正确;
对于C,若点P(m,n)在曲线C上,则m2-2mn=a,
若m=0,则a=0不成立,
所以m≠0,故n=,
则mn=m>-,故选项C错误;
对于D,联立方程组
可得3x2-2ax+a=0,
当0
12.AC 由a>b>c>0,可得半椭圆C1的焦点在x轴上,即F0为右焦点,则半椭圆C2的焦点在y轴上,且|d|=b,由宝珠的轴截面以曲线x2+y2=4为边界可知,其形状是一个圆,半径R=2,可得|F1F2|=4,即有d2-c2=4,
由△F0F1F2为等边三角形可得|OF0|=2,
则c=2,
即有a2-b2=12,b2-12=4,即b=4,a=2,
可得椭圆C1的离心率是,故A正确;
由椭圆C2的离心率为,故B错误;椭圆C2的焦点在y轴上,故C正确;
椭圆C2的长、短轴之比为2∶,椭圆C1的长、短轴之比为∶2,
,故D错误.
13.2 依题意,设抛物线的焦点为F,点Q的横坐标是x0(x0≥0),
则|QF|=x0+的最小值是=1,则p=2.
14. 如图,当动点P在椭圆长轴端点处沿椭圆弧向短轴端点运动时,P对两个焦点的张角∠F1PF2渐渐增大,
当且仅当P点位于短轴端点P0处时,张角∠F1PF2达到最大值,
因为椭圆上存在点P使得∠F1PF2是钝角,
所以在△P0F1F2中,∠F1P0F2>90°,
所以直角三角形P0OF2中,∠OP0F2>45°,
所以P0O
所以e>,
又0
设C(-1,m),B(a,b),
∵=3,∴(-2,m)=3(a-1,b)=(3a-3,3b),
则3a-3=-2,m=3b,即a=,此时b2=4×,得b=-=-,即m=-2,
则C(-1,-2),则AB的斜率k=,则直线AB的方程为y=(x-1),
代入y2=4x得3x2-10x+3=0,得x1+x2=,
即|AB|=x1+x2+2=+2=.
16.± 因为||=4,所以||=4,其几何意义为动点P(x,0)到定点A(-4,2),B(4,2)的距离差的绝对值为4.
根据双曲线的定义,可将原方程的解转化为“以A,B为焦点,4为实轴长的双曲线与x轴交点的横坐标”.
因为2c=|AB|=8,所以c=4.
因为a=2,所以b2=c2-a2=12,
所以双曲线方程为=1.
令y=0,得=1,解得x=±.
17.解设A(x1,y1),B(x2,y2),P(x,y),
∵动点P满足,∴x=x1+x2,y=y1+y2.
∵A,B分别是双曲线=1的两条渐近线上的动点,∴y1=x1,y2=-x2,
∴x=x1+x2=(y1-y2),y=y1+y2=(x1-x2),∴|AB|==2.
化简可得P的轨迹方程为=1.
18.解(1)由题意得c=,设左焦点为F1,则F1(-,0),F2(,0),
2a=PF1+PF2==4,
∴a=2,b==1.
故椭圆C的方程为+y2=1.
(2)设直线l的方程为x=my+(m>0),代入椭圆方程得(m2+4)y2+2my-1=0,
设M(x1,y1),N(x2,y2),
Δ=16(m2+1)>0恒成立,由韦达定理可得y1+y2=, ①
y1y2=, ②
由=3得y1=-3y2, ③
由①②③可得m=.
故直线l的方程为y=x-.
19.解(1)因为双曲线的渐近线方程为bx±ay=0,
则点F2到渐近线距离为=b(其中c是双曲线的半焦距),
所以由题意知c+a=2b.又因为a2+b2=c2,
解得b=a,
故所求双曲线的渐近线方程是4x±3y=0.
(2)因为∠F1PF2=60°,
由余弦定理得,|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|·|PF2|cos 60°=|F1F2|2,
即|PF1|2+|PF2|2-|PF1|·|PF2|=4c2. ①
又由双曲线的定义得||PF1|-|PF2||=2a,
平方得|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|·|PF2|=4a2, ②
由①②式相减得|PF1|·|PF2|=4c2-4a2=4b2.
根据三角形的面积公式得S=|PF1|·|PF2|sin 60°=·4b2=b2=48,
得b2=48.再由(1)中结论得a2=b2=27,
故所求双曲线方程是=1.
20.(1)解抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,准线为x=-,
由抛物线的定义可得,|AF|=4+=5,
解得p=2,
即抛物线的方程为y2=4x.
(2)证明设直线l:x=my+4,A(x1,y1),B(x2,y2),
代入抛物线方程y2=4x,可得
y2-4my-16=0,
判别式为16m2+64>0恒成立,
y1+y2=4m,y1y2=-16,
x1x2==16,
即有x1x2+y1y2=0,则,则以AB为直径的圆必过坐标原点.
21.解(1)依题意知点F1坐标为(-c,0),
设M点坐标为(-c,y)(y>0).
若A点坐标为(-a,0),则B点坐标为(0,-b),
则直线AB的斜率k=当A点坐标为(a,0),B点坐标为(0,b)时,同样有k=.
则有,∴y=. ①
又∵点M在椭圆=1上,∴=1. ②
由①②得,∴,
即椭圆的离心率为.
(2)①当点Q与椭圆长轴的端点重合时,∠F1QF2=0.
②当点Q与椭圆长轴的端点不重合时,
设|QF1|=m,|QF2|=n,∠F1QF2=θ,
则m+n=2a,|F1F2|=2c.
在△F1QF2中,cos θ=-1≥-1=0.
当且仅当m=n时,等号成立,故当点Q与椭圆长轴的端点不重合时,0≤cos θ≤1,又∵θ∈(0,π),∴θ∈.
综上,∠F1QF2的取值范围是.
22.(1)解由条件可得
解得a=2,b=2.
所以椭圆的方程为=1,
“卫星圆”的方程为x2+y2=12.
(2)证明①当l1,l2中有一条无斜率时,不妨设l1无斜率,
因为l1与椭圆只有一个公共点,则其方程为x=2或x=-2,
当l1方程为x=2时,此时l1与“卫星圆”交于点(2,2)和(2,-2),
此时经过点(2,2),(2,-2)且与椭圆只有一个公共点的直线是y=2或y=-2,即l2为y=2或y=-2,
所以l1⊥l2,
同理,当l1方程为x=-2时,结论相同.所以线段MN应为“卫星圆”的直径,所以|MN|=4.
②当l1,l2都有斜率时,设点P(x0,y0),其中=12,
设经过点P(x0,y0)与椭圆只有一个公共点的直线为y=t(x-x0)+y0,
联立方程组消去y,整理得(1+2t2)x2+4t(y0-tx0)x+2(y0-tx0)2-8=0,
所以Δ=(64-8)t2+16x0y0t+32-8=0,
所以t1·t2==-1,
所以t1·t2=-1,满足条件的两直线l1,l2垂直.
所以线段MN应为“卫星圆”的直径,
所以|MN|=4.
综合①②知:因为l1,l2经过点P(x0,y0),又分别交其“卫星圆”于点M,点N,且l1,l2垂直,