2023-2024学年高中数学人教A版（2019）选择性必修第一册 第二章 直线和圆的方程 测评（含解析）

第二章测评
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.(2021北京通州区校级月考)直线x+y+m=0(m∈R)的倾斜角为(　　)
A.30° B.60° C.150° D.120°
2.已知直线l1:ax+2y-1=0,直线l2:8x+ay+2-a=0,则“a=-4”是“l1∥l2”的(　　)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
3.(2021广东广州期中)已知三角形的三个顶点A(-5,0),B(3,-3),C(0,2),则BC边上的中线所在直线的方程为(　　)
A.5x+3y-6=0 B.3x-5y+15=0
C.x+13y+5=0 D.3x+8y+15=0
4.已知正方形的一组对边所在的直线方程分别为3x+2y+1=0和3x+2y+4=0,另一组对边所在的直线方程分别为4x-6y+c1=0和4x-6y+c2=0,则|c1-c2|=(　　)
A. B. C. D.6
5.已知圆C经过两点A(0,2),B(4,6),且圆心C在直线l:2x-y-3=0上,则圆C的方程为(　　)
A.x2+y2-6y-16=0
B.x2+y2-2x+2y-8=0
C.x2+y2-6x-6y+8=0
D.x2+y2-2x+2y-56=0
6.(2021安徽宿州期中)若圆x2+(y-a)2=4上总存在两个点到坐标原点的距离为1,则实数a的取值范围是(　　)
A.(1,3) B.[1,3]
C.(-3,-1)∪(1,3) D.[-3,-1]∪[1,3]
7.两圆x2+y2=1与x2+y2-2x-2y+a+b=4有且只有一条公切线,那么的最小值为(　　)
A.1 B.3+2
C.5 D.4
8.(2021山西太原模拟)已知圆M:(x-a)2+(y-b)2=3(a,b∈R)与圆O:x2+y2=1相交于A,B两点,且|AB|=,则下列错误的结论是(　　)
A.是定值
B.四边形OAMB的面积是定值
C.a+b的最小值为-
D.a·b的最大值为2
二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.
9.(2021福建三明期中)已知直线5x-12y+a=0与圆(x-1)2+y2=1相切,则实数a的值可能为 (　　)
A.-8 B.8 C.-18 D.18
10.已知直线l1:x-ay+2=0,l2:ax+y-2=0,a∈R,以下结论正确的是(　　)
A.不论a为何值时,l1与l2都互相垂直
B.当a变化时,l1与l2分别经过定点A(-2,0)和B(0,2)
C.不论a为何值时,l1与l2都关于直线x+y=0对称
D.设O为坐标原点,如果l1与l2交于点M,则|MO|的最大值是2
11.(2021辽宁沈阳检测)已知实数x,y满足方程x2+y2-2x-4y+1=0,则下列说法正确的是 (　　)
A.x2+y2的最大值为2+
B.(x+2)2+(y+1)2的最大值为22+12
C.x+y的最大值为3+2
D.4x-3y的最大值为8
12.已知圆C:(x-2)2+y2=1,点P是直线l:x+y=0上一动点,过点P作圆C的切线PA,PB,切点分别是A和B,下列说法正确的为(　　)
A.圆C上恰有一个点到直线l的距离为
B.切线长PA的最小值为1
C.四边形ACBP面积的最小值为2
D.直线AB恒过定点,-
三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.
13.光线沿直线7x-y-3=0入射到直线2x-y+2=0后反射,则反射光线所在直线的方程为　　　　　.
14.当平面内一点P(3,2)到直线l:mx-y+1-2m=0的距离最大时,m的值为　　　　　.
15.(2021安徽黄山期中)如图,菱形OBCD的顶点O与坐标原点重合,边长为2,一边在x轴的正半轴上,∠BOD=60°,则菱形的内切圆方程为　　　　　　　　　　.
16.(2021江苏南京期中)如图,点P是圆O:x2+y2=1上一动点,过点P的圆O的切线l与☉O1:(x-a)2+(y-2)2=16始终交于A,B两点.
(1)实数a的取值范围是　　　　　　;
(2)若a=,|O1P|=,则△O1AB的面积是　　　　　　.
四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.(10分)(2021浙江温州期中)已知点A(2,1),直线l:(a-1)x+y+2+a=0(a∈R).不论a取何值,直线l过定点P.
(1)求点P的坐标,及点A(2,1)到直线l距离的最大值;
(2)若直线l在两坐标轴上的截距相等,求a的值.
18.(12分)求符合下列条件圆的方程.
(1)圆心为点(-1,2),面积为9π;
(2)与圆x2+y2-2x-2y+1=0关于y轴对称.
19.(12分)(2021江苏连云港期中)已知直线l经过两条直线2x+3y+8=0和x-y-1=0的交点,且　　　　　,若直线m与直线l关于点(1,0)对称,求直线m的方程.
(注:试从以下两个条件中任选一个补充在上面的问题中,完成解答,若选择多个条件分别解答,按照第一个解答计分.)
①与直线3x+2y+8=0垂直;②在y轴上的截距为.
20.(12分)已知圆M:x2+y2-2ax+10ay-24=0,圆N:x2+y2+2x+2y-8=0,且圆M上任意一点关于直线x+y+4=0的对称点都在圆M上.
(1)求圆M的方程;
(2)证明圆M和圆N相交,并求两圆公共弦的长度l.
21.(12分)(2021江苏南通期中)已知方程x2+y2-2x+4y+4m=0.
(1)若此方程表示圆,求实数m的取值范围;
(2)若m的值为(1)中能取到的最大整数,则得到的圆设为圆E,若圆E与圆F关于y轴对称,求圆F的一般方程.
22.(12分)(2021安徽黄山期中)已知圆C:(x-1)2+(y-3)2=9,线段RQ的端点Q的坐标是(4,3),端点R在圆C上运动,且点T满足线段=2,记T点的轨迹为曲线Γ.
(1)求曲线Γ的方程.
(2)过点A(0,3)斜率为k的直线l与曲线Γ交于M,N两点,试探究:
①设O为坐标原点,若=26,这样的直线l是否存在 若存在,求出|MN|;若不存在,说明理由.
②求线段MN的中点D的轨迹方程.
第二章测评
1.C　直线x+y+m=0(m∈R)的斜率为-,
直线倾斜角的范围是[0°,180°),
所以所求直线倾斜角为150°.
2.C　直线l1:ax+2y-1=0,直线l2:8x+ay+2-a=0,∵a=-4时,,∴l1∥l2,
当l1∥l2时,,解得a=-4,
∴“a=-4”是“l1∥l2”的充要条件.
3.C　三角形三个顶点A(-5,0),B(3,-3),C(0,2),
BC的中点坐标为,-,
∴BC边上中线所在直线方程是,
整理得x+13y+5=0.
4.D　正方形的一组对边所在的直线方程分别为3x+2y+1=0和3x+2y+4=0,
另一组对边所在的直线方程分别为4x-6y+c1=0和4x-6y+c2=0,
根据正方形的两组对边间的距离相等,可得,
则|c1-c2|=6.
5.C　因为圆心C在直线l:2x-y-3=0上,
设圆心C(a,2a-3),
又圆C经过两点A(0,2),B(4,6),
所以|CA|=|CB|,
故,
解得a=3,
所以圆心C(3,3),半径r=|CA|=,
则圆的方程为(x-3)2+(y-3)2=10,
化为一般方程为x2+y2-6x-6y+8=0.
6.C　根据题意,到坐标原点的距离为1的点的轨迹方程为x2+y2=1,是圆心为(0,0),半径r=1的圆,
若圆x2+(y-a)2=4上总存在两个点到坐标原点的距离为1,则圆x2+(y-a)2=4与圆x2+y2=1相交,
圆x2+(y-a)2=4,圆心为(0,a),半径R=2,
则有2-1<|a|<2+1,即1<|a|<3,解可得-3即a的取值范围为(-3,-1)∪(1,3).
7.B　根据题意,圆x2+y2=1,其圆心为(0,0),半径r=1,
圆x2+y2-2x-2y+a+b=4,即(x-)2+(y-)2=4,其圆心为(),半径为2,若两圆有且只有一条公切线,则两圆内切,则有=2-1=1,变形可得a+b=1,
则=(a+b)=3+,
又a>0,b>0,则≥2=2,当且仅当b=a时等号成立,
故≥3+2,即的最小值为3+2.
8.C　圆M的圆心M(a,b),半径r=,则△MAB为边长为的等边三角形,
对于A,∵=||·||·cos 60°=,∴A正确;
对于B,∵OA=OB=1,AB=,△OAB的高h=,
∴S△ABO=,∵S△MAB=×()2=,
∴S四边形OAMB=,∴B正确;
对于C,由B知S四边形OAMB=×OM×AB,∴OM==2,
即=2,∴a2+b2=4,∵2(a2+b2)≥(a+b)2,
∴(a+b)2≤8,
∴-2≤a+b≤2,当且仅当a=b时取等号,∴a+b的最小值为-2,∴C错误;
对于D,由C得,∵a2+b2=4≥2ab,∴ab≤2,
当且仅当a=b时取等号,∴ab的最大值为2,∴D正确.
9.BC　圆(x-1)2+y2=1的圆心为(1,0),半径为1,
∵直线5x-12y+a=0与圆(x-1)2+y2=1相切,
∴=1,
解得a=8或a=-18.故选BC.
10.ABD　直线l1:x-ay+2=0,l2:ax+y-2=0,a∈R,
对于A,∵1×a-a×1=0,∴不论a为何值时,l1与l2都互相垂直,故A正确;
对于B,当a变化时,l1与l2分别经过定点A(-2,0)和B(0,2),故B正确;
对于C,设直线l1:x-ay+2=0上任意一点P(x,y),
则点P关于直线x+y=0的对称点为P'(-y,-x),
将点P'(-y,-x)代入直线l2:ax+y-2=0,可得x+ay+2=0,与不论a取何值时,点P恒在直线l1上矛盾,故C错误;
对于D,联立方程组解得
故M,
则|MO|=≤2,
所以|MO|的最大值是2,故D正确.
故选ABD.
11.BCD　由x2+y2-2x-4y+1=0,知(x-1)2+(y-2)2=4,
表示圆心为M(1,2),半径为r=2的圆,
对于A选项,x2+y2的几何意义为圆上的点与原点距离的平方和,其最大值为(|OM|+r)2=(2+)2,故A错误;
对于B选项,(x+2)2+(y+1)2的几何意义为圆上的点与点(-2,-1)距离的平方和,其最大值为(2+3)2=22+12,故B正确;
对于C选项,设x+y=k,则直线x+y-k=0与圆有公共点,
所以≤2,解得3-2≤k≤3+2,
所以x+y的最大值为3+2,故C正确;
对于D选项,设4x-3y=t,则直线4x-3y-t=0与圆有公共点,
所以≤2,解得-12≤t≤8.
所以4x-3y的最大值为8,故D正确.
故选BCD.
12.BD　对于A,∵圆C:(x-2)2+y2=1,
∴圆心C(2,0),半径r=1,∴圆心C到直线l:x+y=0的距离为,而-1<+1,故A错误;
对于B,由圆的性质,切线长|PA|=,当|PC|最小时,|PA|有最小值,
又|PC|min=,则|PA|min=1,故B正确.
对于C,四边形ACBP的面积为|PA||CA|=|PA|,故四边形ACBP的面积最小值为1,故C错误;
对于D,设P(t,-t),
由题意知A,B在以PC为直径的圆上,又C(2,0),
∴(x-t)(x-2)+(y+t)(y-0)=0,即x2+y2-(t+2)x+ty+2t=0,
又圆C:(x-2)2+y2=1,即x2+y2-4x+3=0,故直线AB的方程为(2-t)x+ty-3+2t=0,即2x-3-t(x-y-2)=0,
由解得x=,y=-,
即直线AB恒过定点,-,故D正确.
故选BD.
13.x-y+3=0　由
故入射光线与反射轴的交点为A(1,4),在入射光线上再取一点B(0,-3),
则点B关于反射轴2x-y+2=0的对称点C(m,n)在反射光线上,解得m=-4,n=-1,故C(-4,-1).
根据A,C两点的坐标,求得反射光线的方程为y-4=(x-1),即x-y+3=0.
14.-1　直线l:mx-y+1-2m=0可化为m(x-2)+1-y=0,
令解得x=2,y=1.
所以直线l过定点M(2,1).
当PM⊥l时,点P(3,2)到直线l:mx-y+1-2m=0的距离最大,如图所示,
所以kPM·kl=-1,
即·m=-1,
解得m=-1.
15.x-2+y-2=　设对角线OC,BD的交点为M,菱形的对角线互相垂直,又∠BOD=60°,
所以在Rt△OMB中,∠BOC=30°,OB=2,
则OM=2×cos 30°=,
设点M(x,y),则y=OM×sin 30°=,x=OM×cos 30°=,
所以圆心M,半径r=,
所以菱形内切圆的方程为x-2+y-2=.
16.(1)(-)　(2)　(1)根据题意,点P是圆O:x2+y2=1上一动点,过点P的圆O的切线l与圆O1:(x-a)2+(y-2)2=16始终相交,则圆O必定在圆O1的内部,圆O:x2+y2=1,圆心为(0,0),半径为1,圆O1:(x-a)2+(y-2)2=16,圆心为(a,2),半径r=4,则有<4-1=3,解得-故a的取值范围为(-).
(2)根据题意,设P的坐标为(m,n),则直线AB的方程为mx+ny=1,
若a=,则圆O1:x-2+(y-2)2=16,其圆心为,2,半径r=4,
又由|O1P|=,即-m2+(2-n)2=,变形可得m2+n2-3m-4n=,即3m+4n=-;
圆心O1到直线AB的距离d=,
|AB|=2×=2,
故△O1AB的面积S=|AB|×d=.
17.解(1)直线l:(a-1)x+y+2+a=0(a∈R),化为a(x+1)+(-x+y+2)=0,
由解得
∴不论a取何值,直线l恒过定点P(-1,-3).
分析易知点A(2,1)到直线l的距离的最大值|PA|==5.
(2)令y=0,则x=(a≠1),令x=0,则y=-a-2,由题意可知=-a-2,
解得a=±2.
当a=1时,易知不满足条件,所以a=±2
18.解(1)圆心为点(-1,2),面积为9π,所以圆的半径为3,圆的标准方程为(x+1)2+(y-2)2=9.
(2)圆x2+y2-2x-2y+1=0的圆心(1,1),半径为1,
此圆关于y轴对称圆的圆心为(-1,1),半径为1.
对称圆的方程为(x+1)2+(y-1)2=1.
19.解因为方程组的解为
所以两条直线2x+3y+8=0和x-y-1=0的交点为(-1,-2).
若选①,可设直线l的方程为2x-3y+c=0,
将点(-1,-2)代入方程2x-3y+c=0,可得-2+6+c=0,解得c=-4,
即有直线l的方程为2x-3y-4=0.
在直线l上取两点(-1,-2)和(2,0),
点(-1,-2)关于点(1,0)对称的点坐标为(3,2),
点(2,0)关于点(1,0)对称的点坐标为(0,0),
所以直线m的方程为2x-3y=0.
若选②,可得直线l的斜率为k=,
所以直线l的方程为y=x+.
在直线l上取两点(1,3)和(-1,-2),
点(-1,-2)关于点(1,0)对称的点坐标为(3,2),
点(1,3)关于点(1,0)对称的点坐标为(1,-3),
所以直线m的方程为5x-2y-11=0.
20.(1)解圆M:x2+y2-2ax+10ay-24=0的圆心M(a,-5a),因为圆M上任意一点关于直线x+y+4=0的对称点都在圆M上,
所以直线x+y+4=0经过点M,可得a-5a+4=0,解得a=1,则圆M的方程为x2+y2-2x+10y-24=0.
(2)证明因为圆M的圆心M(1,-5),半径r1=5,圆N的圆心N(-1,-1),半径r2=,
所以|MN|==2.
因为5<2<5,
所以圆M和圆N相交.
由两式相减可得公共弦的直线方程为x-2y+4=0,
M到直线的距离为d==3,
所以2=-d2=50-45=5,解得l=2,
则两圆公共弦的长度l=2.
21.解(1)若此方程表示圆,则(-2)2+42-4×4m>0,m<,
即实数m的取值范围是-∞,.
(2)由(1)可知m=1,此时圆E:x2+y2-2x+4y+4=0,圆心坐标为E(1,-2),半径为1,
因为圆F和圆E关于y轴对称,
所以圆F圆心坐标是(-1,-2),半径是1,
故圆F方程为(x+1)2+(y+2)2=1,
化为一般方程为x2+y2+2x+4y+4=0.
22.解(1)设r(x0,y0),则(x0-1)2+(y0-3)2=9,
设T(x,y),因为=2,所以
则(3x-8-1)2+(3y-6-3)2=9,
即曲线Γ的方程为(x-3)2+(y-3)2=1.
(2)设直线方程为y=kx+3,M(x1,y1),N(x2,y2),
联立可得(1+k2)x2-6x+8=0,则Δ=36-32(1+k2)>0,解得k2<,且有x1+x2=,x1x2=,
所以y1y2=(kx1+3)(kx2+3)=k2x1x2+3k(x1+x2)+9=,
①=x1x2+y1y2==26,解得k=1,与k2<不符,
故不存在这样的直线l,使得=26;
②MN中点坐标为0则+3,
即D点坐标为+3,