2023-2024学年高中数学人教A版（2019）选择性必修第一册 第三章 圆锥曲线的方程 测评（含解析）

第三章测评
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.已知抛物线x2=ay(a≠0)的焦点在直线y=2x-4上,则a的值为(　　)
A.8 B.-4 C.-8 D.-16
2.(2021辽宁沈阳期中)方程x+y=1的对应曲线图形是(　　)
3.若双曲线=1(a>0)的渐近线与圆x2+(y-2)2=1相切,则a=(　　)
A. B. C. D.
4.过抛物线y2=2x的焦点作一条直线与抛物线交于A,B两点,它们的横坐标之和等于2,则这样的直线(　　)
A.有且只有一条 B.有且只有两条
C.有且只有三条 D.有且只有四条
5.在△ABC中,A(-5,0),B(5,0),点C在双曲线=1上,则=(　　)
A. B.± C.± D.-
6.(2021吉林长春月考)已知M是抛物线y2=4x上的一点,F是抛物线的焦点,若以Fx为始边,FM为终边的角∠xFM=60°,则|FM|等于(　　)
A.2 B. C.2 D.4
7.(2021安徽合肥期中)19世纪法国著名数学家加斯帕尔·蒙日,创立了画法几何学,推动了空间几何学的独立发展.提出了著名的蒙日圆定理:椭圆的两条切线互相垂直,则切线的交点位于一个与椭圆同心的圆上,称为蒙日圆,且该圆的半径等于椭圆长半轴长与短半轴长的平方和的算术平方根.若圆(x-2)2+(y-b)2=9上有且只有一个点在椭圆+y2=1的蒙日圆上,则b的值为(　　)
A.±1 B.±5
C.± D.±2
8. (2021江苏泰州期中)如图,椭圆Γ:=1(a>b>0)的离心率为e,F是Γ的右焦点,点P是Γ上第一象限内任意一点.且sin∠POF0),=0,若λ>e,则离心率e的取值范围是(　　)
A. B.
C. D.
二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.
9.(2021湖南长沙期中)已知椭圆C的对称中心为坐标原点,焦点在坐标轴上,若椭圆的长轴长为6,短轴长为4,则椭圆C的标准方程可能为(　　)
A.=1 B.=1
C.=1 D.=1
10.(2021辽宁大连期中)已知F是双曲线C:=1(a>0)的右焦点,点P是双曲线上任意一点,则∠POF的大小可能是(　　)
A.30° B.45° C.60° D.150°
11.某同学在研究教材中一例问题“设点A(-5,0),B(5,0),直线AM,BM相交于点M,且它们的斜率之积为-,求点M的轨迹方程”时,将其中已知条件“斜率之积为-”拓展为“斜率之积为常数k(k≠0)”之后,进行了探究.
则下列结论正确的有(　　)
A.k<0时,点M的轨迹为椭圆(不含与x轴的交点)
B.-1C.k<-1时,点M的轨迹为焦点在y轴上的椭圆(不含与x轴的交点)
D.k>0时,点M的轨迹为焦点在x轴上的双曲线(不含与x轴的交点)
12.(2021福建厦门检测)线段AB是抛物线y2=2px(p>0)过焦点F的弦,下列命题正确的有(　　)
A.|AF|最小值是p
B.|AB|最小值是2p
C.∠AOB可能为锐角,其中O为坐标原点
D.以AB为直径的圆一定与直线x=-相切
三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.
13.已知抛物线C:y2=2px(p>0)上一点P(3,y0)到其准线的距离为8,则p=　　　　　.
14.已知双曲线的一条渐近线方程为y=2x,则双曲线的方程可以为　　　　　　　　(写出一个正确答案即可);此时,你所写的方程对应的双曲线的离心率为　　　　　.
15.(2021上海徐汇区期末)设椭圆=1上的一点P到椭圆两焦点的距离的乘积为s,则当s取得最大值时,点P的坐标是　　　　　　　　.
16.(2021江苏常州期中)已知圆C:(x-3)2+y2=1,点M在抛物线T:y2=4x上运动,过点M引直线l1,l2与圆C相切,切点分别为A,B,则|AB|的取值范围为　　　　　　　.
四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.(10分)分别求下列曲线的方程.
(1)已知椭圆C:=1(a>)的离心率为e=,求椭圆C的方程;
(2)已知双曲线C:=1的焦距为4,渐近线方程之一为y=x,求双曲线C的方程.
18.(12分)(2021陕西咸阳期末)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,准线方程为x=-2.
(1)求抛物线C的方程;
(2)若直线l:y=x-2与抛物线C交于A,B两点,求|AB|.
19.(12分)(2021浙江绍兴期中)已知双曲线C:=1(a>0,b>0)的实轴长为8,离心率e=.
(1)求双曲线C的方程;
(2)直线l与双曲线C相交于P,Q两点,弦PQ的中点坐标为A(8,3),求直线l的方程.
20. (12分)(2021宁夏银川期中)如图,把半椭圆Γ1:=1(x≥0)与圆弧Γ2:(x-1)2+y2=a2(x<0)合成的曲线称作“曲圆”,其中F(1,0)为Γ1的右焦点,如图所示,A1,A2,B1,B2分别是“曲圆”与x轴、y轴的交点,已知∠B1FB2=,过点F且倾斜角为θ的直线交“曲圆”于P,Q两点(P在x轴上方).
(1)求椭圆Γ1和圆弧Γ2的方程;
(2)当点P,Q分别在第一、第三象限时,求△A1PQ的周长的取值范围.
21. (12分)如图,直线l与圆E:x2+(y+1)2=1相切于点P,与抛物线C:x2=4y相交于不同的两点A,B,与y轴相交于点T(0,t)(t>0).
(1)若T是抛物线C的焦点,求直线l的方程;
(2)若|TE|2=|PA|·|PB|,求t的值.
22.(12分)(2021上海虹口期末)已知椭圆Γ:=1的左、右焦点分别为F1,F2,过点F1的直线l交椭圆于A,B两点,交y轴于点P(0,t).
(1)若F1P⊥F2P,求t的值.
(2)若点A在第一象限,满足=7,求t的值.
(3)在平面内是否存在定点Q,使得是一个确定的常数 若存在,求出点Q的坐标;若不存在,说明理由.
第三章测评
1.D　因为抛物线x2=ay(a≠0)的焦点F在直线y=2x-4上,所以=-4,即a的值为-16.
2.A　由方程x+y=1,可知x∈[-1,1],y∈[-1,1],
显然x<0,y<0,方程不成立,排除C;
又∈[0,1],∈[0,1],
所以xy<0不成立,排除B,D,故选A.
3.A　双曲线=1(a>0)的渐近线为y=±x,即2x±ay=0,
因为双曲线=1(a>0)的渐近线与圆x2+(y-2)2=1相切,
所以=1,解得a=(负值舍去).
4.B　设该抛物线的焦点为F,A,B的横坐标分别为xA,xB,则|AB|=|AF|+|FB|=xA++xB+=xA+xB+1=3>2p=2.
所以符合条件的直线有且只有两条.
5.C　由双曲线的方程=1可得a2=16,b2=9,
所以c2=a2+b2=25,
即焦点坐标恰好为A,B的坐标,
所以|AB|=10,|BC|-|AC|=±2a=±8,
由正弦定理知=±.
6. D　如图所示,由题意得焦点坐标F(1,0),准线方程x=-1,
设M的坐标,∠xFM=60°,
∴>1,
∴|y|=,整理得y2-4|y|-4=0,
解得|y|=2,又∠xFM=60°,∴|FM|==4.
7.C　由椭圆的定义知,+y2=1的蒙日圆r2==2,
所以蒙日圆为x2+y2=4.蒙日圆的半径r1=2.
因为圆(x-2)2+(y-b)2=9上有且只有一个点在蒙日圆上,所以两圆相切.
由已知r2=3,
所以=r1+r2=5,
解得b=±.
8.B　因为点P是Γ上第一象限内任意一点,故∠POF为锐角,
又sin∠POF设直线OP的斜率为k,则0由
可得
故P,
所以Q.
因为=0,故kQF=-,所以=-,
解得λ=,因为λ>e对任意的0故>e,整理得到a2-2b2>b2k2对任意的0故a2-b2≥2b2,即2a2≤3c2,即≤e<1.
9.AC　由题可得2a=6,2b=4,则a2=9,b2=4,
故椭圆的标准方程可能为=1或=1.
10.AD　∵双曲线C:=1(a>0)的渐近线方程为y=±x,
∴双曲线的渐近线与x轴的夹角为45°.
∵F是双曲线C:=1(a>0)的右焦点,O为坐标原点,点P是双曲线上任意一点,
∴0°≤∠POF<45°或135°<∠POF≤180°.
∴∠POF的大小可能是30°,150°.
故选AD.
11.BCD　设M(x,y),则kAM=,kMB=,
由题意可得,=k,
故y2=k(x2-25).
若k=-1,方程化为y2+x2=25,点M的轨迹为以原点为圆心,5为半径的圆(不含与x轴的交点);
若-1若k<-1,方程化为=1,表示焦点在y轴,以A,B为短轴端点的椭圆(不含与x轴的交点);
若k>0,方程化为=1,点M的轨迹为焦点在x轴的双曲线(不含与x轴的交点).
综上可知,BCD正确.
故选BCD.
12.BD　依题意设A(x1,y1),B(x2,y2),
对于A选项,由抛物线定义可得|AF|=x1+,因为x1>0,所以|AF|=x1+,故A错误;
对于B选项,设直线AB的方程为x=my+,联立得y2-2mpy-p2=0,
Δ=4m2p2+4p2>0,y1+y2=2mp,y1y2=-p2,
所以x1+x2==2pm2+p≥p,
则|AB|=x1+x2+p≥p+p=2p,故B正确;
对于C选项,=(x1,y1),=(x2,y2),
因为y1y2=-p2,=2px1,=2px2,
所以x1x2=,
则=x1x2+y1y2=-p2=-<0,
所以∠AOB不可能为锐角,故C错误;
对于D选项,因为|AB|=x1+x2+p=2pm2+p+p=2p(m2+1),
所以以AB为直径的圆的半径为r=p(m2+1),
又因为AB中点的横坐标x0==pm2+=p,
所以x0-=p=p(m2+1)=r,
故以AB为直径的圆一定与直线x=-相切,故D正确.
13.10　∵抛物线y2=2px(p>0)上的一点P(3,y0)到其准线的距离为8,
∴3+=8,解得p=10.
14.x2-=1　(答案不唯一)　因为双曲线的渐近线为y=2x,
所以双曲线的方程为x2-=λ(λ≠0),
故可取λ=1,可得双曲线的方程为x2-=1,
所以c=.
此时其离心率e=.
15.(0,3)或(0,-3)　设椭圆=1的焦点为F1,F2,由椭圆定义可得,|PF1|+|PF2|=2a=10,
则s=|PF1|·|PF2|≤=a2=25,
当且仅当|PF1|=|PF2|=a=5,即P(0,3)或(0,-3)时,s取得最大值25.
16.　如图,连接MC,CA,CB,AB,则CA⊥MA,CB⊥MB,MC⊥AB,
故|AB|=2·=2,则当|CM|最小时,|AB|最小,
设M(x,y),则|CM|=,
所以当x=1时,|CM|取得最小值2,
当x→+∞时,|AB|趋近于2,
故|AB|的取值范围为.
17.解(1)因为椭圆C:=1(a>),则b2=5,
所以c=.
因为椭圆的离心率为e=,
则e=,解得a=3,
所以椭圆C的标准方程为=1.
(2)因为双曲线C:=1的焦距为4,所以c=2,又因为其渐近线方程之一为y=x,
则=1,解得a2=b2=4,
所以双曲线C的标准方程为=1.
18.解(1)∵抛物线C的准线方程为x=-2,
∴-=-2,得p=4,
故抛物线C的方程为y2=8x.
(2)显然直线l:y=x-2过焦点F(2,0),
联立消去y可得x2-12x+4=0,
设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=12,
故|AB|=x1+x2+p=12+4=16.
19.解(1)∵实轴长为8,离心率e=,∴2a=8,e=,又a2+b2=c2,即a=4,c=5,b=3.
故双曲线C的标准方程为=1.
(2)设P,Q的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),
∵线段PQ的中点为(8,3),
∴x1+x2=16,y1+y2=6.
∵=1,=1,
∴=0,
整理得,即直线l的斜率为,
∴直线l的方程为y-3=(x-8),
即3x-2y-18=0.
20. 解(1)由题意可得c=1,∠OFB2=,则b=,
∴a2=b2+c2=4,则椭圆Γ1:=1(x≥0),
圆弧Γ2的方程为Γ2:(x-1)2+y2=4(x<0).
(2)由题意得:在等腰△A1QF中,A1Q=4sin,
若P,Q分别在第一、第三象限,则θ的取值范围为,∴△A1PQ的周长L=|A1Q|+|FQ|+|PF|+|PA1|=4sin+2+2+2=6+4sin.
∵θ∈,∴L=6+4sin∈(6,8).
21.解(1)∵T(0,t)(t>0)是抛物线C:x2=4y的焦点,
∴t=1.
设直线l的方程为y=kx+1,由直线l与圆E相切,得=1,即k=±,∴直线l的方程为y=±x+1.
(2)设直线l的方程为y=kx+t,P(x0,y0),A(x1,y1),B(x2,y2),由得x2-4kx-4t=0.
则x1+x2=4k,x1x2=-4t,
∴|PA|·|PB|=|x1-x0|·|x2-x0|=(1+k2)[x1x2-x0(x1+x2)+]=(1+k2)[-4(kx0+t)]=(1+k2)|-4y0|.
由直线l与圆E相切,得=1,即1+k2=(t+1)2,由|TE|=t+1,|TE|2=|PA|·|PB|,得(1+k2)|-4y0|=(t+1)2,
∴-4y0=±1,又点P在抛物线下方,
∴-4y0=1,又+(y0+1)2=1,解得y0=-3±2.
由直线l与PE互相垂直,得k=-=-,
∵y0=kx0+t,
∴t=y0-kx0=y0+.
当y0=-3+2时,t=;
当y0=-3-2时,t=.
∵t>0,∴t的值为.
22.解(1)由椭圆Γ:=1的方程可知c2=a2-b2=12-8=4,
所以c=2,即左焦点F1(-2,0),右焦点F2(2,0).
因为P(0,t),若F1P⊥F2P,则=0,
即(2,t)·(-2,t)=0,整理可得t2=4,所以t=±2,
所以t的值为±2.
(2)设A(x1,y1),因为=7,由(1)可得(x1+2,y1)·(x1-2,y1)=7,
所以-4+=7,即=11,①
而=1,②
由①②得,+8·=11,∵x1>0,
解得x1=3,y1=,
所以直线AB的方程为y=(x+2),令x=0,
可得y=,
即t的值为.
(3)易知直线AB的斜率存在,设直线AB的方程为y=k(x+2),
设A(x1,y1),B(x2,y2),
联立直线与椭圆的方程,
整理可得(2+3k2)x2+12k2x+12(k2-2)=0,
可得x1+x2=,x1x2=,设Q为(a,b),
所以=(x1-a,y1-b)·(x2-a,y2-b)=(x1-a)(x2-a)+(kx1+2k-b)(kx2+2k-b)=(1+k2)x1x2+(2k2-bk-a)(x1+x2)+4k2-4kb+b2+a2=(1+k2)+(2k2-bk-a)+4k2-4kb+b2+a2==λ,则(3a2+3b2+12a-4-3λ)k2-8kb+2(a2+b2-12-λ)=0恒成立,
则
解得a=-,b=0,λ=-,