广东省东莞市石竹实验学校2023-2024学年高二上学期12月月考数学试卷（含解析）

东莞市石竹实验学校2023-2024学年度第一学期12月月考
高二年级数学学科试题
满分：150分 考试时间：120分钟
一 单项选择题：本题共8道小题，每小题5分，共40分.
1. 直线的倾斜角为
A. B. C. D.
2. 若不全相等的非零实数成等差数列且公差为，那么（ ）
A. 可能是等差数列 B. 一定不是等差数列
C. 一定是等差数列，且公差为 D. 一定是等差数列，且公差为
3. 圆与圆的位置关系是（ ）
A 内切 B. 相交 C. 外切 D. 外离
4. 在四面体中，，点在上，且,中点，则（ ）
A. B. C. D.
5. 已知点到双曲线渐近线的距离为，则的离心率为（ ）
A. B. C. D.
6. 已知是椭圆的左 右焦点，点在椭圆上.当最大时，求（ ）
A. B. C. D.
7. 在平行六面体中，底面是边长为2的正方形，，，则异面直线与直线所成角的正弦值为（ ）
A. B. C. D.
8．已知非常数数列满足，为数列的
前项和，若，，则　　
A．2022 B． C． D．2019
二 多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
9. 已知曲线，则（ ）
A. 若，则曲线C是圆，其半径为2 B. 若，则曲线C是椭圆，其焦点在y轴上
C. 若线C过点，则C是双曲线 D. 若，则曲线C不表示任何图形
10. 已知空间中三点，，，则下列结论错误的是（ ）
A. 与是共线向量 B. 与同向的单位向量是
C. 与夹角的余弦值是 D. 平面的一个法向量是
11．设数列的前n项和为，，则下列说法正确的是（ ）
A．是等差数列 B．成等差数列，公差为
C．当或时，取得最大值 D．时，n的最大值为33
12. 已知抛物线焦点为，过焦点的直线交抛物线于两点，为坐标原点，
若，则下列说法正确的是（ ）
A. B. 直线斜率为 C. D.
三 填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 若直线与直线平行，则__________.
14. 数列的通项公式为，是其前项和，则__________.
15. 若直线与双曲线的两支各交于一点，则实数的取值范围为______.
16. 已知三棱锥中,平面,则该三棱锥的表面积与内切球的半径分别为__________,__________.
四 解答题：本题共6小题，共70分.
17．(10分)已知在等差数列中，公差，其前项和为，且．
(1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和．
18.(12分) 已知直线恒过定点，圆经过点和点，
且圆心在直线上.
（1）求定点的坐标与圆的方程；
（2）过的直线被圆截得的弦长为8，求直线方程.
19. (12分)如图，在三棱锥中，平面平面，，为的中点.
（1）证明：；
（2）若是边长为1的等边三角形，点在棱上，，且二面角的
大小为，求三棱锥的体积.
20．（12分）已知双曲线，四点，，，中恰有三点在双曲线上.
(1)求双曲线的标准方程；
(2)设双曲线上任意一点，且过点的直线与双曲线的渐近线交于，两点，为坐标原点，证明：的面积为定值.
21．(12分)已知数列的前项和满足，设．
（1）求证：数列是等差数列，并求数列的通项公式；
（2）按以下规律构造数列，具体方法如下：，，，，，求数列的通项公式．
22.(12分) 已知椭圆的焦点分别为，过的动直线与过的动直线相互垂直，垂足为，若在两直线转动的过程中，点仅有两次落在椭圆上.
（1）求椭圆的方程；
（2）若直线的斜率不等于，且直线交椭圆于两点，直线交椭圆于，两点，证明：四边形的面积大于.
高二12月月考答案
一 单项选择题：本题共8道小题，每小题5分，共40分.
1. 直线的倾斜角为
A. B. C. D.
【详解】设直线x+y﹣1=0的倾斜角为α．直线x+y﹣1=0化为．
∴tanα=﹣．∵α∈[0°，180°），∴α=150°．故选D．
2. 若不全相等的非零实数成等差数列且公差为，那么（ ）
A. 可能是等差数列 B. 一定不是等差数列
C. 一定是等差数列，且公差为 D. 一定是等差数列，且公差为
【详解】若是等差数列，则，因为成等差数列，则，
则，整理得，与非零实数不全相等矛盾，所以一定不是等差数列.
故选：B.
3. 圆与圆位置关系是（ ）
A. 内切 B. 相交 C. 外切 D. 外离
【详解】将两圆的一般方程化为标准方程得;,
可知圆心,,半径,，故两圆外离，
故选：D.
4. 在四面体中，，点在上，且,为中点，则（ ）
A. B.
C. D.
【详解】点在线段上，且，为中点，
，，
．
故选：B．
5. 已知点到双曲线渐近线的距离为，则的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【详解】因为双曲线的一条渐近线方程为，即，所以到渐近线的距离
，所以，平方整理得，又因为，
所以，离心率.故选：D
6. 已知是椭圆的左 右焦点，点在椭圆上.当最大时，求（ ）
A. B. C. D.
【详解】由椭圆方程可得，，，则，
所以
，
当且仅当则时等号成立，即为椭圆短轴端点时最大，此时，.
故选：C.
7. 在平行六面体中，底面是边长为2的正方形，，，则异面直线与直线所成角的正弦值为（ ）
A. B. C. D.
【详解】连接，
在平行六面体中，由与平行且相等得平行四边形，因此，
∴是异面直线与直线所成角或其补角，
由已知，，，
由余弦定理得，，
，∴．
故选：B．
8．已知非常数数列满足，为数列的前项和，若，，则　　
A．2022 B． C． D．2019
解：，，
化简得：，即，数列为等差数列，又，，
∴，
，则．
故选B．
二 多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
9. 已知曲线，则（ ）
A. 若，则曲线C是圆，其半径为2
B. 若，则曲线C是椭圆，其焦点在y轴上
C. 若线C过点，则C是双曲线
D. 若，则曲线C不表示任何图形
【详解】对于A，时，曲线可化为，其半径为，故A错误；
对于B，时，曲线可化为表示的是椭圆，而，
所以其焦点在轴上，故B正确；
对于C，将点，，代入曲线：，
有，，所以曲线是双曲线，故C正确；
对于D，若，，满足条件，此时曲线：，表示两条直线，故D错误，
故选：.
10. 已知空间中三点，，，则下列结论错误的是（ ）
A. 与是共线向量 B. 与同向的单位向量是
C. 与夹角的余弦值是 D. 平面的一个法向量是
【详解】对于A：，与不是共线向量，故A错误；
对于B：，则与同向的单位向量是，故B正确；
对于C：，∴，故C错误；
对于D：，设平面的法向量为，
则，取，得，故D正确．
故选：AC．
11．设数列的前n项和为，，则下列说法正确的是（ ）
A．是等差数列 B．成等差数列，公差为
C．当或时，取得最大值 D．时，n的最大值为33
【详解】对于A项，由已知可得，数列是一个等差数列，首项，公差为，
所以，，所以，.当时，；
当时，.时，，满足.
综上所述，.所以，，所以，是等差数列，故A项正确；
对于B项，设的公差为，由A知，，，
根据等差数列的性质可知，，故B项错误；
对于C项，因为，，要使取得最大值，则应有，
即，解得.又，所以当或时，取得最大值.故C正确；
对于D项，由A知，，解，可得.所以，时，n的最大值为33.
故D正确.故选：ACD.
12. 已知抛物线的焦点为，过焦点的直线交抛物线于两点，为坐标原点，若，则下列说法正确的是（ ）
A. B. 直线的斜率为
C. D.
【详解】依题意，焦点，
易知，当的斜率不存在时，，与题意不符，故舍去，所以，设，，
联立方程组，①，消化简得，，②，
其中，所以，，
所以，解得，故B选项错误，
将代入②中，可得，解得，
所以，故C选项错误，
，故D选项正确，
由①式，消化简得，
所以，，所以，
把代入得，，故A选项正确，
故选：AD.
三 填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 若直线与直线平行，则__________.
【详解】由题意得，解得：，经检验符合题意.故答案为：.
14. 数列的通项公式为，是其前项和，则__________.
【详解】，若是偶数，则为奇数，此时，
故.
故答案为：-17
15. 若直线与双曲线的两支各交于一点，则实数的取值范围为______.
【详解】联立方程 ，得…① ，设方程①的解为 ，
由题意： ，解得 ；故答案为： .
16. 已知三棱锥中,平面,则该三棱锥的表面积与内切球的半径分别为__________,__________.
【详解】解:由题知,因为,所以,即为直角三角形,
因为平面所以,因,所以,
所以为等边三角形,故三棱锥的表面积
;
设三棱锥的内切球的半径为,因为平面,所以,
因为,即,解得: .
综上三棱锥的表面积为:,内切球的半径为.
故答案为:;
四 解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤.
18. 已知直线恒过定点，圆经过点和点，且圆心在直线上.
（1）求定点的坐标与圆的方程；
（2）过的直线被圆截得的弦长为8，求直线方程.
【小问1详解】
变形为，
令，解得：，故定点的坐标为，
由圆心在直线上可设圆心坐标为，则，
即，解得：，
故圆心坐标为，半径为，故圆的方程为；
【小问2详解】
当直线斜率不存在时，直线为，此时圆心到的距离为，
由垂径定理得：弦长为，满足要求，当直线斜率存在时，设直线为，
圆心到直线即距离为，
由垂径定理得：，解得：，故直线方程为：即
综上：直线方程为或
19. 如图，在三棱锥中，平面平面，，为的中点.
（1）证明：；
（2）若是边长为1的等边三角形，点在棱上，，且二面角的大小为，求三棱锥的体积.
【详解】（1）因为，O是中点，所以，
因为平面，平面平面，
且平面平面，所以平面．
因为平面，所以.
（2）[方法一]：通性通法—坐标法
如图所示，以O为坐标原点，为轴，为y轴，垂直且过O的直线为x轴，建立空间直角坐标系，
则，设,
所以，
设为平面的法向量，
则由可求得平面的一个法向量为．
又平面的一个法向量为，所以，解得．
又点C到平面的距离为，所以，
所以三棱锥的体积为．
[方法二]【最优解】：作出二面角的平面角
如图所示，作，垂足为点G．作，垂足为点F，连结，则．
因为平面，所以平面，为二面角的平面角．
因为，所以．由已知得，故．
又，所以．因为，
．
[方法三]：三面角公式
考虑三面角，记为，为，，
记二面角为．据题意，得．
对使用三面角的余弦公式，可得，化简可得．①
使用三面角的正弦公式，可得，化简可得．②
将①②两式平方后相加，可得，由此得，从而可得．
如图可知，即有，根据三角形相似知，点G为的三等分点，即可得，
结合的正切值，可得从而可得三棱锥的体积为．
20．（12分）已知双曲线，四点，，，中恰有三点在双曲线上.
(1)求双曲线的标准方程；
(2)设双曲线上任意一点，且过点的直线与双曲线的渐近线交于，两点，为坐标原点，证明：的面积为定值.
【详解】（1）因为：关于原点对称，且双曲线也关于原点对称，所以：在双曲线上，
对于点，，，所以：，所以点不在双曲线上，
所以：都在双曲线上，所以：，解得：，
所以：双曲线的标准方程为：.
（2）由题意，双曲线的两条渐近线方程为，由双曲线的对称性，不妨设为双曲线右支上的动点，且，，
将直线方程与渐近线方程联立：，化简得：，
又因为：在双曲线：，所以：，所以：，
由根与系数关系得：，设渐近线的倾斜角为，则，
所以：，，，
所以：，
即的面积为定值2.

21．(12分)已知数列的前项和满足，设．
（1）求证：数列是等差数列，并求数列的通项公式；
（2）按以下规律构造数列，具体方法如下：，，，，，求数列的通项公式．
【解答】证明：（1）由题意，，①
令，得，则，
当时，，②
①②得，，即，
，，
数列是公差为1的等差数列．
又，，
又，；
（2）由题意，
，
又，，，，是首项为，公差为1的等差数列，
且共有项，
．
22. 已知椭圆的焦点分别为，过的动直线与过的动直线相互垂直，垂足为，若在两直线转动的过程中，点仅有两次落在椭圆上.
（1）求椭圆的方程；
（2）若直线的斜率不等于，且直线交椭圆于两点，直线交椭圆于，两点，证明：四边形的面积大于.
【小问1详解】
由题可知圆与椭圆有且只有两个公共点，
这两个公共点为短轴顶点，..
椭圆的方程为.
【小问2详解】当直线的斜率不为0，且斜率存在时，
设直线的方程为且.
联立方程组得 ， 消去得.
设，则.
.
同理得.
与相互垂直，则四边形的面积.
令，则且，.
，当时等号成立
∴且时，.
当直线其中一条的斜率不存在时，另一条的斜率为0，
不妨设直线的斜率为0，则直线的方程为，直线的方程为.
代入椭圆方程可得，，
，，
综上，可知四边形的面积大于.