2023-2024学年高中数学人教A版2019 必修第一册 第四章 习题课 对数函数及其性质的应用（含解析）

习题课　对数函数及其性质的应用
A级 必备知识基础练
1.(2022江苏盐城高一期末)设a与b均为实数,a>0且a≠1,已知函数y=loga(x+b)的图象如图所示,则a+2b的值为(　　)
　　　　　 　　　　　 　　　　
A.6 B.8 C.10 D.12
2.(2022山东济南高一期末)已知f(x)=|ln x|,若a=f,b=f,c=f(3),则(　　)
A.aC.c3.已知函数f(x)=log3(1-ax),若f(x)在(-∞,2]上为减函数,则a的取值范围为(　　)
A.(0,+∞) B.
C.(1,2) D.(-∞,0)
4.(2022浙江温州高一期末)已知函数f(x)=log2(x2-x),则f(x2)的定义域为(　　)
A.(-∞,-1)∪(1,+∞)
B.(-∞,0)∪(1,+∞)
C.(-1,1)
D.(0,1)
5.设06.已知定义域为R的偶函数f(x)在区间[0,+∞)上是增函数,且f=0,则不等式f(log4x)<0的解集是　　　　　.
7.已知函数f(x)=lg(x+2)-lg(2-x).
(1)求f(x)的定义域;
(2)判断f(x)的奇偶性并予以证明;
(3)求不等式f(x)>1的解集.
B级 关键能力提升练
8.已知y=loga(2-ax)在区间[0,1]上为减函数,则a的取值范围为(　　)
　　　　　 　　　　　 　　　　
A.(0,1) B.(1,2)
C.(0,2) D.[2,+∞)
9.已知函数f(x)=lg5x++m的值域为R,则m的取值范围为(　　)
A.(-4,+∞) B.[-4,+∞)
C.(-∞,4) D.(-∞,-4]
10.(2021北京通州高一期末)已知函数f(x)=ln(1+x)+ln(1-x),则f(x)(　　)
A.是奇函数,且在(0,1)上单调递增
B.是奇函数,且在(0,1)上单调递减
C.是偶函数,且在(0,1)上单调递增
D.是偶函数,且在(0,1)上单调递减
11.(多选题)关于函数f(x)=lg(x≠0),有下列结论,其中正确的是(　　)
A.其图象关于y轴对称
B.f(x)的最小值是lg 2
C.当x>0时,f(x)是增函数;当x<0时,f(x)是减函数
D.f(x)的增区间是(-1,0),(1,+∞)
12.已知函数y=logax(a>0,且a≠1),当x>2时恒有|y|≥1,则a的取值范围是　.
13.(2021浙江丽水高一期末)已知函数f(x)=log2.
(1)求f(x)的定义域;
(2)判断f(x)在(0,+∞)内的单调性,并证明你的结论.
C级 学科素养创新练
14.(多选题)(2021浙江杭州学军中学高一期中)已知3a=5b=15,则a,b满足下列关系的是(　　)
A.ab>4 B.a+b>4
C.a2+b2<4 D.(a+1)2+(b+1)2>16
习题课　对数函数及其性质的应用
1.C　令f(x)=y=loga(x+b),由图可知f(0)=logab=2,f(-3)=loga(-3+b)=0,
则解得
故a+2b=2+4×2=10,故选C.
2.D　因为f(x)=|ln x|,所以a=f=ln=ln 5,b=f=ln =ln 4,c=f(3)=|ln 3|=ln 3,因为y=ln x是增函数,所以ln 5>ln 4>ln 3,即a>b>c,故选D.
3.B　由于函数f(x)=log3(1-ax)在(-∞,2]上为减函数,且函数y=log3u为增函数,则函数u=1-ax在(-∞,2]上为减函数,∴-a<0,得a>0,且u=1-ax>0在(-∞,2]上恒成立,则umin=1-2a>0,解得a<.因此实数a的取值范围是.故选B.
4.A　由f(x)=log2(x2-x)可知x2-x>0,则x>1或x<0,因此有x2>1或x2<0,显然x2<0不成立,故x2>1,解得x>1或x<-1.故选A.
5.-∞,loga　由于y=logax(01,即ax>.由于0可得x6.　由题意可知,f(log4x)<0 -7.解(1)要使函数f(x)有意义,
则解得-2故所求函数f(x)的定义域为(-2,2).
(2)f(x)为奇函数.证明如下:
由(1)知f(x)的定义域为(-2,2),
设任意的x∈(-2,2),则-x∈(-2,2),
且f(-x)=lg(-x+2)-lg(2+x)=-f(x),
故f(x)为奇函数.
(3)因为f(x)在定义域(-2,2)上是增函数,
所以f(x)>1等价于>10,解得x>.
所以不等式f(x)>1的解集是.
8.B　由题设知a>0,则t=2-ax在区间[0,1]上是减函数.因为y=loga(2-ax)在区间[0,1]上是减函数,
所以y=logat在定义域内是增函数,且tmin>0.
因此故19.D　令t=5x++m≥2+m=4+m,则y=lg t.∵值域为R,∴t可取(0,+∞)的每一个正数,∴4+m≤0,∴m≤-4,故选D.
10.D　由函数f(x)=ln(1+x)+ln(1-x),得解得-111.ABD　f(-x)=lg=f(x),f(x)是偶函数,选项A正确;
令t==|x|+≥2,y=lg t在(0,+∞)上单调递增,则y=lg t≥lg 2,所以f(x)的最小值为lg 2,选项B正确;
当x>0时,令t==x+,根据对勾函数可得,t=x+的单调递减区间是(0,1),单调递增区间是(1,+∞),y=lg t在(0,+∞)上单调递增,所以f(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,选项C错误;
根据偶函数的对称性,f(x)在(-∞,-1)上单调递减,在(-1,0)上单调递增,所以f(x)的单调递增区间是(-1,0),(1,+∞),选项D正确.故选ABD.
12.∪(1,2]　当a>1时,y=logax在区间(2,+∞)上单调递增,由loga2≥1,得1当0故a的取值范围是∪(1,2].
13.解(1)由题知,>0,则x(x+2)>0,得x<-2或x>0.∴函数的定义域为{x|x<-2,或x>0}.
(2)f(x)在(0,+∞)内单调递减.
证明:任取x1,x2∈(0,+∞),且x1f(x1)-f(x2)=log2-log2=log2,
∵0x1x2+2x1>0.
∴>1,∴log2>0,
∴f(x1)>f(x2),
f(x)在(0,+∞)内单调递减.
14.ABD　由题意知a=log315=1+log35,b=log515=1+log53,
∴=log153+log155=1,即a+b=ab;
∵a+b=2+log35+>2+2=4,
∴a+b=ab>4,故A,B正确;